命题XXXII 问题XXIV
假设向心力与位置离中心的距离的平方成反比，确定空间，它由直线下落的一个物体在给定的时间画出。
情形1 如果物体不竖直下落，此物体（由命题XIII系理1）画出其焦点与力的中心重合的圆锥截线。设那条圆锥截线为ARPB，其焦点为S。首先，如果图形为一个椭圆；在它的长轴AB上画半圆ADB，又直线DPC经过下落物体垂直于轴；再作DS，PS，面积ASD与面积ASP成比例，且因此亦与时间成比例。保持轴AB持续减小椭圆的宽度，则面积ASD总保持与时间成比例。那个宽度被减小以至无穷：现在轨道APB与轴AB，且焦点S与轴的端点B重合，物体在直线AC上下落，面积ABD变得与时间成比例。且因此空间AC被给定，物体由位置A竖直下落，在给定的时间画出这一空间，只要面积ABD取得与时间成比例，且由点D往直线AB上落下垂线DC。此即所求 。
情形2 如果那个图形RPB为双曲线，对同样的主直径AB画直角双曲线 （22） （hyperbola rectangula）BED；且因为面积CSP，CBfP，SPfB比面积CSD，CBED，SDEB，一个对一个，按照高度CP，CD的给定的比；又面积SPfB与时间成比例，在此期间物体P的运动经过弧PfB；面积SDEB亦与同样的时间成比例。减小双曲线RPB的通径以至无穷并保持横截径，则弧PB与直线CB，且焦点S与顶点B，以及直线SD与直线BD重合。因此，面积BDEB与时间成比例，在此期间物体C竖直下落画出直线CB。此即所求 。
情形3 由类似的论证，如果图形RPB为一条抛物线，且由同样的主顶点B画出另一条抛物线BED，它在前一抛物线，即物体P在其周线上运动的抛物线的通径减小并缩为零，曲线变为直线CB期间，总它保持给定；抛物弓形BDEB与时间成比例，在此期间那个物体P或者C落向中心S或者B。此即所求 。
命题XXXIII 定理IX
假设［以上的结果］今已求得，我说下落物体在任意位置C的速度比物体画出中心为B，间隔为BC的圆的速度，按照AC，物体离圆或者直角双曲线的那边的顶点A的距离，比图形的主半直径12AB的二分之一次比。
设两个图形RPB，DEB的公共直径AB被平分于O；并引直线PT，它切图形RPB于P，又截那条公共直径AB（必要时延长之）于T，SY与这条切线，又BQ与这条直径垂直，图形RPB的通径假设为L。由命题XVI的系理9，显然，物体在围绕中心S的曲线RPB上任意位置P的运动速度比物体围绕同一中心，画出间隔为SP的圆的速度按照矩形 L×SP比SY的正方形的二分之一次比。但由《圆锥截线 》，ACB比CPq 如同2AO比L，且因此（2CPq ×AO）/（ACB）等于L。所以那些速度彼此之比按照（CPq ×AO×SP）/（ACB）比SYquad. 的二分之一次比。再者，由《圆锥截线 》，CO比BO如同BO比TO，由合比或者分比，如同CB比BT。或者由分比，或者由合比，BO－或者+CO比BO如同CT比BT，亦即，AC比AO如同CP比BQ；且因此（CPq ×AO×SP）/（ACB）等于（BQq ×AC×SP）/（AO×BC）。现在图形RPB的宽度CP被减小以至无穷，使点P与点C，点S与点B，且直线SP与直线BC，直线SY与直线BQ重合；现在物体在直线CB上竖直下落的速度比物体画出中心为B，间隔为BC的圆的速度，按照（BQq ×AC×SP）/（AO×BC）比SYq 的二分之一次比，这就是（忽略等量之比SP比BC和BQq 比SYq ）按照AC比AO或者 AB的二分之一次比。此即所证 。
系理1 点B与S重合时，TC比TS变成如同AC比AO。
系理2 一个物体在离中心的距离给定的任意圆上运行，当它自身的运动转化为向上的运动时，将上升到两倍于它自己离中心的距离。
命题XXXIV 定理X
如果图形BED为抛物线，我说下落物体在任意位置C的速度等于一个速度，由它一个物体能均匀地画出中心为B，间隔为BC之半的圆。
因为围绕中心S画出一条抛物线RPB的一个物体在任意位置P的速度（由命题XVI系理7）等于物体围绕同一中心以间隔SP之半均匀地画出圆的速度。抛物线的宽度CP被减小以至无穷，使得抛物线弧PfB与直线CB，中心S与顶点B，以及隔SP与间隔BC重合，则命题是显然的。此即所证 。
命题XXXV 定理XI
对同样的假设，我说图形DES的面积，它由不定的半径SD画出，等于一个面积，它能由一个物体围绕中心S，在半径等于图形DES的通径之半的轨道上均匀地运行，在相同的时间画出。
因为设想一个物体C在下落中在极短的时间段画出短线Cc，且在此期间另一个物体K围绕中心S运行，在圆OKk上均匀地画出弧Kk。竖立垂线CD，cd交图形DES于D，d。连结SD，Sd，SK，Sk，并引Dd交轴AS于T，又向它［Dd］落下垂线SY。
情形1 现在如果图形DES为圆或直角双曲线，它的横截直径 （23） （transversa diameter）AS被平分于O，则SO为通径之半，又因为TC比TD如同Cc比Dd，且TD比TS如同CD比SY，由错比，TC比TS如同CD×Cc比SY×Dd。但是（由命题XXXIII系理1）TC比TS如同AC比AO，如果依点D，d会合时线段所取的最终比计算。所以AC比AO或者SK如同CD×Cc比SY×Dd。再者，下落物体在C的速度比物体以间隔SC围绕中心S画出一个圆的速度，按照AC比AO或者SK的二分之一次比（由命题XXXIII）。且这个速度比物体画出圆OKk的速度按照SK比SC的二分之一次比（由命题IV系理6），再由错比，第一个速度比最后一个速度，这就是，短线Cs比弧Kk，按照AC比SC的二分之一次比，亦即按照AC比CD之比。所以CD×Cc等于AC×Kk，且因此AC比SK如同AC×Kk比SY×Dd，由是SK×Kk等于SY×Dd，则 SK×Kk等于 SY×Dd，亦即，面积KSk等于面积SDd。所以在生成两小块面积的小部分KSk和SDd的每一时间的小部分，如果它们的大小减小且数目增加以至无穷，得到等量之比，且所以（由引理IV系理）同时生成的总面积总相等。此即所证 。
情形2 但是，如果图形DES为抛物线，如同上面发现CD×Cc比SY×Dd如同TC比TS，这就是，如同2比1，且因此 CD×Cc等于 SY×Dd。但下落物体在C的速度等于一个速度，（由命题XXXIV）以它［物体］能均匀地画出间隔为 SC的一个圆。且这个速度比一个速度，以它［物体］能画出半径为SK的一个圆，这就是，线段Cc比弧Kk（由命题IV系理6）按照SK比 SC的，亦即，按照SK比 CD的二分之一次比。所以 Sk×Kk等于 CD×Cc，且因此等于 SY×Dd，这就是，面积KSk等于面积SDd，如同上面。此即所证 。
命题XXXVI 问题XXV
一个物体从一给定的位置A下落，确定它下降的时间。
在直径AS上画半圆ADS，［AS是］物体开始时离中心的距离，围绕中心S画与这个半圆相等的半圆OKH。从物体的任意位置C竖立纵标线CD。连结SD，且作扇形OSK等于面积ASD。显然由命题XXXV，在物体下落画出空间AC的相同时间里，另一个物体围绕中心S均匀地运转，能画出弧OK。此即所作 。
命题XXXVII 问题XXVI
一个物体从一给定的位置向上或者向下抛掷，确定它上升或者下降的时间。
设物体沿直线GS以任意速度从给定位置G离去。按照这个速度比物体能围绕中心S，以给定的间隔SG在一个圆上均匀运行的速度的二次比，取GA比 AS。如果那个比是数2比1，点A无限遥远，在这种情况应画出顶点为S，轴为SG，通径任意的抛物线。由命题XXXIV这是显然的。若不然那个比小于或者大于2比1，前一种情况应为画在直径SA之上的一个圆，后一种情况为画在直径SA之上的直角双曲线。这由命题XXXIII是显然的。然后以S为中心，以等于通径之半的间隔画圆HkK，并在物体下落或者上升的位置G，及另一个任意位置C，竖立垂线GI，CD交圆锥截线或者圆于I及D。再连结SI，SD，使扇形HSK，HSk ［分别］等于弓形SEIS，SEDS，则由命题XXXV，在物体G画出空间GC的相同时间内，物体K能画出弧Kk。此即所作 。
命题XXXVIII 定理XII
假设向心力与位置离中心的高度或者距离成比例，我说［物体］下落的时间，速度，以及画出的空间分别与弧，及弧的正弦和正矢成比例。
设物体由任意位置A沿直线AS下落；且以力的中心S，间隔AS画四分之一圆AE，且CD为任意弧AD的正弦；则物体A下落，在时间AD画出空间AC，又在位置C获得速度CD。
这由命题X所证明，模式正如命题XXXII由命题XI所证明。
系理1 因此时间是相等的，在此期间一个物体从位置A下落前进到中心S，且另一环绕物体画出四分之一圆周的弧ADE。
系理2 因此所有的时间是相等的，在此期间物体无论从任何位置下落直达中心S。因为所有环绕物体的循环时间（由命题IV系理3）相等。
命题XXXIX 问题XXVII
假设任意种类的向心力，并且许可曲线图形的求积 （24） （quadratura）；需求直线上升或者下降的物体在每个位置的速度，以及时间，在此期间物体到达任意一个位置；并求逆问题。
设物体E由任意位置A在直线ADEC上下落，又由它的位置E总竖立垂线EG，与在那个位置与趋向中心C的向心力成比例：BFG为一条曲线，点G持续触及它。且在运动开始时EG与垂线AB重合，则物体在任意位置E的速度如同一条直线，它能作成曲线形的面积 （25） （quæ potest aream curvilineam）ABGE。此即所求 。
在EG上取直线EM，它能作成与面积ABGE成反比的面积，VLM为一条曲线，点M持续触及它，且它的渐近线为AB的延长；则时间，在此期间下落物体画出直线AE，如同曲线形的面积ABTVME。此即所求 。
因为在直线AE上取给定长度的极短的线DE，且当物体曾经在D时，设DLF是直线EMG的位置；然后，如果向心力，使能作成面积ABGE的直线如同下落速度：则面积自身按照速度的二次比，亦即，如果在D和E的速度被写作V和V+I，则面积ABFD如同VV，且面积ABGE如同VV+2VI+II，由分比（divisim），面积DFGE如同2VI+II，且因此（DFGE）/（DE）如同[（2VI）+（II）]/（DE），亦即，如果取初生成的量的最初比，则长度DF如同量（2VI）/（DE），因此亦如同此量之半（I×V）/（DE）。但是时间，在此期间下落物体画出短线DE，与那条短线成正比，且与速度V成反比，又，力与速度的增量I成正比且与时间成反比，且因此如果取初生成的量的最初比，如同I×VDE，这就是，如同长度DF。所以，与DF或者EG成比例的一个力使物体的以一个速度下落，它如同能作成面积ABGE的直线。此即所证 。
此外，由于时间，在此期间任意给定长度的短线DE被画出，与速度成反比，且因此反比于能作成面积ABFD的直线；又DL，且因此初生成的面积DLME，与同一直线成反比：时间如同面积DLME，且所有时间的和如同所有面积的和，这就是，（由引理IV的系理）整个时间，在此期间直线AE被画出，如同整个面积ATVME。此即所证 。
系理1 如果设P为一个位置，物体应由此下落，在某一均匀的已知的向心力（如通常假设的重力）推动下它在位置D获得的速度等于一个速度，它能由另一物体在同一位置D获得，无论它由何种力下落，且在垂线DF上取DR，它比DF如同那个均匀的力比在位置D的另一个力，再补足矩形PDRQ，并割下面积ABFD等于它；则A为另一物体下落的位置。因为补足矩形DRSE，由于面积ABFD比面积DFGE如同VV比2VI，且因此如同 V比I，亦即，如同整个速度的一半比物体由不等的力下落时速度的增量；并且类似地，面积PQRD比面积DRSE如同整个速度的一半比物体由均匀的力下落时速度的增量；且那些增量（由于在相等的时间生成）如同产生它们的力，亦即，如同纵标线DF，DR，且因此如同初生成的面积DFGE，DRSE；由错比，总面积ABFD，PQRD彼此如同整个速度的一半，由于速度相等，所以面积相等。
系理2 因此，如果任意一个物体由任意的位置D以给定的速度向上或者向下被抛射，且向心力的定律被给定，在其他任意一个位置e它的速度被发现：竖立纵标线eg，并取那个速度比在位置D的速度，如同直线，或者由它能作成矩形PQRD增加了曲线形的面积DFge，如果位置e低于位置D；或者矩形PQRD减少了曲线形的面积DFge，如果位置e高于位置D；比一条直线，由它只能作成矩形PQRD。
系理3 时间亦可由竖立与PQRD+或者－Dfge的平方根成反比的纵标线em得知，且取时间，在此期间物体画出直线De，比一段时间，在此期间另一物体由一均匀的力从P下落到达D，如同曲线形的面积DLme比矩形2PD×DL。因为时间，在此期间物体由均匀的力画出直线PD，比一段时间，在此期间同一物体画出直线PE，按照PD比PE的二分之一次比，亦即（短线DE刚刚生成）按照PD比PD+ DE或者2PD比2PD +DE，则由分比，［物体画出直线PD的时间］比一段时间，在此期间同一物体画出短线DE，如同2PD比DE，且因此如同矩形2PD×DL比面积DLME；且时间，在此期间两物体画出短线DE，比一段时间，在此期间其中一个物体以不等的运动画出直线De，如同面积DLME比面积DLme，又由错比，最初的时间比最后的时间如同矩形2PD×DL比面积DLme。