西法测量绘图即晋裴秀制图六体解
朱正元
晋司空裴秀为禹贡地域图十八篇已佚惟晋书本传具载其序言制图之体有六测绘之理包括无遗实与近时西人至精之书至详之图若合符契谨据管窥所及以通古今中西之邮焉夫分率者绘图之法也准望者测经纬度也道理者测地面之大势也高下方邪迂直者测地之子目也绘必先测故今且不言分率先言准望地体浑圆南北二点当天空之南北二极中要大圈亦当天空赤道人在北极下则以北极为天顶人渐向南则见北极渐低至赤道则北极与地平合南极亦然是地之南北不同则北极出地之高低亦异也东地之日出入早于西地之日出入地周三百六十度应天周三百六十度每度六十分都为二万一千六分日历天周为昼夜地自转一周成昼夜以视象言则为日历天周分二十四小时时六十分都为一千四百四十分故时之一分等于度之十五分四分等于一度此地在彼地之东一度则此地之日出入早于彼地之日出入四分时是地之东西不同则日出入之迟早亦异也欲测经纬先定午线西人之定午线也较准指南针电气差定子午仪以窥日之过午为其国之午线其随处测纬度也则自日晷将午至过午时用纪限仪或经纬仪屡测太阳高弧为本处太阳过午线距地平高度亦即本处午正乃以太阳距地平高度减蒙气差加地半径差为实高度以减象限九十度得太阳距天顶度以与日本太阳赤纬度南加北减即得北极出地之度其随处测经度也或用月食或用太阴凌犯星宿时或用木旁四小星掩食木星时常用之简法则以极准时表俟太阳过其圆之午线时辰开准乃行至本处测其午正视时表差若干化分为度四分为一度即知本处在其国之东西若干度夫地圆蒙气之理指南经纬之器古书具详无容缕即定午线测经纬之法亦述不胜述姑即周礼言之考工记曰匠人营国水地以县置染以县以景为规识日出之景与日入之景昼参诸日中之景夜考之极星水地即西人用水平亦名酒准县垂线也极星如西人之测句陈大星也以岁差考之古盖测帝星此言定午线也又大司马以土圭之法测土深正日景土深指南北日景指东西夏至漏昼中日南影短是地在南近日故土圭之景短也日北景长是地在北远日故土圭之景长也此言定纬度也日东景夕是地在东日过其国之午线时东地之景已夕日西景朝[是地在西](西是在地)日过其国之午线时西地之景方朝此言定经度也裴氏曰准望所以定彼此之体又曰有分率而无准望虽得之于一隅必失之于他方盖地既与天相应必以在天之度与鸟飞之理互相检较而后彼此之体可正也地本浑圆写入平幅不能丝毫无所参差西人益求精进欲使其差极小于是绘全球者有用弦切及等距诸法绘分图者有圆锥及圆柱诸法今绘全球者率用等距绘分图者相地[为之无他](卒尔等成)法大约纬度不甚宽则用圆锥法极相宜因圆锥法经线皆改为直线与纬线皆成直角如用纸作锥形套于球外令锥之旁面紧切本处之中纬线其锥之锐钝以纬度之余切为比例其地如纬度稍阔者则用圆锥法令锥旁稍割球面以消息之若圆柱法虽为绘海图而设然近赤道一带用以绘地图亦甚宜因其经纬线所成之格几成方格耳若但有开方格子而不详经纬且不知其在大地之何处矣其失固不待言即注明其经纬亦如以方目之网套于圆球之上何能一一相应哉天度既得即当测量地面测必先量量为测之本量而后测测济量之穷近日西人测地必先上应天度分全图形势为三五大三角刑则又不用量而用测矣
盖旷野平畴可量也至高山峻岭两处垂线相距之平远无可量矣一里二里可量也至数十里穿山越海直距之里数更无可量矣西人之测地也最初最要者为测三角法三角之最初最要者为定底线此底线乃本三角之本亦众三角之根也西人定底线极郑重必屡测而后定以防毫厘千里之差底线既定乃觅一可指之物或立表与底线之两端成三角形记其底线与角度之方向于册测三角用平面画图桌最便随测随绘绘三角宜用铅以便图成时擦去惟须先定分率又从本三角之腰转测他处而即以腰为其底或记于册或用平面桌均如前更迭为底递察不已使大地成无数三角形案三角即中法之句股试自三角以至一角作线与对角之边成直角即分为二句股形改三角为句股则量句股弦以得股化股为句以测弦展转相推亦可以御无数之形象裴氏曰道里所以定所由之数又曰有准望而无道里则施于山海隔绝之处不得以相通下又以道里与径路分别言之则道里者固测量之始事而与西人测三角无异者也大局已定则地面高下方邪纡直可细测矣西人之测高下方邪也所用之器最要者为纪限仪为瓶水地平仪纪限仪以测高深之度数测法于测处置二定点或立表与山顶成三点以二定点间相距数为底线用平测三角法已知三角一边求得测处之任一点至山顶斜线之数再用立测三角法以斜线为已知之边测得三角求得山顶高于测处之数及山顶垂线与地平成直角至测处之平距数所谓测处者即上所用求山顶斜距之点测深者同至测山之斜度若用象限仪尤便捷虽不及瓶水地平仪之准而轻便过之若测山之逐层高低则非用瓶水仪不可测法详下测法悬垂线于仪心系锤使下坠依平边仰望高处相切视垂线所成角即为斜度实用余角若山根有退行之路则用以测山之高及平距数较平立测三角更便其法或名重测本前后立两表因不便且难准今为改之法于山前一处用象限仪用瓶水地平仪更准测得山顶与垂线及测处所成直角三角形之顶角命为甲角又退行若干里必使前后两测处与山顶成一直线又测如前命为乙角乃以甲乙两正切相减为一率半径为二率退行里数为三率求得四率即山顶须加仪器离地平数若用甲正切或乙正切为二率则求得四率为山之平距数用甲正切则得数为山顶垂线下去前测处数用乙角则为去后测处数瓶水地平仪以测逐层之高低器为长铜管管上两端上安玻璃瓶刻度瓶与管成直角管下承三足架当管中承处为活节置器于高低之间低昂铜管视两端瓶水等平而止于器之上下对管口直尺自管窥之而取其度高低悬远者屡测之而记其各层之[数]() 山势磅者环测之而记其各点之向屡测者逐层之高须等以便命共距之数环测者各点之高亦须等以便平成剖面之形又山高与逐层之高之比如平距与各平剖面平距之比求之以记于册其测迂直也水道径路之类均其测迂直之间而以测路轮记其远近使容于各三角之内按古地理书于名山大川往往记其高数及周围数湖泊亦记之周围之数班固地理志于大川记其里数水经诸书尤详古今注曰大章车所以识道路也起于西京亦曰记里车车上为二层皆有木人行一里上层击鼓行十里下层击镯较近时测路轮制更巧也裴氏曰高下方邪迂直谅哉言乎虽书缺有间之校则径路必与远近之实相违三者皆因地而制形所以校险夷之异又曰有道里而无高下方邪迂直而左右采获者尚足以互相发明又何震于西人刮面图之精也哉
测事既毕可以绘图矣绘图首事当明分率分率者地与图之比例也地球周径之数古者参差不齐盖由于尺制不同之故康熙年间测各处经纬定为每度二百里是地球一周实计七万二千里或为每度二百五十里者纵黍尺与横黍尺之差其实二也乾隆间西人蒋友仁按工部营造尺一百八十丈作一里测得每度一百九十二里有奇是地球全周仅有六万九千余里矣营造尺即横黍尺康熙乾隆未闻有异而差池若此非康熙之尺与测不准即乾隆之尺与测不准也近三十年来法兰西人竭数十年之力测量地球全周之数减去地面高低差以海平圆而为准分为四千万分定为密达尺欧洲各国皆韪之盖后来居上者矣按地圆之说见于经典地动之说见于尚书纬考灵曜不待言矣地为匾圆西人最精之诣也前乎裴氏者张平子灵宪已言之矣密达尺亦西人最精之诣也案齐氏履谦郭太史行状曰尝自孟门以东循黄河故道纵广数百里间皆为测量地平又尝以海面较京师至汴梁地形高下之差是后乎裴氏者且见之实事矣又何疑于裴氏哉定分率本无定法或以一寸代一里或代十里或代百里或代千里总以图之详定比例之大小西人作图每择蕃盛之区另为详图比例展大图中尺寸递加递析皆视此为准作分率违分尺以递析其极小之数六十分之名曰度尺二百分之名曰里尺作分角器以定其方向之准以纸为之作半圆形画度分于周近时改用明角彻底通用较易便析作精图必能分分秒者分率既定可布经纬写浑平本无长策有经纬均作曲线者有经曲纬直者有经曲经直者有经纬均作直线者此即默加祷画法用作海图最妙舟行不迷方向也之数法者各有短长或差在东西或差在南北但当相地以择法不可泥法以概地也近时西人作各图分图纬度不甚宽者多用圆锥法若以中国幅员南北四十四度者用圆锥法绘之则以北纬四十度为中纬以求得[锥](虽)尖为八十度锥尖距中纬点为六十八度十[六](一纬)分五十三秒惟如纬太宽应用割入球面法消息之则从中纬北十一度割入中纬南十一度割出则求得锥尖去中纬点为六十七度十一分三十七秒 法中锥尖八十度指角度距中纬数系由本图周比得若填郡县城之经纬可展规按度分量分率度尺纵横定点即得经纬渐远赤道者则按度求其距里法以半径为一率纬度余弦为二率赤道上每度二百里为三率得四率即本处距里 案距里者本处两经相距里以里尺量之亦得若填各三角形须先定准底线方向用分度器即分角器依测得角度辗转移向定其方位此绘平面形之要也有山之处既以其山根方向处作点联成曲线为天空俯视真形其分山形平坦巉峭之法常用者为黑白二线黑白之多少定斜度之大小全黑者为四十五度八黑一白者为四十度七黑二白者三十五度顺是而下每少一黑线即多一白线则少五度至零度则全为白线矣均分之则以线之粗细定斜度坦削此绘剖面形之要也裴氐图已失传其究竟何如绘法不能确指然既分率准望而二之则必有经纬度可知既别道里径路而二之则其先测三角或句股形可知矣按中法测田向用圭形一田分为多形并之为其共积圭形即三角形然则古人或测三角形亦未可知也 即分高下方斜而二之则必有平剖面形又可知矣
至绘法原无一定欧洲各国尚不能一律何必刻舟以求耶综斯六者其于西人测地绘图犹有未尽否耶窃意裴氏当古图失传之后十八篇之图当仅如西人之总图耳未必能过详也其说当有所受之案管子曰凡主兵者必审知地图轘辕之险滥车之水名山通谷经川陵陆邱阜之所在苴草林木蒲韦之所茂道里之远近城郭之大小名邑废邑困殖之地必尽知之地形之出入相错者尽藏之然后可以行军袭邑举措知先后不失地利则古人地图之详可知又案周礼大司徒掌建邦土地之图周知九州岛之地域广轮之数司险职方等官又分掌之则其图之互为详又可知又案史记萧何传汉王所以具知天下扼塞户口多少强弱之处民所疾苦者以何具得秦图书也则其图之非具形似又可知故今陈古义以明裴氏之有本确指新法以明中西之同归若今日通行之图则明人之图也朱思本原本已不可见无论宋以前矣其于准望犹未精也近人李氏胡氏之图画分分率准望是矣然所布经纬于算理可通而于形不甚肖也邹氏图经纬肖矣然所据者李氏之图不及胡图之详也以裴氏所论核之法尚未备也何论测之精否乎噫古法之失传者殆不可更仆数也岂仅测地绘图一端已哉
杨子云难盖天八事以通浑天说
许克勤
古之言天体者有三家一曰周髀二曰宣夜三曰浑天宣夜无师说固不足论周髀即盖天故周髀算经独有天象盖笠之文然惟浑天之说古今不易乃或言黄帝为盖天或谓庖牺之所立是未免信之过深而不知汉杨子云早已难之其难者有八事具见于隋书天文志今试逐事为之疏通而后知盖天之说不若浑天之为一通且以见言盖天者亦必参以浑天而后其可通焉
其一曰日之东行循黄道画中规牵牛距北极北百一十度东井距北极南七十度并百八十度周三径一二十八宿周天当五百四十度今三百六十度何也 按此言盖天之图北极居盖之中央牵牛东井并在盖边牛在丑宫当极北一百十度井在未宫当极南七十度并之为一百八十度是为盖天南北之径数凡圆皆径一围三今盖径一百八十度则盖边三之当周五百四十度此与二十八宿周天三百六十度者不合故子云难之惟天体浑圆南北二极之中为赤道去极各九十度地上地下各一百八十度合为三百六十度其经则子午卯酉相去亦各九十度合之亦周天得三百六十度于法密合且书洪范曰日月之行则有冬有夏续汉天文志贾逵引五纪论曰日月循黄道南至牵牛北至东井率日月行一度又云黄道值牵牛出赤道南二十五度其直东井出赤道北五度是赤道为中天黄道则或出其南或出其北无定也乃盖天不以赤道为盖边而以黄道为盖边无怪其违于周三径一之数也盖天之说不若浑天之为通者一也
其二曰春秋分之日正出在卯入在酉而昼漏五十刻即天盖转夜当倍昼今夜亦五十刻何也 按此承上五百四十度而言也春秋二分日正出入卯酉是一日之间日行东西径数一百八十度而为昼漏为五十刻盖边周五百四十度昼所行者一百八十度则日入后当行一百八十度而为夜半复行一百八十度而为平旦至其夜漏当倍于昼而得百刻而后盖天之说可通也然今之夜漏仍不过五十刻与昼无异则天盖旋转之说为不可通矣浑天则不然日出于卯而午而酉日入于酉而子而卯各行一百八十度故其昼夜之漏亦各得五十刻也此盖天不若浑天之通者二也
其三曰日入而星见日出而不见即斗下见日六月不见日六月北斗亦当见六月不见六月今夜常见日出何也 按尔雅释地北戴斗极为空桐又释天北极谓之北辰公羊昭十六年传北辰亦为大辰何休注云迷惑不知东西须视北辰以别心伐所在此以北斗为北辰也春秋繁露泰本云星莫大于北辰北斗常星此谓北斗为大辰古有以北极北斗为一者盖天之说亦然周髀算经云春分之日夜分以至秋分之日夜分极下常有日光即斗下见日六月也又云秋分之日夜分以至春分之日夜分极下常无日光即斗下不见日者亦六月也斗下之视日既已六月见六月不见则人之视斗亦当六月见六月不见而后盖是之说可通也然而北斗常见视其所建以正四时矣则为浑天之说北极不动北斗常旋中国在赤道之北故北极出地而常见日行出入乎赤道故北极下以半年为昼夜而北斗环北极而行北极之出地愈北愈高所以北极之下有不见月之时而中国之人要无不见北斗之日也此盖天不若浑天之通者三也
其四曰以盖图视天河起斗而东入狼狐间曲如轮今视天河直如绳何也 按此以天河辨浑天盖天之异也浑天则天河自阁道而南历螣蛇天津河鼓以讫于斗箕尾之间七月昏见其直如绳盖天则北起于斗东南历河鼓阁道以至大陵天船又屈而西南历五车东井以讫于狼弧之西其形曲如半轮盖图如此与人之目见不符也此盖天不若浑天之通者四也
其五曰周天二十八宿以盖图视天星一作至非见者当少不见者当多今见与不见等何出入无冬夏而两宿十四星当见不以日长短故见有多有少何也 按此以星见多少难盖天也周天二十八宿三百六十度半在地上半在地下故所见之星非牵牛左右十四星即东井左右十四星非牛后十四星即井后十四星见与不见常相等不以冬夏之出入昼夜之长短而见有多少也乃盖天之图两宿南北之径一百八十度而盖边周天则有五百四十度彼此相校是所见之星一百八十度而不见者有三百六十度何其多少之悬殊也且冬夏之出入日行有发敛即天度有阔狭抑何以所见之星不能无多少与人之目见不符也此盖天之说不若浑天之通者五也
其六曰天至高也地至卑也日托天而旋可谓至高矣纵人目可夺水与景不可夺也今从高山上一作上山误以水望日日出水下影上行何也 按此据日之初出难盖天之不可通也浑天则天体浑圆地形亦圆所以日出自下而上也盖天则天盖在上日[丽于](不来)天亦高高在上何以高山之上至高也以望海水自上望下但见日之出水影之上行也此盖天之说不若浑天之通者[六也](文理出在)
其七日视物近则大远则小今日与北斗近我而小远我而大何也 按日当午时离他一千六百万余里而当其出没之际人立地而视之则以一千六百万余里又加以地球半径一万五千里是上下近而东西远也近者宜大而视之反小远则宜小而视之反大北斗亦然无他视高远无蒙气视平远有蒙气故也盖天既以地为平远复以平远测天则日午之直射地心与夫出没之际之斜射地心其近远之相去不啻倍蓰焉何以视之大小相反若此也此盖天之说不若浑天者七也
其八曰视盖橑与车辐间近杠毂即密益远益疏今北极为天杠毂二十八宿为橑辐以星度度天南方次地星间当数倍今交密何也 按盖天之中为北极如车盖之杠毂也而二十八宿为盖边则如橑辐也由是而赤道以南凡近南极之星其去杠毂益远即其星度之相去亦益疏以盖图度之可知也然而南方之星愈南愈密皆与浑天合此盖天之说不如浑天者八也
以上八事皆子云所以难盖天者也然则盖天之说其终不可通乎非也盖天但有北极一图则其说难通若参以浑天之说则无不可通何则盖天者浑天之半浑天者盖天之全南北二极必分二图以为两盖之形于是分之为盖天合之为浑天名虽异而意实同也如此则南方之星当密者不至于反疏星之见不见相等者不至于多少两极之间赤道之中剖分为二而周天之度不至有五百四十度之多即春秋二分昼夜之漏其刻相同亦不致起夜当倍昼之疑故北极非北斗也日行有南北之殊即极下有见不见之异而北斗不妨乎常见北极南极之天河非两极之间之天河也故人之所见曲者不妨其为直此地之天顶非彼处之天顶也故就此而观日之初出不妨自下而升上至其视日与北斗近小而远大蒙气有以蔽之所以视力不同也且夫盖天之为周髀也即西方所自出也盖天之学始立句股句股者西法所谓三角也衡之以为句纵之以为股[斜](衰) 而引之以为弦正而信之以为开方是故并之则为矩环之则为规圆内容方方内容圆则为羃积弧矢五寸之矩可以尽天下之方一围之规可以尽天下之圆周髀之言曰天象盖笠地法覆繁盖笠之为形也中高而四边下也盘而曰覆亦然虽不言地圆而地圆之理在其中矣然则盖非一盖南北必有两盖明矣以两盖合之则盖天无异于浑天矣盖天者自内而观之浑天者自外而观之观天必先察于地以太阳之晷景在地树一表而句股之数可得句股之数得而高深广远无遁形矣故曰盖天之说参以浑天而无不通者也自汉人以天地为平远而又仅有在上北极之一图由是赤道以南愈南愈大而星亦愈疏其窒碍难通有如此当其时又未有简平仪法以通之无怪乎杨子于此独举八事以难之矣乃或斥杨子之说为甚疏抑亦浅之乎视杨子矣爰研索而为之说以见盖天之学其初本有所难通必参以浑天而后可通也云尔
风性表说
杨毓辉
风者气也气顺时而遭变风因气以转移故其性有疾有徐其势有顺有逆其信有大有小其力有刚有柔然而格致家何以能明其底蕴则以测验之功也一经测验何以竟探厥精微则以器具之妙也盖推验风性之器如风雨表测风器风力表其用皆精请详说之风雨表约有数种极准风雨表创自福而丁轮风雨表创自胡克弯管风雨表创于该路撒克自说风雨表创于米勒那测山者以尼古类氏所造为良航海者以费次来所造为善他如强水风雨表水瓶风雨表波尔敦之金弧风雨表费策之真空盒风雨表浩孙之长尺风雨表莫不精良其表有佛逆有度数有水银管所表空气改变之事为记事点无论风雨燥湿一测可知如空气极燥则下水银高三十一寸定晴则高三十寸五分晴则高三十寸天时不定则高二十九寸五分雨则高二十九寸大雨则高二十八寸五分风雨大作则高二十八寸此为定法而其预卜风雨之事尚有十端一水银上升极迟则知天定能晴二水银升空气燥夏日减热则知将有北风俟雨下天乃晴三升水银空气湿且减热则知将有风雨自北而来四水银升时有南风则知将晴五水银停空气燥冷热得中则知天必久晴如忽然速降必将风雨大作六水银降速时有西风则知大风雨将自北来七水银速降有时北风则知有大风雨若夏为苞冬为雪八水银降空气如湿且加热则知风雨将自南来九水银降空气燥冬日增冷则知将雪十水银降时若前数日天晴而暖则知将雨及大风用能测验极准且其用又甚普即如矿中恒多毒气气之秘也固无虞气之发也即有损若有风雨表则凡毒发及一切危险之事水银必降有时水银高点忽然下落尤宜加意防闲斯可有备无患是其有裨于矿务非浅也农家春耕秋获专赖风雨得时若但凭臆度以为风而未必果风以为雨而未必果雨既有风雨表则风雨皆可先知不难预为布置是其有益于农务良多也船家渔家用之可以避[飓风](则以) 而不致遭危险是又有功于航海格致工艺用之可以测天空知燥湿是更有助于人工然则其用不亦宏乎此风雨表能验风性之说也测风器专测风性其器不一英人陆萍生及林德所制最为简便然陆萍生所制者下端有座座有竖以直轴轴之上端联以四辐辐头有杯如球形其直轴之下端有螺丝能拨动小齿轮小齿轮即拨动大齿轮轮面如时辰表式中有针能指出各轮旋转之数如风小其性缓则旋转之数少风大以及烈风飓风其性疾则旋转之数多故风性刚柔疾徐均能于表面指出其表面宜用四数一指万数一指千数一指百数一指十数试验时先看第一面之万数再看千百十等数量而记之则常年风性如何均可知矣林德所制者异于前器之两端悉用玻璃弯管一端口直一端口向于外中有一板上画分度按在长枢之上能自转动其顶上有对风板恒对正风之方向用法将水装入玻璃管无风时二管水面齐平风来时无论大小两管水即有高低观其高数齐于板上之分度若干即知风性之大小分数寸数也此测风器之验风性之说也不特是也化学家考验矿质就有风力表焉盖研究五金等质所用之灯或炉悉赖吹风而风性必须匀和不可多多则易于误事不可少少则亦不为功于是化学家制表以验风力其表下为木座并连进风管座上连双弯玻璃管管中有水银管旁有度有水银管旁有度数用法将进风管连于灯或炉旁而吹之则不进风时两管水银齐平进风时受风之一边之水银压之向下而对面一管之水银独自升高观水银下若干度则知风力若干大倘水银久不摇动必系风力平匀水银时有高低必为风力参错以此测之百无一失此风力表能验风性之说也尤有说者测验风性其法尚多不但恃乎表也即如测风势流动及方向顺逆只须用片板作风旗竖于长竿轴上下作表针以指定盘之度分则风势之流动顺逆无不知矣如察风性刚柔只须作方尺平板板后有活尺及簧如洋秤式倘有板面正受风而视活尺之分寸则风性之刚柔无不晓矣如考风行速率只须作一器内有螺丝以轴正对风而观螺丝旋转迟速则风行之速率无不明矣呜呼测风之术至今日不诚精且备哉
以月离测经度解
叶瀚
测地之法全以三角容广为本其法先求底线再测诸角作细图而地小者则以三角互求用工繁琐碎而需日多若测远地而作图则测天文经纬为便有用电火标者有用星作标者有用月蚀木星土星月蚀作标者有用度时表者西人以度时表为常用然行道日久不能无差而月食又恐他影不准而以电火作标必须有路相通彼此相见之处星代标则必须立秋立冬二夜三夜为妙且历时甚速且又恐难取准木星月蚀则半球同见星台亦测有定时最为便捷而便于航海者则测日及天星之外惟恐莫如以月离测经度之法月离测经度见于侯失勒约翰谈天地学中但言其理未述其法今改西洋行海要术有以月离测经度法其求月距各曜度又求月高度及他曜高度祗是求太阴之一法要知其法最便于航海故天文家设各简法皮生天文书共有二十四家设立太阴消去地心差及气差之度而得相距之法其法亦多矣此其一也其二则以月过午线及他曜过午线时求本处经度此太阴经度因其本动而于某时刻过午线与他恒星过午线则得其相距之较即可定其本地经度较也其三者即为太阴冲恒星求经度月行白道动变甚繁行约一月一周行时或掩星或出二星中间此太阴越度冲恒星之法所由立也以月距他曜考本处经度为太阴之法凡诸曜中惟月行最速大约每二小时之久东行一度每二分时东行一分度故可测月距日度或距恒星与行星度以与通书内三小时月距离于他曜之数相为比较而得本处经度也凡测月距他曜之法有三事为最要其尤要者为太阴与他曜诸星之相距度其余二事为月高度及他曜之高度此三事宜以三人同时测定若一人测三事则宜变同时同测之数其法以一纪限仪测距度别以二象限仪测两高弧又有时表考定时刻纪限仪先期考定仪差推算某日月距他曜之约数以定纪限佛逆纪置于时表近处又先预推两曜约高弧以定两象限佛逆亦置于时表近处先以甲象限测远午线一曜之高纪之又以乙象限测近午线一曜之高候越二分时即定其佛逆纪之次以纪限测距度纪之每进退佛逆一分递测递纪之凡三次再用乙象限测近午线一曜之高越二分时以甲象限测远午线一曜之高俱纪之然后取中时及中距度法以纪限三次所测之距度并而三分之为中距度以时表所得之三数并而三分之为中时此取中时中度之法也有中时中距度可求中高中高乃太阴及太阳或行星及恒时之中高数也法以初日高时次日高时相减为较时以初日高度与次日高度相减为较高以较高度化分后列初测距中时之分又以较时合前共三数开四率比例以较时为一率较高化分为二率以初测距中时为三率比得四率加减分数以初日高时与次日高时相减为时较以初月高度与次月高度相减为较高以初测距中时若干分开比例以较时为一率以较高为二率以初测距中时若干分为三率比得四率加减分为月中高测行星恒星与月距亦如之夫距度取中者以月距他曜移变甚速屡测取中方准也测次数不同故时亦不同取中时者变为同时也取中高者两象限高弧本约定其数屡测于衷始得测定之中度也盖高度者即太阴及太阳各星上下边之高度其余度为距天顶之度比高度之设不过为改正其角度即消去其地心差与蒙气差之用故去测时不必取准太甚也有中时及日中高月中高中距各数而后可推泛高及泛距泛高泛距者太阴及他曜之中心视高度太阴与他曜两心相距之视度也
法以目差四分与日月半径十六分相减得十二分加于日月下环高度得日心视高度即日泛高得月心视高度即月泛高次先于推日月泛高时将本处约东西经化时分西经加东经减得京师本时以其时检航海通书日月半径及月地半径按二十四表二十五表加减之又于第七表高加数即日渐高半径渐大之数加于月半径为月视半径次以日月半径并之加于中距度得两心泛距度泛高泛距者由于地径及蒙气差故也盖诸曜在地平以上有蒙气差能加其实高而日月恒星又各有地半径差能减其实高惟月最近地故月之半径最大大于蒙差故月之视或高低于实高而其所测之距亦与实距不同此泛高泛距之名所由立也以其由地面视之不由地心视之故也有两曜泛高及泛距数可推两曜实距法以地半径验三十四表比例对数[以日](月泛)泛高或星泛高检二十七表余割对数以泛高距检二十八表正弦对数三数相加检三十二表度分为第一数再以地半径比例对数月泛高余割对数及泛距于三十一表之正切对数三数相加于三十二表度分为第二数次取三十三表得第三数以一二三数加于泛距度减去十度为两曜实距既得两曜实距数即可推格令平时法视所得实距在通书本日前后三时之中取前三时之距度横行内比例对数以前三时距度与所距实得度相减为较数检三十四表对数两对数相减检三十四表三时加减于前三时得测时相当之格令此时航海测太阴之通法也此外行海要术尚有他法亦以此为要而算斜弧弧夹角之异不备述也谨考测地绘图附卷第一法为测太阴法第一为借地平[测](则) 法其法取弧两边合垂线此角无气差与地心差也测得太阴倍高度及恒星高度太阴与星高之相距度以太阴倍高度纪限仪指数差折半得太阴下环高度以太阴之半径数减之得太阴心视高数此视高数亦谓之泛高亦谓之中心高盖从地面视之度数也与半象限九十度相减得太阴距极度恒星之高度减去经纬仪指数差视高度也与半象限相减得星距极度此譬以半象限为大圈而各减半象限其角之两边可知亦即其余高度可知也次求太阴与星之相距以太阴本日视半径分数视本日测得视高度数求加分加之为本日太阴半径与太阴星相距为太阴星之两心视距此消去其心差而得两相距之真数也但其南北东西之差尚不能知必就三边求得本角方可消去其差也法以泛距太阴及星距极数三边相加以二约之得二分之申太阴及星距极为余割求其对数再以二分之申减星距极数为正弦求其对数又以二分之申减太阴距极数为正弦求其对数四正弦对数相加以二约之得半角度以二乘之得角度然后改正其距天顶相距之气差地心差太阴视天顶数加气差减地心差得实距天顶数星视天顶相距数加气差得实距天顶数南北之差即气差也而地心之差为斜距欲求其改正之太阴真相距则就测月距上所言诸数为几何度自所得之数以余弦数改正其泛高距角度消去气差及地平视差余者为改正角距之实相距则泛距斜度改为正相距矣既得实距则检通书即知此相距之时为西格令时及中北京时在三时相配之中间以比例数相配前后之三时角度对数相加与测望处之时相较化时为度即得本处之经度必以三时之中间取数通书是日平时其比例对数从九点至子正之较为○所以其第二较亦为○也此测月与他曜相距之法也
又有贝氏楚祇一式女士铁牢之表仅存数不能解也谨案以上测太阴之法最繁而实不能简省最便捷者莫如用太阴与恒星过子午线之法夫祇知月之过午线之时并过别处午线之时亦可推得经度然以恒星为准则可免仪器之差其法以子午仪测月之光边过午线于何时设甲代之遂将通书所记近月道之一二星测其过午线于何时则此星之经度即恒星表之时也既知本表何时等于星之经度则光之经度可推后查通书载北京平时月之光边于何时有此经度设乙代之甲乙之较即此处之经度也赫士者美人也着天文揭要曾述此法与测地绘图测太阴恒星过子午线法同测地说繁不备具之其三测太阴冲恒星之法算法甚繁其冲掩之成因黄白二点交点退行之故盖月黄二道平面交点为月道交点之黄道度若干复将每月测得之数相比约每月退行一度半而二交点之联机每十八年二月二十四日转一周月之升降二交点常向西退盖黄白二角交处不过五度九分之角且白道之平面不恒过日心而黄道之平面常过日心则日之摄力常欲令月改其道之平面过日心故改其行向日而行至过降交点后则行向相反如是屡退则升交点所居移为降交点所居之处南北易向而黄白交角五度九分大带以内之星每十九年必屡为月所掩此一理也若月行一月一周自绕地转其行亦每出二星之间或掩星而过因此可测其冲恒星之时而知其经度惟测太阴冲恒星之法甚为繁重测地绘图曾从立度行船书择其简法亦能得经度其法先从已知本处之时刻并本处经度推算格令回知之平时再从行海历书检得太阳之赤经度太阴之极点相距与半径数与地心差凡此各差必依法或加或减之再将其测望之视时与太阳之赤经度相加则此数之和与星之赤经度相较为星之经线相距将此数以巳命之而星之极点相距以口巳命之其赤经度以未命之改变之余纬度以丑命之太阴之极点相距以寅命之其改正之平视半经差以辛命之其半经以呻命之再将正割三(丑(口巳))余弦三(数与丑)与余切三巳相加再从其和数减去二十即得十唧得申弧之正切其乘方数与三(丑巳)相同再将余割三(丑巳)正弦三(数与丑)余切三巳相加再从其和数减去二十即得乙弧之正切此角常为锐角如求大于巳则甲加乙等于丙弧如求小于乙则甲加乙等于丙弧再将正切丙与余割巳与比例对数辛各相加而从其和数减十位数而得丙弧之比例数如丙弧为等用则口巳加丙等于戊弧如丙为锐角则巳减丁第于戊弧再将余割丑余割巳比例对数辛各相加而将其和数与口巳减下表得其改正之数而以其或正或负之号与戊弧或加或减而令和数或较数为戊则寅与戊之较为巳弧再将申与正弦戊相加将其和数减去十位即得庚弧之比例对数再加巳与呻减巳其二个比例对数加戊弧正弧之倍数将其和之半减去十位数为辛弧之比例对数测太阴之赤经度则其庚在经线西为加数在经线东为减数初冲之时口辛为加数末冲之时口辛为减数太阴赤经度已知之时刻相配格令回知之时刻可在行海历书将此时刻与本处之时刻相比即得本处之经度此得太阴冲恒星求经度之法也既知各求经度之法则内地作图可细量而作细图夫月离测经度其事甚难而法实可凭既得其法则无论在海内居陆地皆可为法以定经度矣
五星算术源流
黄炳垕
古人不究五纬句巳迟疾之故辄以顺轨为吉逆行为凶超次为殃留守为变夫星之距地不知几万万里也星大于地不知几十百倍也自星视地地直渺如一粟也大地生人多于太仓稊米也五星即能以行度为灾祥安得应于地哉安得应于地之某人某事哉曰土曰木曰火曰金曰水不过以色之黄白行之迟速位之高卑随人意象为之名耳岂真能显其相坐相克之功用耶慨自术家妄言休咎而星学晦亦自历家不求本原而星学愈晦汉志三统术言五步之法为推步五纬见于纪载之始其率甚疏宋人以五行生成数推顺疾退留亦多不合元郭太史作授时历定五星段目悉用实测颇为善法然犹未知纬度之南北也明太祖平元都得回回历法始知五星各有本轮次轮为退顺疾迟所由生又各有本道交道为南北纬度所由判然其法犹未密也万历时西洋利玛窦入中国始知五星半径即不同心天之两心差多禄某汉顺帝时西洋人用其四分之三为本轮半径水星用六分之五四分之一为均轮半径水星用六分之一厥后第谷万历时西洋人改定之而算法始密法详历象考成上编今时宪书用之 国朝康熙闻西人日葛西尼测得五星本天皆椭圆一端度阔一端度狭心不居中故也阔狭度之差即初均数之加减乃悟前此本轮均轮之象为虚设矣乾隆中蒋友仁入中国始信歌白尼明成宏正嘉时西洋人测得地为行星与诸星同绕太阳地道与星道交错因两动而生迟留顺逆之变并悟前此次轮之象为虚设矣咸丰中伟烈亚力与李君善兰译谭天一书知刻白尔顺治中西洋人推行星三例一曰历时同则星日距线所过面积亦同二曰诸星行皆行椭圜道以日为椭圜之一心三曰诸行星距中日数与周时皆公比例 及摄动诸差皆确有证据益信地球绕日东行为万世不易之定论于乎合三万里智慧之士积二千年测算之劳始得见其本原焉星学岂易言哉
星道以日为心论
旧说五星各有本天重重包裹皆以地为心遂据太阳与诸星同环地球立算率多扞格不通之处盖其本象不如是也厥后西人精测天象知大地亦行星之一其大与金星等五星与地皆绕日东行其道俱为椭圜水星距日最近行最速八十八日绕日一周金次之二百二十五日弱绕日一周地又次之一年绕日一周火又次之六百八十七日绕日一周木又次之四千三百四十日绕日一周土又次之一万零七百四十六日绕日一周西人又测得土星之上有天王天王之上有海王亦为行星恒星最远行最迟二万四千九百二十三年以新定每岁东行五十二秒算绕日一周金水行道在地道环之内名内二星土木火行道在地道环之外名外三星故金水有合日之时星在日上为合伏星在日下为边合伏 无冲日之时自地视星无时不在日左右焉土木火三星与地对冲时日在星地间自地面视之日与星同度为合与地同度时地在星日间自地面视之日与星相对为冲所谓本天者特各星所行之道耳由是行度多寡退顺迟疾悉归一公共之例不必强天以求合矣谨案历象考成上编列古新二图而融贯其说不言地为行时其时华人未谙新法恐骇睹闻也近日畴人家知新法之尽美海内诸君子亦多晓然于地行之有据故不妨直表其说以见本象之非同虚设尔
五星顺逆迟留说
西人旧术推五星各有本轮均轮次轮本轮心右旋于本天周均轮心左旋于本轮周次轮心右旋于均轮周星右旋于次轮周三轮大小每星不同次大于本本大于均其大较也星在次轮上弧其行与轮行相从则为顺为速星在次轮下弧其行与轮行相反则为逆为迟在次轮之两旁星虽行而自地面视之不见其为行则为前留为后留上下两弧皆非平分上弧常多下弧常少因五星距地各有远近而次轮又各有大小也多禄某首创其说第谷改定其数历象考成采用其法矣然行度虽合于垂象而诸轮俱由于虚设藉以推步度数期与实测相符而已明正嘉时西士加利阿歌白尼诸人精推天行之金水二星绕日轨道尚与虚设次轮之象相似以其在地球行道之内也土木火三星行道在地道之外虽绕日东行星与地同而星迟地速厥象殊焉尝测星与地对冲前后即星与日同度前后自地面视心为顺为疾过此则由疾而迟而为前留矣星与地同度前后即星与日对冲前后 自地面视心为退为留过此则由顺而迟复为疾行矣究之五星无时不顺行平行也人见为留逆迟速者因地球不在星道之心又行于本道生诸视差故耳此说行而一切推步悉本于实象究其所得之数与旧法相同而加密焉愈以见轮法之巧合而历学之久而弥精云
星学辨惑论
甚哉星学之当求其原也知地为行星之一日为星地道之心则五星顺逆迟留之故尽明而星与地之行法皆归于公理迥异于私智穿凿矣顾人犹有疑之者谓地球绕日旋转何以地上之物不散飞于空中乎殊不思地球四面皆人物也所以不散飞于空中者正以地之速转故耳不见夫舞火球者乎置炭器中颠倒底面而炭不倾坠者由动力而生摄力也置水或他物于器中挈而舞之亦可颠倒空中不致倾坠地之绕日亦犹是已盖天空有压力诸物有重力俱直射地心有摄力吸引诸物与地球之动力相助人居地面如蚁附球而行球转而蚁不觉也故地自转一周成昼夜人自地面视之恍如日月星辰东生西没焉所居之地面日则谓日东出所居之地背日则谓日西入星月亦然地绕日一周成寒暑人自地面视之恍如太阳环行十有二宫焉地在丑宫人见太阳在未地在戌宫人见太阳在辰岂知无穷者天非里数所能纪断无一日能绕地一周之势至速之炮弹一时不过行数千里若星辰[昼](画)夜绕地一周则一时当行几万万里故知为必无之事至大者日地与星月皆借其光岂有与星月同环地球之理乃人第拘于目之所见则一望平原浩无边际谓地之大不可测度乎仰观日月如盆如镜览诸星如粟如珠渺乎小矣不知此特诸曜之视径耳由视径推其实径木星大于地十一倍半上星大于地力倍半金星与地同大小于地者惟火水二星与月耳至日体之大有合地与五星之体不能得其一隅者而谓其能绕地而行乎此皆天文家累测千百年而后得其详者不同影响之谈也或曰地转之说测诸形象揆诸理势诚确然不易矣顾圣人作易曷云天行健乎曰历算未精之世虽圣人有所不知历法大备之时即愚人不难尽晓此则时为之也尚书考灵曜云地体虽静而终日旋转如人坐舟中自行动人不能知春星西游夏星北游秋星东游冬星南游一年之中地有四游是地转之说华人早知之但未用之于历算年
枪取准算法考
考枪取准法至不一而准尤难然大旨不外无定法有定法二者而已何谓无定法天时有寒暑燥湿则空气疏密不同阻力因之而异风气有顺逆偏侧则弹行助遏相反能力因之而大异地段有水陆高下则地力与空气兼有轻重厚薄之殊皆足以改变弹路致生诸差如高低差左右差广远差之类而各本差各本差有多寡微甚问乎制造四国制炮虽本算术准而后造及演放时配准弹药更以密求远近句股度数似可无差而微差终不能免若制工精逊则差数更大司炮者必熟试其所差若干而损益其用庶可取准然而易炮或易人则又不良矣尚不在此列是皆在乎熟习审知各事攸关更复运以精心贯以神明庶几变化无方鲜有不准者所谓无定法非言可宣者也何谓有定法盖即弹路所成之物物线可以算术得其高低远近之数以取准也夫弹之所以必循拋物线者系合三种力所成为势所必然之重学非理可强也一为弹行本重速力一为地心吸引力一为空气阻力合而较之而拋物线之理得矣拋物线之理既得则弹所能及之道里丈尺不难推算而知所谓有定法其数可测者也非言可宣者姑不具论有数可测者请试推求且不必举大小长短各一一求之试即二十四生特之而求其平击与上下斜击之数并明其所以区别则举一可以反三而各准法俱可融会贯通矣按生特乃法国度衡取数之名考法国一枚当英国三十九寸三七一百分枚之一为一生特二十四生特即抵英尺九寸四四九0四尺法国一格祗英十五厘四三四三二二三一百格为一生特抵英一千五百四十三厘有奇即英权三两二一五合二十四生特计之等英六磅四三二十四生特之炮等于英国九寸径此推管径非口径也口径仅合三寸有奇而用六磅弹实得七十七两一六之炮也查此炮始速率约为一千零五十尺五千步之末速率约为六百三十尺则其平速率约得八百四十尺凡炮愈远则平速愈近愈减则平速愈增若在一千尺之内则平速所差无几即始速也准此以算庶无差谬今试就平下上三等击法推数式如左
设平置本高于地平十六尺以下推弹所及若干列式以明之
平置炮高 历时 时羃 弹及
十六尺 一秒 得一 一千0五十尺 凡一秒内之拋物线几成直角与轴所差甚微弹及地时多不能入土
十五尺 千分秒之九六八 0九三七五 一千0十六尺
十尺 千分秒之七九一 0六二五 八百三十尺
八尺 千分秒之七0七 0五 七百四十二尺
四尺 十分秒之五 0二五 五百二十五尺
一尺 百分秒之二五 00六二五 二百六十三尺
右数式举以概其余十六尺为一秒时之半地力数以下皆在一秒之始速率内故皆准始速立算但一秒内始速尚应有递减之数微故不剖设更置高于地平六寸四分则弹行二百十尺及地历时十分秒之二再将本贴地平置则口中心应去地四寸七与八之间凡算高低皆当以口中心为准故此弹尚行一百八十尺及地当十分里之一历时千分秒之一七三皆弹掠土而过跳行若干尺乃止
设更平置本高于地平三十六尺以上推弹所及若干列式以明之
平置炮高 历时 时幂 递减中数 平速尺数 弹及尺数
三十六尺 一秒五 二二五 0五 一0四九五 一五七四 此式内拋物线之落角度渐高亦渐曲其余平线则渐短
六十四尺 二秒 得四 一尺 一0四九 二0九八
一百尺 二五 六二五 一五 一0四八五 二六二一
二百尺 三五三 一二五 三尺 一0四七 三七00
四百尺 五秒 二五 六尺 一0四四 五二二0
九百尺 七五 五六二五 十三 一0三七 七七七七
右亦举数式自一秒以上皆各有始末递减之平速率其递减之数系就本炮五千步化为二万五千尺之末速率计减始速四百二十尺历时约三十秒自乘得时羃九百为法以除减数四百二十尺得四寸六七为空气阻力所致是即每秒平方递减之根数惟五千步之平速系八百四十尺照三十秒当微欠二百尺包之以便算耳凡数中不尽之小余不便细列者所差甚微故亦或包或抹以取简便此式内自三十六尺至九百尺之高可平击敌船自十分里之八七五至四里又十分里之三二弹力至此已减一百二十五斤若更击远恐虽及无济且此惟山麓守口之炮台能有如许之高可以平击近海口之敌若在海面兵轮相交或在平陆两军相对彼此等高则用此平击总在半里之内方克有济所以欲击更远则斜向上击之昂度不可不知又若敌船已近或敌已登岸而台上平置之高不可及则斜向下击之低度亦不可不知惟欲知低度必先明昂度爰循序而分列于左云
设在平地将本昂高二十二度半以下推弹所及列式以明之
昂高度数 历时秒数 时幂 中减尺数 平速尺数 弹及尺数
二二五 十三五 一八二二五 四二五 一00七五 一三六00
一一二五 六七五 四五五六 一0五 一0二九五 七0一六
七五 四五 二0二五 五尺 一0四五 四七二五
五六二五 三三七五 一一三九 三尺 一0四七 三五三四
四五 二七 七九二 二尺 一0四八 二八三0
一度 0六 0三六 一尺 一0四九 六二九
右亦举数式以概其余凡昂高四十五度则弹及为最远本若昂四十五度弹当去二万三千七百六十尺及地历时二十七秒其平速为八百八十尺是不能至二万五千尺也准所定之末速率须在更高四十余尺数再昂四十五度方可究未知其如何试定也今以平地言故就二十二度半以下推之其历时之数系以四十五度除二十七秒得六每度照加其递减中数亦止取整如将此中数加平速即始速率减平速即末速率此式内弹及里数至多约七里半至少不及半里其拋物线之落角至大在三十度外至少在一度外凡昂角与落角差有大小愈远则差愈大然各昂若差不同即一亦恒有不同故不赘列昂度既明而后低度可推矣
设在高六十四尺或九百尺处平置本而敌已迫近于一里之内则平击必越过甚多宜将尾垫高俾口低下若干度斜击方中亦列式以明之
高六十四尺处 平击本历二秒弹及原数二千0九十八尺
低一度当反减十分秒之六折半得三以减本历得一七为八五折以成原数得一千七百八十三尺在一里内矣
低二度反减一二折半得六以减本历得一四为七折以成原数得一千四百六十八尺六
低三度半反减一一折半得一0五以减本历得九五为四七五折以成原数得九百九十六尺有半
低五度反减三秒折半得一五以减本历余五为二五折以乘原数得五百二十四尺半
高九百尺处 平击本历七秒半弹及原数七千七百七十七
低二度半反减一五折半得七五以减本历得六七五为九折以乘原数得六千九百九十九尺在四里内约近半里矣
低七度半反减四五折半得二二五以减本历得五二五为七折以乘原数得五千四百四十四尺较原近一里三
低十度反减六秒折半得三秒以减本历得四五为六折以乘原数得四千六百六十六尺约二里半有奇
低二十度反减十二秒折半得六秒以减本历余一五为二折以乘原数得一千五百五十五尺在一里内矣
右二式既非试得亦非有本不过借昂度之理反观而酌取之以为当如是耳盖凡用平度昂度者则弹力与地心力相背而相至其势逆故秒数递增而弹及愈远低度则弹力与地心力相并而相随其势顺故秒数递减而弹及愈近折半者仍属弹力欲循轴线使然过低即不能准此例入算者因弹力与地力渐近全顺向之地力仅能引弹下坠不能减弹力前行之速者今则转助其速矣向之弹力虽欲背地驰行不能减弹力吸引之权者今则转助其权矣故愈低则愈不合拋物线之理当改用角度算之兹不具列
以上仅就二十四生特之将其平击与上击下击之理无数从简列式多参鄙意未必能与准表
及他书合是否有当于万一尚其 明教而指正之至于避彼上击仍不碍我下击则亦惟洞明顺逆者测远近俾无空发争先制胜而已若寻常避击除数迁设疑及用坚固斗门外向无最善之法约二十年前英人孟格里夫独出巧思制成活架安其上置于坑内运以机器升降极灵欲放则升出坑外既又降入坑中距远稍远反筑土堆或东或西以使敌疑更可多掘数坑今日置于此坑明日移置彼坑当交攻时烟雾迷漫敌惟见有弹飞击迄不能测算之所在而无从还击诚最善法也详见弢园火器说 若夫开花弹之下坠平口平击竖口其法已见于准及火器诸书大抵必先以象限仪密求句股测准远近度数而定用药之轻重紧慢及时引秒之或增或减俾炸开迟早适与欲击处合又必以炸块所成圆锥形之角度推算面积大小约定炸开部位无过不及则能以大包小鲜不中者然诸法亦皆有定而无定是在精演熟试乃能不失累黍臂之善射者可以仰视飞鸢发无不中而其巧妙处实非楮笔所可尽神而明之存乎其人枪取准何独不然