命题XLIII 问题XXX
使得一个物体能在围绕力的中心转动的任意轨道上运动，一如另一物体在相同的静止的轨道上的运动。
在位置给定的轨道VPK上，设运行的物体P由V向K前进。自中心C总引Cp，它等于CP，作角VCp与角VCP成比例；且面积，它由线Cp画出，比面积VCP，它由线CP同时画出，如同画出线Cp的速度比画出线CP的速度；这就是，如同角VCp比角VCP，且因此按照给定的比，所以与时间成比例。因为面积，它由线Cp在不动平面上画出，与时间成比例，显然一个物体，在适量向心力的作用下，能与点p一起在那条曲线上运行，曲线由同一点p以刚才说明的方式在不动平面上画出。使角VCu与角PCp，直线Cu与直线CV，且图形uCp与图形VCP相等，则总在p的物体在转动的图形uCp的边缘上运动，在它画于弧up的相同时间，另一个在静止的图形VPK上的物体P能画出相似且相等的弧VP。所以，由命题VI的系理五，向心力被找到，由它物体能在那条曲线上运行，曲线由点p在不动的平面上画出，问题得解。此即所作 。
命题XLIIV 定理XIV
力之差，由它们一个物体能在静止的轨道上，且另一物体能在相同的转动着的轨道上做相等的运动，按照它们的公共的高度的三次反比。
令静止的轨道的部分VP，PK与转动着的轨道的部分up，pk相似且相等；且点P，K［之间］的距离被假设为极小。自点k在直线pC上落下垂线kr，且延长它至m，使得mr比kr如同角VCp比角VCP。因为物体的高度PC和pC，KC和kC总相等，显然，直线PC和pC的增量或者减量总相等，且因此，如果在位置P和p的物体中的每个运动被分解为（由诸定律的系理II）两个运动，其中之一朝向［力的］中心，或者沿直线PC，pC确定，且另一横过前者，并沿与直线PC，pC垂直的方向；向着中心的运动总相等，又物体p的横向运动（motus transversus）比物体P的横向运动，如同直线pC的角运动比直线PC的角运动，亦即，如同角VCp比角VCP。所以在相同的时间，在此期间物体P由它自己的两个运动到达点K，物体p由向着中心的相等的运动同等地由p向C运动，且因此在那段时间结束时它在直线mkr上的某处被发现，它经过点k与直线pC垂直；［物体p］由横向运动获得的一段离开直线pC的距离，比另一个物体P获得的离开直线PC的距离，如同物体p的横向运动比另一个物体P的横向运动。由是，因kr等于物体P获得的离开直线PC的距离，mr比kr如同角VCp比角VCP，这就是，如同物体p的横向运动比物体P的横向运动，当那段时间结束时物体p在位置m被发现是显然的。这些事情会是如此，当物体p和P沿直线pC和PC做相等的运动，因此沿那些线推动它们的力相等。再取角pCn比角pCk如同角VCp比角VCP，又设nC等于kC，当那段时间结束时，物体p在n被发现；且因此它被推动的力大于物体P被推动的力，只要角nCp大于角kCp，亦即，如果轨道upk或者前行，或者以大于二倍直线CP被携带着前行的速度退行；如果轨道较慢地退行，则此力较小。且力之差如同位置的间隔mn，在给定的那段时间，那个物体p由力之差的作用移动应经过它。假设以C为中心，间隔Cn或者Ck画圆截直线mr，mn的延长于s和t，则矩形mn×mt等于矩形mk×ms，且因此mn等于（mk×ms）/（mt）。但是，因时间给定，三角形pCk，pCn的大小被给定，kr和mr，同样它们的差mk及和ms与高度pC成反比，且因此矩形mk×ms与高度pC的平方成反比。又mt与 mt成正比，亦即，如同高pC。这些是初生成的线的初始比；且因此（mk×ms）/（mt），亦即初生成的短线mn，以及与它成比例的力之差与高度pC的立方成反比。此即所证 。
系理1 因此，在位置P和p，或者K和k的力的差，比一个力，由它在物体P在不动的轨道上画出弧PK的相同时间能使一个物体以圆周运动从R运行到K，如同初生成的短线mn比初生成的弧RK的正矢，亦即如同（mk×ms）/（mt）比（rkq ）/（2kC），或者如同mk×ms比rk的平方；这就是，如果按照角VCP比角VCp所具有的比取给定的量F，G，如同GG－FF比FF （26） 。且所以，如果以C为中心，任意的间隔CP或者Cp画出的圆扇形等于总面积VPC，它由在不动的轨道上运行的物体P向中心引的半径在任意时间画出：力之差，由于它们物体P在一不动的轨道上运行且物体p在一运动的轨道上运行，比向心力，由它另一物体向中心引的半径在面积VPC被画出的相同时间，能均匀地画出那个扇形，如同GG－FF比FF。因为那个扇形和面积pCk的彼此之比如同它们被画出的时间。
系理2 如果轨道VPK是一个椭圆，它有焦点C和最高的拱点V；并且设椭圆upk与它相似且相等，于是pC总等于PC，且角VCp比角VCP按照G比F的给定之比；把高度PC或者pC写作A，又设椭圆的通径为2R：则力，由它一个物体能在运动的椭圆上运行，如同（FF/AA）+（RGG-RFF）/（Acub. ），且反之亦然。因为力，由它一个物体在不动的椭圆上运行，用量（FF）/（AA）表示，则在V的力是（FF）/（CVquad.） 。但是力，由它能使一个物体以在椭圆上运行的物体在V点的速度在距离为CV的圆上运行，比一个力，由它在椭圆上运行的物体在拱点V被推动，如同椭圆的通径之半比圆的半直径CV，且因此值为（RFF）/（CVcub. ）；则力，它比这个值如同GG－FF比FF，其值为（RGG-RFF）/（CVcub. ）：这个力（由本命题的系理1）是在V的力之差，由它们物体P在不动的椭圆VPK上运行，且物体p在运动的椭圆upk上运行。因为（由本命题）那个差在其他任一高度A比它自身在高度CV如同1/（Acub. ）比1/（CVcub. ），同样的差在每一高度A的值为（RGG-RFF）/（Acub. ）。所以对力（FF）/（AA），由它物体能在不动的椭圆VPK上运行，加上超出的（RGG-RFF）/（Acub. ）；则合成的总力是FF/AA+（RGG-RFF）/（Acub. ），由它物体能在相同的时间在运动的椭圆upk上运行。
系理3 由同样的方式得出，如果不动的轨道VPK是中心在力的中心C的椭圆；假设运动的椭圆upk与它相似，相等且同中心；又设2R为这个椭圆的主通径，且2T为横截径或者长轴，角VCp比角VCP总如同G比F；力，由它们物体能在相等的时间在不动的和运动的椭圆上运行，分别如同（FFA）/（Tcub. ）和（FFA）/（Tcub. ）+（RGG-RFF）/（Acub. ）。
系理4 并且一般地，如果物体的最大高度CV被称为T，且轨道VPK在V所具有的曲率半径，亦即同等弯曲的圆的半径，被称为R，且向心力，由它一个物体能在任意不动的轨道VPK上运行，在位置V被说成是（VFF）/（TT），在另一位置P被说成是不定的X，高度CP被称为A，并按照角VCp比角VCP的给定之比取G比F：则向心力，由它同一个物体能在相同的时间在有旋转运动的相同的轨道upk上完成相同的运动，如同力的和X+（VRGG-VRFF）/（Acub. ）。
系理5 所以，给定在任意不动的轨道上物体的运动，它的围绕力的中心的角运动（motus angularis）能按照给定的比增大或者减小，且因此可以找到新的不动的轨道，物体以新的向心力在其上运行。
系理6 所以，如果向位置给定的直线CV竖立长度不确定的垂线VP，且连结CP，又引Cp等于它，作角VCp，它比角VCP按照给定的比；力，由它物体能在那条曲线Vpk上运行，点p持续与曲线接触，与高度Cp的立方成反比。因为物体P，由惰性力，在没有其他力推动时，能在直线VP上均匀地前进。被加上的力趋向中心C，与高度CP或者Cp的立方成反比，且（由刚才证明过的）物体从那个直线运动被偏离为在曲线Vpk上的运动。但是这条曲线Vpk与在命题XLI系理3中所发现的那条曲线VPQ是一样的，在那里我们说物体在这种类型的力的吸引下倾斜上升。
命题XLV 问题XXXI
轨道与圆相差甚小，需求拱点的运动。
这一问题被算术地解决，作轨道，它由在运动着的椭圆（如同在上面命题中的系理2或者系理3）上运行的物体在不动的平面上画出，接近要求的拱点的轨道的形状，并寻找那个物体在不动的平面上所画轨道的拱点。但轨道获得同样的形状，如果它们被画出的向心力相互比较，在相同的高度成比例。设点V为最高的拱点，且把最大高度CV写为T，其他任意高度CP或者Cp写为A，高度差CV－CP写为X；而且力，由它一个物体在围绕自己的焦点转动的椭圆上运动（正如在系理2中），在系理2中所求的如同（FF/AA）+（RGG-RFF）/（Acub. ），亦即如同（FFA+RGG-RFF）/（Acub. ），用T－X代替A，则如同（RGG-RFF+TFF-FFX）/（Acub. ）。其他任意的向心力类似地约化为一个分数，其分母为Acub .，且其分子通过归并同类项做成类似。此事由例子说明。
例1.我们假设向心力是均匀的，因此如同（Acub. ）/（Acub. ），或者（在分子中A写作T－X）如同（Tcub. -3TTX+3TXX-Xcub. ）/（Acub. ）；再归并分子中对应的项，即已给定的与已给定的一起且未给定的与未给定的一起，成为RGG－RFF+TFF比Tcub .如同－FFX比－3TTX+3TXX－Xcub. ，或者如同－FF比－3TT+3TX－XX。现在由于轨道被假设与圆极为近似；让轨道与圆重合，则由于R，T成为相等，因此X无限减小，最终比为RGG比Tcub. 如同－FF比－3TT，或者GG比TT如同FF比3TT，又由更比GG比FF如同TT比3TT，亦即，如同1比3；因此，G比F，这就是角VCp比角VCP，如同1比√3。所以，因为在不动的椭圆上的物体，自上拱点下降到下拱点走完180度的角（据我如此说）VCP；在运动的椭圆上的另一个物体，在我们所处理的不动的轨道［面］上，自上拱点下降到下拱点走完180/（√3）度的角VCp：它如此是由于这个轨道，它由物体在均匀向心力的推动下画出，与那个轨道的接近，它由另一物体在转动的椭圆上运行时在静止的平面上画出。由上面项的归并导出这些轨道的相似性，不是普遍的，而仅在它们与圆的形状极为接近的时候。所以物体由均匀的向心力在很接近圆形的轨道上运行，在上拱点和下拱点之间总走完180/（√3）度，或者103度55分23秒的中心角；当它一次走完这个角时，它从上拱点到达下拱点，且当它再一次走完相同的角时，它由此地返回到上拱点；并如此继续以至无穷。
例2.我们假设向心力如同高度A的任意次幂An－3 或者（An ）/（A3 ）；这里n－3和n表示任意的幂指数：整数或者分数，有理数或者无理数，正数或者负数。那个分子An 或者 由我们的收敛级数方法化为不定级数，成为Tn －nXTn-1 +[（nn-n）/2]（XXTn-2 &c）。并用它的项与另一个分子的项RGG－RFF+TFF－FFX比较，成为RGG－RFF+TFF比Tn 如同－FF比－nTn-1 +[（nn-n）/2]（XTn-2 &c）。并取当轨道接近圆的形状时的最后比，得RGG比Tn 如同－FF比－nTn-1 ，或者GG比Tn-1 如同FF比nTn-1 ，又由更比，GG比FF如同Tn-1 比nTn-1 ，亦即1比n；且因此G比F，亦即角VCp比角VCP，如同1比√n。因为角VCP，在椭圆上的物体从上拱点下降到下拱点走完它，为180度；被走完的角VCp，当物体在由任意与An－3 成比例的向心力画出的很接近圆形的轨道上，由上拱点下降到下拱点时，等于180/（√n）度的角；且这个角重复时，物体由下拱点返回到上拱点，并如此继续以至无穷。如是，如果向心力如同物体离中心的距离，亦即，如同A或者A4 /A3 ，n等于4且√n等于2；且因此上拱点和下拱点之间的角等于 度或者90度。所以，物体走完一次环绕的四分之一部分，它到达下拱点，再走完另一个四分之一部分，到达上拱点，且如此交替以至无穷。它亦由命题X所证明。因为这一向心力推动物体在不动的椭圆上运行，它的中心在力的中心上。但如果向心力与距离成反比，亦即与1/A或者A2 /A3 成正比，n等于2，且因此上拱点和下拱点之间的角为180/（√2）度或者127度16分45秒，所以物体以如此的力运行，这个角持续重复，它从上拱点到达下拱点再由下拱点到达上拱点，轮流交替永无穷期。再者，如果向心力与高度的十一次幂的平方根的平方根成反比，亦即与 成反比，且因此与 成正比，或者与 成正比，n等于14且 度等于360度，所以物体自上拱点离去，并由此持续下降，当它完成整个环绕时到达下拱点，然后持续下降完成另一个完整的环绕，又返回到上拱点：且如此交替永无穷期。
至此我们论及物体在轨道上的运动，它的平面从力的中心穿过。其余的我们亦需确定物体在偏心的平面上的运动。因为从事重物运动著述的作者们，惯常考虑重物的上升与下降，既在任意给定的倾斜平面上，又在垂直方向上；且由同样的理由，在这里我们考虑在任意力的作用下，在偏心的平面上物体趋向中心的运动。但我们假设平面极为平顺且完全润滑，不迟滞物体。此外，在这些证明中，代替物体位于其上并与之相切的平面，我们利用平行于它们的平面，物体的中心在平面上运动并由运动画出轨道。且由同样的定律，我们随后确定物体在曲面上完成的运动。