第八十七卷

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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

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　儀象部彙考五

　　新法曆書三〈渾天儀說三〉

曆法典第八十七卷

儀象部彙考五

《新法曆書三》

渾天儀說三

依《比例》原法復解圓線三角形。

圓線三角形中之比例，總歸四「原因」，生《四公論》，以盡解或直或斜三角形之理。

《一論》曰：「凡多直角、三角形，得銳角同近底線者，以較其弦及垂線之正弦，必皆互得比例。設後圖於儀上。」

圖

甲乙丙丁為地平戊為天頂從戊過甲戊丙與庚戊己皆以直角交地平彼為子午圈此為高弧乙辛丁當赤道圈以直角交子午於辛以斜角交地平於乙於丁蓋多三角形中取二形即丁辛丙及丁壬己乃二形中有丁辛與丁壬為

「弦線，辛丙與壬己為垂線，丁丙、丁己皆底線銳角在丁。依常法以辛癸及壬寅兩弦線之正弦，與辛子及壬丑兩垂線之正弦互相較，先得三線，其餘線俱可得矣。」今用渾儀顯之，試以二弦線及大形中之垂線，求小形中之垂線，因而設丁辛得九十度，為赤道一象限，丁壬為赤道四十二度之弧，辛丙則其地平高，得四十八度二十五分。法移高弧在壬下至地平，得壬己弧，為三十度○二分。或安高弧，以三十餘度交赤道圈，即自限小形之弦，可并得兩弦線。欲求大形中之垂線，則辛丙必為子午圈上之弧，自地平至赤道高四十八度二十分。或以二垂線及大形中之弦線，求小形中之弦線，各依前所定度。則自壬高弧交赤道處，至本赤道交地平丁必得四十二度。

《二論》曰：「凡多直角、三角形，得銳角同近底線者，以較其底線之正弦，與弦弧之切線，必皆互得比例。如前圖三角形同，而大形底弧之正弦癸丙，其切線即卯丙；小形底弧之正弦己已，其切線為辰己，皆可反復相解。」或求垂線或底線，必以算乃得，今於渾儀上查。

圖

之設赤道高同前高弧交處亦同前度必所得垂線亦不異前若求丁己底線即自赤道交地平至高弧切地平之處得其弧為三十度五十餘分因依常法凡弦弧之正弦與垂線之正弦得比例可互求而底線之正弦較垂線之正弦

則否。何也？蓋垂底兩弧之正弦，各圓線形內，不能合成一直線三角形故〈見前第一圖〉用渾儀可免直線形，止須以圈相交處，即得各弧之長短大小焉。

《三、論》曰：凡圓線三角形，其線之正弦，必與對角之正弦得正比。例如後圖設甲乙丙為直角三角形，直角在丙，餘皆銳角，各邊引長為一象限，至壬至戊，至丁，自丁復引象限，至子至庚，因得乙、丁、己斜角三角形。今依常法，直角形內求甲丙邊，即因先比之丙角與甲乙，或甲角與乙丙，推乙角與甲丙之比例，求乙角。

圖

即因甲乙反比之丙角或乙丙與甲角亦算得甲丙與乙角又求乙丙應以甲角較推如丙比甲乙同而反求甲角應以乙丙邊推如甲乙比丙同此反復用八線表推求法也若用渾儀即本圖內子甲壬自當地平必得天頂在丁而子

丁壬為子午圈，設辛乙戊為赤道，丁乙丙為黃道，或當高弧，則直角形中之三邊，各顯於本圖，各有定度可取。蓋論角則丙角自顯為直角，以丁子弧可徵。餘角皆以對弧得，則甲角以戊壬，乙角以辛癸是也。試於斜角三角形內，先求乙己邊，必以丁對角推之，用乙與丁己或己與丁乙之比例，求乙己等角，亦以對邊求之，法必同前，但查表，或疑其所求角應銳與否。

如查正弦九、二、七、一、八應六十八度，并應一百二十二度。

必以取準圖形為正，或用天球尤易明。蓋設丁庚為

高弧，得丁角於丙庚地平弧，乙角在兩道相交之處必對，則在過二至之圈弧。己角既為鈍角，乃左右之邊，無以定其象限。必球上自頂順高弧界線，而線交乙己弧之點移至頂，則球一面依先界線安高弧必盡於地平一面，赤道亦自至地平，彼此間地平弧即能量定己角矣。

四論曰：「凡圓線三角形，兩邊各小於象限，先以兩邊弧自并，後又以小邊并大邊之餘弧，而即以此後總弧之正弦，或減先并總弧之餘弦，或加其過象限弧之正弦所得線，半而用之，乃以求第三邊，即前兩邊間角之矢與他線。」如全數與前半線所復得線，為後并弧之正弦所減，必餘第三邊之餘弦，或為後并弧之正弦所加，亦餘第三邊過象限弧之正弦。若反求角，則他線與角之矢，如前半線與全數，而他線亦為後并弧之正弦，以內減第三邊之餘弦，或加其過象限弧之正弦所生。因此三角形中之兩邊，并較象限，或等、或小或大，而各依之。以推第三邊，設角時直、時斜皆同，但推角設邊反異。蓋兩邊并較象限相等或小，則設第三邊必小於象限，獨兩邊并大於象限，所設第三邊亦能大於象限。故法雖同，臨推種種略異。此等三角形，曆家無所不用，雖加減法若省，然亦未免於煩。欲查渾儀，則捷若指掌。何也？以二邊及間角求餘邊，先設兩邊，并與象限等，其一為四十七度，其一為四十三度，間角為五十度。試於儀上極高四十度，即安高弧，令地平上依間角。自南去東，距子午圈五十度，自頂於高弧上查四十三度，亦自頂於子午圈。餘四十七度，得其中黃道弧。從娵訾宮一十四度至降婁宮一十七度，共為三十三度，即形內餘邊也。復設兩邊并小於象限，如各為三十五度，間角與極高同前，得三邊。在中黃道弧，則自降婁宮九度至大梁宮六度，共為二十七度。又設兩邊，并大於象限，如各為六十度，餘皆同前。得第三邊。在黃道弧，自元枵宮二度至娵訾宮十五度，共為四十三度。若求角，即以先所得三邊反查高弧及子午圈之間角，則所得三弧，必生五十度之角。第原法凡得三邊小於象限者，用其餘弦與後并弧之正弦相減，大即以其大弧之正弦相加。乃儀上亦無二法，如黃道自元枵宮一十八度至實沈宮初度，共一百零二度，為第三邊，其對角當在高弧及子午圈相距之地，平上得一百一十度，此則抱角之二弧，并必大於象限也。今試以公論，用《儀解》日食內所算三角形，則凡直角形歸一種，斜角形又歸一種，共列二等如左：

求時圈與地平交角

時圈與赤道經圈及過赤極圈皆一，而獨以其所用有分別焉。設太陽居正午，其過時圈至地平、正交必為直角，若午前後因斜交地平，得角亦斜，且大小不一。復設太陽在正東，距正子午圈共六小時，則過時圈至北極得九十度，其交角大小，與極高度同。使交角在正午及正東西間，即以高弧求其大小。法從交點各圈上正，去九十度，安高弧。〈地平上算〉必本弧上從地平至交時圈間度，為時圈交地平角也。假如太陽躔降婁宮初度，設時為辰正二刻，先將午正與本躔度并居子午圈下。《後轉儀》令辰正二刻正切子午圈，乃本時圈交地平。從正東起，南去四十度，以之安高弧。又距本度滿一象限，則又在正北之四十度，以此度復安高弧。從地平上數起，得交時圈五十三度，為時圈交地平角也。

求地平與黃道交角

法用高弧過黃平象限，下至地平，即因高弧為大圈，以所正對交角之弧，能量其大小，則必自地平至其交黃道點，乃得黃道交地平角也。假如北極高四十度，設實沈宮初度居地平東出，得平象限偏子午圈之東，以高弧從此點過至地平，約得三十四度一十 ○分，為地平及黃道二圈之交角。蓋黃道因半周恆在地平上，而平分左右各得九十度。獨冬夏二至，此限正合子午圈外，此則限每偏東或西，所以查交角用高弧，不能用子午圈也。

求黃平象限距子午圈，為三角形之弧。

黃道隨宗動左旋，其交子午圈也，時高時庳，因而兩象限之中點距天頂，亦時近時遠，且以斜升斜入。故則九十度限大半偏東或西。乃從冬至迄夏至限常在東，從夏至迄冬至限常在西，即從而得限及子午圈中之弧也。今依法加高弧，使之過其限，必以直角相交，其角左右之弧一在高弧，一在黃道；而相對之底弧在子午圈，則三弧共為直角三角形也明矣。本形內各弧，亦能自顯度分，乃限距天頂又距子午圈等度，皆見於弧。若更求高弧距子午圈中黃道之對角，必應查於地平，即以高弧距子午圈之中弧量之乃得。且本弧大小正與黃道出沒之廣弧等，如北極高四十度，設大梁宮初度為平象限，因偏東十四度以安高弧，得其至地平。切子午圈東二十七度，即象限偏子午圈對角之弧，與黃道自正東去北之出，正西去南之人等，而高弧自頂至交限點，則三十度也。

求子午圈及黃道交角

凡黃道以冬夏二至交子午圈成角者，必為四直角，因子午圈當過黃極，並二至圈此間必正相交故也。使以春秋二分交，即為斜角，得對弧正與兩道最相距之餘。弧等從此距分漸遠，交角亦漸易。必自冬至至夏至交，得銳角向東北或西南。自夏至至冬至亦交，得銳角向西北或東南。法以黃道度正合子午圈定住移交點至天頂。從此至地平，兩圈各成象限，則其間地平弧能量交角之度。如大梁宮初度，交合子午圈七十九度。〈從北極算〉必移其七十九度在頂，與本宮初度相交。其二弧至地平間必抱七十度，東北與西南皆等。又設鶉火宮，以十五度相交，因在子午圈七十四度，移本度居頂，得二圈至地平中弧，必為七十二度，西北與東南皆等。

求高弧與黃道各度之交角。

先依黃道距午正前後度，以赤經圈交黃道角，或加或減於高弧交經圈之角，乃得高弧與黃道或正或餘。〈形內外是〉之交角，此原法也。今用渾儀，可免加減，徑安高弧交黃道，於其距正午度，即依前法界線，隨移本度至頂，復依線安高弧，必得角於對地平弧矣。如北極高四十度，設大梁宮初度，距午正六十四度。〈東西無異〉使高弧交其躔度，因得界線。後起大梁初度居頂，依線復安高弧，即得所指地平五十八度，為高弧交黃道角也。或不必轉儀，而獨移高弧於地平對度用規。

圖

器於高弧及黃道弧距前交點九十度之界量其二弧相距則地平上亦得五十八度如上圖甲為天頂丙戊黃道弧甲丁為子午圈平象限距其東設在乙日食在戊或丙依前第三及第四題公論以二曜躔度丙及定朔時先得丙丁

圖

黃道弧必使丁居正午以高弧過丙為甲丙丁斜角三角形內求甲丙弧〈二曜地平高之餘弧〉「及丙交角」，蓋以甲丙，查得太陰高庳差。〈丙己是〉丙角為小形，內交角等因，并得所餘。己角。〈壬自為直角〉而以之推丙壬時差及壬己氣差故也。或依第一及第二

題，《公論》，以先得黃道交子午圈丁點於儀上，并得平象限相距之乙丁弧，即安高弧過乙限。先得甲丁乙直角三角形，內查甲乙本限距頂之弧，而更使高弧過丙躔度，乃復得甲乙丙直再三角形。內求甲丙弧及丙角，皆依前法。因解丙己壬小形以求視差，其法尤省。

依渾儀製日晷法

太陽左旋，以定晝夜十二時。〈二十四小時〉則常依赤道三度四十五分為一刻，每十五度為一小時。故諸圈以二十四平分之，而每分又以四平分之，乃得時。盤必周分各與赤道皆等之度相應，令之豎立，與赤道高下等。而中依直角安表，則表景所射，即能定時，而赤道晷所繇起也。今不必恆以豎立合赤道圈，或正立面向南比為立晷，或正倒面向天頂為「地平晷；或復正立，面東西正向，為子午晷」；或又正立，面偏正南左右，或不正立，面偏地平。各以所向天上之圈得名，而各以其面承接日光。故立表或正或斜不一，即表射景遠近與面分時刻廣狹亦不得一。雖太陽左旋同諸時刻，平行同，而線則實繇景得。射景既異，相距之線安得不異？此諸晷公有日平行之原，而私則各有所異，總於本儀，可得而明矣。

求諸晷方位法

日晷之製，原以度數考求，而度數必有相應之定處，則又在取準方位焉。故凡平面日晷，所向方位多變。大約相較有二：原或較地平，即與之為平行，有正立、有曲立，種種不同，皆應度數不等。或較子午圈，亦與之為平行，乃有偏左偏右，而多寡復以間度為則者。

圖

又或有偏於地平偏於子午兼地平子午而別為一種總不外此二原乃復得一方位者必先置木或銅取四方直角平面形為甲乙丙丁依其長邊面內作戊己線與甲乙為平行線應平分於壬即以壬為心以辛為界作己辛戊半圈

乃平分一百八十度也。從中線壬辛左右各一象限，

而另設垂線於壬，則定方位之器全矣。臨用時，如求地平方位，即令此器以丙丁邊倚晷面正立，得垂線合壬辛中線者，即得其面正與地平同。若垂線偏距中線左右，則必查象限，得晷面前後離地平若干度，以垂線依象限辛點之前後度為法。或令甲丙邊依直角倚晷面，得垂線正合壬辛線者，即其面正立在地平。若得垂線距辛點內外，則依其距度於象限上，亦可得晷面偏前後之廣。欲求距子午圈方位，即令甲乙邊以直角倚晷面，從此器中心壬出尺，能旋轉於半圈諸度。尺末設指南針其上，隨尺同轉。乃先安器後轉尺，而以羅針對下順尺線者為準，隨以尺距中線之度，定晷面距子午圈之廣。但羅針未免略差，故又一法，晷面上界線自上一直下，於線上立表，表末另懸垂線，候日光射垂線之景，必合晷面上線乃準。且將渾儀依法測得日輪高度，而以太陽躔度對高弧，則高弧所指地平度，或正東西，或偏左右，因偏若干，亦可定晷面離正南北之廣也。其求重複方位，各依所向可得。乃向地平如前向子午。別有法，於晷面立二表，任意相距。表銳各設垂線，距面皆等。候日輪出視，其二線準對，即於儀上測其地平高，以與高弧正合，而地平經度可得，子午圈方位亦定矣。

製正球日晷

凡日晷之表等，雖北極出地不等，得各時線相距等者，謂之正球晷。此其製原易，可不須球，然舍球又無以明其理也。如赤道晷，因諸時圈與赤道交，其相距皆於球心相切。設以本儀之樞當表其射景必順時。

圖

圈行赤道使各依極安儀而表之長短同則時圈在赤道上相距之度亦同或論赤極晷因其面正合卯酉時圈設本面距儀心任表長短等而諸時圈與中心相切從心過晷面相距不等則正午線合儀樞可當儀面中線而餘線左右

相距漸遠，皆平行如右圖，以長方形為晷面。其丙丁橫線者，即赤道與之相切線；其甲午正南北線者，即合儀樞從赤道頂過時圈所為線也。立圈者，乃赤道周平分以指諸時圈相交之點者也。蓋時圈必皆切表頂。〈當地心是〉而後開之，使過至丙丁線上，為時線所居之界。故本晷諸線交心在面外，而以表頂為心，彼此相距皆平行。今設表長短同，雖極高多寡不同其線，則二晷相距無異。又設甲午線，依天樞斜豎，令晷面偏東或西，則午時線不能定在面之中，必依面所偏多寡，而晷面亦移左右不等。至其面向正東正西，乃以中線為卯正、酉正，餘線漸遠，惟午時線不入晷面，而丙丁線則尚為赤道所切，雖時線皆平行，乃晷則應以一面斜起，庶合赤道高度，而得中所橫線，其高低度與之等也。

製斜球正日晷

凡日晷之表等，因北極出地不等，得各時線相距亦不等者，謂之「斜球晷。」其製法原不一，今用渾儀列《簡法》如左：

如製地平晷，先起儀，依本北極高，乃令過極圈正合子午圈，而子午圈之左或右，每於赤道上查十五度，移居子午圈下，即識過極圈交地平正南北度。復於赤道上查十五度，如前移居子午圈下，又得過極圈交地平度。以此逓查逓移，必至盡過極圈交地平度之界而止，則諸時線在晷面相距之廣全得焉。蓋晷面上先作兩直線，以直角相交，其一為子午線，其一為卯酉線，而以交點為心，任意大小作虛圈，或用比例尺，或依本圈預分度，取儀上地平所識度為法。〈自卯酉線至子午線或反之以應儀上所識度為準〉從心出線過此者，皆平晷時線也。如北極高四十度以過春分，經圈居子午圈下，必在地平之正南。北初度為午正，移之去東十五度。〈依赤道度〉得經圈東交地平十度。〈距子午圈筭〉為午初。移之去西十五度，得經圈西交地平，亦十度，為未初。〈距午前後等時恆得距度等〉巳正及未正約得二十度半，巳初及申初約得三十三度，辰正申正得四十八度，辰初酉初得六十七度半。至卯正酉正則各滿九十度，而卯酉外與前距時等，必皆得度等。若求刻線，亦依赤道上三度四十五分為一刻。如前法逓查之，安表使之出晷心向午正，距晷面漸遠，以北極出地度為則，必懸子午線上，以正合本地天樞是也。

若正南北立晷，亦用儀上赤道求距度，漸移至子午圈，法同前，其所異惟在交度。蓋高弧與過極圈相遇處為交度，而高弧則定居東西或卯正酉正。苟不用高弧，惟以極高所餘度求之。如北極高四十度，依其地製立晷，必使儀北極出地平上五十度，如前法。定時線蓋五十度，即極高四十度之餘度。其安表漸距晷面正下以至本地赤道高為止。此晷自卯正至酉正，獨十二小時向南，而卯前酉後之時面皆向北。其表漸距晷面與前同，從上反求得正矣。

製斜球單偏日晷

若不正立，面向南北，製法略與正立同，但用高弧，必依其偏，容有異。蓋向南面偏北者，必查偏度於子午圈，從儀頂去北，即此安高弧。面向南者，則偏度宜求於頂之南，以此界出高弧。其向北晷面偏南者，即依偏度，於頂南求界。或面反偏北，尤宜於頂北求界。總之，偏度多寡及所向方位，皆應查於子午圈距頂南或北之處，以安高弧，而高弧下至地平恆在正東，正西之點，表位必在正午時，線從晷心漸距，其面與高弧上距北極等。

若不正，立面偏正東、正西法，用立象半圈，先於高弧上取偏度。如設面向東而偏西三十度，令高弧自頂下至正西量三十度為限，即安半圈於其限，以當地平。必識其與極圈相交之點，為各時線之距。如北極高四十度，安高弧及半圈如前，將時盤與夏至圈對，試於太陽出時，必得春分經圈。北交半圈十六度，卯初交十二度漸過，以南交二十六度後七十等度，至未正一刻餘，太陽過半，圈西，晷面無景，其本晷表位偏午正線，左右距晷面較地平面高不等。求其位法，使經圈與立象半圈以直角相交，即因經圈自交點至極中弧，得表之高。半圈自交點至交北地平，得表位與午正線相距之遠。如依前極高等數，則表距三十八度，高二十二度。

若正立面偏東或西，製法亦與正向南北立晷同。獨高弧下至地平，不得定在正東、正西之處，必依晷面偏度，因之距東西等。如面向南偏西三十度，即高弧距正西亦北去三十度；面偏東，必高弧距正西之南。向北面偏東西皆倣此。但偏晷所得高弧度，午前後必異，時刻多寡不等。試令北極高四十度，晷面向南偏西三十度。先以高弧北距正西三十度，轉經圈西十五度。〈赤道上取或用時亦同〉得其交高弧點距頂十二度為未初，乃自正午相距線也。又漸轉儀，每十五度為限，得午後時刻。各依交度不同之廣。未正交二十三度，申初交三十三度半，申正交四十四度，酉初交五十五度，酉正交六十九度，戌初交八十七度。復移高弧在東距正東之南，亦三十度。隨轉過極圈東十五度，得午初交高弧九度。巳，正交二十九度巳，初交四十八度辰，正交七十度。辰初則交地平。雖夏日最長，亦不能全見午前半晝景。安表必先查其偏東西若干，距晷面多寡。法令高弧至地平，居本晷偏度限。〈晷面偏東用高弧於東地平偏西用高弧於西〉乃轉儀，使過極圈距子午圈與偏度等，必得以直角交高弧，則自頂至交點，於高弧上，得表在晷面上垂線之度。自極至交點，於經圈上，得表距晷面之度。假如前設偏西三十度之晷，將高弧下至西地平北距正西三十度，過極圈亦應於北地平距子午圈三十度。得其與高弧以直角相交，則自交點至北極中約四十二度，為表出心漸距晷面之高；復自交點至頂，約三十度，為表漸距中垂線之廣。此立晷之面南偏西，用高弧及經圈之法，與面北偏東，而面南偏東與面北偏西者亦同。但表末於面南晷以向南極為正，而面北晷反應向北極也。

製斜球重偏日晷

若不正立，面向南北，復偏東西，則較本晷面與地平面或偏向或偏離，為交角時銳、時鈍之異。故依《偏容》分別其晷為二種：先論銳角向地平者，法查本晷所偏東西度，於其本向地平，或晷向西南、東南，必從子午圈南交地平起。其所止限為高弧。當至之處，則自頂依高弧求晷面偏地平度，即以合度處於球上作識，復自高弧交地平處去北九十度為限，因之，以安高弧移居頂，而過前所識處，即於高弧上得諸時線相距之度，則因交前所識及子午圈間弧，為晷面中垂線距正午線之廣也。次轉球過極圈，以十五度為交高弧之界，與前法同，得午前或後，依面向東或西各時線之距。而餘方則移高弧於正對地平度，轉球使極圈漸交，高弧各時俱可定矣。若以鈍角向地平法，反查偏東西度，於本晷所向正對地平，或晷向西南、東南，則從子午圈北交地平起所止限，亦為高弧當至之處，乃於球上作識。依之。求時線相距，皆與前同，獨高弧宜去南九十度，以定復安之限。雖高弧不能過球上所識，并至子午圈。惟令立象半圈過正相對地平，而左右轉球，則午前、後時線度半圈上可得。假如北極高四十度，晷面偏西，距正南三十度，向地平偏二十度，必使高弧在子午圈西，與地平三十度合。令夏至圈正居子午圈下。乃自頂依高弧量二十度，得近黃道處為實沈宮二十一度，與高弧二十度合為點，作識後復安高弧，或立象半圈，在地平正西之北三十度，從前點過。〈球尚不動〉與正相對之度至地平，則所交子午圈處距頂約二十三度；距點一十二度則一十二度為「晷中垂線。」距午正線之度，便轉球西一十五度。〈用時盤亦可〉夏至圈，必交高弧八十七度為未初；次交七十二度為未正，次五十八度，次四十五度，次三十三度，次一十八度，末五度為申初、申正等時，以至戌初始盡。復轉球。令夏至圈距子午東一十五度，得交對度。高弧六十四度為午初，次四十六度，次二十六度，次一十一度，次即《入地平》。蓋辰初不載晷面，因其偏西故也。欲安表，必先查其應距晷面若干，偏午正線左右若干，因而從晷心出，依偏距度起，射景與各時正合。求距面度法，使高弧在晷正面地平。〈未求餘方時之前〉漸轉球，以過夏至圈，得北極及高弧中最小之弧，即因本弧量表距面之廣，或於本方，使過至圈與高弧以直角交，則自交處至極中弧，亦為表距面度。查表偏午正法，用高弧交過至圈與前同，獨偏度當於高弧上從交點至子午圈上求之，必中弧為相應之距度。假如前晷求表，安高弧在西，地平北，去正西三十度，使之上距頂南二十三度。轉球令過至圈，以直角交高弧，即從交點至北極中，約得六十度，為表距晷面度。復從交點至高弧切子午圈，約得五十五度，為表距午正時線之度。餘倣此。

界節氣線於正球日晷

「凡節氣在黃道上正相對者，以較赤道，其距內外天上必等。蓋隨宗動左旋，必為平行圈，故乃平晷。節氣線則不然，雖赤道線為直線，而內外節氣線其形甚曲，多緣彼此相距漸遠，或不以赤道為中界，故較赤道平，有異向焉。惟赤道晷之節氣線，亦自為平行圈，亦內外相距等，其形正與天合。」試就渾儀先論之，設

圖

儀上赤道為實圈天樞上任取其表之長作識切赤道面向外并取過極圈上與表相等弧識之從所識處量各節氣之距而每界出直線過表頂得凡線至晷面所止之處因以定節氣當居之位焉法用規器以赤道心為心以線止位

為界，作平行圖如前。外圈限赤道晷面周平分為時刻。其中心出表為甲戊，設庚己辛為過極圈，即從庚外取庚己與甲戊等而已，為諸節氣距內外之中界。蓋以戊為心，作辛己壬弧，從己至辛至壬，取二十三度三十一分，得夏至及冬至界。取二十度一十三分，得大暑、小滿至大寒、小雪。其餘節氣皆倣此。乃從其各界，引辛、戊、乙等直線，得乙、丙、丁等圈。於向北晷為赤道北節氣，向南晷為赤道南節氣也。

「凡正球晷之節氣線，以赤道為中線。餘線凡相對者，左右距必等，而各漸開距必不等。」法設儀心為表頂，其面任距遠近，必依表長短為則，與前製晷法同。即將過極圈於赤道內外，識各節氣之距度，隨以各度出直線，從儀心過，使至本時線上，必得赤道在中，左右諸點為節氣應過之處，此即界線之所以然。臨製時以表頂為心，時線交赤道點為界作圈，即得。切割等線依八線表取用。蓋赤道為全數，時線左右為切線，從圈心出線，與時線相交，得割線，故將全數載比例尺，餘線依之取載晷面是也。如後圖上下為時線。

圖

設製赤極晷即午正居中卯酉居邊製東西正向晷午正居邊卯酉居中而赤道橫交諸時線彼此必同甲丙為表長依之為圈而左右定節氣之距如丙己丙丁等弧即得甲丙全數丙己丙丁直線為切線甲己甲丁其割線以定夏至

及冬至於午時或卯酉時線而定。兩至中節氣，亦不異此，試於申巳時線，必以乙為心。〈表頂之距〉作壬丁辛圈左右，取丁壬丁辛各至之距弧，餘節氣線弧皆與前同，即乙丁為全數，丁壬丁辛直線為切線，甲壬甲辛為割線，而節氣宜過其點位亦依之定矣。又試於午初、酉初即丙為心以作圈，求子庚、子癸兩至距赤道中界，而求他節氣，皆同一法也。

界節氣線於斜球日晷

凡斜球晷之節氣線，雖以赤道分內外，然各節氣正。

圖

相對者距赤道遠近不等而自為曲形則其曲必等故設過極圈以定各節氣初度之距令出直線過儀心至各時線上皆與前同法先依本地北極高求各節依各時應出地平高〈見前二卷〉隨以《高弧考對》，即儀心當表末，依所行直線各至

時線為點，而每時識點處連之必為曲線，以指本節

氣也。假如儀心在乙，以辛庚為晷面，得甲乙表，癸己為過極圈。設北極高四十度，欲製地平晷節氣線，即辛庚為午時線，辛壬為天樞距面四十度入地於辛，以定出時線之心，任安表於甲，即因表銳當地心，亦并為過極圈之心。得癸丁弧，為赤道出地平高。而餘節氣初度，則必距赤道內外皆在戊己二至之中。設從各距度引直線至乙點，復引過晷面午正線，而赤道止於丙。夏至在子，冬至過赤道下在庚。又設過極圈在表頂周轉，以對未、申等時。〈午前後同〉而「赤道二至等節氣初度，皆合高弧上本時所對高度，令出直線過表頂，必至本時線為點，以引節氣於此過矣。」

凡製立晷節氣線，即辛壬距晷面，宜依赤道高，癸丁弧依北極出地高。〈癸為天頂癸丁弧即赤道距頂弧必與北極出地等故〉餘節氣度俱依之。出直線至午未等時線上，以赤道上者為冬，赤道下者為夏，則各節氣自明矣。如圖以乙為心，甲為界，作甲丑弧，即乙子、乙丙、乙庚等線皆為割線，甲子、甲丙、甲庚皆為切線，以表為全數。查節氣依各時高度，於八線表用比例尺或平分直線，如法簡取。蓋依本北極出地地平晷用餘切線，立晷反用正切線，何也？地平晷算高度於癸己弧，而用甲丑弧之切線立晷，則於癸己算節氣距面之弧，其餘即正高度，亦應甲丑上取切線也。偏晷同一法，以各節氣依各時高度出直線過表頂，下至晷面，定其曲線宜引之點，則除正向南北偏晷外，其餘安表，必於午正線外求位。蓋因天樞斜過晷面，故乃樞正下別為直線，從晷心出與赤道線以直角相交，則線上交表、線中節氣線相距最近，左右復開展，相距必等。依前圖論，表既不豎在午正線，而在天樞線上，則癸乙過極圈徑不以本線平行，且以直角與甲乙表相交，雖轉以對各時線交表，法必不變矣。

界地平經緯等線於日晷。

凡日晷有面與表，為公而載線其私也。一切定時分、節氣、列方位，種種各異，種種能互為用，而總入諸晷之面與表矣。即地平一晷，時刻節氣線外，尚有可界於其上者，如地平經線。〈太陽方位線〉相交於表位，自為直線，其相距必等地平緯線。〈太陽高度〉以表位為心周，皆為平行圈線相距不等。十二舍線為南北平行，乃相距遠近不等之直線。太陽出沒後時線皆偏左或右，皆斜交，赤道線亦自為直線，七政時線左右向，其中線亦皆為直線。晝夜長短線，復倣節氣線之曲形，而疏密復異。東西諸方相距線與時線同，任用多寡，乃所以異。何也？地平經線，即高弧自頂至地平所為者。儀上移高弧，任取十度，或多或少，距限恆等而依之，視正對地平度以為直線，故恆得儀心居間，此本線所以合於表位也。其地平緯線，必安高弧於定處，從下漸上，以相等之距限視儀心，則以目光線所射之面為界，初寬而後狹。若移高弧他處，亦依此為法。此以表位為心而圖平行圈之所以然也。其製法惟量表大小依之開比例尺於上，取各距度之切線，從表位帶入面上為圈，即地平緯度限，則表景所至，必指太陽出地平高度。隨將地平緯度平分或五或十等距度。〈從午正線起〉則表位所出直線皆過其分弧界，即地平經度已定，而表景所至，必指太陽所向方位。

論十二舍線，即立象半圈所為本圈。儀上皆合子午圈交地平為一點者，但若左右倒耳。故正東西從儀上視之，至面必為平行直線，其製法亦不異正向東西之偏晷也。論太陽出沒已距時線，即過極圈，依各赤緯度所為起儀，依本極高，將時盤午正與過極圈合，令之轉東或西，以太陽本方春秋分出沒為止，則即地平分赤道及二至圈皆不等，而赤道恆得六時，至午正夏至，若過冬至反不及。今設去夷地平圈上一時或二時，至滿半晝時，皆并過橫線，至第六時，其線赤道上必交子午圈夏至上未，及冬至上已過，即因其橫線指太陽出沒相離時若干。依之從渾儀心視晷面，必皆斜交赤道。而愈離愈斜，法必先於晷面界赤道線，就內或外加一節氣。得晝時雙數者，因以太陽至本節氣出沒之時定為初時，而餘時漸依之列也。如北極高四十度，太陽至立夏晝長約十四時，而立冬止得十時，皆雙數。則因立冬日出辰初，必得辰正，為距日出第一時，而餘時次之。立夏日沒戌初而戌正，即日沒後第「一時，餘時亦隨次之。」今赤道上辰初恆為日出後第一時，戌初為日沒後之初時，即前所識節氣線上諸時點，與赤道上相應之時點。以直線連引之，得太陽出沒後諸時線也。論七政時線，其向中線，繇赤道等圈，則自午前及午後以至地平，皆平分各六時。蓋夏至午前後弧，大於冬至午前後之各弧，而赤道得居中，必與諸時線斜相交，是以其線自向中也。法先依最長之晝平分時盤，或六或十二分，遂於地平求各時相距度。〈皆依前二卷〉帶入夏至節氣，必得其平，分午正左右各六時也。然後將赤道與夏至相應之時，以直線連之，得左右皆同，皆與斜球斜交赤道。其晝長短線，總繇赤道緯度任，用疏或密，故其理不異。節氣線製法亦同。若諸方相距東西線，皆子午圈所為，與時圈同，必以過兩極圈取準，與製地平晷線同法。以上晷面所得諸線，依本容因之，有異必從其儀。上所得圈，視儀心至面止，俱依前法。如試於立晷，即地平與赤道為平行，故地平緯似節氣線形。《地平經》皆上下平行，遠疏而近，午時則密，全倣赤極晷線。十二舍線皆出地平，與子午線相交，太陽出沒距時線，如前地平面同。七政線亦出地平，交子午線之點，晝夜長短，亦如節氣線。諸方相距東西線，亦與正時線同。製法各隨本類。全載日晷本款，此不復詳。

地球用法

地球以圓形倣地之本體，又以旋動反其性情者，總欲因各處向頂之自然也。蓋地居萬物之中心，隨處向天，即如圓圈中心出直線，無一線不正向其界者。然乃製之為球，反若偏居。〈在地面故〉距天此近彼遠。〈俱以子午圈求天頂故〉必宜活動，以隨處能移至頂，與天相近，而從之向頂可也。故安球必先取平以合於地平，使子午圈南北得正，而因以諸方向得本所焉。後令球前後起，或左右轉，務以本處至中頂，乃得向天之勢。有以二處相提而論，或經緯皆異者，或經同而緯異者，或求二處相距之里及所向之位，緯同而經異者，總於本球得明矣。先論其經緯皆異者，法任令一處居頂，而從此下高弧至地平，使之南北游移，以正交其彼處為度。乃識交度與頂之中弧化為里，則得二處直相距之里數。又復識本高弧交地平度，因以得彼處較前處所居之方位。假如順天府北極出地四十度，令球極起四十度，隨轉球，使順天府至子午圈，即以之居頂，乃依之安高弧，過雲南，則自頂至交點約二十二度，即算得六千里。〈依二百七十里一度筭〉而高弧至地平，則從正南去西五十二度，即西南第四向位也。〈各向詳下文〉又使高弧過星宿海，得自頂至本海之中弧為一十八度，化得四千八百餘里。而高弧至地平，乃距正南六十二度，則因本海較順天府在西南第三向位矣。若經同而緯異，即先移其處，同居子午圈下，以本圈上度識二處各距赤道若干度，以之相減，乃得其相距度，因以化為里。如順天府與南昌府，約在同經，試於子午圈上，得南昌北距赤道二十八度。《順天》距四十度，相差十二度，化得三千六百餘里。設一處在赤道內，一處在赤道外，各以所得數相加，即其相距度，乃因以化為里。若緯同而經異，即先各以其處移至子午圈下，從《鶯島》圈線起，至子午圈下止。赤道上算各經度，以之相減，即得二處經度差。但距赤道內外遠近者，依赤道平行小圈，似不能如前法求里數。蓋小圈所應一度之里，較本赤道度相應者不等，因而度小里數亦應少。今惟於球上用高弧，乃有一簡即得者，何也？以一處居頂，安高弧，使從他處過，則止視高弧上交點與頂之間弧，即其相距度，因復算得里數如前。假如大西之極西地，得北極高四十度，與順天府同緯，因屬距赤道四十度之平行小圈。論其本經度，應差一百三十度；依度求里，亦應距三萬五千一百有奇。今止以高弧為主，則二處直相距約九十度，算得為二萬四千三百里，而相應之向位，且亦不在正東西焉。使以順天府居頂極西，地必北去正西五十餘度，入從西第五方位，使以極西地居頂順天府，亦必北去正東五十餘度，以入東第五方位。凡此皆地為圓形，而更得斜容故也。

任以一處依經緯度安於球。

地球以東西為經，南北為緯，與天球不異。但求緯甚易。惟一測其極出地高，即得其頂距赤道度，而緯定矣。若經度必以其所先定處為界，依之東去加度至某處止，乃較前所得距度，是其本經度也。如測緯依測北極諸法，即以所得極高度於子午圈上，從赤道往極數至本度，隨識之球上，乃得緯圈應過之界焉。《測經》一法，以月食為準，因先知某處月食初虧食甚等時分秒，今復得他處所測分秒，以之相較，必得二處相距之時，乃化為度。蓋前處居西，所得差度加前經度，前處居東，所得差度減於前經度，乃因得本處之經度。次於本球赤道上，從前處查得其度，而於本度左或右，即以距弧所至之處，復移至子午圈，則本圈交前緯圈之點，即某處在地面方位也。第月食不常遇，更有一法，止須測太陰在黃道度，并識其臨測之時刻，而復考他處所載太陰細行。〈務求極準者〉「應於何時。至所測度分，則較二時所距化為度。」如前加減，乃復得二處距經度。然太陰每多視差，必候其在冬夏至之時，於正過子午線上測之，乃可免視差也。又或以其角依上下垂線取準，蓋兩角居一線上，則月體正在黃平象限，全無時差。否則上角偏東即未及，上角偏西即已過也。因之求時，與度法同前。又一法，可於行程中求之。於起程時以自鳴鐘準合天任，去一二日，復以他器測日，考時得之，與鐘正合，則較前處必南北相距，東西猶同。若不合，即以所差時加減之，乃得二處東西相距之時，而鐘必求其分毫之不爽者，始克有濟。

求海中舟道

漂海者，依指南針行此定法也。總分針盤為三十二向，如正南北、東西，乃四正向；如東南、東北、西南西北，乃四角向。又有在正與角之中各三向，各相距一十一度一十五分，而各向線，乃其過頂及交地平之大圈也。臨行時，其道有三等，皆依盤上向線引舟，而實有與盤所載直線異同者，蓋正南北行，則依針線所引之道與所指子午圈同。正東西在赤道下行，則依東西線所引之道與所指過頂之赤道圈同。若正東西在赤道內外行者，雖依東西線引舟，而其實所行之道與赤道為平行，與線所指之圈則不同。

線指過頂交地平大圈，因至地平并交赤道，與之斜行，乃舟離去二界，皆距赤道等，而路以直角交中，子午圈必與赤道平行。

若西南、西北、東南、東北行，雖依針盤所分正角中諸線引舟，而其實所引之舟與所行之道異，蓋所行之道非大圈亦非平行圈，且亦非圓圈線。何者？大圈因過天頂斜交子午圈，則所交子午圈之角不等，必漸還得角漸大。而平行圈皆以直角交，乃舟道之交子午者為等角，隨處方向同，故自與大小等圈不同也。今舟行正南北或正東西，赤道下即未嘗離子午或赤道，因而皆為大圈，則須以度加減之，乃可得其路程，即正東西與赤道為平行，亦不離此小圈，而以所去度化為赤道度〈平行圈度大小不等〉復以加減求之，亦可得。惟斜行推路甚煩，故或以經緯推距度及方向，或以經及方向推距與緯，又或以緯與距度推經及方位，或以方向及距推經緯，必先知總方所引。〈西南西北東南東北全圈四分之一〉及原界之緯度所開，乃依本球求得，此簡法也。

以經緯推距度及方向

法於子午圈上，識開舟時二界。〈繇此界以至彼界故名二界〉相距之緯，隨於球上任用一方向線，以交子午圈，於前緯為度，因以得二界相距之經。乃轉球令之東或西。〈依引舟總方是〉視本方向線，能復交前緯點，則其線必為舟所應隨之線。否則，另試一方向線，務以得交。如前法。假如《利未亞》洲之西獅山，距鶯島東一十五度二十分，距赤道北七度三十分，設於此處開舟引之至依勒納島。乃更距東九度一十分，距赤道南一十五度三十分。試轉球以東南之偏南中線交子午圈，距北七度三十分，復轉球西。〈因去界在東故〉過赤道九度一十分。〈二界經度差是〉則得本線距赤道南一十五度。三十分交子午圈，乃依針盤本線引舟至依勒納島也。又一法，用規器於球上量二界之距，必本則正合方向線在二界緯圈上，即本線必為引舟之線矣。假如取瓊州府與小琉球之距，因瓊州府距赤道北一十八度，小琉球距赤道北二十二度，必求方向線於十八及二十二度各緯圈線上，得在東南之偏東中線依之。從瓊州府去小琉球，必正道也，向線定矣。因求二處相距之至，法，用規器於里表上取相應半度之數。〈為一百三十五里愈少取愈準〉依二處緯圈中之向線量之，得數與一百三十五相乘，因得總里數。或用後表，更準初行指一總方向線之數，次三行指大向度分秒，所應各向線之緯度。如自瓊州府至小琉球，其路為東北之偏東中者，應從正北數第六線。〈從子午圈左右數為恆法〉蓋子午線上平度一距度應大圈二度三十六分四十七秒，而總二處相距之緯，正四度，推得二千八百二十一里，為此二處之總路。餘倣此。

方向一二三四五六七。

度一一一一一二五

分一《四》。〈一二四三○二四七六七。〉

《秒》。〈一五○五五四三○六九一九七三。〉

以經及方向求距與緯

法將球本向線至子午圈，與開舟處之緯相交，復轉球，令其經度差過子午圈。〈東西必繇彼界之距〉亦視其向線在何度，復交子午圈，即是舟所至界之緯。設從依勒納島舟行西北之偏西中向，相距經約二十四度。因使本向線交子午圈，得距赤道南一十五度三十分。〈本島緯是〉隨轉之東行至二十四度止，得原向線交子午圈，為距赤道南五度三十分，即舟所至界之緯。而其距前界之里數，亦可依前法推定矣。

以緯與距度，推經及方向。

法依前《小表》，自顯於球，如從《利未》亞洲白山。〈最西邊〉往西北行。其所應止之緯，為距赤道北三十度三十分，相去四千八百六十餘里。乃白山在赤道北二十度三十分，則緯差十度。以所應里總數推一度，應里四百八十六，以二百七十除之，餘一度四十八分，為應一緯度之距。查表得第五向線，即西北偏西左向線，為舟行之道耳。方向已定，隨查球上本向線交所至界緯圈點，乃自本點至前界中赤道弧，即得二處經度差。

以距及方向推經緯

法略同前。假如從大浪山開舟，繇西北之偏北中向行二千九百二十五里，乃先求所止界之緯。因本向為去正北第二線，則此緯一度之距，應平度一度零五分，得里數二百九十二有半。故總行之里數得十度，為三十五度所減。〈大浪山在赤道南三十五度故〉餘二十五度，即舟行所止之緯，因求經度，如前。

大小圈度相應表

大小圈皆以三百六十平分為度，但各圈不等，必隨其圈之大小為則。又小圈距中大圈愈遠，得度愈狹，故必依南北緯算表乃可。初行載諸緯度，次二行載諸緯過，小圈所應一度之分秒。因而緯遠，得分秒漸少，其所量小度亦更小，以至近極之一小度，得對大圈度之一分耳。

大小圈度相應表

用表法，或以里數推經度，或以經度反求里數，如從順天府一直東去至鴨綠江，為二千二百里；或一直西去至寧夏，其里等。蓋東西路皆與赤道平行，相距俱四十度。因表中查四十度之緯，得小圈一度，為大圈之四十五分五十八秒。應里數二百零七里，為二千二百所。除得二處各距順天府十度三十七分，以之較順天府總經度，東加西減，即得二處各經度。若以經度求里數，法於球上子午圈對二處之緯，得同度即轉球。識二處赤道上距，即經度也。經已定，隨用表中相應之緯分秒，以推彼此相距之里，如成都府與杭州府，皆距赤道北三十度，試以杭州居子午圈，漸轉球，使成都亦居子午圈，得赤道「中弧，約一十五度。今二緯各三十度，應五十一分五十七秒。」乃以此數與十五度相乘，得十五小度之分秒，而以一平度相應之里求比，得二處直相距之里，為三千五百六里有奇。凡南北小圈俱倣此。〈以上原本卷四〉

渾天儀製度

儀中諸圈，宜合天上相應之圈，而相合必有定處，大小皆如法，乃始成一渾儀也。但前以所分之儀平與不平，定圖大小之異，今則不然，而以能合一器，各不失乎應天之理者為則。因有三圈，內外相等，為赤道及兩過極圈。又有二圈，內等而外異，為子午及地平圈。又二圈外等而內異，為太陰本圈及過羅計以從「黃極之小圈」，餘則各不等，各依本儀大小定度焉。

製內外等圈

論「過極」圈為渾儀之脊骨，須先從此圈製起，而諸圈依之可定。任用銀或銅製二圈為匾形，各厚約半分。〈此就徑過六七寸者論耳其餘以儀大小為度後倣此〉闊約二分。〈以其上能刻度與字為則〉大小任意。兩面磨之使光。復如法圈之，安於銅板上。〈小銲銲住〉以求中心，隨用規器齊其內外之周邊，並於面上作圈線，以別度與字之間處，必於刻度處縮之，刻字處寬之，乃度居外而字居內也。其度數每面為三百六十，至五線稍引長至十，其線徑過圈面，而字乃識度之數者。從正對之二處起，至九十度，於正對之二處止。乃初界為赤道交二圈之限，末界其二圈自相交之點，因以定南北極焉。須各圈以兩面度及字彼此準對，而兩圈尤以諸面皆等為務。〈諸圈當磨之使光乃復齊之使平刻度等皆倣此〉圈製矣。必以十字直角交之，使合法。於止數正對之界圈，各開小方孔，其孔較圈面有半，一內一外，若公母筍者然。乃用銅成二圓條，厚分半，餘長五六分。一大端開十字方孔，以受二圈之交點；一小端不令開孔少銳之便入子午圈以當儀樞。復於二圈各起數正對之界與赤道圈，如前法，各開半孔直角相交，以為總合之處。如圖甲乙為二圈相交之地，加丙丁各條，利其堅，且當天樞，故向內開孔以受儀樞，向外小銳以入子午。圈中為南北極，戊己庚辛皆圈腰之孔，皆距極等，乃所以受赤道圈者。蓋二圈既交，必少制之使不緊，便於入赤道圈矣。「隨從二圈

圖

相交之點任於一圈上數二十三度半其正相對處皆等復用二銅條一端開小孔少許入其處一端向內任意長短又開一小孔備以受月本圈者〈如前圖壬癸皆指銅條小孔自顯於壬〉即月圈本極，可當「黃道極」，乃其圈必為過冬夏二至之圈。

「赤道圈周分三百六十度」，二面俱等，順書其數，亦二面同。乃初度與九十度及一百八十度與二百七十度，皆應開孔，則初度與一百八十度所交之圈必為定。春秋二分，過極圈九十度與二百七十度為限，冬夏二至，過極圈之交界。蓋春分得初度，右行九十度為夏至，逓而秋分，而冬至，至三百六十度止，漸又至春分矣。即此可以查升度。其製法與製二圈同，內外周邊以規器齊之，各面以圈線分度與字。度居外，字居內，皆如前《圈圖》，可不贅。

《製》「內等外不等」圈。

論子午及地平圈內周邊之齊同，較前三圈約寬一分。葢安高弧與時盤，必使諸圈利於旋轉，勢不得不少處其盈也。且分四象限，以九十度正對之合處為止，而度反居內，字反居外。其子午圈之兩面度數同，地平獨用一面，惟度數外更增以時與刻，故較子午必倍其體也。今詳各圈之所異，子午為諸圈所倚，較他圈獨厚，乃取其堅而闊，與之等，或微過焉。其一面於度數初起處，各加一銅耳，以便於受天樞。因《樞左》

圖

右有釘或螺旋轉安於圈面故如圖甲乙為各數初起之界并為南北二極而丙丁正對處則各滿一象限乃正戊己及壬辛為銅耳長盡於安釘闊止於圈面之半厚以與圈能開孔容天樞為則故本面當儀之正中臨用時或安高弧

圖

或就時盤定時皆以此面為界前卷所謂子午圈正面是也

地平或安於木架上厚薄不拘獨下面用三四銅釘透入木中使之固且令不隨子午圈起動焉或不用木架而用銅架止令數處倚於銅柱亦可自立其子

圖

午正對處各開一口深與子午圈及銅耳之闊等寬如其圈與銅耳之厚取其便於高下出入已耳如圖內層分三百六十度為四象限每象限各九十度外層周分刻數並十二大時乃午在南子在北甲乙其口也寬窄之勢以緊容子

午圈及銅耳為度，而子午圈之面則又平分地平居渾儀之中焉。

製外等內不等圈

因太陰本圈用以顯交食者，故體勢稍小，居儀之中，距日約遠，應隨渾儀旋轉。又能依左右那動，乃代月輪從黃道并出黃道內外者，必更借一輪與之等以支之。法本輪兩面皆無度數，獨以十字平分為四界，即於正相對二界上各安銅條，外出少許，各條於末端少銳，用以入黃極所出二銅條中，即安於前所云「過冬夏二至之圈」者。復於彼二界向內斜開小孔，深入圈面之半，以其能受月輪圈，且得出入黃道內外。其太陰圈外周與前圈等齊，內周略闊，為其另加豎圈，為月輪所附以旋轉者，亦無度數。獨一面分四界，為正中二交陰陽二曆之限。故於交處外開小孔，與前圈斜孔相交，加以銅結入圈其中以固之，從交處向左，因其圈偏內，即以所交為正交，內半圈皆陰曆。從此而圈復偏外，即以所交為中交，外半圈皆陽曆。如圖甲乙丙丁為所借圈，於正對處載銅條為乙丁。

圖

乙處少銳應入南黃極丁之銳入北黃極即月本輪隨之轉因以得陰陽曆黃道內外者是其甲丙相交處〈一正一中〉必居黃道正下，使月可得南北緯度。其加戊己二結者，以總合二圈故也。庚辛為太陰本圈，載前四限於其上。〈二交左右可識日月食限〉

圖

多寡須依法

其內周加豎圈，為

壬癸周，約等闊半分，餘即月輪所倚以旋轉者。其南黃極於甲乙丙丁圈內出小表，為子表，末正向陰曆限，為太陰本。圈之中心乃開小圓孔，內載一銅弧如弓形，以此弧之一末安其心，一末帶月轉。如上圖甲}} 為入心之鉤，乙即附於豎圈之背，使月輪自倚其正面以旋動。然未安赤道之前，不可「不預備，此免後安置之煩耳。