第一百十九卷

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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百十九卷目錄

　算法部彙考十一

　　算法統宗七〈少廣章第四中〉

曆法典第一百十九卷

算法部彙考十一

《算法統宗七》

少廣章第四中

立圓法歌

《立圓》問徑法何如？十六乘積，九歸除，除此數常為實積，立方開見更何如？《立圓》：若問周圍數，四十八乘積數，軀乘為實，積用開立，即見周圍數不虛。

法曰：外周者，置積若干，以四十八乘之，得若干為實，以開立方法除之，得周。若要還原，以周自乘；再乘，以四十八除之，見積問徑。置積若干，以十六乘之，得若干，又用九歸之，得若干為實，以開立方法除之，得徑。若要還原，以徑自乘；再乘，以九因十六除之，見積周徑下原有不盡者，或周徑自乘、再乘，併入不盡數周，以四十八除之，見積。徑以九因十六除之，見積若問周問徑遇有餘積不盡者，依開立方下命法命之。

「今有積六萬二千二百零八尺，欲為《立圓》。」問「徑若干？」答曰：「徑四十八尺。」

法曰：置積尺數，以十六乘之，又用九歸之，得一十一萬零五百九十二尺，為實。以開立方法除之，初商四十，自乘，得一千六百，再乘得六萬四千，除實。餘實四萬六千五百九十二尺。另將初商四十以三因，得一百二十為方法，列位次商八尺於初商之次，得四十八尺，就以八乘之，得三百八十四尺，為廉法。以方乘廉，得四萬六千零八十尺，除實。餘實五百一十二。另以次商八尺自乘，再乘，得五百六十二尺，為隅法。除實恰盡，得立圓徑。合問。

此問周徑如圓毬

「今有積六萬二千二百零八尺，欲為立圓。」問「周若干？」答曰：「周一百四十四尺。」

法曰：置積尺，以四十八乘之，得二百九十八萬五千九百八十四尺，為實。以開立方法除之，初商一百尺，自乘，得一萬，再乘，得一百萬，除實，餘實一百九十八萬五千九百八十四尺。另以初商一百，以三因，得三百為方法。次商四十於初商之下，共一百四十，就以四十乘之，得五千六百，為廉法。以方乘廉，得一百六十八萬，除實餘實三十萬零五千九百八十四。另以次商四十自乘，再乘，得六萬四千，為隅法。除實，餘實二十四萬一千九百八十四。再以初次商一百四十，以三因，得四百二十，為方法。再商四尺於初次商之下，共得一百四十四尺。就以四尺因之，得五百七十六，為廉法。以方乘廉，得二十四萬一千九百二十，除實，餘實六十四。又以再商四尺自乘，再乘得六十四，除實訖，合問。

凡立圓問周徑，遇數單者，則有不盡。

今有立方積一萬五千六百二十五步，問「立方一面若干？」

答曰：「二十五步。」

歸除《開立方法》曰：「置積一萬五千六百二十五尺為實，以萬積商二十置於積前，就置二十於右下，自乘，得四百步，與上商二十」相呼，二四除實八千，餘實七千六百二十五步，卻以右下四百步，以三十乘之，得一千二百為法，歸除之呼逢五進五，又呼二五，除一千。另置初商二十步，以次商五步乘之，得一百步，以三因之，得三百步。以加入自乘次商五步，得二十五步，共三百二十五步。於右與次商五步相呼，除之，呼三五除一千五百步，又二五除一百步，又五五除二十五步，積盡。以左上二十五步為立方一面之數。《合問》。

今有《立方》積一億零二百五十萬零三千二百三十二尺，問「立方一面若干？」

答曰：「四百六十八尺。」

《歸除開立方法》曰：「置積為實。」以七千萬該商四百尺於左上，又置四百尺於右下，自乘，得一十六萬，相呼，一四除，四千萬尺，又四六除二千四百萬，餘實三千八百五十萬零三千二百三十二尺，卻以右下一十六萬尺，以三乘之，得四十八萬為法。歸除之，呼四三七十二少除。〈因下位數不足除〉呼，四歸起一，下還四呼，六八除四十八。另置初商四百尺，以次商六十尺乘之，得二萬四千尺，以三因之，得七萬二千尺，為廉法。加入次商六十尺，自乘，得三千六百尺，共七萬五千六百尺。卻以次商六十尺相呼除之，六七除四十二，又五六除三十，又六六除三十六。餘實五百一十六萬七千二百三十二尺。以方法四十八萬，併入兩箇廉法七萬二千，再併入隅法三箇三千六百尺，共得方法六十三萬四千八百尺為法。歸除之。呼六五，八十二，呼三八，除二十四，又呼四八，除三十二，又八八，除六十四。右下之法不用。再置所商共四百六十尺，以次商八尺乘之，得三千六百八十尺，以三因之，得一萬一千零四十尺，併入，再商八尺，自乘，得六十四尺，共一萬一千一百零四尺。又以次商八尺相呼除之，一八除八萬，又一八除八千，又一八除八百，又四八除三十二尺。除實恰盡。以左上所商四百六十八尺，為立方一面之數。《合問》：

開立方帶縱法

今有方倉貯米五百一十八石四斗，方比高多三尺，問方高各若干？

答曰：「方一丈二尺，高九尺。」

法曰：置米五百一十八石四斗，以《斛法》二尺五寸乘之，得積一千二百九十六尺為實。以開立方帶縱除之，以方多三尺自乘，得九尺，為縱方。再置三尺倍之，得六尺，為縱廉。約積一千商十尺。今有縱方，只商九尺，置於實前，另以九尺自乘，得八十一尺，加入縱方九尺，共九十尺，為方法。另以縱廉六尺，以九尺乘之，得五十四尺，為廉法。二法併共一百四十四尺。於右下以所商九尺相呼，一九除九，又呼四九除三十六，又四九除三十六，除實恰盡。以商九尺為高，加入方多三尺，得方倉一十二尺。《合問》

今有立方一所，積一千七百八十七萬五千尺，只云高闊相等，長多闊三十六尺。問立方高闊及長若干？答曰：「長二百八十六尺，闊二百五十尺，高二百五十尺。」

法曰：置積一千七百八十七萬五千尺為實。以開立方帶縱法除之，初商約得二百尺，自乘，得四萬尺，再乘得八百萬尺。又約二百五十尺自乘，得六萬二千五百尺，再以二百五十尺乘之，得一千五百六十二萬五千尺，減去積餘，積二百二十五萬尺為實。另置長多三十六尺，以所商二百五十尺乘之，得九十尺，再以二百五十尺乘之，得二百二十五萬尺，除實恰盡，得闊二百五十尺，加入長多三十六尺，共二百八十六尺，為長數。《合問》。

今有立方積二萬九千八百零八尺，高比方不及一丈三尺，問高方各若干？

答曰：「高二丈三尺，方倉三丈六尺。」

法曰：置積二萬九千八百零八尺為實。以開立方帶縱法除之，約實二萬。商三十尺自乘，得九百尺。再以三十尺乘之，得二萬七千尺。又約商三十六尺自乘，得一千二百九十六尺。另置三十六尺，減不及一十三尺，餘二十三尺乘之，得二萬九千八百零八尺。除實盡，得方倉三十六尺，高二丈三尺。合問。

今有三乘方積二千零一十五萬一千一百二十一尺，問：「一面若干？」

答曰：「六十七尺。」

法曰：置積為實。下法常超三位，初商六十於左，下法亦置六十自乘，得三千六百，再乘得二十一萬六千，為隅法。與上商六十相呼，除實一千二百九十六萬，餘實七百一十九萬一千一百二十一尺。乃以四乘隅法二十一萬六千，得八十六萬四千，為方法。另置上商六十自乘，得三千六百，又以六因之，得二萬一千六百尺，為上廉。又置上商六十，以四乘，得二百四十尺，為下廉。次商七尺於左，六十之。次下法亦置七尺，自乘，得四十九尺，再以七因，得三百四十三尺，為隅法。又以次商七尺乘上廉二萬一千六百，得一十五萬一千二百。又以下廉二百四十，用兩次七因初次因，得一千六百八十尺，二次因得一萬一千七百六十尺。以方法八十六萬四千，上廉一十五萬一千二百，下廉一萬一千七百六十，隅法三百四十三，併四法共一百零二萬七千三百零三尺，皆與次商七尺相呼，除實恰盡得一面六十七尺。合問：〈此三乘方捷徑〉一法：用二次開平方法除之，亦得。初一次置積數為實，以開平方法除之，商得四千四百八十九尺。第二次就以此初商數為實，亦以開平方法除之，即得一面六十七尺。《合問》：〈此又捷徑〉

若還原，置一面六十七尺，自乘，得四千四百八十九尺，再乘，得三十萬○○七百六十三尺，又乘之，即見原積數也。

自乘，再乘又乘，故曰「三乘。」其四乘乃四次乘也。其五乘，乃五次乘也。

今有田積三千三百七十五尺。問「立方面若干？」答曰：「面方一十五尺。」

法曰：置積三千三百七十五尺為實，以開立方法除之。古法用三為廉率，約實定位，從實。末位尺十尺定尺，百尺，千尺定十尺。初商一十於左。下法，亦置初商一十自乘，得一百，再乘得一千，除實訖，餘實二千三百七十五尺。卻以下法，初商一十自乘，得一百，用三因為方法。又以初商一十，以三因，得三十，為廉。次商五尺於左。初商之次，下法亦置。次商五尺自乘，得二十五尺，為隅法。又以次商五尺乘廉三十，得一百五十，為廉法。併方法三百，廉法一百五十，隅法二十五，共四百七十五尺，皆與次商五尺相呼。四五除二，五七除三十五，五五除二十五，得方面一十五尺。《合問》。

開立方�

大段。解曰：「立方積，形如骰子，有上下、左右、前後六面，方如一段。大方積，是初商方高十尺。」自乘，再乘，得一千尺。三段平廉，每段方十尺，高五尺，即初商十尺。自乘，又以次商五尺乘，積五百尺，用三因，即三段積一千五百尺。三段長廉，每段長十尺，闊五尺，高五尺，即初商十尺。以次商五尺乘，又以次商五尺乘，得每段積二百五十尺。用三因，即三段積七百五十尺。一段小方隅，即次商五尺。自乘，再乘，積一百二十五尺也。

《求米倉窖盛貯歌》：〈每石斛法二尺五寸。〉

「米求倉窖要知源，斛法先除米數全。若見圓倉乘十二方窖三，因米數然。三十六乘圓窖米，各為實積定無偏，卻用立方開」見約方求長、闊約為先，圓數求周為約數，各將約數自乘焉。乘來為法除實積，便見深高法更元。

今有米二千四百一十九石二斗，欲為方倉盛之，問長、闊、高各若干？

答曰：「長二十八尺，闊一十八尺，高一十二尺。」

法曰：置米數，以斛法二尺五寸乘之，得六千零四十八尺為實。以開立方法約之，得闊一十八尺，便約長二十八尺。卻以長闊相乘，得五百零四尺為法。除實，得高合問。

今有米七百零五石六斗，欲作圓倉盛之問周圍及高各若干？

答曰：「周四十二尺，高一十二尺。」

法曰：置米數，以斛法二尺五寸乘之，得一千七百六十四尺，再以圓法十二乘之，得二萬一千一百六十八尺，為實。以開立方法約之，得周四十二尺，自乘，得一千七百六十四尺為法。除實，得高一十二尺。合問今有米五百七十七石二斗，欲作方窖盛之，問上下方及深各若干？

答曰：「上方九尺，下方一十二尺，深一十三尺。」

法曰：置米數，以斛法二尺五寸乘之，得一千四百四十三尺。又以三因之，得四千三百二十九尺，為實。以開立方法約之，得上方九尺，便約下方一十二尺。卻以上方自乘，得八十一尺。另以下方自乘，得一百四十四尺。又以上方九尺乘下方一十二尺，得一百零八尺。併三位，共三百三十三尺為法。除實，得深一十三尺，合問：

今有米七十七石二斗，欲作圓窖盛之問上下周及深各若干。

答曰：「上周一十四尺，下周一十八尺，深九尺。」

法曰：置米數，以斛法二尺五寸乘之，得一百九十三尺。再以圓率三十六乘之，得六千九百四十八尺為實。以開立方法約之，得上周一十四尺，便約下周一十八尺。另以上周一十四尺自乘，得一百九十六尺。又以下周一十八尺自乘，得三百二十四尺。又以上周一十四乘下周一十八，得二百五十二尺。併三位共七百七十二尺為法，除實得深九尺。《合問》：

今有米二千四百一十九石二斗，欲造長倉盛之，只云「闊一十八尺，高一十二尺，問長若干。」

答曰：「長二十八尺。」

法曰：置米數，以斛法二尺五寸乘，得六千零四十八尺為實。另以高乘闊，得二百一十六尺為法。除實，得長合問。

或只云「長二十八尺，高一十二尺。」問：「闊若干？」

答曰：「闊一十八尺。」

法曰：仍以前實，卻以長高相乘，得三百三十六尺為法。除實，得闊一十八尺。合問。

今有米七百零五石六斗，欲作圓倉盛之，只云「高一十二尺，問周若干。」

答曰：「周四十二尺。」

法曰：置米數，以斛法二尺五寸乘之，得一千七百六十四尺。又以圓率十二乘之，再以高一十二尺除之如故為實。以開平方法除之，得周四十二尺。合問今有米五百七十七石二斗，欲作方窖盛之，只云「上方九尺，深一十三尺。問下方若干？」

答曰：「下方一十二尺。」

法曰：置米數，以斛法二尺五寸乘之，得一千四百四十三尺；以三因之，得四千三百二十九尺。以深一十三尺除之，得三百三十三尺。內減上方，自乘，得八十一尺，餘二百五十二尺為實；以上方九尺為縱方。開平方法除之，得下方一十二尺。合問。

或云：「下方一十二尺，深一十三尺。」問：「上方若干？」答曰：「上方九尺。」

法曰：仍以前實四千三百二十九尺，以深除之，得三百三十三尺。內減下方自乘一百四十四尺，餘一百八十九尺，為實。以下方一十二為縱方。以開平方法除之，得上方九尺。《合問》。

今有米七十七石二斗，欲造圓窖盛之，只云「上周一十四尺，深九尺，問下周若干。」

答曰：「下周一十八尺。」

法曰：置米數，以斛法二尺五寸乘之，得一百九十三尺。又以圓率三十六尺乘之，得六千九百四十八尺。以深九尺除之，得七百七十二尺。內減上周，自乘一百九十六尺，餘五百七十六為實。以上周一十四為縱方。以開平方法除之，得下周一十八尺。《合問》：或云：「下周一十八尺深九尺，問上周若干？」

答曰：「上周一十四步。」

法曰：仍以前實六千九百四十八尺，以深九尺除之，得七百七十二尺。內減下周自乘，得三百二十四尺。餘四百四十八尺為實。以下周一十八尺為縱方。以開平方法除之，得上周一十四尺。《合問》。

今有米五百一十八石四斗，欲造方倉，盛之問「方、高各若干？」

答曰：「方一十二尺，高九尺。」

法曰：置米數，以斛法二尺五寸乘之，得一千二百九十六尺為實。以開立方法約之，得方一十二尺。卻以方一十二尺自乘，得一百四十四尺為法。除實，得高九尺。合問。

或云「高九尺，問方若干。」

答曰：「方一十二尺。」

法曰：仍以前實以高九尺除之，得一百四十四尺。以《開平方法》除之，得方一十二尺。合問。

分田截積法上

直田截積歌

《直田》截積法尤奇，截長積步闊除之，截闊用長除且易，得其步數不須疑。

法曰：「若依原長截積，則以原闊除之。若依原闊截積，則以原長除之。」

直田截積原載《方田章》，因與圭梯等截積間隔，不便觀覽，今移此以統於一。

今有直田，長四十八步，闊四十步。今依原長截積七。

直田截闊圖

百二十步，問：「截闊若干？」

答曰：「闊一十五步。」

法曰：置截積七百二十步為實，以原長數為法除之，即得截闊數。《合問》：

今有直田，長四十八步，闊四十步。今依原闊截積七百二十步，問截長若干？

直田截長圖

答曰：「長一十八尺。」

法曰：置截積七百二十步為實，以原闊四十步為法，除之，得截長一十八步。合問。

今有方田一坵，要「從東南角截一直形積三十二步，南邊闊四步，問截東邊長若干？」

答曰：「截東長八步。」

《法》曰：置截積三十二步為實，以南闊四步為法除之。

方田截直圖

得截積東長八步。《合問》：若東長定數，問截南闊，就以長數為法而除截積。

今有直田，長一十五步六分，闊一十二步。今從東邊。

直田截斜圖

截積五十四步六分。北頭要闊四步，問截南頭闊若干？

答曰：「截南頭闊三步。」

法曰：置截積五十四步六分為實。以

原長一十五步六分為法，除之，得截闊三步五分，此是二廣均勻之數。加倍得七步，減去北廣四步，餘得截南廣三步是也。

又法，倍截積，得一百零九步二分為實。以原長一十五步六分為法，除之，得共截闊七步減北廣四步，餘得截南廣三步亦得。

今有直田，長一十五步，闊一十二步。今從西北《角截》。

直截句股圖

句股形一段，積三十一步五分，原坐落西邊，股長九步，問截北邊句闊若干。

答曰：「截北句，闊七步。」

法曰：置截積三十一步五分，倍之，得六十三步，以西股長九步為法，除之，得截北句闊七步。合問。

今有直田，積一千九百二十步，只云「長六十步，問闊若干？」

答曰：「闊三十二步。」

法曰：置積一千九百二十步為實，以長六十步為法除之，得闊。若是只云闊三十二步，問長若干，就以闊為法除之，即得長。

今有圭田，積二百二十五步，只云「長三十步，問闊若干？」

答曰：「闊一十五步。」

法曰：置積倍之，得四百五十步為實，以長為法除之，得闊。若云中長步數，倍積為實，以闊為法除之，即得。

以上二款，名曰「忘長失短」，與「直田截積」意同。

今有句股田，長三十步，闊一十五步。今從尖截長一十二步，問中廣若干。

勾股截積圖

答曰：「截中廣六步。」

法曰：置截長一十二步，以句闊乘之，得一百八十步為實，以股長為法除之。

又法：置句為實，以股為法除之，每股長一步，得闊五分。以乘截長亦得。

今有斜田，南廣四步，北廣十二步，長三十二步。今「從中截腰廣六步，問截南長若干？」

答曰：「截南頭長八步。」

斜田截積圖

法曰：置截中廣六步，減上廣四步，餘二步，以乘長三十二步，得六十四步為實。卻將南北二廣相減，餘八步為法，除之，即得。若截下長。

置下廣，減中廣，餘六步。以乘原長，得一百九十二步為實。以上下二廣相減，餘八步為法，除之，得截下長二十四步。《合問》。

今以前圖截下長二十四步，問截中廣若干？

答曰：「六步。」

法曰：將下廣減去上廣四步，餘八步為實。以原長三十二步為法除之，每長一步，得闊差二分五釐。就以此為法，以乘下長二十四步，得闊差六步。以減下闊一十二步，餘六步，即是中廣合問。

今有梯田，積一千五百步，北廣四十步，中長五十步，問南廣若干？

答曰：「南廣二十步。」

法曰：置積一千五百步，倍之，得三千步為實。以長五十步為法，除之，得六十步，於內減北廣四十步，餘得南廣二十步。《合問》：

原有斜田，南廣四步，北廣十步，長一十二步。今欲增作句股樣式，問股長出若干？

斜增為勾股圖

答曰：「股長出八步。」

法曰：以南廣四步乘長一十二步為實，另以二廣相減，餘六步為法，除之，得尖出股長八步。合問。

《圭求廣縱歌》。〈除《圭尖》即是梯形。〉

梯求上廣出尖長，上闊乘縱法最良，卻將上下廣相減，餘法除之免思量。

今有上圭下梯田，上廣一尺六寸，下廣一十二尺八

圭求廣縱圖

寸圭下正縱一十尺零五寸，問圭尖長若干。

答曰：「尖高長一尺五寸。」

《法》曰：「置正縱一十尺零五寸以上。」

廣一尺六寸乘之，得一十六尺八寸為實。另以下廣一十二尺八寸減上廣一尺六寸，餘一十一尺二寸為法，除之，得圭尖長一尺五寸。《合問》。

圭求下廣歌

圭田若問《梯》下廣，圭梯併長，不必想上廣乘長為實，則尖長法除，即下廣。

法曰：置圭長併梯長共一十二尺以上，廣一尺六寸乘之，得一十九尺二寸為實。以尖長一尺五寸為法，除之，得下廣一十二尺八寸合問。

圭求外梯長歌

圭田：欲問外梯長，下廣減去，上廣，良除，以圭長乘為實。上廣法除，是梯長。

法曰：以下廣一十二尺八寸，減去上廣一尺六寸，餘一十一尺二寸。以圭長一尺五寸乘之，得一十六尺八寸為實。以上廣一尺六寸除之，得梯正縱長一十尺零五寸合問。

圭求中廣歌

《圭》求中廣要思量，卻用下《廣》乘，尖長正縱，加入尖長數為法，除之中廣良。

法曰：置下廣一十二尺八寸，以尖長一尺五寸乘之，得一十九尺二寸為實。另以正縱一十尺零五寸加入尖長一尺五寸，共一十二尺為法，除之，得中廣一尺六寸。合問。

假如三角田一坵，三面各一十四步，今作三叚，俱要四角，問長闊各若干？

三角截四角圓

答曰：共積八十四步，三角各得二十八步，每角計長八步，闊七步。法曰：置每面一十四步，六因七歸，得中徑一十二步。另以每面一十四步與徑一十二步相乘，得一百六十八。

步折半，得積八十四步，為實。以三段歸之，各得二十八步。卻以每面折半，得闊七步，以歸二十八步，得四步，倍之，得中長八步。《合問》：

今有直田，長一十五步，闊一十二步。今依《闊截圭積》。

直田截圭圖

四十五步問截圭長若干？答曰：「圭長七步五分。」

法曰：置截積，倍之，得九十步為實，以闊一十二步為法，除之，即得其餘。

圭梯等截法。俱用開方列法於左：

「圭田截積」歌：〈若作三段分者，先截尖段下二段，以作《梯形截法》。〉

《圭田》截積小頭知倍積原長以乘之，原闊歸除為實積開方便見截長。宜仍以截長乘原闊，原長為法以除之，除來便見截闊數，法明簡易不須疑。

今有圭田，長七十五步，北闊三十步。今自《尖頭截積》

圭截小頭圓

四百零五步。問截長闊各若干？答曰：「長四十五步，闊一十八步。」法曰：置截積四百零五步，倍之，得八百一十步。以原長七十五步乘

之，得六萬零七百五十步，以闊三十步除之，得二千零二十五步為實，以《開平》方法除之，得截長四十五步。就以原闊三十步乘之，得一千三百五十步為實，以原長七十五步為法，除之，得截闊一十八步。《合問》：今有句股田，股長四十步，句闊二十步。今從大頭截。

勾股截積圖

積一百七十五步，問「所截長、闊各若干？」

答曰：「截下長一十步，截上廣一十五步。」

法曰：先將句股相乘，得八百，折半得積四百步。減截積一百七十五步，餘積二百二十五步，以作圭田截積小頭，知而筭之，置小頭積二百二十五步，倍作四百五十步，以原長四十步乘之，得一萬八千步，以原闊二十步除之，得九百步，為實。以《開平方法》除之，得上尖長三十步。就以此為法，以除倍積四百五十步，得截闊一十五步。另將原長減去截長三十步，餘得下長一十步。《合問》。

今又有圭田，長七十五步，北闊三十步。今自「北《闊截》。」

圭截大頭圖

積七百二十步。問截長闊各若干？答曰：「截下長三十步，闊一十八步。」

法曰：置截積七百二十步倍之，得。

一千四百四十步。以原闊三十步乘之，得四萬三千二百步為實，以原長七十五步為法，除之，得五百七十六步。再以北闊三十步自乘，得九百步，以減五百七十六步，餘三百二十四步為實，以開平方法除之，得截闊一十八步，併北廣三十步，共四十八步，折半得二十四步為法。除截積七百二十步，得截長三十步，合問。