命题XI 定理VIII
如果一个物体所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比，且只由其固有的力在类似的介质中运动；而且时间被取作一算术级数，与速度成反比的量增加一给定的量成一几何级数。
以中心C，直角渐近线CADd和CH画双曲线BEe，且AB，DE，de平行于渐近线CH。在渐近线CD上点A，G被给定。且如果时间用均匀地增加的双曲线的面积ABED表示；我说，速度能用长度DF表示，它的倒数GD与给定的CG一起构成按几何级数增长的长度CD。
因为设小面积DEed是给定的极小的时间增量，则Dd与DE成反比且因此与CD成正比。所以1/（GD）的减量，它（由本卷引理II）是（Dd）/（GDq ），如同（CD）/（GDq ）或者（CG+GD）/（GDq ），亦即，如同1/（GD）+（CG）/（GDq ）。所以，当时间ABED由给定的小部分EDed相加均匀地增长，1/（GD）按照与速度相同的比减小。因为速度的减量如同阻力，这就是（由假设）如同两个量的和，其中的一个如同速度，另一个如同速度的平方；又1/（GD）的减量如同量1/（GD）及量（CG）/（GDq ）的和，其中前者是1/（GD）自己，且后者（CG）/（GDq ）如同1/（GD）q ：因此1/（GD），由于减量的相似（analogus），如同速度。且如果量GD，它与1/（GD）成反比，增加给定的量CG；它们的和CD，在时间ABED均匀地增加时，按几何级数增大。此即所证 。
系理1 所以，如果点A和G给定，时间由双曲线的面积ABED表示，则速度能用GD的倒数1/（GD）表示。
系理2 且取GA比GD如同在开始时速度的倒数比在任意时间ABED结束时速度的倒数，点G将被发现。当它被发现，由其他任意给定的时间能发现速度。
命题XII 定理IX
对同样的假设，我说，如果［物体］所画出的空间被取作一算术级数，速度增加一给定的量成为一几何级数。
设在渐近线CD上点R被给定，且竖立垂线RS，它交双曲线于S，画出的空间用双曲线的面积RSED表示；又速度如同长度GD，它与给定的CG一起构成的长度按照几何级数减小，在此期间空间RSED按照算术级数增大。
因为，由于空间的减量EDde被给定，短线Dd，它是GD自身的减量，与ED成反比，且因此与CD成正比，这就是，如同同一个GD和给定的长度CG的和。但是速度的减量，在与它成反比的时间，且在此期间给定的空间的小部分DdeE被画出，如同阻力和时间的联合，亦即，与两个量的和成正比，其中一个如同速度，另一个如同速度的平方，且与速度成反比；且因此与两个量的和成正比，其中一个被给定，另一个如同速度。所以速度的减量以及直线GD的减量，如同一个给定量和一个减小的量的联合；且因为减量相似，减小的量总相似；即是速度和［直］线GD相似。此即所证 。
系理1 如果速度由长度GD表示，物体画出的空间如同双曲线的面积DESR。
系理2 且如果任意假设点R，通过取GR比GD，如同开始时的速度比画出任意的空间RSED后的速度，发现点G。发现点G后，由给定的速度空间被给定，且反之亦然。
系理3 因此，由于（命题XI）由给定的时间速度被给定，又由本命题由给定的速度空间被给定；从给定的时间，空间将被给定。且反之亦然。
命题XIII 定理X
假设一个物体由向下的均匀的重力吸引而直线上升或下降；并且它所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比：我说，如果过共轭直径的端点引一个圆的和一条双曲线的直径的平行直线，又速度如同自一个给定的点所引的那些平行线的截段；则时间如同扇形的面积，它被自中心向截段的端点所引的直线割下；且反之亦然。
情形1 首先我们假设物体上升，且以中心D和任意的半直径DB画四分之一圆BETF，又过半直径DB的端点作无穷的［直线］BAP平行于半直径DF。在其上点A被给定，且截段AP被取得与速度成比例。又由于阻力的一部分如同速度且另一部分如同速度的平方；总的阻力如同APquad. +2BAP。连结DA，DP截圆于E和T，且重力由DAquad. 表示，这样重力比阻力如同DAq 比APq +2BAP：则上升的总时间如同圆扇形EDT。
因为引DVQ，割下速度AP的瞬PQ，和扇形DET的瞬DTV，它对应于时间的一个给定的瞬；又速度的那个减量PQ如同重力DAq 以及阻力APq +2BAP的和，亦即（由《几何原本 》卷2命题12）如同DPquad. 。所以面积DPQ，它与PQ成比例，如同DPquad. ，且面积DTV，它比面积DPQ如同DTq 比DPq ，如同给定的DTq 。所以通过减去给定的小部分DTV，面积随着将来的时间的瞬均匀地减小，且所以与上升的整个时间成比例。此即所证 。
情形2 如果速度在物体上升中用长度AP表示，如同上面，且阻力被假设为如同APq +2BAP，且如果重力小于能由DAq 表示的，取BD，它的长度使得ABq -BDq 与重力成比例，又DF垂直且等于DB，且过顶点F画双曲线FTVE，它的共轭半直径为DB和DF，且它截DA于E，又截DP，DQ于T和V；则上升的总时间如同双曲线扇形TDE。
因为在给定的时间的小部分产生的速度的减量PQ，如同阻力APq +2BAP以及重力ABq -BDq 的和，亦即，如同BPq -BDq 。但是面积DTV比面积DPQ如同DTq 比DPq ；且因此，如果向DF落下垂线GT，如同GTq 或者GDq -DFq 比BDq ，且如同GDq 比BPq ，又由分比，如同DFq 比BPq -BDq 。所以，由于面积DPQ如同PQ，亦即，如同BPq -BDq ；面积DTV如同给定的DFq 。所以在每一相等的时间的小部分，由减去相同数目的给定的小部分DTV，面积EDT均匀地减小，且所以与时间成比例。此即所证 。
情形3 设AP为物体在下落时的速度，且APq +2BAP为阻力，又BDq -ABq 为重力，角DBA为一个直角。且如果以中心D，主顶点B，画直角双曲线BETV截延长的DA，DP和DQ于E，T和V；则这个双曲线扇形DET如同下落的整个时间。
由于速度的增量PQ，且与它成比例面积的DPQ，如同重力对阻力的超出，亦即，如同BDq -ABq -2BAP-APq 或者BDq -BPq 。又面积DTV比面积DPQ如同DTq 比DPq ，且因此如同GTq 或者GDq -BDq 比BPq ，又如同GDq 比BDq ，再由分比，如同BDq 比BDq -BPq 。所以，由于面积DPQ如同BDq -BPq ，面积DTV将如同给定的BDq 。所以在每一相等的时间的小部分，由加上数目相同的给定的小部分DTV，面积DET均匀地增加，且所以与下落的时间成比例。此即所证 。
系理 如果以中心D和半直径DA，过顶点A画相似于弧ET的弧At，且类似地对着角ADT：速度Ap比一个速度，物体经时间EDT在无阻力的空间能在上升中失去它或者在下落中获得它，如同三角形DAP的面积比扇形DAt的面积；且因此由给定的时间而被给定。因为速度，在无阻力介质中与时间，且因此与这个扇形成比例；在阻力介质中［速度］如同三角形；且在两种介质中，当速度极小，它接近等量之比，正如扇形和三角形的表现。
解释
在物体上升时，此种情形亦被证明：当重力小于能由DAq 或者ABq +BDq 所表示的，以及大于能由ABq -BDq 所表示的，因而必须用ABq 表示。但是我急于转向其他问题。
命题XIV 定理XI
对同样的假设，我说，上升或者下降所画出的空间，如同表示时间的面积与另一以算术级数增加或者减小的面积的差；如果由阻力和重力合成的力被取作几何级数。
解释
球形物体在流体中的阻力部分来源于黏性，部分来源于摩擦，且部分来源于介质的密度。且阻力的那个部分，它来源于流体的密度，我们说它按照速度的二次比；另一部分，它来源于流体的黏性，是均匀的，或者如同时间的瞬；且因此现在可以进而论及物体的运动，它所受阻碍部分地为均匀的力或者按照时间的瞬的比，且部分地按照速度的二次比。在前面的命题VIII和IX，以及它们的系理中，对打开这一主题的探究之路已很充分。因在那些命题中，对上升物体的均匀阻力，它来源于它的重力，能用来源于介质的黏性的均匀阻力代替，当物体仅由其自身固有的力（vis insita）运动时；在物体直线上升时，可能重力要加上这个均匀阻力；在物体直线下落时，减去它。而且可以进而论及物体的运动，其所受的阻碍部分是均匀的力，部分按照速度之比，且部分按照速度的二次比。且我已在前面的命题XIII和XIV中开辟了道路，其中来源于介质的黏性的均匀阻力能代替重力，或者如上面那样与它复合。但我急于其它问题。