研究哲学的规则

在前面的两卷中，我已陈述了［自然］哲学的原理，然而它们不是哲学的而只是数学的，即是，在哲学之事的讨论中能以此作为基础。这些原理是运动的和力的定律及条件，它们主要是关于［自然］哲学的。为了不使这些原则看起来空洞无物，我用一些［自然］哲学解释对它们加以说明，处理的论题是普遍的并且看起来［自然］哲学亟应建立在其上，如物质的密度和阻力，没有物体的空间，以及光的和声音的运动。下面，由相同的原理，我们证明宇宙的系统的构造。关于这个论题我曾以通俗的方式写成第三卷，使得它能被更多的人阅读。但那些没有充分理解这里建立的原理的人，一定不会感受结论的力量，他们也不会抛弃偏见，对此多年来他们已经习惯；所以，为了不引起争论，我把那一卷的内容以数学的风格改为命题，使得它只能被那些掌握前两卷所建立的原理的人阅读。但因为那里有很多命题出现，即使对于精通数学的读者也要用去很多时间，作者不愿建议任何人研究每一个命题，只要仔细地阅读定义，运动的定律和第一卷的前三部分，然后转到本卷《论宇宙的系统 》，而且可随意查阅这里所引用的前两卷的其他命题。

规则 I

对自然事物的原因的承认，不应比那些真实并足以解释它们的现象的为多。

哲学家如是说：自然绝不为无用之事，且在较少即成时，多则无用。因为自然是简单（simplex）的且不沉迷于过多的原因。

规则 II

且因此，对同类的自然效果，应尽可能归之于相同的原因。

例如对人和动物的呼吸；石头在欧洲和在美洲的下落；灶火的光和太阳的光；光在地球上和在行星上的反射。

规则 III

物体的性质，它们既不能被增强又不能被减弱，并且属于所能做的实验中所有物体的，应被认为是物体的普遍性质。

因为物体的性质不能被知道，除非通过实验，且因此普遍的性质是任何与实验普遍地符合的性质；且它们不能被减小亦不能被除去。无疑我们不应轻率地产生反对实验证据的臆想，亦不应该离开自然的相似性，由于她习惯于单纯且其自身总是和谐的。我们不能知道物体的广延，除非通过我们的感觉，并非所有的广延都能被感觉到，但由于广延在所有能感觉到的物体中被发现，它被普遍地归之于所有的物体。由经验，许多物体是坚硬的。又由于整个物体的坚硬来源于其部分的坚硬，我们合理地断言不仅被我们感觉到的物体，而且所有其他物体的不可分的小部分的坚硬性。我们不是由理性而是由感觉推断出所有物体是不可入的。那些我们触到的物体被发现是不可入的。且由此我们得出不可入性是所有物体的一个普遍性质。所有物体是可运动的，且物体在运动或者静止是被某种力（我们称它为惰性力）保持，这从我们看到的物体所发现的性质推断出来。整个物体的广延性、坚硬性、不可入性，可运动性和惰性力起源于部分的广泛性，坚硬性、不可入性、可运动性和惰性力；且由此我们得出结论：所有物体的每一最小的部分是广延的、坚硬的、不可入的，可运动的且具有惰性力。且这是整个哲学的基础。此外，从现象我们得知，物体已被分割但邻接在一起的部分能彼此分开，且由数学，未被分割的部分一定能由理性区分为更小的部分。但是，那些被区分而未被分割的部分能否由自然界的力分割并彼此分开，未可预定。但是如果单独一个实验能确定在粉碎一个坚硬和结实的物体时，任意未被分割的小部分能被分割，由这条规则的力量，我们推断出不仅被分割的部分是可分离的，而且未被分割的部分能被分割，以至无穷。

最后，如果由实验和天文观测普遍地确立，地球附近所有的物体有向着地球的重力，且它与每个物体的物质的量成正比，又月球向着地球有与其自身的物质的量成比例的重力；另一方面，我们的海洋亦有向着月球的重力，再者所有的行星彼此有重力，此外彗星有向着太阳的类似的重力：由这个规则必须承认所有物体普遍有朝着彼此的重力。的确，来自现象的证据对于普遍的重力比对物体的不可入性更为有力；对于它［不可入性］，在天体的情形，我们既没有实验，也全然没有观测。然而，我绝不断言重力对物体是本质的（essentialis）。通过固有的力我仅指惰性力。这是不变的。当物体退离地球时，重力被减小。

规则 IV

在实验哲学中，由现象通过归纳推得的命题，在其他现象使这些命题更为精确或者出现例外之前，不管相反的假设，应被认为是完全真实的，或者是非常接近于真实的。

应遵从这条规则，使得归纳论证不被假设消除。

天象

天象 I

诸环木行星 （43） （Planetas circumjoviales），向木星的中心引半径，画出的面积与时间成比例，且它们的循环时间，恒星静止不动，按照它们离同一个中心的距离的二分之三次比。

这由天文观测确立，这些行星的轨道与木星的同心圆之差感觉不到，且发现在这些圆上它们的运动是均匀的。天文学家一致承认它们的循环时间按照它们的轨道的半直径的二分之三次比；且由下表这是显然的。

木星的卫星的循环时间

1d .18h .27′.34″

3d .13h .13′.42″

7d .3h .42′.36″

16d .16h .32′.9″

利用最好的测微仪，庞德 先生以如下方式确定木星的卫星的角距和木星的直径。第四颗卫星离木星的中心的最大的日心角距，用带测微仪的15呎长的一架望远镜，且在木星离地球的平均距离上得出约为8′.16″。第三颗卫星的最大的角距，用带测微仪的123呎长的一架望远镜，且在木星离地球的相同的距离上得出为4′.42″。其余卫星的最大的角距，在木星离地球的相同的距离上，从循环时间得出为2′.56″.47和1′.51″.6。

用带测微仪的123呎长的一架望远镜测量木星的直径多次，且约化为木星离太阳或者地球的平均距离时，得到的总小于40″，但从不小于38″，大多为39″。在较短的望远镜中，这个直径为40″或者41″。因木星的光由于其不等的折射性而略有扩张，且这一扩张比木星的直径所具有的比，在长而完善的望远镜中小于在短而较不完善的望远镜中的比。木星的第一和第三两颗卫星穿过木星的本体 （44） ，从它们开始进入到它们开始离开的时间，以及从完全进入到完全离开的时间，借助同样长的望远镜被观测到。且木星的直径，在它离地球的平均距离上，由第一颗卫星的穿过得到为 ″，又由第三颗卫星的穿过得到为 ″。木星的第一颗卫星的阴影穿过木星的本体的时间，亦被观测到了，且由此得出木星的直径在它离地球的平均距离上约为37″。我们假设它的直径很接近 ″；则第一、第二、第三和第四颗卫星的最大的角距分别等于5.965、9.494、15.141和26.63个木星的半直径。

天象 II

诸环土行星 （45） （Planetas circumsaturnios），向土星的中心引半径，画出的面积与时间成比例，且他们的循环时间，恒星静止不动，按照它们离同一个中心的距离的二分之三次比。

的确，卡西尼 从他自己的观测如此确定它们离土星中心的距离以及循环时间。

土星的卫星的循环时间

1d .21h .18′.27″2d .17h .41′.22″4d .12h .25′.12″15d .22h .41′.14″79d .7h .48′.00″

按照[土星]环的半直径，卫星离土星中心的距离

由观测推得第四颗卫星离土星的中心的最大的角距常常很接近八个［土星环的］半直径。但这颗卫星离土星中心的最大的角距，由惠更斯 的123呎长的望远镜确定，它带有极好的测微仪，得到八又十分之七个［土星环的］半直径。且由这个观测和循环时间，卫星离土星的中心的距离按照环的半直径为2.1、2.69、3.75、8.7 和25.35。在同一望远镜中，土星的直径比环的直径如同3比7，又在1719年5月28日和29日得到环的直径为43″。且由此环的直径在土星离地球的平均距离上为42″，土星的直径为18″。在最长和最好的望远镜中，这些结果就是如此，因为在较长的望远镜中看到的天体的视大小与在那些物体边缘光的扩张的比大于在较短的望远镜中看到的。如果舍弃所有散乱的光，被保留的土星的直径不大于16″。

天象 III

五个一等行星：水星、金星、火星、木星和土星以自己的轨道围绕太阳。

水星和金星围绕太阳运行，由它们有与月球类似的相而被证明。当这些行星浑圆闪烁时，它们位于太阳以外；当半圆时，位于太阳的一侧；月牙状时，位于太阳这边，有时它们像斑点一样穿过太阳的圆盘。从火星接近与太阳合时的浑圆，以及在与太阳成九十度时的凸圆形状，无疑它环绕太阳。木星和土星总是浑圆的相，对他们同样的事情被证明；从它们的卫星投射在它们上面的阴影，它们以借自太阳的光闪烁是显然的。

天象 IV

五个一等行星，以及或者太阳环绕地球或者地球环绕太阳的循环时间，恒星静止不动，按照它们离太阳的平均距离的二分之三次比。

这个由开普勒 发现的比已被所有的人接受。事实上，无论太阳环绕地球，还是地球环绕太阳，循环时间是相同的，轨道的尺寸也是相同的。关于循环时间的测量在天文学家中间是普遍同意的。但是在所有天文学家中，开普勒 和布利奥 是从观测确定轨道大小的最勤奋者，且平均距离，它们与循环时间对应，与这两个人发现的距离相差不明显，且大多位于它们之间，如从下表可以看出 （46） 。

关于水星和金星离太阳的距离，由于这些距离是通过它们离太阳的距角确定的，现在已无争议之处。关于更靠上的行星离太阳的距离的争议，已被利用木星的卫星的食所消除。因为由那些食，木星投射的阴影的位置被确定，且这给出木星的日心经度。再由日心经度和地心经度的相互比较，木星的距离被确定。

天象 V

诸一等行星，向地球引半径，画出的面积绝不与时间成比例；但向太阳引半径，画出的面积与经过的时间成比例。

因为相对于地球，它们有时顺行，有时停留，有时甚至逆行；但相对于太阳它们总是顺行，且以几乎是均匀的运动，但在近日点稍微迅速，在远日点稍微迟缓，且如此画出的面积是相等的。这是天文学家最为熟悉的一个命题，且尤其是对木星由卫星的食而作出的证明，我们说过，通过这些食这颗行星的日心经度和它离太阳的距离被确定。

天象 VI

月球，向地球的中心引半径，画出的面积与时间成比例。

从月球的视运动与它的视直径的比较这是显然的。事实上，月球的运动受到太阳的力的些微摄动，但感觉不到丝毫的误差，在述说这一天象时，我略而不论。

命题

命题I 定理I

力，由它们诸环木行星不断地被拉离直线运动并被保持在自己的轨道上，向着木星的中心，且与它们的位置离同一中心的距离的平方成反比。

这个命题的前一部分由天象一以及第一卷中的命题二或者命题三是显然的；且后一部分由天象一以及同一卷中的命题四系理六是显然的。

对于行星，它们伴随土星，由天象二能理解同样的事情。

命题II 定理II

力，由它们诸一等行星不断地被拉离直线运动并被保持在自己的轨道上，向着太阳，并且与它们离太阳的中心的距离的平方成反比。

这个命题的前一部分由天象五以及第一卷中的命题二是显然的；且后一部分由天象四以及同一卷中的命题四是显然的。但命题的这个部分由远日点的静止而以极大的精确性被证明。因为对二次比的一个极小的偏离（由第I卷命题XLV系理1），必然引起拱点在每次运行中的显著运动，在多次运行中这一运动应是巨大的。

命题III 定理III

力，由它月球被保持在自己的轨道上，向着地球，且与它的位置离地球中心的距离的平方成反比。

这个命题的前一部分由天象六以及第一卷命题二或者命题三是显然的；且后一部分是由于月球的远地点的极缓慢的运动。因为这项运动，在每次运行中仅前行三度又三分，可以忽视。因为（由第I卷命题XLV系理1）如果月球离地球中心的距离比地球的半直径如同D∶1；力，由它如此的运动能被引起，与 成反比是显然的，亦即，与D的指数为 的幂成反比，这就是，按照距离的略大于二次的一个反比，但接近二次的程度比接近三次的程度大 倍。但这项运动起源于太阳的作用（正如后面要证明的），且所以在这里可以忽略。太阳的作用，就它拖拉月球离开地球而言，很近似地如同月球离地球的距离；且因此（由在第I卷命题XLV系理2中所证明的）比月球的向心力近似地如同2比357.45或者1比 。且如果太阳的如此小的力被忽略，剩余的力，由它月球被保留在轨道上，与D2 成反比。通过比较这个力与重力，这将会被更充分地证明，正如下一个命题所做的。

系理 如果平均的向心力，由它月球被保持在它的轨道上，先按照 比 之比增大，其次再按照地球的半直径比月球的中心离地球中心的平均距离的二次比增大：则得到在地球表面上月球的向心力，假设那个力降至地球表面时，持续按照高度的二次反比增大。

命题IV 定理IV

月球向着地球有重量，且由重力它持续被拉离直线运动，并被保持在她自己的轨道上。

月球在朔望时离地球的平均距离，按照托勒密和大多数天文学家，是59个地球的半直径，按照文德林和惠更斯 是60，按照哥白尼是 ，按照斯特里特是 ，按照第谷是 。然而第谷以及所有遵循他的折射表的人，指定太阳和月球的折光差（与光的性质全然不合）大于恒星的折光差，这大约为四分或者五分，月球的视差被增大了相同的度数，这就是，大约增大了整个视差的十二分之一或者十五分之一。这些误差被修正后，则距离成为大约 个地球的半直径，这接近其他人指定的值。我们假定［月球］在朔望时的平均距离为六十个地球的半直径；且相对于恒星月球在27天7小时43分钟完成一次循环，正如已由天文学家所确立的；且地球的周长，按法兰西 人测量所确定的，为123249600巴黎 呎；再者如果想象月球的整个运动被夺去且它离开，使得它受到那整个力的推动，由它（依命题III的系理）月球被保持在自己的轨道上，落向地球；在一分钟的时间，下落画出 巴黎 呎。这由计算得到，或者用第一卷命题XXXVI，或者（这得出同样的结果）用同一卷中的命题四引理九完成。因为那个弧，它由月球在一分钟的时间，由其平均运动在六十个地球的半直径的距离画出，其正矢约为 巴黎 呎，或者更精确些，15呎1吋又 吩。因此，由于那个力靠近地球时按照距离的二次反比增大，且所以在地球的表面上比在月球上大60×60倍；一个物体以那个力在我们的区域下落，在一分钟的时间应画出60×60× 巴黎 呎，在一秒钟的时间画出 呎，或者更精确些15呎1吋又 吩。且重物的确以相同的力向地球下落。因为一个摆，在巴黎 城的纬度，按每秒钟振动，其长度为三巴黎 呎又 吩，如惠更斯 观察到的。且高度，它由重物下落在一秒钟的时间画出，比这个摆的长度的一半，按照一个圆的圆周比它的直径的二次比（正如也是由惠更斯 指出的），且因此为15巴黎 呎1吋又 吩。所以，力，由它月球被保持在自己的轨道上，如果降至地球的表面，变成等于我们面前的重力，且因此（由规则I和II）那个力自身正是我们通常所说的重力。因为如果重力与它不同，奔向地球的物体由两个力的联合以加倍的速度下降，且在一秒钟的时间下落画出 巴黎 呎：这与实验完全不符合。

这一计算建立在地球是静止的假设之上。因为如果地球和月球围绕太阳运动，且同时也围绕它们的重力的公共中心运行；重力的定律被保持，月球的和地球的中心彼此相距约 个地球的半直径；正如进行计算所揭示的。且可用第I卷命题LX进行计算。

解释

这一命题的证明可以更详细地解释如下。如果许多月球围绕地球运行，如同在土星的或者木星的系统中那样；它们的循环时间（由归纳论证）遵循由开普勒 对行星所发现的定律，且所以由本卷的命题I，它们的向心力与离地球的中心的距离的平方成反比。且如果它们中最低的一个月球较小，且几乎触到最高山的山顶；其向心力，由它被保留在轨道上，很接近地等于（由前面的计算）在那些山顶上的物体的重力，且如果同一小月球在其轨道中前进的所有运动被夺去，这引起离心力的缺失，由它小月球被保持在轨道上，它落向地球，且速度与重物在那些山顶上下落的速度相同，因为使它们下降的力相同。且如果那个力，由它最低的那个小月球下降，不同于重力；又那个小月球按在山顶上的物体的方式有向着地球的重量：同一个小月球受到两个力的联合作用，以两倍的速度下降。所以，由于两种力，即这些重物的［重力］，和那些小月球的［向心力］，向着地球的中心，且彼此相似又相等，它们有（由规则I和II）相同的原因。且所以那个力，由它月球被保持在自己的轨道上，正是我们通常所说的重力；如果若不是如此，山顶上的小月球或者没有重力，或者以二倍于通常物体下落的速度下落。

命题V 定理V

诸环木行星向着木星有重量，诸环土行星向着土星有重量，诸环日行星向着太阳有重量；由于自身的重力行星总被从直线运动上拉离，并被保持在曲线的轨道上。

因为环木行星围绕木星运行，环土行星围绕土星运行，且水星和金星以及其他环日行星围绕太阳运行，与月球围绕地球运行是同类现象；且所以（由规则II）依赖同类的原因；特别地由于已经证明，力，那些运行依赖它们，向着木星的、土星的和太阳的中心，且从木星、土星和太阳退离时减小的比和定律，与从地球退离时重力减小的比和定律相同。

系理1 所以，向着所有行星的重力被给定。因为金星、水星和其余的行星与木星和土星无疑是同一种类的物体。又由运动的第三定律，所有的吸引是相互的，木星向着它的所有的卫星，土星向着它的所有的卫星，地球向着月球，且太阳向着所有的一等行星有重量。

系理2 重力，它向着每一颗行星，且与位置离行星的中心的距离的平方成反比。

系理3 由系理1和系理2，所有行星相互有重量。且因此木星和土星接近会合时相互牵引，显著地摄动彼此的运动，太阳摄动月球的运动，太阳和月球摄动我们的海洋，正如随后所解释的。

解释

到目前为止，那个力，由它天体被保持在自己的轨道上，我们称之为向心力。现在很清楚它与重力是相同的，且因此以后我们称之为重力。因为那个向心力的原因，由此力月球被保持在轨道上，由规则I、II和IV，应扩展到所有的行星。

命题VI 定理VI

所有物体向着每一颗行星有重量，且向着同一颗行星的重量，在离行星的中心相等的距离上，与每一个物体所含的物质的量成比例。

其他人久已观察到，所有的重物［从同一高度］向地球下落（至少除去不相等的迟滞，它起源于空气的很小的阻力）在相等的时间发生；且用摆能以极高的精确性确定时间的相等性。我曾试验过的物品有金、银、铅、玻璃、沙、食盐、木头、水、小麦。我得到两个圆形且相等的小盒。一个塞满木头，且在另一个的振动中心（我尽可能地精确）悬挂相同重量的金。小盒由相等的十一呎长的线悬挂，使制成的摆，其重量、形状和［遇到的］空气的阻力完全相同：则同等的振动，处于并排的位置，同时向前和向后很长时间。因此在金中的物质的量（由第II卷命题XXIV系理1和6）比在木头中的物质的量，如同作用在整个金上的引起运动的力比作用在整个木头上的相同的作用；这就是，如同金的重量比木头的重量。对其余的物质亦是如此。重量相同的物体，质量相差即使小于总质量的千分之一，在这些实验中我也能清楚地察觉到。现在，重力朝向行星的特性与朝向地球的特性是相同的，已无可怀疑。想象这个地球上的物体升高直到月球的轨道，且与月球一起被夺去所有运动并放开，于是一起向地球下落；则由刚才所证明的，无疑它们在相等的时间画出的空间与月球画出的相等，且所以，它们比在月球中的物质的量，如同它们自身的重量比月球自身的重量。此外，因为木星的卫星的运行时间按照它们离木星中心的距离的二分之三次比，它们向着木星的加速重力与离木星中心的距离的平方成反比；且因此在离木星的距离相等的地方，它们的加速重力成为相等。所以，自相等的高度［向木星］下落，在相等的时间画出相等的空间；正如重物在我们地球上所发生的。由同样的论证，环日行星，在离太阳相等的距离处放开，它们向太阳下落，在相等的时间画出相等的空间。且力，由它们不相等的物体被同等地加速，如同物体；这就是，［行星朝向太阳的］重量如同行星的物质的量。此外，由第I卷命题XLV系理3，土星和它的卫星向着太阳的重量与它们的物质的量成比例，由卫星的极规则的运动这是显然的。因为如果这些星体中的某几个受到向着太阳的牵引与其余的所受到的相比，大于按照它们的物质的量的比例；卫星的运动（由第I卷命题LXV系理2）由于吸引的不等性而被摄动。如果在离太阳等距的地方，某颗卫星向着太阳依其自身的物质的量，按照任意给定的比，设为d比e，较木星依其自身的物质的量更重；太阳的中心和卫星的轨道的中心之间的距离总大于太阳的中心和木星的中心之间的距离，且很近似地按照那个比的二分之一次方；正如过去我由计算发现的。且如果卫星按照那个比d比e向着太阳较轻，则卫星的轨道的中心离太阳的距离按照那个比的二分之一次方小于木星的中心离太阳的距离。且因此，如果离太阳的距离相等，任何一颗卫星向着太阳的加速重力仅以总重力的千分之一大于或者小于木星向着太阳的加速重力，则卫星的轨道的中心离太阳的距离以整个距离的 ，亦即，最外面的卫星离木星的距离的五分之一大于或者小于木星离太阳的距离：轨道的这个偏心率是非常显著的。但卫星的轨道与木星是同心的，且所以木星和［它的］卫星向着太阳的加速重力彼此相等。又由同样的论证，土星及它的伴侣向着太阳的重量，在离太阳相等的距离，如同它们各自的物质的量；月球和地球向着太阳的重量或者没有，或者精确地与它们的物质成比例。但由命题V系理1和3，它们有重量。

再者，每颗行星的各个部分向着其他任一颗行星的重量彼此之间如同在各个部分中的物质。因为，如果某个部分的重力大于，另一部分小于按物质的量的比：则整个行星的重力，按照在其中最丰富的部分的种类，大于或者小于按照整个物质的量的重力。但与那些部分靠外或者靠里没有关系。因为，例如，若想象大地上的物体，它们在我们的周围，并被升高到月球的轨道上，且与月球的本体相比；如果这些物体的重量比月球外面部分的重量如同在它们中的物质的量，但比里面部分的重量按照一个较大或者较小的比，则这些重量比整个月球的重量按照较大或者较小的一个比，这与以上所证明的矛盾。

系理1 因此，物体的重量与它们的形态和结构（textura）无关。因为如果重量能随形态变化；对相等的质量，它们按照形态的不同或者较大或者轻小：这与经验完全不合。

系理2 在地球周围的所有物体，有向着地球的重力；且所有物体的重量，在离地球的中心距离相等的地方，与它们的物质的量成比例。这是能做的实验中所有物体的性质，且所以由规则III，对所有物体普遍地成立。如果以太或者其他任何物体，无论它们完全离弃重力，或者所受的重力小于按照其物质的量的比，因为它（由亚里士多德 、笛卡儿 和其他人的意见）除了物质的形态，与其他物体没有差别，它能通过形态的逐步变化变成一个物体，这个物体与那些按照物质的量重力最大的物体的条件相同，且反之，重力最大的物体，逐步呈现那个物体的形态，能逐步失去自身的重力。且由此重量与物体的形态有关且随形态改变，与在上面的系理中所证明的矛盾。

系理3 不是所有的空间都被同等地充满。因为如果所有空间都被同等地充满，空气的区域被流体充满，则流体的比重，因为其物质的极大的密度，不小于水银的或者金的，或者其他任意密度极大的物体的比重，且所以金以及其他任意物体不能在空气中下降。因为物体在流体中绝不下降，除非比重较大。因为如果在给定空间中物质的量能由于任意稀薄作用而减小，它为何不能无限地减小呢？

系理4 如果任何物体的所有坚固的小部分都有同样的密度，并且在没有小孔时不能变得稀薄，则必存在真空。当物体的惰性力如同它们的大小时，我说它们的密度是相同的。

系理5 重力是一种与磁力不同种类的力。因为磁的吸引并不如同被吸引的物质［的量］。有的物体受磁体的牵引强些，一些较弱，许多根本不受牵引。且在同一物体中的磁力可被增大或者减小，再者有时按照物质的量远大于重力，又在退离磁体时，磁力的减小不按照距离的二次比，而几乎按照三次比，这是就我从一些粗略的观察所能断定的。

命题VII 定理VII

向着所有物体存在重力，重力与在每个物体中的物质的量成比例。

前面我们已经证明所有行星相互之间是重的，且向着任意一颗行星的重力，分开考虑，与位置离此行星的中心的距离的平方成反比。且因此结论是（由第I卷命题LXIX及其系理），向着所有行星的重力与在它们中的物质的量成比例。

此外，由于任意行星A的所有部分向着任意行星B是重的，且每一部分的重力比总的重力，如同部分的物质比总的物质，而且因为每一作用（由运动的第三定律）有一相等的反作用；另一方面，行星B向着行星A的所有部分亦有重力，且他向着任一部分的重力比他向着整个行星的重力，如同部分的物质比总的物质。此即所证 。

系理1 所以，向着整个行星的重力起源于，并由向着其各个部分的重力组成。对磁和电的吸引我们有这种例子。因为向着一个整体的吸引起源于向着每个部分的吸引。在重力的情形，这通过想象几个较小的行星聚合成一个球并构成较大的行星而被理解。因为整个力应来源于其组成部分的力。若有反对，因为由这一定律，我们周围的所有物体相互应有重力作用，而这类重力无法被感觉到，我的回答是：朝向这些物体的重力，由于它们比朝向整个地球的重力如同这些物体比整个地球，远远不能被感觉到。

系理2 向着一个物体的每一个相等的小部分的重力与位置离小部分的距离的平方成反比。这由第I卷命题LXXIV系理3是显然的。

命题VIII 定理VIII

如果两个球互相有重力作用，它们的物质在离球的中心距离相等的区域上到处是同一的：则任一球相对于另一球的重量与它们中心之间的距离的平方成反比。

在我发现向着整个行星的重力起源于且由向着部分的重力组成，以及向着每一部分的重力与离开部分的距离的平方成反比之后，我仍怀疑二次反比在由一些力合成的总力中是能准确地得到，或是只是近似地如此。因为在大的距离上充分精确地得到的比，在靠近行星的表面，由于小部分的距离的不相等及位置的不相似而显著地偏离此比是可能发生的。然而由第一卷命题LXXV和LXXVI及其推论，我终于弄清了这里所叙述的命题的正确性。

系理1 因此，能发现并相互比较物体向着不同行星的重量。因为相等的物体在圆上围绕行星运行时的重量（由第I卷命题IV系理2）与圆的直径成正比且与循环时间的平方成反比；又在行星的表面或者离中心任意距离处的重量，（由这个命题）按照距离的二次反比或者更大或者较小。于是，由金星环绕太阳的循环时间224天又 小时，最外面的环木卫星环绕木星的16天又 小时，惠更斯 卫星 （47） （satelles Hugenianus）环绕土星的15天又 小时，以及月球环绕地球的27天7小时43分钟，与金星离太阳的平均距离，和最外面的环木卫星离木星的中心的最大的日心距角8′.16″，惠更斯 卫星离土星的中心的3′.4″，以及月球离地球中心的10′.33″比较，通过计算我发现，相等的物体且离太阳的、木星的、土星的和地球的中心距离相等，它们向着太阳的、木星的、土星的和地球的重量分别如同1， ， 和 ，且距离增大或者减小，重量按照距离的二次比减小或者增大：物体在离太阳的、木星的、土星的和地球的中心的距离分别为10000、997、791和109时，向着他们的重量相等，且因此在它们的表面的重量分别如同10000、943、529和435。物体在月球的表面上重量如何，在后面说明。

系理2 在每个行星中的物质的量亦可以知道。因为在行星中的物质的量如同在离它们的中心距离相等处它们的力，亦即，在太阳、木星、土星和地球中的物质的量分别如同1， ， 和 （48） 。如果太阳的视差取作大于或者小于10″.30′″，在地球中的物质的量应按照三次比增大或者减小。

系理3 诸行星的密度亦可知道。因为由第I卷命题LXXII，相等且同质的（homogeneorum）物体向着同质的球的重量在球的表面如同球的直径，且因此异质（heterogeneorum）球的密度如同那些重量除以球的直径。但是太阳的、木星的、土星的和地球的真实直径彼此分别如同10000、997、791和109，且向着它们的重量分别如同10000、943、529和435。且所以密度如同100、 、67和400。由这一计算发现的地球密度，不依赖太阳的视差，而是由月球的视差确定的，且所以在这里被正确地定出。所以，太阳比木星略为致密，且木星比土星致密，而地球比太阳致密四倍。因为由于自身的高温太阳变得稀薄。月球比地球致密，在后面这是显然的。

系理4 所以，在其他情况相同时，愈小的行星愈致密。因为这样重力在他们的表面接近相等。但在其他情况相同时，行星愈靠近太阳愈致密；正如木星较土星致密，且地球较木星致密。无疑行星被安放在离太阳不同的距离上，使得按照其密度而或多或少地享有太阳的热。如果地球位于土星的轨道上，我们的水将会冻结，如果在水星的轨道上，水以蒸气逃逸。因为太阳的光，热与它成比例，在水星的轨道上比在我们跟前稠密七倍；且我用一支温度计发现，在夏天太阳热度的七倍之下水沸腾。毫无疑义，水星上的物质与其热相适应，且所以比我们地球上的这种物质致密；因为所有更致密的物质，为了大自然的造化之功（operatio），需要较多的热。

命题IX 定理IX

自行星的表面向下前进，重力的减小很接近地按照离中心的距离之比。

如果行星的物质有均匀的密度，由第I卷命题LXXIII，这一命题精确地成立。所以，误差不大于起源于密度的不等性。

命题X 定理X

行星的运动在天空中能保持极长的时间。

在第II卷命题XL的解释中，已证明冻结的一个水球，在我们的空气中自由地运动且画出其自身的半直径的一个长度，由于空气的阻力，它失去自身的运动的 。对大小和速度任意的球，能很接近地获得相同的比。现在，我们的地球比如果它整个地由水构成的球更稠密，我如此推断：如果这个球全是水，比水稀疏的无论什么东西，由于比重较小而浮起并漂在水面上。由于这一原因，一个由地球的物质构成的球被水完全覆盖，如果它比水稀疏，它在某处浮起，且所有水由此流走并汇聚在对面。而这是我们的地球的情形，它的大部分被海洋环绕。如果土地不比海洋致密，它从海洋浮起，且按照其轻的程度，土地的一部分突出水外，所有那些海水流向对面。由同样的论证，太阳上的黑子比它们浮在其上的太阳的发光物质轻。且无论怎样形成行星，在物质为流体时，较重的物质离开水向中心前进。因此，由于地球表面的一般物质约比水重两倍，且略低一些，在矿井中发现物质比水约重三倍或者四倍，甚至五倍；似乎在地球中所有物质的量约为整个由水构成的地球的五倍或者六倍；尤其是由于上面已表明地球比木星约致密四倍。所以，如果木星较水略为致密，在三十天的时间，它画出459倍自身的半直径的一个长度，在与我们的空气的密度相同的介质中，几乎失去其运动的十分之一。但是，由于介质的阻力按照它们的重量和密度之比减小，因此，水，它比水银轻 倍，阻力按照同样的比减小；且空气，它比水轻860倍，阻力按照同样的比减小；如果升入太空，那里介质的重量被减小以至无穷，行星在这种介质中运动，阻力几乎消失。在第II卷命题XXII的解释中我们已表明，如果升高到高于地球二百哩，那里的空气按照30比0.0000000000003998，或者大约75000000000000比1之比较地球表面的空气稀薄。且因此木星，在与那些上方的空气的密度相同的介质中运行，在1000000年的时间，由于介质的阻力，也不会失去其运动的百万分之一。在很接近地球的空间，能产生阻力的只有空气，呼出的气（exhalationes）和蒸汽。这些被从圆柱形的玻璃腔中被极细心地吸出，重物在玻璃内非常自由地下落，且没有任何阻力可以感觉得到，使得金和极轻的羽毛同时落下，它们以相同的速度下落，且在其下落中画出四呎、六呎或者八呎的一个高度，同时到达底部，正如由实验所发现的。且所以，若上升到太空，那里没有空气和呼出的气，行星和彗星没有任何可以感觉得到的阻力，通过那些空间他们运动极长的时间。

假设 I

宇宙的系统的中心是静止的。

这是所有人都同意的，尽管一些人认定地球，另一些人认定太阳在系统中的中心静止。我们且看由此随之而来的结论是什么。

命题XI 定理XI

地球，太阳和所有行星的重力的公共的中心是静止的。

因为那个中心（由诸定律的系理IV）或者静止，或者均匀地一直前进。但是如果那个中心总是前进，宇宙的中心也将运动，这与假设矛盾。

命题XII 定理XII

一项运动持续不断地驱动太阳，但太阳从不退离所有行星的重力的公共的中心太远。

因为由于（由命题VIII系理2）在太阳中的物质比在木星中的物质如同1067比1，且木星离太阳的距离比太阳的半直径按照略大的一个比；木星和太阳的重力的公共中心落在略高于太阳的表面的一个点上。由同样的论证，由于在太阳中的物质比在土星中的物质如同3021比1，且土星离太阳的距离比太阳的半直径按照略小的一个比；土星和太阳的重力的公共中心落在略低于太阳的表面的一个点上。再承同样计算的余绪，如果地球和所有行星位于太阳的一侧，所有这些天体的重力的公共中心离太阳的中心仅能为太阳的一个完整的直径那么远。在其他情况，中心间的距离更小。且所以，因为重力的那个中心总是静止的，太阳依行星位置的变化而向各个方向运动，但从不退离那个中心很远。

系理 因此地球、太阳和所有行星的重力的公共中心被认为是宇宙的中心。因为由于地球、太阳和所有行星相互之间有向着它们的重力，且所以，按照它们每个的重力，由运动的定律它们持续地被推动；显然它们的运动的中心不能作为宇宙的静止的中心。如果所有物体朝向那个被放置在中心的物体的重力最大（如普遍持有的意见），首选必须让给太阳。但由于太阳自身是运动的，必须选择静止的一点，太阳的中心离它最近，且会离得更近，只要太阳更为致密和更大，这样太阳的运动更小。

命题XIII 定理XIII

诸行星在焦点是太阳中心的一些椭圆上运动，且由向那个中心所引的半径画出的面积与时间成比例。

关于这些运动我们在前面已由天象加以讨论。现在认识了运动的原理，由这些原理我们先验地（a priori）导出天空中的运动。因为行星向着太阳的重量与 ［行星］ 离太阳中心的距离的平方成反比；如果太阳静止且其余的行星不相互推动，则（由第I卷命题I和命题XI以及命题XIII系理1）它们的轨道是椭圆，太阳在它们的公共的焦点上，且画出的面积与时间成比例，但行星之间的相互作用甚小（以致能忽略），且（由第I卷命题LXVI）它们摄动在椭圆上围绕动的太阳的行星的运动比如果那些运动是围绕静止的太阳进行时要小。

然而，木星对土星的作用不能完全被忽略。因为朝着木星的重力比朝着太阳的重力（在相等的距离）如同1比1067；且因此在木星和土星会合时，因为土星离木星的距离比土星离太阳的距离差不多如同4比9，土星朝着木星在重力比土星朝着太阳的重力如同81比16×1067，或者约略如同1比211。由是每当土星和木星会合时引起土星的轨道的摄动，它如此显著使天文学家对此烦忧。按照该行星的位置在这些会合处的变化，它的偏心率有时被增大有时被减小，远日点有时前行有时后退，且平均运动被交替加速和迟滞。然而在其围绕太阳运动的整个误差，尽管起源于如此大的一个力，（由第I卷命题LXVII）通过把其轨道的下焦点安放在木星和太阳的重力的公共中心上，差不多能避免（平均运动除外）；且所以当误差最大时，几乎不超过二分。且在平均运动中的最大误差一年几乎不超过二分。但是，在木星和土星的会合时，太阳向着土星的，木星向着土星的和木星向着太阳的加速重力，差不多如同16，81和 或者156609，且因此太阳向着土星的和木星向着土星的重力之差比木星向着太阳的重力如同65比156609，或者1比2409。但土星摄动木星运动的最大的能力与这个差成比例，且所以木星轨道的摄动远小于土星轨道的摄动。其余的轨道的摄动更小，除了地球的轨道被月球显著地摄动。地球和月球的重力的公共中心在围绕太阳的一个椭圆上前进，太阳位于椭圆的一个焦点，且向太阳所引的半径在那个椭圆上画出的面积与时间成正比例，但同时地球以每月的运动围绕这个公共中心运行。

命题XIV 定理XIV

诸［行星的］轨道的远日点和交点是静止的。

由第I卷命题XI，远日点是静止的，且由同一卷命题I，轨道的平面为静止的；又平面是静止的，交点也静止。然而由行星和彗星在其运行中的相互作用会产生某些不等性，但它们是如此之小在这里能被忽略。

系理1 诸恒星也静止不动，因为它们相对于［行星的］远日点和交点保持给定的位置。

系理2 且因此，由于地球的周年运动对诸恒星没有产生可觉察到的视差，它们的力由于这些物体的巨大的距离而在我们的系统的区域没有产生可以觉察到的影响。事实上，因为恒星在天空的所有部分相等地分散着，由第I卷命题LXX，它们相互的力由相反的吸引而被抵消。

解释

因为靠近太阳的行星（即水星、金星、地球和火星）由于它们的本体规模不大，相互推动较弱：它们的远日点和交点静止，但受木星的、土星的和更高处物体的力的扰动除外。且由此能由重力的理论推出，这些远日点相对于恒星略有向前（in consequentia）运动，且它按照这些行星离太阳的距离的二分之三次比。于是，如果火星的远日点相对于恒星在一百年积累的前行为33′.20″；则在一百年，地球的、金星的和水星的远日点积累的前行分别为17′.40″、10′.53″和4′.16″。且这些运动由于它们如此之小，在这一命题中被忽略了。

命题XV 问题I

求诸［行星的］轨道的主直径。

由第I卷命题XV，这些直径按照循环时间的二分之三次比被取得，然后由第I卷命题LX，每一个［值］按太阳的与每个环绕的行星的质量之和比那个和与太阳［的质量］之间的两个比例中间中的第一个的比增大。

命题XVI 问题II

求诸［行星的］轨道的偏心率和远日点。

此问题被第I卷命题XVIII解决。

命题XVII 定理XV

诸行星的周日运动是均匀的，且月球的天平动起源于它的周日运动。

由运动的定律I和第I卷命题LXVI系理22，这是显然的。的确，木星相对于恒星的旋转时间为9小时56分钟，火星为24小时39分钟，金星约为23小时，地球为23小时56分钟，太阳为 天，且月球为27天7小时43分钟。这些事情如此是由于显而易见的天象。相对于地球，太阳本体上的黑子在太阳的日轮上约 天回归到相同的位置；且所以相对于恒星，太阳的旋转时间约为 天。但是，因为月球围绕自身的轴均匀地旋转一［个太阴］日是一个月：月球的同一个面总是近似地转向其轨道的较远的焦点，且所以依照那个焦点的位置离开地球向这边或者那边偏离。这就是月球的经天平动；因为纬天平动起源于月球的纬度和其轴对于黄道面的倾斜。N.墨卡托先生，在他的出版于1676年初的《天文学 》中，根据我的一封信详细地阐述了天平动的这一理论。土星最外面的卫星围绕自身的轴旋转被观察到类似于月球的运动，它的同一个面总转向土星。因为在围绕土星运行时，每当它靠近自己的轨道的东面的部分时，不适于观看，且平常看不到，这种情况的发生可能由于其本体转向地球的部分上有某些斑点，正如卡西尼 所指示的。木星最外面的卫星亦被观察到围绕其轴旋转的类似于月球的运动，无论何时卫星从木星和我们的眼睛之间穿过时，因为在其本体转离木星的部分有一个斑点，看起来好像在木星的本体上。

命题XVIII 定理XVI

诸行星的轴小于垂直于轴所引的直径。

若除去行星整个的周日圆运动，由于部分的重力向各方面是相等的，它们应为球形。由于那个圆运动，结果使［行星的］部分自轴退离，努力向赤道附近上升。且因此，如果物质为流体，则其上升使在赤道的直径增大，且其下降使在两极的轴减小。由是木星的直径（天文学家的观察意见一致）在两极之间的比从东向西的短。由同样的论证，若我们的地球不是在靠近赤道比在两极略高，则海洋在两极退去，且在赤道附近升高，并完全淹没那里。

命题XIX 问题III

求行星的轴比垂直于它的直径的比例。

1635年前后，我们的同国人诺伍德 测得伦敦 和约克 之间的距离为905751伦敦 呎，并观测到［那些地方的］纬度的差为2°28′，他推出一度的长短为367196伦敦 呎，亦即，57300巴黎 丈。

皮卡德 沿子午线测量亚眠 和马尔瓦桑 之间2度22′.55″的一段弧，发现一度的弧为57060巴黎 丈。老卡西尼 沿子午线测得从鲁西永 的科利乌尔 镇到巴黎 天文台的距离；且他的儿子加上了从天文台到敦刻尔克 城的城堡的距离。总的距离为 丈，科利乌尔镇的和敦刻尔克 城的纬度之差为8°又31′. ″。由此得出1°的弧为57061巴黎 丈。且由这些测量，在地球为球形的假设下，推得地球的周长为123249600巴黎 呎，且它的半直径为19615800呎。

在巴黎 的纬度，重物下落一秒钟画出15巴黎 呎1吋又 吩，如同上面，亦即 吩。物体的重量由于周围空气的重量而减小。我们假设失去的重量是总重量的一万一千分之一，则那个重物在真空中下落，一秒钟的时间画出2174吩。

一个物体在每个恒星日的23小时56′.4″在离中心的距离为19615800呎的一个圆上均匀地运行，在一秒钟的时间画出1433.36呎的一段弧，其正矢为0.0523656呎，或者7.54064吩。且由此，一个力，由它重物在巴黎 的纬度降落，比物体在赤道的离心力，它起源于地球的周日运动，如同2174比7.54064。

物体在地球的赤道的离心力比一个离心力，由它物体在巴黎 的纬度48°51′.10″直接地离开地球，按照半径比那纬度的余角的正弦的二次比，亦即，如同7.54064比3.267。这个力加到一个力上，重物由后者在巴黎 的那个纬度下降，则物体在那个纬度以总的重力下落，在一秒钟的时间画出2177.267吩，或者15巴黎 呎1吋又5.267吩。则在那个纬度，总的重力比物体在地球的赤道的离心力如同2177.267 比7.54064或者289比1。

由此，如果指定APBQ为地球的形状，现在它不再是球而是由一个椭圆围绕较短的轴PQ旋转产生，又设ACQqca为充满水的管道，从极Qq到中心Cc，再由此前进到赤道Aa:则在管道的股ACca 中的水的重量比在管道的另一股QCcq中的水的重量应如同289比288，因为起源于圆形运动的离心力支撑并除去289份重量中的一份，且在另一股中的288份重量支撑余下的重量。然后（根据第I卷命题XCI系理2）进行计算，我发现如果地球由均匀的物质构成，且所有的运动被夺去，则它的轴PQ比直径AB如同100比101:在位置Q朝着地球的重力比在相同的位置Q朝着以中心C半径PC或者QC画出的球的重力，如同126比125。且由同样的论证，在位置A朝着椭圆APBQ围绕轴AB一起旋转画出的扁球的重力，比在相同的位置A朝着以中心C半径AC画出的球的重力，如同125比126。但是在位置A朝着地球的重力是朝着所说的扁球的和球的重力之间的比例中项:因为那个球，当它的直径PQ按照101比100之比减小，它转变为地球的形状；且这个形状按照相同的比减小第三条直径，它与两条直径AB、PQ垂直，转变为所说的扁球；且在A的重力，在任一种情形，很接近地按同一比减小。所以在A朝着以中心C半径AC画出的球的重力，比在A朝着地球的重力如同126比 ，且在位置Q朝着以中心C半径QC所画出的球的重力，比在位置A朝着以中心C半径AC所画出的球的重力，（由第I卷命题LXXII）按照直径的比，亦即，如同100比101。现在，这三个比126比125、126比 和100比101联合起来，则在位置Q朝着地球的重力比在位置A朝着地球的重力，如同126×126×100比125× ×101，或者如同501比500。

如今，因为（由第I卷命题XCI系理3）在管道的任一股ACca或者QCcq中的重力如同位置离地球中心的距离；如果那些股由等距的横截面区分为与整体成比例的部分，在股ACca 中任意数目的部分的重量比在另一股相同数目的部分的重量，如同它们的大小和加速重力的联合；亦即，如同101比100和500比501的联合，这就是，如同505比501。且因此，如果在股ACca中每一部分的起源于周日运动的离心力，它比同一部分的重量如同4比505，使得每一部分的重量被分成505份，四份被它除去；在每个股中重量保持相等，且所以流体处于平衡。但每一部分的离心力比同一部分的重量如同1比289，这就是，离心力，它应为重量的 ，而仅为 。且所以，我说，按照黄金规则（regula aureum），如果重量的 的离心力使水在股ACca中的高度超出水在股QCcq中的高度为其整个高度的百分之一:则重量的 的离心力使水在股ACca中的高度的超出仅为水在另一股QCcq 中的高度的 。所以地球沿着赤道的直径比它的经过两极的直径如同230比229。且因此，因于地球的平均半直径，按照皮卡德 的测量，为19615800巴黎 呎，或者3923.16哩（假定一哩等于5000呎），地球的赤道比在两极高，超出为85472呎，或者 哩。且在赤道其高度约为19658600呎，在两极约为19573000呎。

如果大于或者小于地球的行星保持其密度和周日旋转的循环时间，则离心力比重力的比被保持，且所以两极之间的直径比沿着赤道的直径的比被保持。且如果周日运动按任意的比被加速或者迟滞，则离心力按那个比的二次方被增大或者减小，且所以直径的差很接近地按同一二次比。再者，如果行星的密度按任意的比增大或者减小，朝向它的重力按相同的比增大或者减小，且直径之间的差按重力增大的比被减小或者按重力减小的比被增大。因此，由于地球相对于恒星以23小时56′旋转，而木星以9小时56′旋转，则时间的平方如同29比5，又旋转物体的密度如同400比 :木星的直径的差比它自己的较短的直径如同 × × 比1，或者很接近地如同1比 。所以，木星的自东向西所引的直径，比它的两极之间的直径很接近地如同 比 。因此，由于它的较长的直径为37″，它的较短的直径，它位于两极之间，为33″.25。由于光的不规则性应加上大约3″，则这颗行星的视直径变成40″和36″.25；它们彼此很接近地如同 比 。这些结果如此出自一个假设：木星本体的密度均匀。但如果它的本体往赤道的平面比往两极致密，其直径彼此之比可能如同12比11，或者13比12，甚至14比13。的确，卡西尼 在1691年观测到，木星的自东向西伸展的直径约以其自身的十五分之一超出另一条直径。此外，我们的同国人庞德 ，用带最好测微仪的123呎长的望远镜，在1719年测得木星的直径如下。

况且，由于我们的地球的周日转动，重力在赤道被减小，且因此地球在那里比在两极更隆起（如果它的物质密度均匀），由在下一命题中叙述的摆的实验，这是显然的。

命题XX 问题IV

求出并相互比较物体在地球上不同区域的重量。

因为在水的管道ACQqca的不等的股中的重量相等；且部分的重量，它与整个股成比例，又在整个股中处于相似的位置，彼此如同整个重量，且因此也相互相等；重量相等且在股中处于相似位置的部分与股成反比，亦即，与230比229成反比。任意同质且相等的物体处于管道的股中相似的位置，情形相同。这些物体的重量与股成反比，亦即，与物体离地球中心的距离成反比。因此如果物体在管道的最上端部分，或者位于地球的表面，它们的重量彼此与它们离中心的距离成反比。且由同样的论证，［物体］在整个地球表面上的任意区域的重量，与位置离中心的距离成反比；且所以，由地球为扁球的假设，［那些重量的］比被给定。

由此导出定理：从赤道向两极前进时，重量的增加很接近地如同纬度的二倍的正矢，或者同样，如同纬度的正弦的平方。且在一条子午线上，纬度的弧近似地按照相同的比增大。且因此，由于巴黎 的纬度为48gr. .50′ （49） ，在赤道上的位置的纬度为00gr. .00′，且在两极位置上的纬度为90gr. ，又那些纬度的二倍的正矢为11334，00000和20000，半径为10000，且在两极的重力比在赤道的重力如同230比229，则在两极重力的超出比在赤道的重力如同1比229：在巴黎 的纬度，重力的超出比在赤道的重力，如同1× 比229，或者5667比2290000。且所以，在这些位置的总的重力彼此如同2295667比2290000。因此，由于振动时间相等的摆的长度如同重力，且在巴黎 的纬度每秒振动的摆的长度为三巴黎 呎又 吩，或者由于空气的重量，更好些，为 吩；在赤道的摆的长度被在巴黎 的等时的摆的长度超过，超出为一又千分之八十七吩。且类似的计算产生下表。

所以，由这张表，度数的不等性如此之小，使得在地理学之事上能用球形代替地球的形状是显然的，如果地球往赤道的平面比往两极略为致密时尤其如此。

现在一些天文学家被派到遥远的地区做天文观测，观察到他们的摆钟靠近赤道比在我们的地区慢。而且事实上，这首先由里奇 先生于1672年在卡宴 岛上观察到。因为当他在8月份正观察恒星经过子午线时，他发现他自己的时钟比他应相对的太阳的平均运动慢，差为每天2′.28″。然后通过一台精良的时钟的测量，一架按秒振动的单摆被制成，他记下单摆的长度，且在十个月中的每一周重复此事多次。当他返回法兰西 时，他将这架摆的长度与在巴黎 的［按秒振动的］摆的长度相比较（它是三巴黎 呎八又五分之三吩），发现它较短，差为一又四分之一吩。

后来，我们的同国人哈雷 约于1677年航行到了圣赫勒拿 岛，他发现他自己的摆钟在那里比在伦敦 运动得慢，但他没有记录［时间的］差。他使他的时钟的摆缩短超过八分之一吋，或者一又二分之一吩。为达到这一目的，由于在摆的下端的螺帽的长度不够，他在螺帽和摆的重物之间置入一个木环。

此后，在1682年，瓦伦 先生和得海斯 先生发现在巴黎 皇家天文台一架按秒振动的摆的长度为3呎 吩。且在戈雷 岛他们用同样的方法发现等时的摆的长度为3呎 吩，长度的差为2吩。在同一年他们又航行到瓜德罗普 岛和马提尼克 岛，发现在这些岛上等时的摆的长度为3呎 吩。

后来，小库普莱 先生于1697年7月，在巴黎 皇家天文台这样将他自己的摆钟与太阳的平均运动校准，使得在相当长的时间时钟与太阳的运动相符。然后航行到里斯本 ，他发现在接下来的11月，时钟走得比以前慢，在24小时相差2′.13″。且在次年的3月，他航行到帕拉伊巴 ，他发现在那里他自己的时钟走得比在巴黎 慢，在24小时相差4′.12″。且他断言按秒振动的摆在里斯本 和在帕拉伊巴 比在巴黎 短 吩和 吩。他应能更正确地把这些差定为 和 。因为这些差与时间的差2′.13″和4′.12″对应。这个人的观测由于粗心而不大可信。

接着的两年（1699和1700年）得海斯 先生又航行到美洲 ，在卡宴 岛和格拉纳达 岛他确定按秒振动的摆的长度稍小于3呎 吩，在圣克里斯托弗 岛那个长度为3呎 吩，且在圣多明各 岛同样的长度为3呎7吩。

再者，在1704年，弗莱 神父在美洲 的波托贝洛 发现按秒振动的摆的长度为三巴黎 呎仅又 吩，亦即，比在巴黎 约短三吩，但此观测有误。因随后他航行到马提尼克 岛，发现等时的摆的长度仅为三巴黎 呎又 吩。

现在帕拉伊巴 的纬度是向南6gr. .38′，且波托贝洛是向北9gr. .33′，又卡宴 岛、戈雷 岛、瓜德罗普 （50） 岛、马提尼克 岛、格拉纳达 岛、圣克里斯托弗 岛和圣多明各 岛的纬度分别为向北4gr. .55′、14gr. .40′、14gr. .00′、14gr. .44′、12gr. .6′、17gr. .19′和19gr. .48′。巴黎 的摆的长度对等时的摆在这些纬度观测到的长度的超出略大于按照上表中计算出的摆的长度。且所以地球在赤道比上面计算的要高，且往中心比接近表面的矿物更致密，除非也许热带的热使摆的长度有些增加。

的确，皮卡德 先生曾观察到，一根铁棒，它在冬季当冰冻时的长度为一呎，在火上加热时它变为1呎又四分之一吩。后来拉伊尔 先生观察到，一根铁棒，它在冬季相当的时候长六呎，当暴露于夏天的太阳下时长度成为六呎又三分之二吩。在前一种情形比后一种情形更热，且在后一种情形比人的身体的外表部分更热。因为金属在夏天的太阳下变得很热。但摆钟的摆杆从不暴露于夏天太阳的炎热之下，且从不吸收等于人的身体外表部分的热。且所以，在时钟中三呎长的摆杆，在夏天的确比在冬天略长，但超出几乎不超过一吩的四分之一。因此，在不同区域等时的摆的长度的整个差，不能归之于热的不同。这个差也不能归之于由法兰西 派出的天文学家所犯的错误。因为尽管他们的观测彼此不完全相符，但差异如此之小以至能忽略。且对此他们一致同意：等时的摆在赤道比在巴黎 皇家天文台短，差不小于一又四分之一吩，不大于 吩。依里奇 先生在卡宴 所做的观测，此差为一又四分之一吩，依得海斯 先生的观测那个差经过修正成为一又二分之一吩或者一又四分之三吩。依其他人所做的较不精确的观测，那个差约为二吩。且这一差异可能部分地来自观测的误差，部分地来自地球内部的不同和山的高度的不同，且部分地来自空气的热度的不同。

据我所知，一根三呎长的铁棒，在英格兰 的冬季比在夏季短六分之一吩。由于在赤道的热度，从里奇 观测到的一又四分之一吩的差中除去这个量，则剩下 吩，它与前面已由理论推得的 吩非常符合。此外，里奇 在卡宴 所做的观测，十个月的时间他每周重复，并把在那里标记在铁棒上的摆的长度与在法兰西 类似地标记的长度相比较。这种勤奋与细心为其他观测者所缺乏。如果他的观测是可信的，则地球在赤道比在两极高，超出约为十七哩，正如上面由理论所得出的。

命题XXI 定理XVII

二分点退行；且地球的轴，由于在每年运行中的章动，两次向黄道倾斜并两次返回到原来的位置。

由第I卷命题LXVI系理20，这是显然的。但是章动这个运动应当很小，且很难或者全然感觉不到。

命题XXII 定理XVIII

月球的所有运动，以及所有那些运动的不等性（inœquatitas）遵循已确立的原理。

较大的行星，在它们围绕太阳转动期间，可能携带其他较小的行星围绕它们运行，且那些较小的行星，由第一卷命题LXV，显然它们应在焦点在较大的行星的中心的椭圆上运行。此外，它们的运动以多种方式被太阳的作用摄动，且它们受到在我们的月球上观测到的不等性的影响。无论如何，它［月球］（由第一卷命题LXVL系理2，3，4和5）运动得较迅速，且向地球所引的半径画出的面积比按照时间的要大，又有弯曲较小的一条轨道，且所以它在朔望比在方照更靠近地球，这些作用被偏心运动的阻碍除外。因为（由命题LXVI系理9）当月球的远地点在朔望时，偏心率为最大；且当它在方照出现时，偏心率为最小；且因此月球当近地点在朔望比在方照时较迅速且更靠近我们，而当远地点在朔望比在方照时更迟缓且更远离我们。此外，远地点前行，且交点退行，而运动是不均匀的。且由于（由命题LXVI系理7和8）远地点在其朔望前行更迅速，且在方照的退行更迟缓，它由前行对退行的超出每年被携带前行。但交点（由命题LXVI系理2）在其朔望静止且在方照最迅速地退行。但月球的最大的纬度，在其方照（由命题LXVI系理10）比在其朔望大，且月球的平均运动在地球的近日点（由命题LXVI系理6）比在其远日点缓慢。这些是被天文学家记录下来的显著的不等性。

也有其他一些不等性没有被以前的天文学家观测到，由于它们月球的运动被如此摄动，以致至今这些运动未能由定律归结为某一法则。因为月球的远地点的和交点的速度或者小时运动，且它们的均差（æquatio），以及在朔望的最大的偏心率和在方照的最小的偏心率之间的差，和被称为变差（variatio）的不等性，每年的增大和减小（由命题LXVI系理14）按照太阳的视直径的三次比。且此外，变差的增大或者减小很近似地按照（由第一卷引理X系理1和2，以及命题LXVI系理16）方照之间时间的二次比，但在天文学计算上这一不等性通常归入月球的中心差（prosthaphæresin），并与它相结合。

命题XXIII 问题V

由月球的运动导出木星的和土星的诸卫星的不均匀运动。

由我们的月球的运动可导出木星的月球或者卫星的类似的运动。木星最外面的卫星的交点的平均运动，比我们的月球的交点的平均运动，（由第I卷命题LXVI系理16）按照来自地球围绕太阳的循环时间比木星围绕太阳的循环时间的二次比，和那颗卫星围绕木星的循环时间比月球围绕地球的循环时间的简单比的复合比，且因此在一百年那个交点积累的退行为8gr. .24′。里面的卫星的平均运动比这颗卫星的运动，（由同一系理）如同那颗卫星的循环时间比这颗卫星的循环时间，且因此被给定。此外，每颗卫星的拱点运动的前行比其交点运动的退行，（由同一系理）如同我们的月球的远地点的运动比其交点的运动，且因此被给定。然而，这样发现的拱点的运动应按5比9或者约1比2的比减小，其原因没有时间在这里解释。每颗卫星的交点的和拱点的最大的均差，分别比月球的交点的和拱点的最大的均差，近似地如同在前一均差的一次环绕时间中卫星的交点的和拱点的运动，比在后一均差的一次环绕时间中月球的交点的和拱点的运动。从木星上观看一颗卫星的变差，比月球的变差，由同一系理，如同卫星和月球在环绕太阳期间它们的交点的整个运动的相互之比；且由此［木星的］最外面的行星的变差不超过5″.12。

命题XXIV 定理XIX

海洋的潮起潮落起源于太阳的和月球的作用。

由第I卷命题LXVI系理19和20，显然海洋在每个太阴日和每个太阳日应有两次上涨和两次回落，且水的最大的高度，在既深且开阔的海洋中，应在发光体靠近一个位置的子午线后小于六小时的时间来临，如在法兰西 和好望角 之间的大西洋 和埃塞俄比亚 海的整个东部所发生的，也如在太平洋 的智利 和秘鲁 沿海发生的；在所有这些海岸，海潮在约第二，第三或者第四个小时发生，除非当来自深海的运动在浅的地方的传播而一直被拖延到第五，第六，第七个小时或者更晚。我从两个发光体中的任何一个靠近一个位置的子午线开始对小时计数，无论发光体在地平线之下或者地平线之上，且一个太阴日的小时，我意指一段时间的二十四分之一，在此期间月球的视周日运动返回到它昨天留下的那个位置的子午线上。在发光体靠近一个位置的子午线时，举起海洋的太阳的和月球的力最大。但此施加于海洋上的力保持一会儿且被随后施加的一个新力增大，直到海洋上升到最大的高度，这将在一或者两小时内发生，但在海岸经常是在大约三小时，如果在浅的海洋时间会更长。

而且两项运动，它们由两个发光体引起，不能明确地被区分开，而引起一种混合的运动。发光体在合或者冲时他们的作用被联合起来，并造成最大的潮起和潮落。在方照时，太阳当月球下压海水时举起它，且当月球举起海水时下压它；所有涨潮中最低的起源于两种作用的差。且因为，经验证明，月球的作用大于太阳的作用，海水的最大高度约发生在第三个太阴小时。在朔望和方照之外，最大的海潮，它单独由月球的力引起，总应发生在第三个太阴小时，且单独由太阳的力引起的最大的海潮发生在第三个太阳小时，由两者合成的力引起的最大的潮发生在更接近第三个太阴小时的某个中间时间；且因此月球在自朔望到方照的路径中，当第三个太阳小时先于第三个太阴小时，海水的最大高度［的出现］也先于第三个太阴小时，最大的时间间隔略后于月球的八分点；且在月球自方照至朔望的路径中，最大的涨潮以相同的时间间隔跟随在第三个太阴小时之后。在开阔的海洋就是如此。因为在河流的入海口，较高的涨潮，在其他情况相同时，它们的顶点（áκμήυ）较缓慢地来临。

但是发光体的作用与它们离地球的距离有关。因为在较近的距离，它们的作用较大；在较远的距离，它们的作用较小，且这按照它们的视直径的三次比。所以太阳在冬季时；当它在近地点产生较大的作用并使得海潮在朔望略大于，且在方照略小于（其他情况相同）在夏季时的海潮；又月球在它每月的近地点产生一个较十五日之前或者十五日之后当它在远地点时海潮大的潮。因此，最大的两次海潮并不跟随在相继的朔望之后。

每个发光体的作用也与其赤纬或者离赤道的距离有关。因为如果一个发光体被放置在地球的一极，它不断地牵引水的每一部分，没有作用的加强和减退，且因此不产生运动的交替。所以，发光体在从赤道向一极退离时，其作用逐渐失去，且因此在二至的朔望产生的海潮比在二分的朔望产生的小。然而，在二至的方照产生的海潮比在二分的方照产生的大；因为月球的作用，它现在位于赤道，超出太阳的作用甚大。所以，大约在任何一个二分的时候，发光体在朔望发生最大的海潮，且发光体在方照发生最小的海潮。又，在朔望的最大海潮总伴随着在方照的最小的海潮，正如经验所发现的。此外，由于太阳离地球的距离在冬季比在夏季近，使得春分前的最大的海潮和最小的海潮比在春分后更经常，且在秋分后比在秋分前更经常。

发光体的作用也与位置的纬度有关。指定ApEP为各处被深水覆盖的地球；C为其中心；P，p为极；AE为赤道；F为赤道之外的任一位置，Ff为那个位置的纬线；Dd为在赤道另一侧对应于它的纬线；L为一个位置，它在三个小时之前被月球占据；H为地球上竖直地位于L之下的位置；h这个位置的对点；位置K，k离H，h的距离为90度，CH，Ch为自地球的中心量起的海的最大高度；且CK，Ck为最小高度；再者，如果以轴Hh，Kk画一个椭圆，然后如果这个椭圆再围绕长轴Hh画一扁球HPKhpk；则这个扁球相当接近地表示了海洋的形状，且CF，Cf，CD，Cd为大海在位置F，f，D，d的高度。而且，如果在所说的椭圆的旋转中，任意一点N画出的圆NM截纬线Ff，Dd于任意的位置R，T，且截赤道AE于S；CN为位于这个圆上的所有的位置R，S，T处海的高度。因此，在任意位置F的周日旋转中，最大的涨潮发生在F，在月球经过地平线之上的子午线后的第三个小时；然后，最大的落潮发生在Q，在月球落下之后的第三个小时；此后，最大的涨潮发生在f，在月球经过地平线之下的子午线后的第三个小时；最后，最大的落潮位于Q，在月球升起之后的第三个小时；且靠后在f的涨潮小于在前面在F的涨潮。因为整个海洋被分为两个半球的流，一个是在北边的半球KHk，另一个为相对的半球Khk；所以这些可以被称为北流和南流。这些流，它们彼此总是相对的，且轮流来到每一个位置的子午线，它们之间的间隔为十二个太阴小时。且由于北边的区域分享了较多的北流，南边的区域分享了较多的南流，因此在赤道之外的每个地方，发光体在此处升起和下落，交替地产生较大或者较小的海潮。但较大的海潮，当月球向一个位置的天顶点偏斜时，在它经过地平线之上的子午线后大约第三个小时发生，且月球赤纬的改变，使较大的海潮转变为较小的海潮。且这些涨潮之间最大的差发生在二至的时候；特别地，如果月球的升交点位于白羊宫的开端。于是由经验发现，在冬季，早晨的海潮超过傍晚的海潮；且在夏季，傍晚的海潮超过早晨的海潮。依据科尔普雷斯 和斯图米 的观察，在朴利茅斯 ，超过的高度约为一呎，在布里斯托尔 ，这一高度为十五吋。

但是至此所描述的运动由于水的交互作用的力而有些改变，海潮，即使发光体的作用停止了，也能保持一会儿。施加的运动的这种保持减小了交替的海潮的差；且使紧随朔望之后的较大，并使紧随方照之后的海潮较小。因此在朴利茅斯 和布里斯托尔 交替的海潮除了高度为一呎或者十五吋之外，并无差别；且在那些港口，最大的海潮不是朔望后的第一次的海潮，而是第三次的。所有的运动在通过浅滩时被迟滞，因此使得海潮中最大的潮，在一些海峡和河流的入海口中，是朔望后的第四或者第五次海潮。

况且，会发生一次海潮从海洋经过不同的海峡到达同一港口，且通过某些海峡比通过另一些海峡快，在这种情形海潮分成两个或者更多的海潮相继到达，能合成不同种类的新的运动。我们想象来自不同地方的两个相等的海潮到达同一个港口，其中一个比另一个提前六小时的时间，并在月球靠近港口的子午线后的第三个小时发生。如果月球在它这次靠近子午线时在赤道上，则每六小时到达的相等的涨潮，与相同的落潮相遇而平衡；且因此在那天中它们使得水平静且不动。如果那时月球从赤道离开，在大洋中的海潮彼此交替地较大或者较小，正如已说过的；且自大洋中两个较大的和两个较小的涨潮彼此交替也到达这个港口。再者两个较大的潮在它们中间的时候形成最高的水位，较大的涨潮和较小的涨潮在它们中间的时候使水上升到一个平均的高度，且在两次较小的涨潮之间水上升到最小的高度。于是在二十四小时的时间里，水不是如通常那样两次达到最大的高度，而是一次达到最大的高度且一次达到最小的高度；且最大的高度，如果月球在那个位置的地平线的上方趋向一极，将发生在月球经过那个位置的子午线之后的第六个小时或者第三十个小时，且月球的赤纬的改变，使涨潮变为落潮。所有这些事情的一个例子由哈雷 给出，他依据水手们在东京 王国 （51） （Regnum Tunquini）的位于北纬20gr. .50′的巴特沙姆 港的观测。在这里当月球穿过赤道后的一天，海水平静；然后，当月球趋向北时，海水开始涨潮和落潮，不是如其他港口的每天两次，而是一次；又当月球下落时，涨潮开始，且当在它升起时，落潮最大。这个海潮与月球的赤纬一起增大，直到第七或者第八天；在接下来的七天它减小的程度与以前增加的程度相同；且当月球的赤纬改变时，涨潮停止并不久变成落潮。因为随后的落潮发生在月球下落时，且涨潮发生在它升起时，直到月球再次改变其赤纬。到这个港口和附近的海峡有两条不同的通道，一为经过大陆和吕宋 岛之间的中国 海，一为经过大陆和婆罗洲 岛之间的印度洋 。但是否来自印度洋 的海潮在十二小时的时间，且来自中国 海的海潮在六小时的时间通过这些海峡到来，并由此在第三个和第九个太阴小时发生此类的合成运动；以及那些大海是否有其他情况，我留待由对邻近海岸的观察确定。

至此我已给出了月球的和海洋的运动的原因。现在添加一些关于那些运动的量的内容是适宜的。

命题XXV 问题VI

求太阳对月球的运动摄动的力。

指定S为太阳，T为地球，P为月球，CADB为月球的轨道。

在SP上取SK等于ST；又设SL比SK按照SK比SP的二次比，且引LM平行于PT；又若地球向着太阳的加速重力由距离ST或者SK表示，则SL是月球向着太阳的加速重力。它由部分SM，LM合成，其中的LM和SM的部分TM摄动月球的运动，正如已在第一卷命题LXVI及其系理中所阐述的。既然地球和月球围绕它们的重力的公共的中心旋转，地球围绕那个中心的运动也被类似的力摄动；但是这可以把力的和及运动的和归之于月球，且力的和由与它们相似的直线TM和ML表示。力ML，按其平均的量，比一个向心力，由它月球能以距离PT在自己的轨道上围绕静止的地球运行，（由第一卷命题LXVI系理17）按照月球围绕地球的循环时间比地球围绕太阳的循环时间的二次比，这就是，按照27天7小时43分比365天6小时9分的二次比，亦即如同1000比 ，或者1比1782940。但我们在命题四发现，如果地球和月球围绕它们的重力的公共的中心运行，一个离开另一个的平均距离很接近 个地球的平均的半直径。且力，由它月球能以 个地球的半直径的一段距离PT围绕静止的地球在轨道上运行，比一个力，由它月球能在相同的时间以60个地球的半直径的一段距离运行，如同 比60；且这个力比在我们周围的重力很接近地如同1比60×60。且因此平均的力ML比在地球的表面的重力，如同1× 比60×60×60× ，或者1比638092.6。由此，并由直线TM，ML的比，力TM也被给定；且太阳的这些力，由于它们月球的运动被摄动。此即所求 。

命题XXVI 问题VII

求面积的小时增量，它由从月球向地球所引的半径在一圆形的轨道上画出。

我们曾说过，面积，它由向地球引半径的月球画出，与时间成比例，但月球的运动由于太阳的作用而受到的扰动除外。我们计划在这里研究［在扰动的情况下］瞬的不等性，或者小时增量。为了使计算更容易，我们想象月球的轨道是圆形的，且除了这里讨论的不等性之外，我们忽略其他一切不等性。由于太阳的巨大的距离，我们也假设直线SP，ST彼此平行。按这种方式，力LM总被化为其自身的平均量TP，且因此力TM将化为其自身的平均量3PK。这些力（由诸定律的系理II）合成力TL；且如果向半径TP落下一条垂线LE，这个力被分解为力TE，EL，其中的TE总沿半径TP作用，对由那个半径TP画出的面积TPC既不加速，也不迟滞；而EL，它沿半径的垂直方向作用，按照它对月球加速或者迟滞的大小，加速或者迟滞画出的面积。月球的那个加速度，在它自方照C到合A的路径中的每一个瞬间所成的，如同加速力EL自身，这就是，如同 。时间由月球的平均运动，或者（这几乎得出相同的结果）由角CTP，或者由弧CP表示。以直角在CT上竖立CG等于CT。且圆周的四分之一弧AC被分成无数相等的小部分Pp，等等，由它们相同数目的相等的时间小段能被表示，又引pk垂直于CT，连结TG交KP，kp的延长于F和f；则FK等于TK，且Kk比PK如同Pp比Tp，这就是，按照给定的比，且因此FK×Kk或者面积FKkf，如同 ，亦即，如同EL；且由复合，整个面积GCKF如同在整个时间施加于月球的力EL的总和，因此也如同由这个和生成的速度，亦即，如同画出面积CTP的加速度，或者瞬的增量。力，由它月球能在其27天7小时43分钟的循环时间CADB，以距离TP围绕静止的地球运行，它使一个物体在时间CT下落，画出 CT的一个长度，并获得一个速度，它等于月球在自己的轨道上运动的速度。这由第I卷命题IV系理9是显然的。但是，因为向TP垂直落下的Kd是EL的三分之一，它等于在八分点的TP的或者ML的一半，在八分点的力EL，在这里它最大，按照3比2之比超过力ML，且因此比那个力，由它月球能在自己的循环时间围绕静止的地球运行，如同100比 ×17872 或者11915，则在时间CT应生成一个速度，它是月球速度的 ，但在时间CPA按照CA比CT或者TP之比，生成较大的一个速度。设在八分点的最大的力EL用等于矩形 TP×Pp的面积FK×Kk表示。且速度，它能由最大的力在任意时间CP生成，比一个速度，它由较小的力EL在相同的时间生成，如同矩形 TP×CP比面积KCGF；但在整个时间CPA生成的速度彼此如同矩形 TP×CA和三角形TCG，或者如同四分之一圆的弧CA和半径TP。且因此（由《几何原本 》第V卷命题IX）后一速度，在整个时间所生成的，是月球的速度的 。对月球的这个速度，它与面积的平均的瞬相似，加上并减去另一个速度的一半；且如果平均的瞬用数11915表示，则和11915＋50或者11965表示在朔望A时面积的最大的瞬，且差11915－50或者11865表示在方照时同一面积的最小的瞬。所以，在相等的时间在朔望和在方照画出的面积，彼此如同11965比11865。最小的瞬11865加上一个瞬，它比瞬的差100如同四边形FKCG比三角形TCG（或者结果一样，如同正弦PK的平方比半径TP的平方，亦即，如同Pd比TP）；则和表示当月球在居间的任意位置P时面积的瞬。

所有这些事情如此，是来自一个假设：太阳和地球静止，且月球运行的会合周期为27天7小时43分钟。但由于月球真实的会合周期为29天12小时44分钟，瞬的增量应接时间之比增大，亦即，按照1080853比1000000的比。按这种方式，总的增量，它是平均的瞬的 ，现在成为平均的瞬的 。且因此在方照时面积的瞬比在朔望时面积的瞬，如同11023－50比11023＋50，或者10973比11073；且比面积的瞬，当月球在其他居间的任意位置P时，如同10973比10973＋Pd，TP取作等于100。

所以，面积，它由向地球引半径的月球在每一相等的时间小段画出，在一个半径为一的圆上，非常近似地如同数219.46 及二倍月球离最近的方照的距离的正矢之和。当变差在八分点是其平均的大小时，有以上这些情形。但如果在那里的变差较大或者较小，那个正矢应按相同的比增大或者减小。

命题XXVII 问题VIII

从月球的小时运动求它离地球的距离。

面积，它由向地球引半径的月球在时间的每一个瞬间画出，如同月球的小时运动和月球离地球的距离的平方的联合；且所以，月球离地球的距离按照来自面积的二分之一次正比和小时运动的二分之一次反比的复合比。此即所求 。

系理1 因此，月球的视直径被给定，因为它与月球离地球的距离成反比。让天文学家尝试这一规则与天象何等相符。

系理2 因此，从天象可以较以前更精确地确定月球的轨道。

命题XXVIII 问题IX

求轨道的直径，月球应在其上运动，它无偏心率。

由一个运动物体画出的轨道的曲率，如果它沿垂直于那个轨道的方向被牵引，与吸引成正比且与速度的平方成反比。我假定曲线的曲率彼此按照相对于相等的半径的切角的正切或者正弦的最终比，当那些半径减小以至无穷时。但在朔望向着地球的月球的吸引是其向着地球的重力对太阳的力2PK的超出（见527页上的图），由这个力［2PK］向着太阳的月球的加速重力超过向着太阳的地球的加速重力或者被后者超过。但在方照，那个吸引是向着地球的月球的重力和太阳的力KT的和，由它［KT］月球被向着地球牵引。且这些吸引，如果称 为N，很近似地如同 - 和 + ；或者如同178725N×CTq －2000ATq ×CT和178725N×ATq +1000CTq ×AT。因为如果向着地球的月球的加速重力用数178725表示，平均力ML，它在方照等于PT或者TK并向着地球牵引月球，为1000，则平均力TM在朔望为3000；如果从它减去平均力ML，被保留的力为2000，由它月球在朔望被拉离地球，且我在上面称它为2PK。但是在朔望A和B时月球的速度比它在方照C和D时的速度，如同CT比AT和在朔望时由向地球引半径的月球所画的面积的瞬比在方照时同样的面积的瞬的联合，亦即，如同11073CT比10973AT。取这个比的反比两次和前一个比的正比一次，则月球的轨道在朔望的曲率比在方照它的曲率成为120406729×178725ATq ×CTq ×N－120406729×2000ATqq ×CT比122611329×178725ATq ×CTq ×N+122611329×1000CTqq ×AT，亦即，如同2151969AT×CT×N－24081ATcub. 比2191371AT×CT×N+12261CTcub. 。

因为不知道月球的轨道的形状，假设我们代之以一个椭圆DBCA，地球被放置在它的中心，且其长轴DC位于方照之间，短轴AB位于朔望之间。但是，由于这个椭圆的平面以一个角运动围绕地球旋转，且轨道，我们正考虑其曲率，应在完全失去所有角运动的平面上被画出，我们必须考虑一个图形，它由月球在那个椭圆上运行时在这个平面上画出，这就是图形Cpa，它的每个点p这样被发现，在椭圆上取任意点P，它表示月球的位置，并引Tp等于TP，使得角PTp等于太阳自方照C后完成的视运动；或者（这几乎得出相同的结果）使得角CTp比角CTP如同月球的会合周期的时间比循环运行的时间，或者29d. .12h .44′ （52） 比27d. .7h .43′。所以按相同的比取角CTa比直角CTA，并使长度Ta等于TA，则a 为这个轨道Cpa的下拱点且C为上拱点。但是，通过计算，我发现轨道Cpa在顶点a的曲率，和以中心T间隔TA所画出的圆的曲率之间的差，比椭圆在顶点A的曲率和同一个圆的曲率的差，按照角CTP比CTp的二次比；且椭圆在A的曲率比那个圆的曲率，按照TA比TC的二次比；又那个圆的曲率比以中心T和间隔TC所画出的圆的曲率，如同TC比TA；但这个曲率比椭圆在C的曲率，按照TA比TC的二次比；则椭圆在顶点C的曲率和最后一个圆的曲率之间的差，比图形Tpa在顶点C的曲率和同一个圆的曲率之间的差，按照角CTp比角CTP的二次比。这些比容易从切角的和那些角的差的正弦推得。此外，通过相互比较这些比，得出图形Cpa在a的曲率比在C它的曲率，如同ATcub. + CTq ×AT比CTcub. + ATq ×CT。这里数 代表角CTP和CTp的平方的差除以较小的角CTP的平方，或者（这是一样的）时间27d. .7h .43′和29d. .12h .44′的平方的差除以时间27d .7h .43′的平方。

所以，由于指定a为月球的朔望，且C为它的方照，刚才发现的比例应与上面已发现的月球的轨道在朔望的曲率比在方照它的曲率是相同的。因此，为发现CT比AT的比例，我将外项和外项且内项和内项彼此相乘。把得到的项除以AT×CT，变成2062.79×CTqq －2151969N×CTcub. +368676N×AT×CTq +36342 ATq ×CTq －362047N×ATq ×CT+2191371N×ATcub. +4051.4ATqq =0。当我把项AT和CT的和之半N写成1，且它们的差之半设为x，则CT＝1＋x，且AT＝1－x；在方程中代入这些值并解所得的方程，得到x等于0.00719，且因此半直径CT为1.00719，半直径AT为0.99281，这些数彼此非常近似地如同 和 。所以，月球在朔望时离地球的距离比在方照时它离地球的距离（摈弃考虑偏心率）如同 比 ，或者取整数如同69比70。

命题XXIX 问题X

求二均差（variatio lunœ）。

这一不等性部分地起源于月球的轨道的椭圆形状，部分地来自面积的瞬的不等性，面积由向地球引半径的月球画出。如果月球P在椭圆DBCA上围绕在椭圆中心静止的地球运动，且向地球引的半径TP画出的面积CTP与时间成比例；又椭圆的最大半直径CT比最小的半直径TA如同70比69；角CTP的正切比从方照C算起的平均运动的角的正切，如同椭圆的半直径TA比它的半直径TC或者69比70。但当月球自方照向朔望前进时，面积CTP的画出应如此被加速，在月球的朔望它的瞬比在方照它的瞬如同11073比10973，且使在任意中间位置P时［面积的］瞬对在方照时［面积的］瞬的超出如同角CTP的正弦的平方。这会足够精确地发生，如果角CTP的正切按照数10973比数11073的二分之一次比减小，亦即，按照数68.6877比数69之比减小。由此，角CTP的正切现在比平均运动的正切如同68.6877比70，且在八分点，那里的平均运动为45gr. ，发现角CTP为44gr. .27′.28″，从平均运动的角45gr. 中减去它，剩下最大的变差为32′.32″。事情将会如此，如果月球自方照向朔望前进只画出九十度的角CTA。但是，因为地球的运动，由此运动太阳的视运动被前移，月球，当它赶上太阳时，画出的角CTa按照月球的会合周期的时间比它运行的循环时间，亦即，按照29d. .12h .44′比27d. .7h .43′的比大于直角。且按这种方式围绕中心的所有角接相同的比被扩大，而最大的变差不再是32′.32″，现在按相同的比增大为35′.10″。

这是在太阳离地球的平均距离上，忽略差异，它们可能起源于大轨道（orbis magnus）的曲率以及太阳对镰刀状的朔月的作用比对凸形的望月的作用大，得到的。在太阳离地球的其他距离上，最大的变差按照一个比，它由来自会合周期的时间（每年的时间被给定）的二次正比和太阳离地球的距离的三次反比复合而成。且因此，在太阳的远地点，最大的变差为33′.14″，且在它的近地点为37′.11″，只要太阳的偏心距 （53） 比大轨道的横截的半直径如同 比1000。

但目前为止，我们已研究了在无偏心率的一条轨道上的变差，在此轨道上，月球在它自己的八分点时总在它离地球的平均距离上。如果月球，由于其偏心率，它离地球的距离大于或者小于如果它在这个轨道上的距离，变差较按照这个规则的变差会略大，或者略小，但超出或者不足我留给天文学家们从天象上确定。

命题XXX 问题XI

在一个圆轨道上求月球的交点的小时运动。

指定S为太阳，T为地球，P为月球，NPn为月球的轨道，Npn为轨道在黄道的平面上的投影，N，n为交点，nTNm为无限延长的交点线；PI，PK为落到直线ST，Qq上的垂线，Pp为落到黄道的平面上的垂线；A，B为在黄道的平面上的月球的朔望；AZ为落到交点线Nn上的垂线；Q，q为月球在黄道的平面上的方照，且pK为落到方照之间的直线Qq上的垂线。摄动月球的运动（由命题XXV）的太阳之力是分成两部分的，其中一部分与这个命题的图形中的直线LM成比例，另一部分与直线MT成比例。且前一个力把月球拉向地球，后一个力沿从地球到太阳所引直线的平行线把它拉向太阳。前一个力LM沿月球的轨道的平面作用，且所以一点也不改变平面的位置。因此这个力被忽略了。后一个力MT对月球轨道的摄动与力3PK或者3IT是相同的。且这个力（由命题XXV）比一个力，由它月球能在围绕静止的地球的圆上以自己的循环时间均匀地运行，如同3IT比圆的半径乘以数178.725，或者如同IT比半径乘以数59.575。但在这个计算，以及以后的一切计算中，我考虑所有自月球到太阳所引的直线作为平行于自地球到太阳所引的直线；因为如此的倾斜在一些情形下对所有影响的减小几乎与它在另一些情况下对所有影响的增大一样；且我们探究交点的平均运动，忽略这样的枝节，它们会使计算受到过多的阻碍。

现在指定PM为一段弧，它由月球在给定的极短的时间画出，且ML为一条短线，在相同的时间月球在施加所说的力3IT的情况下能画出它的一半。连结PL，MP并延长它们至m和l，在那里它们与黄道的平面相截；又在Tm上落下垂线PH。又，因为直线ML平行于黄道的平面；且因此，由于直线ml位于那个平面上，它们不可能相交，然而这两条直线位于一个共同的平面LMPml上；这些直线平行，且由此三角形LMP，lmP相似。现在，由于MPm在轨道的平面上，在其上在位置P的月球在运动，Mpm交过那个轨道的交点N，n引的直线Nn于点m。又由于力，由它短线LM的一半被生成，如果整个力同时且一次施加于位置P，将生成那整条直线；并使月球沿其弦为LP的弧运动，因此月球从平面MPmT上被迁移到平面LPlT上；由那个力产生的交点的角运动等于角mTl。但是ml比mP如同ML比MP，且所以，由于MP因为时间的给定而被给定，ml如同矩形ML×mP，亦即，如同矩形IT×mP。又，角mTl，只要角Tml为直角，就如同（ml）/（Tm），且因此如同（IT×Pm）/（Tm），亦即（由于Tm和mP，TP和PH成比例）如同（IT×PH）/（TP），由于TP给定，因此如同ML×PH。但是，如果角Tml，或者角STN是倾斜的，角mTl按照角STN的正弦比半径，或者AZ比AT之比而更小。所以交点的速度如同IT×PH×AZ，或者如同三个角TPI，PTN和STN的正弦之下的容量。

如果那些角，当交点在方照和且月球在朔望时，为直角，短线ml远离以至无穷，且角mTl变得等于角mPl。但在这种情况下，角mPl比角PTM，它由月球在相同的时间由它的视运动围绕地球画出，如同1比59.575。因为角mPl等于角LPM，亦即，等于月球从一直线路径偏转的角，它能单独由所说过的太阳的力3IT在那段给定的时间生成，如果月球的重力消失；且角PTM等于月球从一直线路径偏转的角，它能由月球被保持在它自己的轨道上的那个力在相同的时间生成，如果太阳的力3IT消失。且这些力，按照我们上面所说，彼此之比如同1比59.575。所以，由于月球相对于恒星的小时平均运动为32′.56″.27. iv ，在这种情况下交点的小时运动为33″.10.33iv .12v 。但是在其他情形，交点的小时运动比33″.10.33iv .12v 如同三个角TPI，PTN，和STN的正弦（或者月球离方照的，月球离交点的和交点离太阳的距离）之下的容量比半径的立方。且每当任一个角的符号从正变负，且又从负变正时，退行运动应变为前行运动且前行运动变为退行运动。因此，当月球位于方照之一和离方照最近的交点之间时，交点前行。在其他情形，交点退行，且由于退行对前行的超出交点每月被携带着向后移动。

系理1 因此，如果从给定的极短的弧PM的端点P和M，向连结方照的直线Qq落下垂线PK，Mk，并延长这些垂线直到它们截交点线Nn于D和d；交点的小时运动如同面积MPDd和直线AZ的平方的联合。因为PK，PH和AZ为上述的三个正弦。即月球离方照的距离的正弦PK，月球离交点的距离的正弦PH，和交点离太阳的距离的正弦AZ：交点的速度如同容量PK×PH×AZ。但是，PT比PK如同PM比Kk，且因此，由于PT和PM给定，Kk和PK成比例。又，AT比PD如同AZ比PH，且所以PH与矩形PD×AZ成比例，再由比的联合，PK×PH如同容量Kk×PD×AZ，且PK×PH×AZ如同Kk×PD×AZqu. ，亦即，如同面积PDdM和AZqu. 的联合。此即所证 。

系理2 在交点的任何给定的位置，其小时平均运动是在月球的朔望时的小时运动的一半，且因此它比16″.35.16iv .36v 的比如同交点离朔望的距离的正弦的平方比半径的平方，或者如同AZqu. 比ATqu. 。因为如果月球以均匀的运动经过半圆QAq，在月球从Q前进到M期间，所有的面积PDdM的和是面积QMdE，它由圆的切线QE界定；且月球到达点n的时间，那个和是整个面积EQAn，它由直线PD画出，然后月球从n前进到q，直线PD落在圆的外面，并画出由圆的切线qe界定的面积nqe；它，因为交点在前面退行而现在前行，应从前者的面积中减去，且因为它等于面积QEN，剩下半圆NQAn。所以在月球画出半个圆的一段时间，所有面积PDdM的和是半圆的面积；且在月球画出一个圆的时间所有的面积的和是整个圆的面积。但是面积PDdM，当月球在朔望时，是弧PM和半径PT之下的矩形；且在月球画出一个圆的时间，等于这个面积的所有面积的和是整个圆周和圆的半径之下的矩形；且这个矩形，由于它等于两个圆，是前一个矩形的两倍。因此，如果交点以它们在月球的朔望所具有的速度均匀地持续，它们将画出二倍于它们实际画出的空间；且所以平均的运动，如果以它均匀地持续，能画出它们以不等的运动实际画出的空间，是它们在月球的朔望所具有的运动的一半。因此，由于最大的小时运动，如果交点在方照，是33″.10.33iv .12v ，在这一情形的小时平均运动是16″.35.16iv .36v 。且由于交点的小时运动总如同AZqu. 和面积PDdM的联合，且所以交点的小时运动在月球的朔望如同AZqu. 和面积PDdM的联合，亦即（由于画出的面积PDdM在朔望被给定）如同AZqu. ，平均运动也如同AZqu. ；且因此这个运动，当交点在方照之外，比16″.35.16iv .36v ，如同AZqu. 比ATqu. 。此即所证。

命题XXXI 问题XII

在一个椭圆轨道上求月球的交点的小时运动。

指定Qpmaq为以长轴Qq，短轴ab画出的一个椭圆，QAqB为一个外接圆；T为在两者公共的中心的地球，S为太阳，p为在椭圆上运动的月球，且pm为在给定的极短的时间段月球画出的弧，N和n为由直线Nn连结的交点，pK和mk为落在轴Qq上的垂线并向两边延长直到它们交圆于P和M，且与交点线交于D和d。再者，如果月球，由向地球引的一个半径，画出的面积与时间成比例，在椭圆上的交点的小时运动如同面积pDdm和AZq 的联合。

因为，如果PF切圆于P，且延长交TN于F，又pf切椭圆于p并延长交同一TN于f，这些切线在轴TQ上相遇于Y；且如果指定ML为一段空间，它能由在圆上运行的月球，在它画出弧PM期间，在以上说过的力3IT或者3PK的压迫和推动下以横向的运动画出；且指定ml为一段空间，它能由在椭圆上运行的月球在相同时间，也在力3IT或者3PK的推动下画出；再延长LP和lp直到它们交黄道的平面于G和g；又连结FG和fg，延长其中的FG分别截pf，pg和TQ于c，e和R，且延长fg截TQ于r。因为在圆上的力3IT或者3PK比在椭圆上的力3IT或者3pK，如同PK比pK，或者AT比aT；由前一个力生成的空间ML比后一个力生成的空间ml，如同PK比pK，亦即，由于图形PYKp和FYRc相似，如同FR比cR。但是ML比FG（由于三角形PLM，PGF相似）如同PL比PG，这就是（由于Lk，PK，GR平行）如同pl比pe，亦即（由于三角形plm，cpe相似）如同lm比ce；且与LM比lm成反比，或者如同FR比cR，于是如同FG比ce。所以，如果fg比ce如同fY比cY，亦即，如同fr比cR（这就是，如同fr比FR和FR比cR的联合，亦即，如同fT比FT和FG比ce的联合），因为两边除去FG比ce之比，剩下fg比FG之比和fT比FT之比，有fg比FG如同fT比FT；且因此FG和fg 对地球T所张的角彼此相等。但那些角（由我们在上一命题所陈述的）等于是交点的运动，在此期间月球在圆上跑过弧PM，在椭圆上跑过弧pm；且所以在圆上和在椭圆上交点的运动彼此相等。事情就是如此，只要fg比ce如同fY比cY，亦即，如果fg等于 。但是，由于三角形fgp，cep相似，fg比ce如同fp比cp；且因此fg等于 ；且所以角，它由fg实际张成，比前一个角，它由FG张成，这就是，在椭圆上交点的运动比在圆上交点的运动，如同这个fg或者 比前一个fg或者 ，亦即，如同fp×cY比fY×cp，或者fp比fY和cY比cp，这就是，如果与TN平行的ph交FP于h，如同Fh比FY和FY比FP；这就是，如同Fh比FP或者Dp比DP，且因此如同面积Dpmd比面积DPMd。且所以，因为（由命题XXX系理1）后一个面积和AZq 的联合与在圆上交点的小时运动成比例，则前一个面积和AZq 的联合与在椭圆上交点的小时运动成比例。此即所证。

系理 所以，由于在交点的任意给定的位置，在月球从方照前进到任意的位置m期间，所有面积pDdm的和，等于面积mpQEd，它由椭圆的切线QE界定；在一次完整的运行中，所有那些面积之和等于整个椭圆的面积：在椭圆上交点的平均运动比在圆上交点的平均运动，如同椭圆比圆；亦即，如同Ta比TA，或者69比70。且所以，因为（由命题XXX系理2）在圆上交点的平均小时运动比16″.35.16iv .36v 如同AZqu. 比ATqu. ，如果取角16″.21.3iv .30v 比角16″.35.16iv .36v 如同69比70，则在椭圆上交点的平均小时运动比16″.21.3iv .30v 如同AZqu. 比ATqu. ；这就是，如同交点离太阳的距离的正弦的平方比半径的平方。

但月球，由向地球引的一条半径，画出的面积在方照比在朔望迅速，且因此在朔望的时间被缩短，在方照被延长；又交点的运动随着时间被增大或者减小。但在月球的方照面积的瞬比在朔望它的瞬如同10973比11073，且所以在八分点时平均的瞬比在朔望时的超出，以及在方照时的缺失，如同那些数的和之半11023比它们的差之半50。因此，由于月球在其轨道的每一个相等的小部分的时间与它的速度成反比，在八分点时的平均的时间比在方照时时间的超出，以及在朔望时的缺失，由于这个原因，很接近地如同11023比50。但对从方照到朔望，我发现在任一个位置的面积的瞬对在方照的最小的瞬的超出，很近似地如同月球离方照的距离的正弦的平方；且所以在任意位置的瞬和在八分点的平均的瞬的差如同月球离方照的距离的正弦的平方与45度的正弦的平方，或者半径的平方的一半的差；且在八分点和方照之间任一位置的时间的增量，以及在八分点和朔望之间其减量，按照相同的比。但交点的运动，在此期间月球跑过任一相等的一小段轨道，按照时间的二次比被加速或者迟滞。因为那个运动，当月球跑过PM（其他情况相同）期间，如同ML，又ML按照时间的二次比。所以，交点在朔望的运动，在月球跑过其轨道的给定的小部分的时间所完成的，按照数11073比数11023的二次比减小；且减量比剩余的运动如同100比10973，比总的运动很近似地如同100比11073。但在八分点和朔望之间的位置上的减量和在八分点和方照之间的位置上的增量，比这个减量，很近似地如同在那些位置的整个运动比在朔望的整个运动，和月球离方照的距离的正弦的平方与半径的平方的一半之间的差比半径的平方的一半的联合。因此如果交点在方照，并取离八分点等距离的两个位置，一个在一侧，一个在另一侧，且离朔望和离方照以同样的距离取另两个位置，又若从在朔望和八分点之间的两个位置的运动的减量减去在其余两个位置的运动的增量，这两个位置在八分点和方照之间；剩下的减量等于在朔望的减量，进行计算容易得出。且所以，平均的减量，应从交点的平均运动减去的，是在朔望的减量的四分之一。在朔望交点的整个小时运动，在月球向地球所引半径画出的面积被假定为与时间成比例时，为32″.42.7iv 。且交点的运动的减量，在现在月球更迅速地画出相同的空间的时间里，按我们刚才所说，比这个运动，如同100比11073；且因此那个减量为17.43iv .11v ，它的四分之一为4.25iv .48v ，从上面发现的平均小时运动16″.21.3iv .30v 减去它，剩下正确的平均小时运动16″.16.37iv .42v 。

如果交点在方照之外，且针对离朔望距离相等的两个位置，一个在一侧，一个在另一侧；当月球在这些位置时，交点的运动的和，比当月球在同样的位置且交点在方照时运动的和，如同AZqu. 比ATqu. 。且运动的减量，它起源于刚才阐述的原因，相互之比如同运动自身，所以剩下的运动相互之比如同AZqu. 比ATqu. ，且平均运动如同剩下的运动。于是正确的平均小时运动，在交点任意给定的位置，比16″.16.37iv .42v ，如同AZqu. 比ATqu.；亦即，如同交点离朔望的距离的正弦的平方比半径的平方。

命题XXXII 问题XIII

求月球的交点的平均运动。

平均年运动是在一年中的所有平均小时运动的和。设想交点在N，且由于每一小时的运动已完成，它被拉回到原来的位置，使得尽管有它自身的正常运动，相对于恒星它总被保持在某一给定的位置。在此期间太阳S，由于地球的运动，太阳从交点前进且以均匀的运动完成其视年路径。此外，设Aa为给定的极短的弧，总向太阳引直线TS，它与圆NAn的相交部分在给定的极短的时间画出弧Aa：则平均小时运动（由已显示的）如同AZq，亦即（由于AZ，ZY成比例）如同AZ和ZY之下的矩形，这就是，如同面积AZYa。从开始所有平均小时运动的和，如同所有面积aYZA的和，亦即，如同面积NAZ。但是最大的［面积］AZYa等于弧Aa和圆的半径之下的矩形；且所以在整个圆中所有矩形的和比同样数目的最大的矩形的和，如同整个圆的面积比整个圆的圆周和半径之下的矩形，亦即，如同1比2。此外，最大的矩形对应的小时运动，是16″.16.37iv .42v 。且这个运动，在一个整恒星年的365天6小时9分钟中累计为39gr. .38′.7″.50。且因此，它的一半19gr. .49′.3″.55，是对应于整个圆的交点的平均运动。且交点的运动，在太阳自N前进到A的时间，比19gr. .49′.3″.55，如同面积NAZ比整个圆。

这些论断如此来自假设，交点每小时被拉回到它原来的位置，这样使得太阳在一整年过完时返回到相同的交点，它曾经从这里开始离开。但是由于交点的运动使得太阳更迅速地转回到交点，且现在必须计算时间的缩短。由于太阳在一整年完成360度，且在相同的时间交点以其最大的运动完成39gr. .38′.3″.50，或者39.6355度；又在任意位置N时交点的平均运动比在方照时它的平均运动，如同AZq 比ATq ：太阳的运动比在N时交点的运动，如同360ATq 比39.6355AZq ；亦即，如同9.0827646ATq 比AZq 。因此，如果整个圆的圆周NAn被分为相等的小部分Aa，时间，在此期间太阳跑过小部分Aa，如果圆静止，比一段时间，在此期间它跑过相同的小部分，如果圆与交点一起围绕中心T旋转，与9.0827646ATq 比9.0827646ATq +AZq 成反比。由于时间与跑过小部分的速度成反比，且这个速度是太阳的和交点的速度之和。所以时间，如果在此期间交点没有运动，太阳跑过弧NA，由扇形NTA表示，且时间的小部分，在此期间它跑过极短的弧Aa，由扇形的小部分ATa表示；又（在Nn上落下垂线aY）如果在AZ上取dZ，其长度使得dZ和ZY构成的矩形比扇形的小部分ATa如同AZq 比9.0827646ATq +AZq ，亦即，使得dZ比 AZ如同AZq 比9.0827646ATq +AZq ，dZ和ZY构成的矩形表示在弧Aa被跑过的整个时间中起源于交点运动的时间的减量。且如果点d 占据曲线NdGn，曲线的面积NdZ是整个减量，在此期间整个弧NA被跑过；所以扇形NAT对面积NdZ的超出是那整个时间。又因为交点的运动在较短时间按时间的比较小，面积AaYZ应按相同的比减小。这将会发生，如果在AZ上取一段长度eZ，它比长度AZ如同AZq 比9.0827646ATq +AZq 。因为这样eZ和ZY构成的矩形比面积AZYa如同时间的减量，在此期间弧Aa被跑过，比整个时间，在此期间弧［Aa］被跑过，如果交点静止：所以那个矩形对应于交点的运动的减量。又，如果点e点据曲线NeFn，整个面积NeZ，它是所有减量的和，在弧AN被跑过的时间，对应于整个减量；且剩余的面积对应于剩余的运动，在整个弧NA被太阳的和交点的联合的运动跑过的时间，它是交点的真运动。现在，由无穷级数法找到半圆的面积比图形NeFn的面积，很接近地如同793比60。但是运动，它对应于整个圆，是19gr. .49′.3″.55，且所以运动，它对应于二倍的图形NeFn，是1gr. .29′.58″.2。从前一个运动中减去它，剩下18gr. .19′.5″.53，是交点相对于恒星在它两次与太阳会合期间的整个运动；且从太阳的年运动360度中减去这个运动，剩下的341gr. .40′.54″.7是太阳在相同的会合期间的运动。但由于这个运动比年运动360gr. ，如同刚发现的交点的运动18gr. .19′.5″.53比它自己的年运动，所以它为19gr. .18′.1″.23。这是在一个恒星年中交点的平均运动。由天文表这个值是19gr. .21′.21″.50。差小于整个运动的三百分之一，且似乎起源于月球的轨道的偏心率和对于黄道的平面的倾角。由于轨道的偏心，交点的运动被过度加速，另一方面，由于其倾角，交点的运动有些被迟滞，并导致其恰当的速度。

命题XXXIII 问题XIV

求月球的交点的真实运动。

在时间，它如同面积NTA－NdZ（在上图中），运动如同面积NAe，且因此被给定。但是由于计算过于困难，应用问题的下述作法更好。以中心C，任意间隔CD画圆BEFD。延长DC至A，使得AB比AC如同当交点在方照时的平均运动比一半的真实的平均运动，亦即，如同19gr. .18′.1″.23比19gr. .49′.3″.55，且因此BC比AC如同运动的差0gr. .31′.2″.32，比后一个运动19gr. .49′.3″.55，这就是，如同1比 ；然后过D引无限的直线Gg，它切圆于D；如果又取角BCE或者BCF等于二倍的太阳离交点的位置的距离，作为通过平均运动发现的；再作AE或者AF截垂线DG于G；并取一个角，它比在其朔望之间交点的整个运动（亦即，比9gr. .11′.3″）如同切线DG比圆BED的整个圆周；并加上这个角（对此可用角DAG）到交点的平均运动中，当交点越过方照向朔望时；并从相同的平均运动中被减去，当交点越过朔望向方照时；得到它们的真实运动。因为如此发现的真实运动与时间由面积NTA－NdZ且交点的运动由面积NAe表示得到的真实运动非常接近；对任何斟酌此事并进行计算的人，是显然的。这是交点运动的半年差（aequatio semestris）。也存在月差（aequatio menstrua），但对求月球的纬度绝不需要。因为由于月球对于黄道的平面的倾角的变化附属于两个均差，一为半年的，一为一月的；这个变差的月均差（menstrua inaequalitas）和交点的月差，彼此相互节制和修正，使得两者在确定月球的纬度中能被忽略。

系理 从本命题和前面的一个命题，显然，交点在它们的朔望是静止的，但在方照，它们以16″.19.26iv 的小时运动退行。且在八分点，交点的运动的变差为1gr. .30′。所有这些与天象适相吻合。

解释

求交点的运动的其他方法已由格雷欣［学院］的天文学教授约翰·梅钦 和医学博士亨利·彭伯顿 分别发现。这个方法在别处曾被提到。两人的论文，就我所见，包含两个命题，且两者彼此一致。梅钦先生的论文，由于先到我手中，附于此。

论月球的交点的运动

命题 I

离开交点的太阳的平均运动，由太阳的平均运动和那个平均运动之间的几何比例中项确定，太阳由那个平均运动最迅速地退离在方照的交点。

设T为地球所在的位置，Nn为在任意给定的时刻月球的交点线，引一直线KTM与这条直线成直角，直线TA围绕中心以太阳和交点相互退离的角速度转动，如此使得静止的直线Nn和旋转的TA之间的角总等于太阳的和交点的位置之间的距离。现在如果任意的直线TK被分成部分TS和SK，使得它们如同太阳的平均小时运动比在方照时交点的平均小时运动，且设直线TH是部分TS和整体TK之间的比例中项，其中的这条直线［TH］与太阳离开交点的平均运动成比例。

由于以中心T和半径TK画圆NKnM，又以相同的中心和半轴TH和TN画椭圆NHnL，且时间，在此期间太阳经弧Na退离交点，如果引直线Tba，扇形NTa的面积表示在相同的时间交点的和太阳的运动的和。所以，设aA是极短的弧，它由直线Tba按照前面所说的定律转动并在给定的一小段时间均匀地画出，且极小的扇形TAa如同速度的和，太阳和交点在那时以它们分别被移动。但是太阳的速度几乎是均匀的，因为它的小的不等性难以在交点的运动中引入变化。这个和的另一部分，即交点按自身平均量的速度，由《原理 》第III卷命题XXXI的系理，在退离朔望时按它离太阳的距离的正弦的二次比被增大；且它的［速度］相对于K处的太阳位于方照时最大，这个速度比太阳的速度与SK比TS有相同的比，这即是如同（TK和TH的平方的差或者）矩形KHM比正方形TH。但椭圆NBH将这个表示两个速度之和的扇形ATa分为两部分ABba和BTb，它们与速度成比例。因为，延长BT至圆上的β，并从点B向长轴落下垂线BG，它向两个方向延长交圆于点F和f，又因为空间ABba比扇形TBb如同矩形ABβ比正方形BT（因那个矩形等于来自TA和TB的正方形的差，由于Aβ在T被平分且在B不被平分）。所以这个比，当空间ABba在K最大时，与矩形KHM比正方形HT的比相同；但交点的最大的平均速度比太阳的速度按照这个比。所以在方照扇形ATa被分成与速度成比例的部分。又因为矩形KHM比正方形HT如同［矩形］FBf比正方形BG，且矩形ABβ等于矩形FBf。所以一小块面积ABba当它最大时比余下的扇形TBb，如同矩形ABβ比正方形BG。但这些小面积的比总如同矩形ABβ比正方形BT；且所以在位置A时的小面积ABba按照BG比BT的二次比，就是按照太阳离交点的距离的正弦的二次比，小于在方照时的类似的小面积。又由于所有小面积ABba的和，即空间ABN如同交点在一段时间的运动，在此期间太阳通过弧NA远离交点。且剩下的空间，即椭圆扇形NTB如同太阳在相同时间的平均运动。所以，因为交点的平均年运动是它在一段时间发生的运动，在此期间太阳完成了自己的循环，交点离开太阳的平均运动比太阳自身的平均运动，如同圆的面积比椭圆的面积，这就是，如同直线TK比直线TH，即TK和TS之间的比例中项；或者得到同样的结果，如同比例中项 TH比直线TS。

命 题 II

给定月球的交点的平均运动求真实运动。

设角A为太阳离交点的平均位置的距离，或者太阳离开交点的平均运动。如果又取角B，它的正切比角A的正切如同TH比TK，这就是，按照太阳的平均小时运动比当交点位于方照时太阳离开交点的平均小时运动的二分之一次比；同一个角B是太阳离开交点的真实位置的距离。因为连结FT，且从上一命题的证明中，角FTN是太阳离交点的平均位置的距离，而角ATN为太阳离交点的真实位置的距离，且这些角的正切彼此如同TK比TH。

系理 因此，角FTA为月球交点的均差，且当这个角的正弦最大时是在八分点，它比半径如同KH比TK＋TH。但在其他任意位置A这个均差的正弦比最大的正弦，如同角的和FTN＋ATN的正弦比半径：这几乎如同二倍的太阳离交点的平均位置的距离（即2FTN）的正弦比半径。

解释

如果交点的平均小时运动在方照为16″.16.37iv .42v ，这就是在整个恒星年中为39°.38′.7″.50，TH比TK按照数9.0827646比数10.0827646的二分之一次比，这就是，如同18.6524761比19.6524761。且所以TH比HK如同18.6524761比1，这就是如同太阳在一个恒星年中的运动比交点的平均运动19°.18′.1″. 。

但是，如果月球的交点的平均运动在20儒略年 （54） 的386°.50′.15″，作为在观测中得到的并用于月球的理论：则交点的平均运动在一恒星年为19°.20′.31″.58，且TH比HK如同360gr. 比19°.20′.31″.58′″，这就是，如同18.61214比1，因此交点在方照的平均小时运动成为16″.18.48iv 。且交点在八分点的最大均差为1°.29′.57″。

命题XXXIV 问题XV

求月球的轨道对于黄道的平面的倾角的小时变差。

指定A和a为朔望；Q和q为方照；N和n为交点；P为月球在它自己轨道上的位置，p为那个位置在黄道的平面上的射影，且为mTl为交点的运动的瞬如上。且如果向直线Tm落下垂线PG，连结pG，并延长它直至交Tl于g，再者也连结Pg；角PGp为当月球在P时月球的轨道对黄道的平面的倾角；且角Pgp为相同的轨道在时间的瞬完成之后的倾角，且因此角GPg为倾角的瞬时变化。但这个角GPg比角GTg如同TG比PG和Pp比PG的联合。且所以，如果以一小时代替时间的瞬；由于角GTg（由命题XXX）比角33″.10.33iv 如同IT×PG×AZ比ATcub. ，则角GPg（或者倾角的小时变差）比33″.10.33iv ，如同IT×AZ×TG×[（Pp）/（PG）]比ATcub. ，此即所求 。

如果假设月球在一条圆轨道上均匀地旋转，这些结果就是如此。但是，如果那个轨道是椭圆，交点的平均运动按照短轴比长轴之比减小，正如上面所阐述的。且倾角的变差也按照相同的比减小。

系理1 如果在Nn上竖立垂线TF，且设pM为月球在黄道的平面内的小时运动，并在QT上落下垂线pK和Mk，延长两者交TF与H和h：则IT比AT如同Kk比Mp，TG比Hp如同TZ比AT，且所以IT×TG等于（Kk×Hp×TZ）/（Mp），这就是，等于面积HpMh乘以比（TZ）/（Mp）；所以倾角的小时变差比33″.10.33iv 如同HpMh乘以AZ×[（TZ）/（Mp）]×[（Pp）/（PG）]比ATcub. 。

系理2 且因此，如果每个小时完成时，地球和交点从它们的新位置被拉回，并总是迅速地返回到它们原来的位置，使得经过一个整周期月它们给定的位置被保持，那个月的时间产生的倾角的整个变差比33″.10.33iv 如同点p在一次绕行期间生成的所有面积HpMh的累积，并由适当的符号“+”和“－”连接起来，再乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比Mp×ATcub. 。亦即，如同整个圆QAqa乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比Mp×ATcub. ，也就是，如同QAqa的周长乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比2Mp×ATq 。

系理3 所以，在交点的一个给定的位置，平均小时变差，它从该处均匀地持续一个月能产生那个月变差，比33″.10.33iv ，如同AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比2ATq ，或者如同Pp× 比PG×4AT，亦即（因Pp比PG如同上面所说的倾角的正弦比半径，且 比4AT如同二倍的角ATn的正弦比四倍的半径）如同同一个倾角的正弦乘以二倍的交点离太阳的距离的正弦比四倍的半径的平方。

系理4 因为，当交点在方照时，倾角的小时变差（由本命题）比角33″.10.33iv 如同IT×AZ×TG×[（Pp）/（PG）]比ATcub. ，亦即，如同 ×[（Pp）/（PG）]比2AT；这就是，如同月球离方照的距离的二倍的正弦乘以[（Pp）/（PG）]比二倍的半径；在交点的这一位置月球从方照移动到朔望期间（亦即，在17716小时的时间）的所有小时变差的和比同样数目的角33″.10.33iv 之和，或者5878″，如同所有月球离方照的距离的二倍的正弦的和乘以[（Pp）/（PG）]比同样数目的直径的和；这就是，如同直径乘以（Pp）/（PG）比圆周；亦即，若倾角为5gr. .1′，如同7× 比22，或者278比10000。且因此，总的变差，它由所述期间所有小时变差的和凑成，为163″，或者2′.43″。

命题XXXV 问题XVI

给定时间，求月球的轨道对于黄道的平面的倾角。

设AD为最大的倾角的正弦，且AB为最小的倾角的正弦。BD在C被平分，且以C为中心，BC为间隔画一个圆BGD。在AC上按照CE比EB之比与EB比2BA所具有的比相同，取CE；且对给定的时间，角AEG设为等于二倍的交点离方照的距离，并向AD落下垂线GH：则AH为寻求的倾角的正弦。

因为GEq 等于GEq +HEq =BHD+HEq =HBD+HEq －BHq =HBD+BEq －2BH×BE=BEq +2EC×BH=2EC×AB+2EC×BH=2EC×AH。且因此，由于2EC被给定，GEq 如同AH。现在指定AEg为某个给定的时间的瞬完成之后，交点离方照的距离的二倍，则弧Gg 由于角Geg被给定，如同距离GE。但是Hh比Gg 如同GH比GC，于是Hh如同容量GH×Gg，或者GH×GE；亦即，如同[（GH）/（GE）]×GEq 或者[（GH）/（GE）]×AH，亦即，如同AH和角AEG的正弦的联合。所以，如果AH在任意一种情形是倾角的正弦，由上一命题的系理3，它将以相同的增量与倾角的正弦一起增大，且所以总与那个正弦保持相等。但AH，当点G无论落在点B或者点D时，等于这个正弦，且所以总保持与它相等。此即所证 。

在这一证明中我曾假设角BEG，它是二倍的交点离方照的距离，均匀地增大。因为没有时间考虑均差的所有细节，现在设想角BEG为一直角，且在此情形Gg为二倍的交点和太阳彼此离开的距离的小时增加；且在同一情形倾角的小时变差（由上一命题的系理3）比33″.10.33iv 如同倾角的正弦AH和直角BEG的正弦之下的容量，比四倍的半径的平方，BEG是二倍的交点离太阳的距离；亦即，如同平均倾角的正弦AH比四倍的半径；这就是（由于那个平均倾角约为5gr. . ′）如同其正弦896比四倍的半径40000，或者如同224比10000。且总的变差，与正弦的差BD对应，比那个小时变差，如同直径BD比弧Gg；亦即，如同直径BD比半圆周BGD和时间 小时，在此期间交点自方照前进到朔望，比一小时的联合；这就是，如同7比22和 比1的联合。所以，如果所有的比联合起来，总的变差BD比33″.10.33iv 如同224×7× 比110000，亦即，如同29645比1000，且因此得出那个变差BD为16′. ″。

这是不考虑月球在它自己的轨道上的位置时倾角的最大变差。因为倾角，如果交点在朔望，一点也不会由于月球的位置的不同而变化。但如果交点在方照，月球在朔望时的倾角小于月球在方照时的倾角，超出为2′.43″；正如我们在上一命题的系理四所指明的。且月球在方照，总的平均变差BD，减少这个超出的一半1′. ″，变为15′.12″，但在朔望增大相同的量，变为17′.45″。所以，如果月球出现在朔望，总的变差在交点在从方照到朔望的路径上为17′.45″；且因此，如果倾角，当交点在朔望时，为5gr. .17′.20″；则当交点在方照且月球在朔望时，为4gr. .59′.35″。且这些结果已被观测证实。

如果现在需求当月球在朔望而交点在任意位置时轨道的倾角；设AB比AD如同4gr. .59′.35″的正弦比5gr. .17′.20″的正弦，并取角AEG等于二倍的交点离方照的距离：则AH是所寻求的倾角的正弦。当月球离交点90gr. 远时，轨道的倾角等于这个倾角。在月球的其他位置，月均差，它从属于倾角的变化，在计算月球的纬度时以消除的方式为交点运动的月均差所平衡（如我们在以上所说），且因此在纬度的计算中可以被忽视。

解释

我期望由月球运动的这些计算证明，月球的运动能由重力的理论从它们的原因算出。由同一理论我更发现月球的平均运动的周年差（æquatio annua），按照第一卷命题LXVI系理6，起源于月球的轨道的倾角由于太阳的力发生的变化。当太阳在近地点，这个力较大，且扩大月球的轨道；在远地点它较小，且允许那个轨道收缩。在被扩大的轨道上月球运行得较缓慢，在被收缩的轨道上月球运行得较迅速；且周年差，由它这一不等性被补偿，在太阳的远地点和近地点消失，在太阳离地球的平均距离上大约升高到11′.50″，在其他位置与太阳的中心差成比例；且当地球自它的远日点向近日点前进中，它被加到月球的平均运动上，又在轨道的对面部分，它被从月球的平均运动中减去。假定地球的大轨道的半径为1000，且地球的偏心距为 ，这个差，当它最大时，由重力理论得出为11′.49″。但地球的偏心率似乎略大；且如果偏心率增大这个差应按相同的比被增大。设偏心距为 ，则最大的差为11′.51″。

我也发现，在地球的近日点，因为太阳的力较大，月球的远地点和交点比在地球的远日点运动得迅速，且按照地球离太阳的距离的三次反比。且由此引起这些运动的周年差与太阳的中心差成比例。但是，太阳的运动按照地球离太阳的距离的二次反比，且最大的中心差，它由这一不等性生成，是1gr. .56′.20″，与前面所说太阳的偏心率 对应。且如果太阳的运动按照距离的三次反比，则由这一不等性生成的最大的［中心］差为2gr. .54′.30″。且所以最大的差，它由月球的远地点和交点的运动的不等性生成，比2gr. .54′.30″，如同月球的远地点的日平均运动和月球的交点的日平均运动比太阳的日平均运动。因此，得到远地点的平均运动的最大的差为19′.43″，且交点的平均运动的最大的差为9′.24″。当地球由其近日点向远日点前进时，加上前一个差且减去后一个差；又在轨道的相对的部分发生相反的情形。

由重力理论亦可确立太阳对月球的作用，当月球的轨道的横截直径穿过太阳时比当这条直径与地球和太阳的连线成直角时稍大；且所以月球的轨道在前一种情形较后者稍大。且因此产生月球的平均运动的另一个差，它依赖月球的远地点对于太阳的位置；这个差当月球的远地点离太阳四十五度远时为最大；且当远地点抵达方照或者朔望时消失：在月球的远地点自太阳的方照到朔望的路径上它被加到平均运动上，且在月球的远地点自朔望到方照的路径中它被从平均运动中减去。这个差，我将称之为半年的，在远地点的八分点为最大，尽我能从天象推出的，约上升到3′.45″。这是在太阳离地球的平均距离时它的量。它按照太阳的距离的三次反比增大或者减小，因此在太阳的最大的距离很接近地为3′.34″，且在最小的距离很接近地为3′.56″；且当月球的远地点位于八分点之外时，它变得更小；且它比最大的差，如同月球的远地点离最近的朔望或者方照的距离的二倍的正弦比半径。

由同一重力理论，太阳对月球的作用当过月球的交点引的直线经过太阳时比当那条直线与太阳和地球的连线成直角时稍大。且因此产生月球平均运动的另一个差，我称之为第二半年差，且它当交点离太阳四十五度远时最大，且当交点在朔望和方照时消失，在交点的其他位置与交点离最近的朔望或者方照的距离的二倍的正弦成比例；如果太阳在离它最近的交点的前面，它被加到月球的平均运动，且如果太阳在后面，它被从月球的平均运动中减去；且在离太阳四十五度远，在那里它最大，在太阳离地球的平均距离，上升到47″，正如我由重力理论推得的。在太阳的其他距离，这个在离交点四十五度远时最大的差与太阳离地球的距离的立方成反比，且因此在太阳的近地点约上升到49″，在其远地点约上升到45″。

由同一重力理论，月球的远地点当它与太阳会合时或者相对时，它尽可能快地前进；当它相对于太阳在方照时，它后退。且由第I卷命题LXVI系理7、8和9，偏心率在前一种情形最大且在后一种情形最小。又由相同的系理，这些不等性极大，并生成远地点的主差，我称它是半年的。且最大的半年差，尽我能从天象推出的，约为12gr. .18′。我们的同国人霍罗克斯 ，首先提出月球在围绕地球的一个椭圆上运动，地球位于其下焦点上。哈雷 把椭圆的中心安置在一本轮（epicyclus）上，其中心均匀地围绕地球旋转。且由在旋轮线上的运动引起以上提到的在远地点的前行和后退以及在偏心率的量上的不等性。假设月球离地球的平均距离被分成100000份，并设T表示地球且TC表示5505份的月球的平均偏心距。延长TC至B，使得CB是最大的半年差12gr. .18′对于半径TC的正弦，则以中心C，间隔CB画出的圆BDA是那个本轮，月球的轨道的中心被安置在其上并沿字母BDA的顺序旋转。取角BCD等于二倍的年角距（argumentum annum），或者二倍的太阳的真实位置离被一次取平后的月球的远地点的距离，则CTD为月球的远地点的半年差，而TD为其轨道的偏心率，趋向被二次取平后的远地点。但是，有了月球的平均运动和远地点以及偏心率，以及有200000份的轨道的长轴；由这些［数据］通过熟知的方法求得月球在其轨道上的真实位置和它离地球的距离。

在地球的近日点，因为太阳的力较大，月球的轨道的中心围绕中心C比在远日点运动得更迅速，且这按照地球离太阳的距离的三次反比。由于太阳的中心差被包含在年角距中，月球的轨道的中心按照地球离太阳的距离的二次反比在本轮BDA上更迅速地运动。为使同一个中心按照距离的简单反比运动得更迅速；由轨道的中心D引一直线DE朝向月球的远地点，或者平行于直线TC；再取角EDF等于前面所说的年角距对月球的远地点沿向前的方向离太阳的近地点的距离的超出；或者这也得出同样的结果，取角CDF等于太阳的真近点角对360度的补角。又设DF比DC如同二倍的大轨道的偏心距比太阳离地球的平均距离和离开月球的远地点的太阳的日平均运动比离开它自己的远地点的太阳的日平均运动的联合，亦即，如同 比1000和52′.27″.16比59′.8″.10的联合，或者如同3比100。再想象月球的轨道的中心位于点F，且在一中心为D，半径为DF的本轮上旋转，在此期间点D在圆DABD的周线上前进。因为按这种方式，月球的轨道的中心在围绕中心C画出的某一曲线上运动的速度，很近似地与太阳离地球的距离的立方成反比，正如它应当的。

这一运动的计算是困难的，但可由以下的近似变得容易。如果设月球离地球的平均距离为100000份，且偏心距TC为5505，如同上面；直线CB或者CD被发现为 份，直线DF为 份。且这条直线［DF］在距离TC对着一个在地球的角，轨道的中心在这个中心的运动中自位置D到位置F的迁移中生成它；且同一直线的二倍在平行的位置以月球的轨道的上焦点离地球的距离，对着在地球的相同的角，在焦点的运动中生成那个迁移；且在月球离地球的距离它对着一个角，在月球的运动中生成相同的迁移，且所以可以称为第二中心差。再者，这个差，在月球离地球的平均距离，很接近地如同一个角的正弦，角由那条直线DF与自点F向月球所引的直线围成，且当它最大时为2′.25″。但直线DF和自F向月球所引的直线包含的角，或者通过从月球的平均近点角减去角EDF得到，或者通过月球的远地点离太阳的远地点的距离加上月球离太阳的距离得到。且由于半径比如此被发现的那个角的正弦，如同2′.25″比第二中心差。如果那个和小于半圆，第二中心差被加上；如果那个和大于半圆被减去。由此能够发现月球在［两个］发光体的朔望时它的经度。

由于地球的大气直到35或者40哩的高度折射太阳光，通过折射，光线被散射到地球的阴影里，且由于光线在阴影边缘的散射扩大了阴影；对于阴影的直径，它由视差发现，在月食时我加上一分或者一分三十秒。

然而，月球的理论应由天象检查和证实，首先在朔望，其次在方照，而且最后在八分点。且任何着手完成这项工作的人在格林尼治皇家天文台用在旧历 （55） （stilus vetus）1700年12月的最后一天的正午时太阳和月球的如下的平均运动，当不会不相宜，即，太阳的平均运动 20gr. .43′.40″，且其远地点的平均运动 7gr. .44′.30″，又月球的平均运动 15gr. .21′.00″，且其远地点的平均运动 8gr. .20′.00″，其升交点的平均运动 27gr. .24′.20″，又这座天文台和巴黎 皇家天文台的子午线的差为0hor. .9min. .20 sec.（56） ；但月球的和其远地点的平均运动尚未充分精确地确定。

命题XXXVI 问题XVII

求移动海洋的太阳的力。

太阳的力ML或者PT，在月球的方照，对月球运动的摄动（由本卷命题XXV）比我们周围的重力，如同1比638092.6。且力TM－LM或者2PK在月球的朔望是［在方照时的］二倍。但是这些力，如果下降到地球的表面，它们按照离地球的中心的距离之比减小，亦即，按照 比1之比；且因此前一个力在地球的表面比重力如同1比38604600。由这个力海洋在一些地方受到压迫，那里离太阳90度远。另一个力，它有二倍大，不仅太阳下面的一片海洋而且对面的一片海洋也被它举起。这些力的和比重力如同1比12868200。且因为相同的力引起相同的运动，无论它压迫离太阳90度远的一片区域或者举起太阳之下以及太阳对面的一片海洋；这个和是太阳推动海洋的总力；且它有相同的作用，好像整个力举起在太阳之下的和太阳对面的区域的海洋，但在离太阳90度远的区域一点也没有作用。

这是当太阳在任一给定位置的天顶点且在它自己离地球的平均距离上推动该处海洋的力。在太阳的其他位置，它举起海洋的力与太阳高出位置的地平线高度的二倍的正矢成正比，且与太阳离地球的距离的立方成反比。

系理 由于地球的部分的离心力，它起源于地球的周日运动，比重力如同1比289，它引起赤道之下的水的高度比两极之下的水的高度高出的尺寸为85472巴黎 呎，如在前面的命题XIX所示；我们所论的太阳的力，由于它比重力如同1比12868200，因此比那个离心力如同289比12868200，或者1比44527，它引起太阳之下以及太阳对面区域的水比与离太阳90度远的地方的水高出的尺寸仅为一巴黎 呎十一又三十分之一吋。因为该尺寸比85472这样的尺寸如同1比44527。

命题XXXVII 问题XVIII

求移动海洋的月球的力。

移动海洋的月球的力从它比太阳的力的比例推出，而这个比从海洋运动的比推出，它们起源于这些力。在［下］埃文河 河口的前方，布里斯托尔 下方第三块里程碑处，春季和秋季，在两个发光体 （57） 的合和冲，水的总的上升，根据撒母尔·斯图米 的观测，约为45呎，但在方照时仅为25呎。前一个高度起源于力的和，后一个起于同样的力的差。所以，令太阳和月球在赤道且在离地球的平均距离的力为S和L，则L＋S比L－S，如同45比25，或者9比5。

根据撒母尔·科尔普雷斯 的观测，在普利茅斯 港，海潮被举起的平均高度约为十六呎，但在春季和秋季，在朔望时海潮的高度能比在方照时的高度的超出多于七呎或者八呎。如果这些高度的最大的差是九呎，则L＋S比L－S将如同 比 或者41比23。一个与前者足够符合的比。由于在布里斯托尔 港的海潮的大小，斯图米的观测似乎更为可信，且因此在更确定的一些东西建立起来之前，我们使用9比5的比例。

但是由于水的往复运动，最大的潮不发生在发光体的朔望，而在，如我们在前面所说，朔望后的第三次潮或者在朔望之后紧接着月球第三次靠近那个位置的子午线，或者更确定些（正如由斯图米注意到的）是朔月日或者望月日后的第三次潮；或者接近朔月或者望月之后的第十二小时，且因此大约发生在朔月或者望月之后的第四十三小时。但在这个港口它们大约发生在月球接近这个位置的子午线后的第七小时；且因此当月球离太阳的或者太阳的冲的距离，以向前的方向接近十八或者十九度时，它们紧跟在月球靠近子午线之后。在夏季和冬季，它们不是在二至点自身，而是当太阳离二至点约为整个圆的十分之一远时，或者约为36或者37度时，达到最大。且类似地，起源于月球靠近一个位置的最大的海潮，［发生在］月球离太阳约为从一次潮到下一次潮它的整个运动的十分之一远的时候。设那个距离约为 度。在月球离朔望和方照的这个距离上的太阳的力，对起源于月球的力的海洋的运动的增大和减小，按照半径比二倍的这个距离或者37度角的余弦，这就是，按照10000000比7986355的比小于在朔望和方照时它们自身。且因此在上面的类比中S应写成0.7986355S。

但是由于月球离开自赤道的倾角，在方照时月球的力应被减小。因为月球在方照，或者更确切些，在方照之后的 度，倾角约为22gr. .13′。且自赤道倾斜的任一发光体移动海洋的力很接近地按照其倾角的余弦的二次比减小。且因此在这些方照月球的力仅为0.8570327L。所以L＋0.7986355S比0.8570327L－0.7986355S如同9比5。

此外，月球应在其上无偏心地运动的轨道的直径，彼此如同69比70；且因此在朔望月球离地球的距离比在方照它离地球的距离如同69比70，若其他情况相同。且它的距离，当最大的潮生成时，离朔望 度，且当最小的潮生成时，离方照 度，比它的平均的距离如同69.098747和69.897345比 。但是移动海洋的月球的力按照距离的三次反比，且因此在这些最大的和最小的距离上的力比在平均的距离上的力如同0.9830427和1.017522比1。于是1.017522L+0.7986355S比0.9830427×0.8570327L－0.7986355S如同9比5。则S比L如同1比4.4815。所以，由于太阳的力比重力如同1比12868200，则月球的力比重力如同1比2871400。

系理1 因为［海］水受太阳的力的作用升高至一呎十一又三十分之一吋的一个高度，受月球的力的作用它升高至八呎 吋的一个高度，且两力的作用使海水升高至十又二分之一呎，又当月球在近地点会使水升高到十二又二分之一呎或者更高的一个高度，特别是在风助海潮的时候。如此大的一个力引起海洋的所有运动是绰绰有余的，且恰与诸运动的量对应。因为在海洋，它们自东往西广袤地延伸，如在太平洋 ，以及在大西洋 和埃塞俄比亚 海 （58） （Mare Æthiopicum）的回归线之外的部分，水通常被举起到六、九、十二或者十五呎的一个高度。但在太平洋 ，它更深且更宽广，海潮据说比在大西洋 和埃塞俄比亚 海的海潮大。因为为了有一个全潮，海洋自东往西的宽度应不小于九十度。在埃塞俄比亚 海，因为此海在非洲 和美洲 南部之间的狭窄，海水在回归线之间的升高小于在温带的升高。在海洋的中间，水不能上升，除非在东海岸和西海岸的水同时下降；然而，在我们的狭窄的海洋，水应在那些海岸交替下降。由于这个原因，在海岛上的涨潮和落潮，它们离海岸极远，通常甚小。在某些港口，那里水以大的冲击通过浅的地方流入并流出，交替地填满并清空海湾，涨潮和落潮必较通常要大，如在英吉利 的普利茅斯 和切普斯托桥 ，在诺曼底 的圣米歇尔山 和阿布瑞卡图奥勒姆 镇（通称阿夫朗什 ）；在东印度 的坎贝 和勃固 。在这些地方，海水以大的速度到来和退去，有时淹没海岸，有时留下许多哩的干燥海岸。且流入的和回流的冲击在水被举起或者压下至30、40或者50呎以及更高之前，不会被削弱。且这个理由亦适于长而浅的海峡，如麦哲伦 海峡和那些环绕英吉利 的海峡。海潮在此类港口和海峡中由于水流入和流出的冲击而极度增大。但在海岸，它们以陡坡面对深而且开阔的海洋，水没有流入和回流的冲击亦能被举起并降低，海潮的大小对应于太阳和月球的力。

系理2 由于月球移动海洋的力比重力如同1比2817400，显然那个力比用摆的实验，或者任何静力学或者流体静力学中的实验所能察觉到的力要小很多。只在海洋的潮汐中，这个力才产生显著效应。

系理3 因为月球移动海洋的力比太阳的同类的力如同4.4815比1，且那些力（由第I卷命题LXIV系理14）如同月球和太阳的本体的密度及它们的视直径的立方的联合；月球的密度比太阳的密度如同4.4815比1的正比，和月球的直径的立方比太阳的直径的立方的反比，亦即如同4891比1000。（因为月球的和太阳的平均视直径为31′. ″和32′.12″）但是，太阳的密度比地球的密度如同1000比4000；且因此月球的密度 （59） 比地球的密度如同4891比4000，或者11比9。所以月球的本体比我们的地球更致密且有更多的土壤。

系理4 且因为由天文观测，月球的真实直径比地球的真实直径如同100比365；月球的质量与地球的质量如同1比39.788。

系理5 且在月球表面的加速重力约比地球表面的加速重力小三倍。

系理6 且月球中心离地球中心的距离比月球中心离地球和月球的重力的公共中心的距离，如同40.788比39.788。

系理7 且在月球的八分点，月球中心离地球中心的平均距离很接近 个地球的最大的半直径。因为地球的最大的半直径为19658600巴黎 呎，则地球和月球的中心之间的平均距离由 个这样的半直径构成，等于1187379440呎。且这个距离（由上一系理）比月球中心离地球和月球的重力的公共的中心的距离，如同40.788比39.788：且因此后一距离为1158268534呎。又由于月球相对于恒星的运行为27天7小时又 分钟；一个角的正矢，这个角由月球在一分钟的时间画出，为12752341，半径取为1000000000000000。且由于此半径比这个正矢，如同1158268534呎比14.7706353呎。所以月球以那个力，由那个力月球被保持在轨道上，向地球下落，一分钟的时间画出14.7706353呎。又按照 比 之比增加这个力，由命题III的系理，得到在月球轨道上总的重力。月球又由这个力向地球下落，在一分钟的时间它画出14.8538067呎。且在六十分之一个月球离地球的中心的距离，亦即在离地球的中心197896573呎的一段距离，重物下落，在一秒钟的时间也画出14.8538067呎。且因此在［离地球的中心］19615800呎的一段距离，这段距离是地球的平均的半直径，重物下落［在一秒钟的时间］画出15.11175呎，或者15呎1吋又 吩。这是物体在45度的纬线上的下落。且由前面画在命题XX中的一张表，下落稍大于在巴黎 的纬度的下落，超出约为 吩。所以，由这一计算，在巴黎 的纬度重物在真空中下落，在一秒钟的时间约画出15巴黎 呎1吋又 吩。且如果重力除去离心力而被减小，离心力起源于在那个纬度的地球的周日运动；重物在那里下落，一秒钟的时间画出15呎1吋又 吩。且在上面的命题IV和XIX中已经证明，重物以这个速度在巴黎 的纬度下落。

系理8 地球和月球的中心之间的平均距离在月球的朔望，是60个地球的最大的半直径除去大约 个地球的最大的半直径。且在月球的方照，相同的中心之间的平均距离是 个地球的半直径。因为由命题XXVIII这两个距离比月球在八分点的平均距离如同69和70比 。

系理9 地球的和月球的中心之间的平均距离在月球的朔望是六十又十分之一个地球的平均的半直径。且在月球的方照，相同的中心之间的平均距离，去掉三十分之一个半直径，是六十一个地球的平均的半直径。

系理10 在月球的朔望，其平均的地平视差在0，30，38，45，52，60，90度的纬度上，分别为57′.20″，57′.16″，57′.14″，57′.12″，57′.10″，57′.8″和57′.4″。

在这些计算中，我没有考虑地球的磁吸引，其量太小且未知。但是如果几时能定出这一吸引，且如果在子午线度数的测量，在不同的纬线上等时的摆的长度，海洋运动的定律和月球的视差以及太阳和月球的视直径几时能从天象更精确地确定；那时可使这一计算更为精确。

命题XXXVIII 问题XIX

求月球的本体的形状。

如果月球的本体是像我们的海洋那样的流体，举起那一流体的最近的和最远的部分的地球的力，比月球的力，由月球的力我们的大海在月球下方的和月球对面的部分被举起，如同月球向着地球的重力加速度比地球对月球的重力加速度，以及月球的直径比地球的直径的联合；亦即，如同39.788比1和100比365的联合，或者如同1081比100。因此，由于我们的海洋被月球的力举起到 呎，地球的力应把月球的流体举起到93呎。且由于这个原因月球的形状是一个扁球，它的最大的直径延长穿过地球中心，且超出垂直于它的直径186呎。所以，如此的形状是月球现在具有的，而且是从一开始就必定具有的。此即所求 。

系理 由此月球恒以它的相同的一个面转向地球。因为在其他任意位置，月球的本体不能静止，而经振动它总返回到这个位置。然而振动极为缓慢，由于产生它们的力极小；因此使得那个面，它应总是转向地球，能转向（由在命题XXVII中给出的理由）月球轨道的另一个焦点，且不从那里马上被拉回并向地球旋转。

引理 I

如果指定APEp为密度均匀的地球，且用中心C，两极P和p，以及赤道AE描绘；并假设以中心C，半径CP画出一个球Pape；设QR为一个平面，从太阳的中心向地球的中心所引的直线以九十度的角立在它上面。又若地球的整个靠外的部分PapAPepE，它高于刚刚画出的球，它的每个小部分努力在两个方向上退离平面QR，且每个小部分退离的努力如同它离平面的距离：我说，首先，在赤道的圆AE上的所有小部分，它们均匀地分布在球外，按环的方式整个地围绕这个球，使地球围绕其中心旋转的力和作用，比放在赤道上点A的同样数目的小部分，这个点离平面QR最远，使地球围绕其中心做类似的圆运动的力和作用，如同一比二。并且那个圆运动围绕位于赤道和平面QR的共同部分的轴进行。

设以中心K，直径IL画出半圆INLK。假设半圆周INL被分成无数相等的部分，且自每一部分N向直径IL落下正弦［线］NM。则所有正弦NM的平方的和等于正弦KM的平方的和，且两者的和等于同样数目的半直径KN的平方的和；且因此所有NM的平方的和是同样数目的半直径KN的平方的和的一半。

现在圆AE的周线被分成相同数目的相等的小部分，且从每个这样的小部分F向平面QR落下垂线FG，又从点A落下垂线AH。且力，由它小部分F退离平面QR，由假设如同那条垂线FG，且这个力乘以距离CG 是小部分F使地球围绕其中心转动的作用。且因此，在位置F的小部分的作用，比在位置A的小部分的作用，如同FG×GC比AH×HC，这就是，如同FCq 比ACq ；于是在自己位置的所有小部分F的总的作用比在位置A的同样数目的小部分的作用，如同所有的FCq 的和比同样数目的ACq 的和，这就是（由已证明的）如同一比二。此即所证 。

且由于小部分通过垂直地退离平面QR而发生作用，因此对于这个平面的每一侧是相等的：围绕既位于那个平面QR又位于赤道的平面的轴，它们旋转赤道的圆的周线，以及附着于它的地球。

引理 II

在同样的条件下：我说，其次，位于球外各处的所有小部分的使地球围绕同一轴旋转的总的力和作用，比同样数目的小部分的总的力，这些小部分按照环的方式均匀地分布在赤道的圆AE上，使地球做类似的圆运动，如同二比五。

因为，设IK为平行于赤道AE的任意一个较小的圆，又设L，l为在这个圆上位于球Pape外的任意两个相等的小部分。如果向平面QR上，该平面垂直于向太阳引的半径，落下垂线LM，lm：总的力，由它们那些小部分逃离平面QR，与那些垂线LM，lm成比例。再设直线Ll平行于平面Pape且在X被平分，又过点X引Nn，它平行于平面QR并且交垂线LM，lm于N和n，又在平面QR上落下垂线XY。则小部分L和l在相反的方向转动地球的相反的力，如同LM×MC和lm×mC，这就是，如同LN×MC+NM×MC和ln×mC－nm×mC，或者LN×MC+NM×MC和LN×mC－NM×mC；且它们的差LN×Mm－NM× 是两个小部分合并转动地球的力。这个差的正的部分LN×Mm或者2LN×NX比位于A的相同大小的两个小部分的力2AH×HC，如同LXq 比ACq 。且负的部分NM× 或者2XY×CY比位于A的相同的两个小部分的力2AH×HC，如同CXq 比ACq 。所以部分的差，亦即，两个小部分L和l合并转动地球的力比两个小部分的力，它们有相同的大小且处于位置A并类似地转动地球，如同LXq －CXq 比ACq 。但是，如果圆IK的周线IK被分成无数相等的小部分L，（由引理I）所有的LXq 比同样数目的IXq ，如同1比2，且因此比同样数目的ACq ，如同IXq 比2ACq ；且同样数目的CXq 比同样数目的ACq ，如同2CXq 比2ACq 。所以在圆IK的周线上的小部分联合起来的力比相同数目的小部分在位置A联合起来的力，如同IXq －2CXq 比2ACq ；且所以（由引理I）比在圆AE的周线上的同样数目的小部分联合起来的力，如同IXq －2CXq 比ACq 。

现在，如果球的直径Pp被分成无数相等的小部分，在其上直立着同样数目的圆IK；在每一个圆IK的周线上的物质如同IXq ：且因此那些物质转动地球的力，如同IXq 乘以IXq －2CXq 。且相同的物质的力，如果它们在圆AE的周线上，如同IXq 乘以ACq 。且所以，全部物质的所有小部分的力，它们位于球之外的所有的圆的周线上，比位于最大的圆AE的周线上的同样数目的小部分的力，如同所有的IXq 乘以IXq －2CXq 比同样数目的IXq 乘以ACq ，这就是，如同所有的ACq －CXq 乘以ACq －3CXq 比同样数目的ACq －CXq 乘以ACq ，亦即，如同所有的ACqq －4ACq ×CXq +3CXqq 比同样数目的ACqq －ACq ×CXq ，这就是，如同整个流量，其流数为ACqq －4ACq ×CXq +3CXqq ，比整个流量，其流数为ACqq －ACq ×CXq ；且因此，由流数方法，如同ACqq ×CX－ ACq ×CXcub. + CXqc 比ACqq ×CX－ ACq ×CXcub. ，亦即，如果CX代之以整个Cp或者AC，如同 ACqc 比 ACqc ，这就是，如同二比五。此即所证 。

引理 III

在同样的条件下：我说，其三，整个地球围绕以上描述过的轴的运动，该运动由所有小部分的运动组成，比以上所说的围绕相同的轴的环的运动按照一个比，该比由来自在地球中的物质比在环中的物质之比，以及任意一个圆的四分之一弧的平方的三倍比直径的平方的二倍之比复合而成；亦即，按照物质比物质以及数925275比数1000000之比。

因为，圆柱围绕其不动的轴旋转的运动比与它一起旋转的内切球的运动，如同任意四个相等的正方形比三个内切于它们的圆；且圆柱的运动比一个极薄的环的运动，它在球和圆柱共同接触的地方环绕它们，如同二倍的在圆柱中的质量比三倍的在环中的质量；且环的这个围绕圆柱的轴均匀地持续的运动，比环围绕它自身的直径的均匀运动，这些运动在相同的循环时间完成，如同一个圆的圆周比二倍的它的直径。

假设 II

如果上述的环，地球的其余所有部分被除去，单独地在地球的轨道上以周年运动围绕太阳旋转，且在此期间围绕其轴，它以 度的角向黄道的平面倾斜，以周日转动旋转：二分点的运动是相同的，无论环是流体的或者是由刚性且牢固的物质组成。

命题XXXIX 问题XX

求岁差。

在圆轨道上月球的交点的平均小时运动，当交点在方照时，是16″.35.16iv .36v ，且它的一半8″.17.38iv .18v （由于以上解释的理由）是交点在这样的一条轨道上的小时平均运动；且在整整一个恒星年达到20gr. .11′.46″。所以，因为在这样的一条轨道上，月球的交点在一年后退20gr. .11′.46″；且如果有多个月球，每个交点的运动（由第I卷命题LXIV系理16）将如同它的循环时间；如果月球在一个恒星日的时间靠近地球的表面运行，交点的年运动比20gr. .11′.46″如同一个恒星日的23小时56′比月球的循环时间27天7小时43′，亦即，如同1436比39943。且对环绕地球的诸月球的环的交点，无论那些月球相互不接触，或者变成流体并形成一个连续的环，或者最后那个环冻结并变成刚性不变形的环，结果是一样的。

所以，我们设想这个环，它的物质的量等于球Pape外面地球所有的部分PapAPepE（参见边码473页上的图）；且因为这个球比靠外的地球的那个部分，如同aCqu. 比ACqu. －aCqu. ，亦即（由于地球的短半直径PC或者aC比长半直径AC如同229比230）如同53441比459；如果这个环沿赤道缠绕且两者一起围绕环的直径旋转，环的运动比里面球的运动（由本卷的引理III）如同459比52441和1000000比925275的联合，这就是，如同4590比485223；且因此，环的运动比环的和球的运动的和，如同4590比489813。因此，如果环附着在球上，且其自身的运动，由它其交点或者二分点退行，传递给球；在环上尚存的运动比它原来的运动，如同4590比489813；于是二分点的运动按相同的比减小。所以，由环和球构成的物体的二分点的年运动比运动20gr. .11′.46″，如同1436比39343和4590比489813的联合，亦即，如同100比292369。但是，力，由它月球的交点（正如我在上面所解释的）退行，且因此由它环的二分点退行（亦即在边码539和540页上的力3IT），在每一小部分如同那个小部分离平面QR的距离，且小部分以这些力逃离那个平面；且所以（由定律II）如果环的物质散布到球的整个表面，按照图形PapAPepE的样式构成地球的外面部分，所有的小部分使地球围绕它的赤道的任意直径旋转的力和作用，且因此使二分点运动，将按照2比5的比较以前变小。则由此现在周年岁差比20gr. .11′.46″如同10比73092；且因此它成为9″.56.50iv 。

但是，由于赤道的平面对黄道的平面的倾斜，这个运动按照正弦91706（它是 度的余角的正弦）比半径100000之比减小。这个运动现在变成9″. .7′″.20iv 。这是起源于太阳的力的周年岁差。

但是月球移动大海的力比太阳的力约略如同4.4815比1。且月球移动二分点的力比太阳的力按照相同的比。且因此得出起源于月球的力的周年岁差是40″. .52.52iv ，而起源于两者的力的整个周年岁差为50″. .00.12iv 。且这一运动与天象相符。因为由天文观测，每年的岁差在五十秒左右。

如果地球在赤道的高度超出在两极的高度 哩，其物质在边界上比在中心稀薄；岁差应由于高度的超出而增大，且由于较大的稀薄度而减小。

现在，我们已描述了太阳、地球、月球和诸行星的系统；余下的应加入论彗星的一些内容。

引理 IV

诸彗星高于月球并位于行星的区域内。

由于缺乏周日视差，彗星被抬高到月球以下区域的上方，因此它们的周年视差是它们升入行星区域的令人信服的证据。因为彗星，它们按［黄道十二］宫的顺序前进，如果地球在它们和太阳之间，全都在快不可见时比通常缓慢或者退行；如果地球靠近对面，它们比通常更迅速。且反之，当那些彗星逆着［黄道十二］宫的顺序前进时，如果地球在它们和太阳之间，在快不可见时比它们应当要迅速；且如果地球位于太阳的另一侧，它们以比它们应当的速度缓慢或者退行。这主要由于地球在其不同的位置上的运动，正如对于行星的情形，它根据与地球的运动一致或者相反，有时退行，有时看起来前进得缓慢，有时迅速。如果地球与一颗彗星在相同的方向前进，且绕太阳的角运动如此迅速，使得持续通过地球和彗星引的直线汇聚于彗星之外的区域，从地球上观察彗星，由于它们自身运动的缓慢而表现为退行；如果地球缓慢移动，彗星的运动（除去地球的运动）最少也变得更慢。但如果地球在彗星运动的相反方向前进，于是彗星看起来更迅速。按如下方式从加速或者迟滞或者退行运动可推知彗星的距离。令 QA， QB， QC是在运动开始时三次观测到的彗星的黄经，且 QF为最后一次观测到的黄经，当时彗星刚要看不见。引直线ABC，其部分AB，BC位于直线QA和QB，QB和QC之间，且彼此如同前三次观测之间的时间。延长AC至G，使得AG比AB如同初次和最后一次观测之间的时间比初次和第二次观测之间的时间，并连结QG。则如果彗星沿直线均匀地运动，又地球或者静止，或者也在直线上以均匀的运动前进，角 QG将为最后一次时间观测到的彗星的黄经。所以角FQG，它是黄经的差，起源于彗星的和地球的运动的不等性。但是这个角，如果地球和彗星在相反的方向上运动，应加到角 QG上，且由此使彗星的视运动加快；否则，如果彗星在与地球相同的方向上前进，这个角被从同一个角中减去，而使彗星的运动或者变慢，或者可能退行；正如我刚才解释过的。所以这个角度主要起源于地球的运动，且因此作为彗星的视差是适当的，自然，它的某些增量或者减量被忽视了，它们可能起源于彗星在它自己轨道上运动的不等性。彗星的距离可由这个视差如此推得。指定S为太阳，acT为大轨道，a为在初次观测时地球的位置，c为在第三次观测时地球的位置，T为在最后一次观测时地球的位置，且T 为向白羊宫的开始处引的直线。取角 TV等于角 QF，这就是，等于当地球位于T时彗星的黄经。连结ac，并延长它至g，使得ag 比ac如同AG比AC，则g是一个位置，若地球在直线ac上均匀地持续，在最后一次观测的时间碰到它。且因此，如果引g 平行于T ，并取角 gV等于角 QG，则这个角 gV 等于自位置g观察时彗星的黄经；且角TVg为视差，它起源于地球自位置g到位置T的迁移；且因此V是在黄道的平面上彗星的位置。但是这个位置V一般低于木星的轨道。

由彗星的路径的曲率可以推断出同样的事情。这些物体当它们运动得更迅速时几乎在极大的圆上前进；但在它们的路径的结束，当物体的视运动的那个部分，它起源于视差，比整个视运动有较大的比时，它们通常从这些圆偏离，且每次当地球在一个方向运动时，它们在相反的方向消失。这种偏离主要起源于视差，所以它与地球的运动对应；且其显著的量，根据我的计算，推断出彗星消失的位置远在木星之下。因此，结果是当彗星在它们的近地点和近日点更靠近我们时，经常降到火星以及更靠下的行星的轨道之下。

彗星的靠近也可从［它们的］头部的光得以证实。因为被太阳照耀且向更遥远的区域离去的天体，其光辉按照距离的四次比减小；显然由于物体离太阳的距离的增大它按照一个二次比减小，且由于视直径的减小它按照另一个二次比减小。因此如果彗星的光的量和视直径被给定，则按照彗星的直径比一个行星的直径的正比和彗星的光比行星的光的二分之一次反比，取彗星的距离比行星的距离，彗星的距离被给定。于是1682年的彗星 （60） 的彗发的最小直径，按弗拉姆斯蒂德 用带测微计的十六呎长的望远镜的观测，等于2′.0″；但在彗发中间的彗核或者星占据这个宽度的不及十分之一，且因此仅宽8″或者12″。但是头部的光和明亮超过1680年的彗星 （61） 的头部，且与一等或者二等星取齐。我们假设土星及其环约为四倍亮，且因为环的光几乎等于它里面的球的光，又球的视直径约为21″，且因此球和环的光联合起来等于一个球的光，其直径为30″；彗星的距离比木星的距离如同1比√4的反比和12″比30″的正比，亦即，如同24比30或者4比5。再者，1665年4月的彗星，按赫维留 的报告，其明亮几乎超过所有的恒星，且甚至超过土星自身，理由是其远为鲜亮的颜色。的确，这颗比另一颗明亮，后者在上一年的年未出现且堪与一等星相比。彗星的彗发的宽度约为6′，但核与行星相比，借助望远镜，它无疑小于木星，且被断定为有时小于土星的中间的物体，有时等于它。然而，由于彗星的彗发很少超过8′或者12′，彗核的，或者中心的星的直径约为彗发直径的约十分之一或者也许为十五分之一，显然这些星大多有与行星相同的视星等。因此，由于它们的光堪与土星的光相比并不罕见，且有时超过它；很清楚，所有的彗星在它们的近日点被安置得或者低于土星，或者高于它不远。所以使彗星远去到几乎是恒星的区域的人是完全错误的；无疑在这种情形，它们受到我们的太阳的照耀，它们在我们这里不会比行星受到恒星的照耀更多。

在我们讨论这些事情时，没有考虑彗星由于那种极多且浓的烟而出现的模糊，它包围彗星的头，仿佛彗星的头总是通过云而暗淡地发光。因为一个物体被这种烟模糊得愈甚，它必须愈靠近太阳，使得被它反射的大量的光可与行星的光相媲。因此彗星可能下降得远低于土星的球，正如我们由它们的视差所证明的。尤其是由彗尾能证实同样的事情。这些或者起源于被散布于以太中的烟所反射的光，或者起源于彗星头的光。在前一种情形彗星的距离必须被减小，否则总是起源于彗星的头的烟以难以置信的速度和扩展在巨大的空间传播。在后一种情形，彗尾的和彗星的头的所有的光必须归之于彗星的头的核。所以，如果我们假设所有这些光联合并聚积在彗核的圆盘（discus）内，则无疑那个核，当它发出极大和极亮的尾时，它的明亮远超木星。所以，如果它有一个较小的视直径并发出更多的光，它将更多地被太阳照耀且因此更靠近太阳。由同样的论证，当彗星的头隐藏在太阳之下，且有时发出的尾既巨大又明亮，像燃烧的火柱，它们应位于金星的轨道之下。因为，如果假设所有的那些光聚集在一颗星上，它有时不仅会超过金星，而且会超出一些金星的联合。

最后，从彗星的头的光可推断出同样的事情，光在彗星自地球朝向太阳退离时增大，在自太阳朝向地球退离时减小。于是1665年的后一颗彗星（按照赫维留 的观测），从开始看见它，它的视运动总在减小，且因此已过了它的近地点，但彗星的头的光亮照样逐日增加，直到彗星被太阳的光线遮盖，终止可见。1683年的彗星（按照同一个赫维留 的观测）在7月底，当它初次被看到，它运动得极缓慢，每天在它自己的轨道上约前进40分或者45′。从那时起其运动逐日持续增大，直到9月4日，它达到约五度。所以，在所有这些时间，彗星正靠近地球。这也可以从由测微计测得的彗星的头的直径推断出：因为赫维留 在8月6日发现包括彗发的头部仅为6′.5″，在9月2日为9′.7″。所以彗星的头在运动开始时看起来大大小于在运动结束时；但在开始时彗星的头邻近太阳，远比在运动快要结束时明亮，正如同一个赫维留 所报告的。所以，在所有这段时间，由于它自太阳退离，其光亮减小，虽然它靠近地球。1618年的彗星 （62） 约在12月的月中，且1680年的彗星约在同一个月的月底，运动非常迅速，且因此它们那时在它们的近地点。然而它们的头最明亮时发生在约两星期之前，那时它们刚从太阳的光线中离开；且彗尾最明亮的时间略靠前，那时它们更邻近太阳。前一颗彗星的头，按照齐扎特 的观测，在12月1日，看起来大于一等星，且在12月16日（那时它在近地点），它在大小上略为减小，而在明亮或者其光的明朗上大为减小。在1月7日，开普勒 由于不确知彗星的头而结束了他的观测。在12月12日，后一颗彗星的头可见，并在离太阳九度的一个距离被弗拉姆斯蒂德 观测到，仅及一颗三等星。12月15日和17日，彗星的头部如同一颗三等星出现，因为它被邻近日出的云的光亮所减小。在12月26日，它以最大的速度运动，且几乎在它的近地点，弱于飞马座之口 （63） ，这是一颗三等星。在1月3日，它如同一颗四等星出现，1月9日如同一颗五等星，1月13日，由于新月的光亮而不出现。1月25日勉强等于一颗七等星。如果从近地点向两个方向取相等的时间，彗星的头，它在那些时间位于遥远的区域，由于离地球的距离相等，应以相等的光发亮，但在朝向太阳的区域最明亮，并在近地点的另一侧消失。所以，从光在一种情形和另一种情形的大的差异，得出在前一种情形太阳和彗星显著接近。因为彗星的光趋于规则，且当彗星的头运动最迅速时光最大，因此它在近地点；但邻近太阳的范围光变大除外。

系理1 所以诸彗星由于它们反射太阳的光而发光。

系理2 从以上所说也可以理解为何彗星频繁地出现在太阳的区域。如果它们在远高于土星的区域被识别，它们应更频繁地出现在对着太阳的那部分天空。因为它们在那些部分离地球更近，且位于中间的太阳遮盖其他天体。然而我博览彗星的记载，发现在向着太阳的半球被识别的比在对着太阳的半球被识别的多四到五倍，除此之外，无疑相当多的彗星被太阳的光遮盖。的确，当它们下降到我们的区域，既不射出尾巴，又没有被太阳照得如此之亮，以至在它们离我们比木星更近之前能被肉眼发现。但是以如此小的间隔围绕太阳所画的空间的绝大部分在面对太阳的地球的一侧；彗星在那个较大的部分，由于离太阳近得多，通常被照耀得很亮。

系理3 因此，天空缺乏阻力也是显然的。因为彗星顺着倾斜的且有时与行星的路线相反的路径，在各个方向极自由地运动，且它们的运动保持极长的时间，即使与行星的路线相反。若我没有弄错，彗星是一类行星且以持续的运动在返回到自身的轨道上运动。因为一些著作家主张彗星为流星，他们的论证由彗星的头的持续变化引出，似乎没有根据。彗星的头由巨大的大气层包围，且大气层向下应当较致密。所以，那些变化是在云上，而不是彗星的本体上被看到。于是，如果从行星上观看地球，它无疑从自身云的光发亮，且其固态的本体几乎隐藏在云下。因此木星的云带（cingula）由那颗行星的云形成，因为云的位置彼此变化，所以通过那些云很难看到木星的固态的本体。且彗星的本体必定更是隐藏在它们的既深且浓的大气之下。

命题LX 定理XX

诸彗星在圆锥截线上运动，圆锥截线的焦点是太阳的中心，且向太阳所引的半径画出的面积与时间成比例。

通过第一卷中的命题XIII系理1与第三卷中的命题VIII，XII和XIII比较，这是显然的。

系理1 因此，如果彗星在返回到自身的轨道上运行，这些轨道为椭圆，且循环时间比行星的循环时间按照主轴的二分之三次比。彗星，因为绝大部分处于行星之外，且因此以更长的轴画出轨道，运行得较慢。因此，如果彗星的轨道的轴是土星的轨道的轴的四倍，彗星的运行时间比土星的运行时间，亦即，比30年，如同4√4（或者8）比1，且因此为240年。

系理2 但这些轨道与抛物线如此接近，以致用抛物线代替它们不会产生可以感觉到的误差。

系理3 且所以（由第一卷命题XVI系理7），每个彗星的速度比任意围绕太阳在圆形轨道上运行的行星的速度，总是非常接近地按照二倍的行星离太阳的中心的距离比彗星离太阳的中心的距离的二分之一次比。我们假设大轨道的半径，或者地球在其上运行的椭圆的最大的半直径为100000000份；且地球自身的平均周日运动画出1720212份，则小时运动为 份。且所以彗星在地球离太阳的相同的平均距离上，以一个速度，它比地球的速度如同√2比1，由其周日运动画出2432747份，且由其小时运动画出 份。但在较大或者较小的距离上，周日运动以及小时运动比这个周日运动和小时运动，按照距离的二分之一次反比，且因此被给定。

系理4 因此，如果抛物线的通径是四倍的地球的大轨道的半径，且如果那个半径的平方被取作100000000份：则彗星由向太阳所引的半径每天画出的面积为 份，且每小时那个面积为 份。但如果通径以任何的比增大或者减小，则彗星的周日面积和小时面积按照同一个比的二分之一次方增大或者减小。

引 理 V

求一条抛物线类的曲线，它穿过任意数目的给定点。

令那些点为A，B，C，D，E，F，等等，且自它们向任意位置给定的直线HN上落下同样多的垂线AH，BI，CK，DL，EM，FN。

情形1 如果点H，I，K，L，M，N之间的间隔HI，IK，KL，等等相等，列出垂线AH，BI，CK，等等的第一差b，2b，3b，4b，5b，等等，第二差c，2c，3c，4c，等等，第三差d，2d，3d，等等，亦即，在此条件下AH－BI＝b，BI－CK＝2b，CK－DL=3b，DL+EM=4b，－EM+FN=5b，等等，然后b－2b=c，等等，并如此继续到最终的差，在这里它是f。然后，竖立任意的垂线RS，它是所求曲线的纵标线，为了发现它的长度，假设间隔HI，IK，KL，LM，等等为单位，且令AH＝a，－HS＝p， p乘以－IS＝q， q乘以＋SK＝r， r乘以＋SL＝s， s乘以＋SM＝t；继续进行，如此一直到倒数第二条垂线ME，且在项HS，IS，等等前缀以负号，它们位于点S向着A的一侧，又在项SK，SL等等前缀以正号，它们位于点S的另一侧。且如果符号［规则］被准确地遵守，则RS＝a+bp+cq+dr+es+ft，等等。

情形2 如果点H，I，K，L等等之间的间隙不相等，列出垂线AH，BI，CK，等等的第一差除以垂线的间隔：b，2b，3b，4b，5b；第二差除以每两个间隔：c，2c，3c，4c，等等；第三差除以每三个间隔：d，2d，3d，等等，第四差除以每四个间隔：e，2e，等等；且如此继续；亦即，在此条件下，b=（AH-BI）/（HI），2b=（BI-CK）/（IK），3b=（CK-DL）/（KL），等等；其次 c=（b-2b）/（HK），2c=（2b-3b）/（IL），3c=（3b-4b）/（KM），等等；再次，d=（c-2c）/（HL），2d=（2c-3c）/（IM），等等。当已发现这些差，令AH=a，－HS=p，p 乘以－IS=q，q乘以＋SK＝r，r乘以＋SL＝s，s乘以＋SM=t；继续进行，如此一直到倒数第二条垂线ME，则纵标线RS＝a+bp+cq+dr+es+ft，等等。

系理 因此所有曲线的面积可以很近似地求得。因为如果任意要求积的曲线的一些点被发现，且假设经过它们引一抛物线，这条抛物线的面积与那条要求积的曲线的面积非常接近相等。但抛物线总能用习知的方法几何地求积。

引理 VI

从一颗彗星的若干个已观测到的位置，求在任意给定的中间时间它的位置。

指定HI，IK，KL，LM为观测之间的时间（在前图中），HA，IB，KC，LD，ME为五个观测到的彗星的黄经，HS为第一次观测和要求的黄经之间的时间。且如果想象着过点A，B，C，D，E引一条规则的曲线ABCDE；由上面的引理发现其纵标线RS，则RS为要求的黄经。

由同样的方法从五个观测到的彗星的黄纬可发现在一给定时间的黄纬。

如果观测到的黄经之间的差较小，比如说4或者5度；三次或者四次观测就足以发现新的黄经和黄纬。但如果差较大，比如说10或者20度，必须用五次观测。

引理 VII

通过给定点P引一直线BC，它的部分PB，PC被位置已给定的两条直线AB和AC割下，它们彼此有给定的比。

从那个点P向两直线之一AB引任意一条直线PD，并向另一直线AC延长同一直线一直到E，使得PE比PD按照那个给定的比。设EC平行于AD；且如果作CPB，则PC比PB如同PE比PD。此即所作 。

引理 VIII

设ABC是焦点为S的一条抛物线。弦AC在I被平分并割下弓形ABCI，它的直径为Iμ且顶点为μ。在Iμ的延长上取μO等于Iμ的一半。连结OS，并延长它至ξ，使得Sξ等于2SO。且如果一颗彗星B在弧CBA上运动，又作ξB截AC于E：我说，点E从弦AC上割下的一段AE非常接近地与时间成比例。

因连结EO截抛物线的弧ABC于Y，且作μX，它切同一弧于顶点μ，并交EO于X；则曲线［形］AEXμA的面积比曲线［形］ACYμA的面积如同AE比AC。且因此，由于三角形ASE比三角形ASC按照相同的比，整个ASEXμA的面积比整个ASCYμA的面积如同AE比AC。但是，由于ξO比SO如同3比1，且EO比XO按照相同的比，SX平行于EB；且所以，如果连结BX，则三角形SEB等于三角形XEB。于是，如果三角形EXB被加到面积ASEXμA上，并从中除去三角形SEB，留下的面积ASBXμA等于ASEXμA，且因此比面积ASCYμA如同AE比AC。但是，面积ASBYμA很接近地等于面积ASBXμA；且这个面积ASBYμA比ASCYμA，如同画出弧AB的时间比画出整个弧AC的时间。且因此AE比AC很接近地按照相同的比。此即所证 。

系理 当点B落在抛物线的顶点μ上，AE比AC精确地按照时间之比。

解释

如果连结μξ截AC于δ，且在它之上取ξn，它［ξn］比μB如同27MI比16Mμ；作Bn，则Bn按照较以前更精确的时间之比截弦AC。但是，如果点B离抛物线的主顶点比离点μ远，点n位于点之外；如果点B离同一个顶点较近，则相反。

引理 IX

直线Iμ和μM以及长度（AIC）/（4Sμ）彼此相等。

因4Sμ是属于顶点μ的抛物线的通径。

引理 X

如果延长Sμ至N及P，使得μN等于μI的三分之一，且SP比SN如同SN比Sμ。一颗彗星，在画出弧AμC的一段时间，如果它总以它在等于高度SP时所具有的速度前进，它将画出等于弦AC的一个长度。

因为如果彗星以它在μ所具有的速度在相同的时间在一条直线上均匀地前进，它切抛物线于μ；面积，它由向点S所引的半径画出，等于抛物线的面积ASCμ。且因此在切线上画出的长度和长度Sμ之下的容量比长度AC和SM之下的容量，如同面积ASCμ比三角形ASC，亦即，如同SN比SM。是以AC比在切线上画出的长度，如同Sμ比SN。但是，由于彗星在高度SP的速度（由第一卷命题XVI系理6）比它在高度Sμ的速度，按照SP比Sμ的二分之一次反比，亦即，按照Sμ比SN之比；在相同的时间以这个速度画出的长度，比在切线上画出的长度，如同Sμ比SN。所以，因为AC和以这个新的速度画出的长度，比在切线上画出的长度，按照相同的比，它们彼此相等。此即所证 。

系理 所以，彗星以它在高度Sμ＋ Iμ所具有的速度，在相同的时间，非常接近地画出弦AC。

引理 XI

如果一颗彗星被夺去所有的运动，从高度SN或者Sμ＋（2/3）Iμ坠落，使得它向太阳下落，且彗星一直被一均匀地持续的力推向太阳，在一开始时它即受此力推动；当彗星在自己的轨道上画出弧AC的时间的一半，它在下落中画出等于长度Iμ的一个空间。

因为彗星，在一段时间画出抛物线弧AC，在相同的时间它以在高度SP所具有的速度（由上一引理）画出弦AC，且因此（由第一卷命题XVI系理7）在相同的时间，它在一个圆上，其半直径为SP，以它自身的重力旋转，画出一段弧，其长度比抛物线的弧的弦AC，按照一比二的二分之一次比。且所以它以它在高度SP向着太阳的重量，从那个高度向太阳下落，在那段时间的一半画出的一个空间（由第一卷命题IV系理9）等于那条弦的一半的平方除以四倍的高度SP，亦即，空间（AIq ）/（4SP）。由是，因为在高度SN上彗星向着太阳的重量比在高度SP上它向着太阳的重量，如同SP比Sμ；彗星以它在高度SN所具有的重量，在相同的时间向太阳下落，画出空间（AIq ）/（4Sμ），亦即，长度等于Iμ或者Mμ的一个空间。此即所证 。

命题XLI 问题XXI

由给定的三次观测，确定在抛物线上运动的彗星的轨道。

我曾多方尝试这个非常困难的问题，在第一卷中我撰写了一些问题，它们从属于其解答。其后我想到了如下稍为简单的解法。

选择三次观测，彼此的时间间隔近似地等远。但在那个时间间隔，当时彗星缓慢运动，比另一个略大，即是使得时间的差比时间的和，如同时间的和比差不多六百天；或者使得点E（在引理VIII的图中）落在很靠近点M 的地方，且从那里向I偏离而不是向A偏离。如果不具备如此的观测，必须用引理六发现彗星新的位置。

指定S为太阳，T，t，τ为在大轨道上地球的三个位置，TA，tB，τC为三个观测到的彗星的黄经，V为第一次和第二次观测之间的时间，W为第二次和第三次观测之间的时间，X为一段长度，它能由彗星在整个那段时间从它在地球离太阳的平均距离处的速度画出，（由第三卷命题XL系理3）发现这段长度，且tV是弦Tτ的垂线。在中间一次观测到的黄经tB上，任意取一点B作为在黄道的平面上彗星的位置，并由此向太阳S引直线BE，它比矢tV，如同SB和Stquad 之下的容量比一个直角三角形的斜边的立方，它的［直角］边为SB和在第二次观测时对半径tB的彗星的黄纬的切线。且过点E引（由本卷中的引理VII）直线AEC，它的部分AE，EC，由直线TA和τC界定，彼此如同时间V和W：则A和C与在第一次和第三次观测时在黄道的平面上的彗星的位置很接近，只要B是在第二次观测时正确地假设的它的位置。

在平分于I的AC上竖立垂线Ii。过点B引想象的直线Bi 平行于AC。连结想象的直线Si，它截AC于λ，并补足平行四边形iIλμ。取Iσ等于3Iλ，并过太阳S引想象的σξ等于3Sσ＋3iλ。然后，删去字母A，E，C，I，自点B向点ξ引一条新的想象的直线BE，使得它比原来的BE按照距离BS比量Sμ+ iλ的二次比。且过点E按照与前面相同的定律再引直线AEC，亦即，使得其部分AE和EC彼此如同观测之间的时间V和W。则A和C是彗星的更精确的位置。

在平分于I的AC上竖立垂线AM，CN，IO，其中AM和CN是在第一次和第三次观测时对半径TA和τC的黄纬的切线。连结MN截IO于O。作矩形iIλμ如前。在IＡ的延长线上取ID 等于Sμ+ iλ，然后在MN上向着N截取MP，MP比上面发现的长度Ｘ，按照地球离太阳的平均距离（或者大轨道的半径）比距离OD的二分之一次比。如果点P落在点N上，则A，B，C为彗星的三个位置，通过它们的轨道被画在黄道的平面上。但如果点P不落在点N上，在直线AC上取CG等于NP，如此使得点G和P位于直线NC的同一侧。

由同样的方法，从假设的点B发现点E，A，C，G，从其他任意假设的b和β发现新的点e，a，c，g和ε，α，κ，γ。然后过G，g，γ画的圆的周线Ggγ截直线τC于Z：则Z为在黄道的平面上彗星的位置。且如果在AC，ac，ακ上取AF，af，αφ分别等于CG，cg，κγ，且过点F，f，φ画的圆的周线Ffφ截直线AT于X；则X为在黄道的平面上彗星的另一个位置。在点X和Z，竖立对半径TX和τZ的彗星的黄纬的切线，则彗星在其轨道上的两个位置被发现，最后（由第一卷命题XIX）以焦点S，过那两个位置画出一抛物线，则这条抛物线是彗星的轨道。此即所求 。

这个做法的证明由诸引理推出：因为由引理VII，直线AC在E按照时间之比被截，正如引理VIII所要求的；且因为BE，由引理XI，是直线BS的或者Bξ的在黄道的平面上位于弧ABC和弦AEC中间的部分；又因为MP（由引理X的系理）是弧的弦的长度，这个弧应由彗星在第一次和第三次观测之间在自己的轨道上画出，且因此等于MN，只要B是在黄道的平面上的彗星的真实位置。

但是，如果不任意地选择点B，b，β，而以接近真的位置选择它们，这是方便的。如果角AQt被近似地知道，轨道在黄道的平面上画出的射影以这个角截直线tB；在那个角引想象的直线AC，它比43Tτ按照SQ比St的二分之一次比。且通过引直线SEB，它的部分EB等于长度Vt，点B被确定，B首先被用到。然后删去AC并按前面的作法重新引一条直线AC，且在发现长度MP之后，在tB上取点b，按照定律，如果TA，τC相互截于Y，则距离Yb比距离YB，按照来自MP比MN的比和SB比Sb的二分之一次比的复合比。且只要心甘情愿重复第三次，按同样的方法发现第三个点β。但这一方法对于大多数情况，两次操作就够了。因为，如果遇到的距离Bb非常小，发现点F、f和G、g之后，引直线Ff和Gg截TA和τC于需求的点X和Z。

例子

问题设为1680年的彗星。彗星的运动经弗拉姆斯蒂德 的观测并由他从观测加以计算，再由哈雷 根据同样的观测做了修正，显示在下表中。

在这些观测上增加我们的一些观测。

这些观测是用一架带测微计的七呎长的望远镜做的，测微计的线位于望远镜的焦点；用这些仪器我们确定了恒星彼此之间的位置和彗星相对于恒星的位置。指定A为在英仙座左踵上的一颗四等星（在巴耶 的星表 （64） 中为ο），B为紧跟着在脚上的一颗三等星（在巴耶 的星表中为ζ），且C为同一踵上的一颗六等星（在巴耶 的星表中为n），又D，E，F，G，H，I，K，L，M，N，O，Z，α，β，γ，δ为在同一只脚上的其他较小的星。再设p，P，Q，R，S，T，V，X是以上描述的观测中彗星的位置，且距离AB被认作 份，AC为 份，BC ，AD ，BD ，CD ，AE ，CE ，DE ，AI ，BI ，CI ，DI ，AK ，BK43，CK ，FK29，FB23，FC ，AH ，DH ，BN ，CN ，BL ，NL 。HO比HI如同7比6且当它延长时从星D和星E之间穿过，于是星D离这条直线的距离为 CD。LM比LN如同2比9，且它延长穿过星H。这些恒星彼此之间的位置被确定。

后来我国人庞德 又观测了这些恒星彼此之间的位置，且它们的黄经和黄纬记录在下表中。

我观测到彗星相对于恒星的位置如下。

2月25日，星期五，旧历，在午后8时半，彗星在p，它离星E的距离小于 AE，大于 AE，且因此约等于 AE；又角ApE稍微有些钝，但几乎是直角。因为自A向pE上落下垂线，彗星离那条垂线的距离为 pE。

在同一个晚上的9时半，彗星在P，离星E的距离 （65） 大于 AE，小于 AE，且因此约等于 AE，或者 AE。且彗星离从星A向直线PE落下的垂线的距离为 AE。

2月27日，星期天，在午后8时1刻，彗星在Q，离星O的距离等于星O和H之间的距离，且直线QO延长从星K和B之间穿过。由于中间的云，我未能更精确地确定这条直线的位置。

3月1日，星期二，在午后11时，彗星在R，恰好在星K和C之间，且直线CRK的部分CR稍大于 CK，且稍小于 CK＋ CR，且因此等于 CK＋ CR或者 CK。

3月2日，星期三，在午后8时，彗星在S，离星C的距离约为 FC。星F离直线CS的延长线的距离为 FC；且星B离同一直线的距离，是星F的距离的五倍。同样地，直线NS被延长，从星H和I之间穿过，靠近星H比靠近星I约五倍或者六倍。

3月5日，星期六，在午后11时半，彗星在T，直线MT等于 ML，且直线LT的延长线从B和F之间穿过，靠近F比靠近B约四或者五倍，从BF上割下它朝向F的四分之一或者五分之一。又MT延长时，从空间BF向星B的外边穿过，且靠近星B比靠近星F约四倍。星M很小，用望远镜能勉强看到，而L为大约八等的一颗较大的星。

3月7日，星期一，在午后9时半，彗星在V，直线Vα的延长线从B和F之间穿过，从BF上割下向着F的 BF，且它比直线Vβ如同5比4。又彗星离直线αβ的距离为 Vβ。

3月9日，星期三，在午后8时半，彗星在X，直线γX等于 γδ，且自星δ向直线γX落下的垂线为 γδ。

同一天晚上12时，彗星在Y，直线γY等于 γδ，但略小，设为 γδ。且自星δ向直线γY落下的垂线约等于 γδ或者 γδ。但由于彗星靠近地平线而难于分辨，其位置的确定自然不能与以上的同样确切。

通过作图和计算，从这类观测中我导出了彗星的黄经和黄纬，且我国人庞德 从修正的恒星的位置修正了彗星的位置，而这些修正了的位置已在上面给出。我使用的测微计制作得不够精致，但黄经和黄纬的误差（就我们观测的范围而言）几乎不超过一分。此外，彗星（按照我们的观测）在其运动结束时明显地由它在2月底占据的平行线上往北倾斜。

现在，为了确定彗星的轨道，我从以上描述的观测中选择三个，它们是弗拉姆斯蒂德 在12月21日，1月5日和1月25日做的。从这些观测我发现St为9842.1份，且Vt为455份，若假设大轨道的半直径为10000份。然后，对第一次运算，我假定tB为5657份，我发现SB为9747，BE在第一轮中为412，Sμ 9503，iλ413；BE在第二轮中为421，OD 10186，X 8528.4，MP 8450，MN 8475，NP 25。因此由第二次运算，我推得距离tb为5640。且由这些计算我最终求得距离TX为4775以及τZ为11322。在从这些距离确定轨道时，我发现其降交点在 在且升交点在 1gr. .53′；它的平面对于黄道的平面的倾角为61gr. . ′；其顶点（或者彗星的近日点）离交点8gr. .38′远，且以南黄纬7gr. .34′在 27gr. .43′；又其通径为236.8，而且向太阳所引的半径每天画出93585，假设大轨道的半径的平方为100000000；且我发现彗星在这个轨道上按［黄道十二］宫的顺序前进，并在12月8d .0h .4′ （66） 在轨道的顶点或者近日点。所有这些我是用一条被等分的尺子和角的弦通过绘图定出，角的弦取自自然正弦的表；我作了一张颇大的图表，在其上大轨道的半直径（10000份的）等于一英呎的 吋。

最后，为了确定彗星是否真的在这样发现的轨道上运动，我部分地由算术运算且部分地由画图，推算了彗星在一些观测时间在这条轨道上的位置，正如在下表所见。

后来，我们的同国人哈雷 用算术计算比用画图更精确地确定了［这颗彗星的］轨道；且保持交点在 和 1gr. .53′的位置，轨道的平面对黄道的平面的倾角61gr. . ′，以及彗星在近日点的时间12月8d .0h .4′；他发现近日点离升交点的距离在彗星的轨道上测量为9gr. .20′，且抛物线的通径为2430份，太阳离地球的平均距离取为100000份。且从这些数据由更精确的算术计算，他计算了在观测时间上彗星的位置，如下表。

这颗彗星也在更早的11月份出现过，且在萨克森 的科堡，由戈特夫里德·柯奇 先生在这个月的第四、第六和第十一日，旧历，作了观测，且由其相对于最近的恒星的位置，有时用二呎长的望远镜，有时用十呎长的望远镜，观测相当精确，由科堡 的和伦敦 的十一度的经度差和由我们的同国人庞德 观测的恒星的位置，我们的同国人哈雷 确定了彗星的位置如下。

在伦敦 的视时间11月3d .17h .2′，彗星以北黄纬1gr. .17′.45″在 29gr. .51′。

11月5d .15h .48′，彗星以北黄纬1gr. .6′在 3gr. .23′。

11月10d .16h .31′，彗星离狮子座中在巴耶 的星表中被记为σ和τ的星等距；它尚未触及连结它们的直线，但相离它很近。在弗拉姆斯蒂德 的星表中σ以北黄纬1gr. .41′在 14gr. .15′，τ以南黄纬0gr. .34′在 17gr. ′。且这些星的中点以南黄纬0gr. . ′在 15gr. . ′。设彗星离那条直线的距离约为10′或者12′，则彗星的和那个中点的黄经之差约为7′，且黄纬之差约为 ′。由此彗星约以北黄纬26′在 15gr. .32′。

彗星的位置相对于某个小恒星的第一次观测是足够精确的。第二次也充分精确。在第三次观测，较不精确，能有一个六或者七分的误差，但几乎不会更大。则在第一次观测中彗星的黄经，在以上所说的抛物线轨道上计算，为 29gr. .30′.22″，其北黄纬为1gr. .25′.7″，再者它离太阳的距离为115546。

此外，哈雷 注意到一颗奇异的彗星，它以575年的间隔已出现四次，即在尤利乌斯·凯撒 被谋杀后的9月，公历（anno Christi）531年当拉姆帕迪乌斯和奥雷斯特斯为执政官时，公历1106年2月，以及1680年的年底，且这颗彗星带一个长而且显著的尾（除了凯撒之死那年，由于地球的位置不相宜，彗尾看起来较小）；他寻求其轴为1382957份的椭圆轨道，地球离太阳的平均距离取为10000份；在这轨道上彗星能以575年的间隔循环。且置升交点在 2gr. .2′；轨道的平面对于黄道的平面的倾角为61gr. .6′.48″，彗星的近日点在这个平面上的 22gr. .44′.25″；近日点的平时（tempus æquatum）是12月7d .23h .9′；在黄道的平面上近日点离升交点的距离是9gr. .17′.35″；且共轭轴为18481.2；他计算了彗星在这条椭圆轨道上的运动。这个彗星的位置，从观测导出的以及从这条轨道计算所得的，展示在下表中。

自始至终对这颗彗星的观测与在刚才描述的轨道上彗星的运动的符合，并不比通常行星的运动与行星理论的符合差，且这一符合证明在所有那些时候出现的是一颗且是同一颗彗星，再者，它的轨道已在这里被正确地确定了。

在前面的表中我们已经略去11月16、18、20和23日的观测，由于它们较不精确。因为在那些时刻彗星亦被他人观测。蓬蒂奥 和他的同伴在11月17日，旧历，在罗马的早上六时，亦即伦敦 的5时10分，用对着恒星的线观察到彗星以南黄纬0gr. .40′在 8gr. .30′。他们的观测可在论及这颗彗星的一篇论文中找到，该文由蓬蒂奥 公之于众。切利奥 ，他当时在场且他把自己的观测写在致卡西尼 先生的一封信中，他在相同的时间看到彗星在 8gr. .30′且南黄纬为0gr. .30′。在同一时刻，阿维尼翁 的加莱 （亦即，在伦敦 的早晨5时42分）看到彗星在 8gr. ，他没有给出黄纬，但由理论计算那时彗星在 8gr. .16′.45″且南黄纬为0gr. .53′.7″。

11月18日罗马的早晨6时30分（亦即，伦敦 的5时40分），蓬蒂奥 看到彗星在 13gr. .30′，且南黄纬为1gr. .20′。切利奥 看到在 13gr. .30′且南黄纬为1gr. .00′。再者，加莱 在阿维尼翁 的早晨5时30分看到彗星在 13gr. .00′，且南黄纬为1gr. .00′。此外，昂戈 神父在法兰西 的拉弗莱什 学院，在早晨5时（亦即，伦敦 的5时9分）看到彗星在两颗小星的中间，其中之一是在室女座南边的手上成一直线的三颗恒星中间的一颗，在巴耶 的星表中记为ψ，且另一颗是翼上最靠外的一颗星，在巴耶 的星表中记为θ。因此彗星那时在 12gr. .46′，且南黄纬为50′。同一天，在新英格兰 的波士顿 ，它在［北］纬 度，早晨5时（亦即伦敦 的早上9时44分），彗星被看到临近 14gr. ，且南黄纬为1gr. .30′，正如杰出的哈雷 告知我的。

11月19日在剑桥早晨的四时半，彗星（按照一位青年的观测）离角宿一（spica virginis）向西北约2gr. 远。但是角宿一在 19gr. .23′.47″，且南黄纬为2gr. .1′.59″。同一天，在新英格兰 的波士顿 的早上5时，彗星离角宿一的间隔约一度远，黄纬的差为40′。在同一天的牙买加 岛，彗星离角宿一约一度远。在同一天，阿瑟·斯托勒 先生在帕塔克森特 河，它邻近马里兰 的亨廷克里克 ，在［北］纬 gr. 的弗吉尼亚 的边界，早晨5时（亦即伦敦 的早上10时）看到彗星高于角宿一且几乎与角宿一相连，它们之间的距离约为 gr. 。且通过相互比较这些观测，我推出在伦敦 的9时44分，彗星在 18gr. .50′，且南黄纬约为1gr. .25′。但由理论，那时彗星在 18gr. .52′.15″，且南黄纬为1gr. .26′.54″。

11月20日，帕多瓦 的天文学教授蒙塔纳里 先生在威尼斯 的早上六时（亦即，伦敦 的5时10分）看到彗星在 23gr. ，且南黄纬为1gr. .30′。同一天在波士顿 ，彗星离角宿一向东4gr. 黄经远，且因此约在 23gr. .24′。

11月21日，蓬蒂奥 和他的同伴在早上7时1刻观测到彗星在 27gr. .50′，且南黄纬为1gr. .16′；切利奥 的观测，是在 28gr. 。昂戈 在早上五时的观测是在 27gr. .45′。蒙塔纳里 的观测是在 27gr. .51′。同一天在牙买加 岛上，彗星被看到在靠近天蝎座的开始，且其黄纬与角宿一的黄纬差不多相同，亦即，2gr. .2′。同一天在东印度 的巴拉索尔 的早上五时（亦即，伦敦 的前一天晚上的11时20分），得到彗星离角宿一向东7gr. .35′远。在角宿一和［天秤座的］秤盘之间的直线上，且因此在 26gr. .58′，且南黄纬约为1gr. .11′；又后来在5时40分（即在伦敦 的早上五时）它在 28gr. .12′，且南黄纬为1gr. .16′。由理论计算彗星那时在 28gr. .10′.36″，且南黄纬为1gr. .53′.35″。

11月22日，彗星被蒙塔纳里 看到在 2gr. .33′，但在新英格兰 的波士顿 它大约出现在 3gr. ，黄纬同前，亦即1gr. .30′。同一天在巴拉索尔 的早上5时，彗星被观测到在 1gr. .50′；且因此在伦敦 的早上5时，彗星约在 3gr. .5′。同一天在伦敦 的早上六时半，我们的同国人胡克 看到彗星约在 3gr. .30′，且它在穿过角宿一和轩辕十四（cor leonis）的一条直线上，但不尽精确，离开那条直线略向北偏。蒙塔纳里 同样注意到彗星通过角宿一引的直线，在这一天和接下来的一天，穿过轩辕十四的南侧，轩辕十四和这条线之间的间隔甚小。穿过轩辕十四和角宿一的直线，以2gr. .51′的角截黄道于 3gr. .46′。且如果彗星曾位于这条直线上且在 3gr. ，它的黄纬应为2gr. .26′。但由于彗星，胡克 和蒙塔纳里 同意，离开这条直线向北稍有距离，其黄纬略小。20日，由蒙塔纳里 的观测，其黄纬几乎等于角宿一的黄纬，即约为1gr. .30′，又胡克 、蒙塔纳里 和昂戈 同意，黄纬持续增大，且因此现在明显的大于1gr. .30′。在现在建立的界限2gr. .26′和1gr. .30′之间，平均黄纬的大小约为1gr. .58′。彗星的尾，胡克 和蒙塔纳里 同意，指向角宿一，自这个星稍有倾斜，按胡克 为向南，按蒙塔纳里 为向北；且因此这个倾斜很难察觉，且彗星的尾几乎与赤道平行，自太阳的对面略向北倾斜。

11月23日，旧历，纽伦堡的早上五时（亦即伦敦 的四时半）齐墨尔曼先生看到彗星在 8gr. .8′，且南黄纬为2gr. .31′，当然，它的距离由恒星确定。

11月24日，在太阳升起前彗星被蒙塔纳里 看到在 12gr. .52′，在穿过轩辕十四和角宿一所引的直线的北侧，且因此它所具有的黄纬略小于2gr. .38′。这个黄纬，正如我们所说，按照蒙塔纳里 ，昂戈 和胡克 的观测，持续增大；且因此现在略大于1gr. .58′；且其平均大小能取作2gr. .18′，没有可辨认出的误差。现在蓬蒂奥 和加莱 要黄纬减小，而切利奥 和在新英格兰 的一位观测者几乎要黄纬保持相同的大小，即1度或者1度半。蓬蒂奥 和切利奥 的观测是粗略的，尤其是由方位角和高度取得的，加莱 的那些也是如此；由蒙塔纳里 、胡克 、昂戈 以及在新英格兰 的那位观测者，再者有时由蓬蒂奥 和切利奥 以彗星相对于恒星的位置取得的结果较好。同一天在巴拉索尔 的早上五时，彗星被观测到在 11gr. .45′，且因此在伦敦 的早上五时它约在 13gr. 。由理论计算，彗星在那时在 13gr. .22′.42″。

11月25日，在太阳升起之前，蒙塔纳里 观测到彗星约在 gr. 。且在同一时间切利奥 观察到彗星在室女座的右股上的一颗亮星和天秤座的南边的秤盘之间的直线上，且这条直线截彗星的道路于 18gr. .36′。由理论计算，彗星在那个时间约在 gr. 。

所以这些观测与理论符合，依照它们彼此相符的标准，且由这一相符证明那是一颗且是同一颗彗星，它从［1680年］11月4日到［1681年］3月9日的整个时间出现。这颗彗星的轨道截黄道的平面两次，且所以它不是一条直线。它不在天空的相对部分与黄道相截，而在室女宫的结束和摩羯宫的开始，间隔约98度；且因此彗星的路径甚为偏离一个极大的圆。因为在11月，其路径从黄道向南至少倾斜三度，且后来在12月从黄道向北倾斜29度，轨道的两部分，彗星在其上奔向太阳又从太阳返回，彼此倾斜的视角超过三十度，正如蒙塔纳里 的观察。这颗彗星在行进中经过九个宫，即从狮子宫的末尾到双子宫的开始；狮子宫除外，因为经过它前进时在能被看到之前；且没有其他理论，按照这一理论彗星能以规则的运动经历如此大的天空部分。它的运动是极为不等的。因为它在11月20日前后，每天约画出五度；此后其运动在11月26日和12月12日之间被迟滞，即在十五天半的时间，它仅画出40度；此后运动被加速，它每天差不多画出五度，直至运动开始被再次迟滞。且一项理论，它与经过天空的极大部分的如此不均匀的运动非常相符，遵守与行星理论相同的定律，又与精确的天文观测准确符合，不会是不正确的。

此外，彗星画出的轨道以及在一些位置抛射出的真实的尾，由在轨道的平面上描绘的附图展示是适宜的：这里ABC表示彗星的轨道，D为太阳，DE为轨道的轴，DF为交点线，GH为大轨道的球与轨道的平面的相交部分；I为1680年11月4日彗星的位置；K为11月11日它的位置；L为11月19日它的位置；M为12月12日它的位置；N为12月21日它的位置；O为12月29日它的位置；P为次年1月5日它的位置；Q为1月25日它的位置；R为2月5日它的位置；S为2月25日它的位置；T为3月5日它的位置，且V为3月9日它的位置。在确定彗尾时，我使用了如下的观测。

11月4日和6日，彗尾还没有出现。11月11日，彗尾开始能被看到，通过十呎的望远镜观看不超过半度长。11月17日，彗尾被蓬蒂奥 看到超过十五度长。11月18日，彗尾在新英格兰 被看到有30gr. 长，且正对太阳，并一直延伸到星♂，它［火星］当时在 9gr. .54′。11月19日，在马里兰 ，彗尾被看到有15或者20度长。12月10日，彗尾（根据弗拉姆斯蒂德 的观测）从蛇夫座的巨蛇尾和天鹰座南翼的星δ之间的中间距离穿过，且终止处靠近巴耶 的星表中的星A，ω，b。所以彗星的尾终止于 gr. ，且北黄纬约为 gr. 。12月11日，彗尾升高到天箭座的头（巴耶 星表中的α，β），终止于 26gr. .43′，且北黄纬为38gr. .34′。12月12日，彗尾穿过天箭座的中间，没有太大的伸展，终止于 4gr. ，且北黄纬约为 gr. 。这些情形被理解为彗尾的较亮的部分的长度。因为当光线较暗，在也许较晴朗的天空，在12月12日罗马的5时40分（根据蓬蒂奥 的观测）彗尾高于天鹅座之尾 （67） 至10度；且其边自这颗星向西北终止于45分。但在那些天向着彗尾在邻近其靠上的一端有3度宽，且因此它的中间离那颗星向南有2gr. .15′远，且其上端以北黄纬61gr. 终止于 22gr. 。且因此彗尾约70gr. 长。12月21日，彗尾几乎伸展到仙后座的座尾，离［星］β和王良四（Schedir）等距，且离它们其中一个的距离等于它们彼此之间的距离，且因此终止于 24gr. ，又黄纬为 gr. 。12月29日，彗尾触到室宿二（Scheat），此星位于它的左边，并精确地填满了仙女座的北边的脚上的两颗星之间的间隔，有54gr. 长；且因此终止于 19gr. ，又黄纬为35gr. 。1月5日，彗尾触到仙女座胸上的星π的右侧和在她的腰带上的星μ的左侧；且（按照我们的观测）它有40gr. 长；但它是弯曲的，且凸的一侧朝南。靠近彗星的头它与经过太阳和彗星的头的圆成一个4度的角；但朝向另一端它以约10或者11度的角向那个圆倾斜且彗尾的弦与圆包含一个8度的角。在1月13日，彗尾明显被看到的光终止于天大将军一（Alamech）和大陵五（Algol）之间，且以微弱的光在向着在英仙座星κ的一侧终止。彗尾的末端离连结太阳和彗星的圆的距离是3gr. .50′，且彗尾的弦对那个圆的倾角为 gr. 。1月25和26日，彗尾以弱光闪烁至6到7度；且大约一夜之后，当时天空极为晴朗，它的长度延伸到十二度或者更多些，光很弱且几乎不能被看到，但它的轴正对着在御夫座东肩上的亮星，且因此从太阳的对面向北以十度的角倾斜。然后在2月10日，彗尾被我装备［望远镜］的眼睛看到有二度长。因为上面提到的更弱的光通过玻璃不出现。但蓬蒂奥 写道，在2月7日他看到长度为12度的彗尾。2月25日以及以后彗星没有尾出现。

任何现在思考已描述的轨道且在他的心中回想这颗彗星的其他现象的人，不难认定，彗星的本体是固态的、紧密的、固定的和耐久的，像行星的本体。因为如果彗星不是别的而是蒸汽或者地球的、太阳的以及行星的蒸发水分，这颗彗星在它自己的路径中经过太阳的近处时应会立刻消灭。因为太阳的热如同［它的］光线的密度，这就是，与位置离太阳的距离的平方成反比。且因此，由于在12月8日，当彗星在它的近日点时，它离太阳的中心的距离比地球离太阳的中心的距离大约如同6比1000，在那时太阳在彗星上的热比夏天太阳在我们这里的热如同1000000比36，或者28000比1。但沸腾的水的热约比干燥的地在夏天的太阳下吸收的热大三倍，正如我从经验得知的；且白热的铁的热（如果我猜得正确）约比沸腾的水的热大三或者四倍；且由此，彗星上的干地在彗星处于它的近日点时从太阳的光线所吸收的热，约比白热的铁的热大2000倍。对如此大的热，蒸汽和蒸发水分，以及所有的挥发性的物质立即被耗尽并消灭。

所以彗星在它自己的近日点从太阳吸收极多的热，且那些热能保持极长的时间。因为一吋宽的白热的铁球，在空气中一小时的时间很难失去其所有的热。但较大的球按直径的比保持更长时间的热，因为它的表面（是一个度量，按照表面球通过与周围的空气接触而被冷却）按照那个比相对于它所包含的热的物质的量较小。且因此一个等于这个地球的白热的铁球，亦即，宽约为40000000呎，在相等的天数，或者约50000年，才勉强被冷确。但我怀疑热的持续，由于一些隐匿的原因，按照小于直径的比增加，而且我期望通过实验研究真正的比。

此外，应注意到在12月，当彗星新近被太阳加热，它发射出比在此前的11月大得多且光彩得多的尾，然而它还未到达近日点。且一般地，起源于彗星的所有最大且最灿烂的尾，紧随在它们通过太阳的区域的路径中。所以被灼热的彗星助长其尾的大小。且因此我相信能推断出彗尾不是别的而是极稀薄的蒸汽，它由彗星的头或者核由于自身的热而发射。

然而关于彗星的尾有三种意见：它们或者是太阳的光通过彗星的透明的头部的传播，或者起源于光从彗星的头到地球前进时的折射，或者最后，它们是不断地产生于彗星的头的云或者蒸汽，并向离开太阳的方向跑去。持有第一种意见的人尚未受到光学科学的陶冶，因为进入暗室中的太阳的光不能被分辨出来，除非在空气中飞舞的灰尘和烟的小颗粒反射太阳的光；且因此在浓烟弥漫的空中，太阳的光显得更亮，并且更强地触及视觉；在晴天的空气中这些光较暗淡且不易被感觉到，但在没有物质反射这些光的天空，它们一点也不能被看到。光不是在有光的地方被看到，而是在当它被反射到我们的眼睛的地方被分辨出来。因为视觉不会发生，除非通过射入眼睛的光线。所以在彗尾的区域必定存在某些反射物质，否则整个天空受太阳的光照射均匀地发亮。第二种意见被许多困难所包围。彗尾从来没有被改变颜色，而颜色通常是折射的不可分离的相伴者。恒星的和行星的光到我们这里的明晰的传播证明天空的介质没有反射的能力。据说埃及人有时曾看到有头发的恒星，但这极难遇到，应当归之于云的偶然折射。恒星的光彩和闪烁既由于眼睛的折射又由于颤动的空气的折射，因为当通过望远镜看这些星时它们消失了。由于空气的和上升的蒸汽的颤动，会发生光线交替地从瞳孔的狭窄空间偏斜，但通过［望远镜的］物镜宽的入口则不会发生这样的事情。且因此它是在前一种情形产生的闪烁，但在后一种情形停止；且在后一种情形的停止证明在天空中光规则地传播，没有任何可以感觉到的折射。但是，为了避免以当彗星的光线不够强时通常看不到彗尾，因为次等光线没有足够的力量影响眼睛，且这就是看不到恒星的尾的原因为理由反对时，应考虑到恒星的光用望远镜可以被增大到超过一百倍，但仍看不到尾。行星的光更丰富但没有尾，且当彗星的头的光微弱且很昏暗时，彗星往往有极大的尾。1680年的彗星就是如此，在12月，在彗星的头的光刚及二等星时，它抛射出的彗尾非常明亮，长度可达40，50，60或者70度，甚至更大；此后在1月27日和28日，彗星的头勉强如同一颗七等星出现，但彗尾以微弱但是可以感觉到的光在长度上延伸至6或者7度，且以几乎不能被看到的极暗淡的光，延伸到十二度或者略多，正如以上所说。但在2月9日和10日，当时肉眼看不到彗星的头，通过望远镜我观察到二度长的彗尾。而且，如果彗尾起源于天体物质的折射，且如果它按照天空的形状从太阳的对面偏转，在天空的相同区域，那个偏转总应发生在相同的方向。但是，1680年的彗星，在12月28日伦敦 的午后八时半，它在 8gr. .41′，且北黄纬为28gr. .6′，太阳出现在 18gr. .26′。又1577年的彗星，在12月29日，它在 8gr. .41′，且北黄纬为28gr. .40′，太阳也大约出现在 18gr. .26′。在两种情形中，地球在相同的位置而彗星出现在天空的相同部分；然而在前一种情形，彗星的尾（根据我的和其他人的观测）从太阳的对面向北有 度角的一个倾斜，在后一种情形（根据第谷的观测）向南的倾角为21度。所以，由于被天空的折射所拒绝，余下的是从其他反射光的物质导出彗尾的现象。

而且由彗尾遵守的定律证实，彗尾起源于彗星的头且升高到背离太阳的区域。例如在穿过太阳的彗星的轨道的平面上的彗尾，它们总从正对着太阳偏转并指向彗星在那些轨道上前进时留在后面的区域。对一个被安置在那些平面上的观察者，它们出现在正对着太阳的部分；但当观察者离开这些平面，偏转逐渐能被感到，且日渐增大。在其他情况相同时，当彗尾对于彗星的轨道更倾斜时，偏转较小，且当彗星的头更靠近太阳，尤其是偏转的角取得靠近彗星的头时，亦是如此。此外，没有偏转的彗尾显出是直的，但偏转的彗尾是弯曲的。再者，当偏转大时曲率较大，且在其他情况相同彗尾较长时，感觉更明显，因为在较短的彗尾上曲率不易被观察到。由于偏转的角邻近彗星的头较小，邻近彗尾的另一端较大，且因此彗尾的凸的一侧对着由它形成偏转的方向，并位于从太阳穿过彗星的头所引的无限的直线上。又，彗尾，当它较长且较宽，而又更有力地闪闪发光时，向着凸出的一侧稍微更加明亮且以比凹的一侧较不分明的界线终止。所以，尾部的现象依赖头部的运动，而不是头部被看到的天空的区域；且因此这些现象不是通过天空的折射，而起源于彗星的头所提供的物质。因为如同在我们的空气中，任何被燃烧的物体的烟寻求上升，且如果物体静止时它垂直，或者当物体运动时它倾斜：于是在天空中，当物体有向着太阳的重力，烟和蒸汽应远离太阳上升（正如刚才所说），且如果冒烟的物体静止，则它直线上升；如果物体由于前进总离开蒸汽的部分已上升到的较高的位置，则它倾斜地上升。且当上升的蒸汽较迅速时，倾斜较小，即在太阳附近且靠近冒烟的物体。此外，由于倾斜的参差不齐，蒸汽柱被弯曲；且由于蒸汽到柱向前的一侧稍晚，且因此在同一侧较致密，且所以反射的光更丰富，且边界终止得较不分明。关于彗尾的突然和不稳定的摇动，以及关于它们有时被描述成不规则的形状，在这里我不增加任何东西；因为它们可能起源于我们的空气的变化，以及云的运动，使彗尾的某一部分被遮蔽；或者，也许起源于银河（via lactea）的部分，当彗尾经过时，它可能与它们混淆并被认为是彗尾的部分。

但是能填满如此巨大的空间的蒸汽能来自于彗星的大气，可从我们自己的大气的稀薄上去理解。因为靠近地球的表面的空气所占的一个空间比相同重量的水所占的空间约大850倍，且因此850呎高的圆柱形空气柱与一呎高宽度相同的水柱的重量相同。而且高耸至大气顶端的空气柱，其自身的重量等于高约33呎的水柱；且所以如果整个空气柱的较低的850呎高的部分被除去，剩余的较高的部分自身的重量等于32呎高的水柱。且因此（由被许多实验证实的规则，空气的压力如同压在它们上面的大气的重量，且重力与位置离地球的中心的距离的平方成反比），由第二卷命题XXII的系理计算，我发现，空气，在地球表面之上一个地球的半直径的高度，按照远大于土星轨道之下的整个空间比以一吋的直径画出的球的比稀薄于我们周围的空气。且由是一吋宽的我们的空气充满的球，以在地球的半直径的一个高度上的稀薄度，将充满远至土星的球，甚至更远的区域。因此，由于更高的空气变得极为稀薄，且彗发或者彗星的大气，自那个中心上升到约十倍彗核的表面的高度，然后彗尾从那里上升得更高，彗尾必定极为稀薄。且即使由于更浓密的彗星的大气，和物体向着太阳的大的重力，以及空气和蒸汽的小部分相互之间的重力，在天体的空间中的和在彗尾中的空气可能会不是如此稀薄；然而，从这一计算，显然极少量的空气和蒸汽产生彗尾的所有那些天象是绰绰有余的。因为彗尾的非同寻常的稀薄由星星通过它们发光可推知。地球的大气，厚度只有几哩，被太阳的光照亮时，不仅所有星星的光，而且月球自身的光被遮蔽并熄灭；然而通过极厚的彗尾，它同样地被太阳照亮，能看到最小的星发光，且它们的亮度丝毫不减。大多数的彗尾的亮度通常并不比在暗室中我们的宽度为一吋或者二吋的空气对太阳的光的反射亮。

时间，在此期间蒸汽自彗星的头上升到彗尾的末端，约略可以得知。自彗尾的末端向太阳引一直线，并记下那条直线截［彗星的］轨道的位置。因为，如果蒸汽在一条直线上远离太阳上升，现在它在彗尾的末端，则它一定当彗星的头在相交部分时开始从彗星的头上升。但是由于蒸汽不远离太阳直线上升，蒸汽在上升之前所具有的彗星的运动被保持，而由那个运动和其上升的运动的合成，倾斜地上升。因此问题的解更为接近真实，如果那条直线，它截轨道，画得平行于彗尾的长度［的方向］，或者宁可（由于彗星的曲线运动）它偏离彗尾的线。按这种方式我发现，蒸汽，在1月25日它在彗尾的末端，在此前的12月的11日它开始从彗星的头上升，且因此它自身的整个上升用去超过45天的时间。但那整个彗尾出现在12月10日，在过了近日点后两天的时间完成了其上升。所以，蒸汽在邻近太阳时其上升开始得极为迅速，然后以总被其自身的重力迟滞的运动继续上升；且上升增加了彗尾的长度；但彗尾，在能看到的时间，几乎由在彗星过近日点后上升的所有蒸汽组成；且最先上升的蒸汽，组成彗尾的末端，在不是由于彗尾离照亮它的太阳的距离和离我们的眼睛的距离变得太远之前，它不隐没不见。因此，其他彗星的尾，它们不长，也不以迅速和持续的运动自彗星的头上升并不久消失，而是自彗星的头由极缓慢的运动经许多天延长的久留的蒸汽和喷发［形成］的柱，它们，分享彗星的头在蒸汽开始喷发时的那些运动，与彗星的头一起在天空前进。且由此可以推知天体的空间缺乏阻力，因为在它们之中不仅固体的行星和彗星，而且彗尾的极稀薄的蒸汽自由地运动并保持极长的时间。

彗尾从彗星的头的大气上升并在远离太阳的方向上前进被开普勒 归之于携带彗尾物质的光束的作用。又，假设在极自由的空间中非常稀薄的气（aura）退让光线的作用，并非绝不相宜，尽管那些光线不能有感觉地移动在我们周围的稠密的物质。另外，有人认为存在如同重力那样的轻力（levitas）的小部分，且彗尾的轻力的物质由于其自身的轻而远离太阳上升。但由于在地球上的物体的重力如同在物体中的物质的量，如果物质的量被保持，既不增加亦不减少，我宁可怀疑这种上升起源于彗尾物质的稀薄作用。在烟囱中的烟由于它飘浮在其中的空气的推动而上升。这些空气，由于热而被稀薄，因为其比重的减小而携带和它缠结的烟一同上升。彗星的尾为何不以同样的方式上升呢？因为太阳的光线对它通过的介质没有作用，除非反射和折射。反射的小部分被此种反射加热，并且小部分把热加于与它们缠结的以太上。那些物质由于传递给它的热而变稀薄，这一稀薄作用使那些物质在被稀薄之前向着太阳的比重被减小，它上升并且携带构成彗尾的反射的小部分。蒸汽的上升也由于它们围绕太阳运行而被增强，而且由这种作用它努力退离太阳，同时太阳的大气和天空的物质或者完全静止，或者仅由从太阳的转动接受到的运动而缓慢地旋转。这些是彗星的尾在太阳的附近上升的原因，在那里轨道更为弯曲，在太阳的稠密的且因此较重的大气内，不久喷射出极长的彗尾。因为彗尾，它们那时被生成，保持自身的运动且同时有朝向太阳的重力，它们在椭圆轨道围绕太阳按照彗星的头的方式运动，且由这种运动，它们总陪伴彗星的头且非常自由地附着在彗星的头上。因为蒸汽向着太阳的重力引起此后彗尾自彗星的头向着太阳的下落不比彗星的头的重力使蒸汽自彗尾的下落来得大。由于它们的公共的重力，它们或者一起落向太阳，或者在它们的上升中一起被迟滞；且因此无论由刚才描述的原因，或者其他任何的原因，那个重力不阻碍彗尾和彗星的头很容易得到的，且此后很容易保持的相互之间的位置。

所以，彗尾，它们产生于彗星的近日点，将与彗星的头一起跑到遥远的区域，无论由此历经多年后与彗星的头一起再回到我们这里，或者在那里被稀薄并逐渐消失。因为后来在彗星的头向太阳降落时，新的、短小的彗尾应以缓慢的运动从彗星的头传播，且那些彗尾当彗星在它们的近日点降低至太阳的大气时，应被无止境地增大。因蒸汽在那些极自由的空间持续变得稀薄并被扩张。由于这个原因所有彗尾在上端比靠近彗星的头更宽。但是被稀薄的蒸汽持续地扩张，最终扩散并分布于整个天空，然后由其重力逐步被吸向行星并与它们的大气混合，看来是适宜的。正如海洋对这个地球的构成是绝对必需的，使得由于太阳的热，丰富的水蒸气出自它们，或者聚积成云，降落为雨，浇灌并滋养整个地球上植物的生长；或者在山顶冷冻凝结（正如一些合理的哲学思索），奔入泉中和河中；因此为了保持海洋和行星上的流体，彗星似乎是需要的，从它们的薄雾和蒸汽的凝结，被植物和腐败作用消耗液体而变干的土地能被不断补充和恢复。因为所有植物全赖液体生长，然后其大部分由腐败作用变为干燥的土地，泥浆持续地从腐败的流体中淤积。因此干地的大小日渐增加，且流体，除非有外来的增加量，必不断减少，直至干涸。再者，我怀疑那种精气（spiritus），它是我们的空气中最小但极精致且最好的部分，而又为万物的生命所需要，主要来自彗星。

只要赫维留 对它们的现象的观察是正确的，彗星的大气在它们向太阳降落时由于进入彗尾而被减少，且（无疑对于朝向太阳的那部分）变窄，又在彗星退离太阳时，那时进入彗尾的较少，它又变宽。但是当彗星的头已被加热并射出极大和极亮的尾时，大气层看起来极小，且核被大气包围，它们最低的部分也许是较浓且较黑的烟。因为所有由高热产生的烟一般都是既浓且黑的。因此那颗彗星的头部，我们刚讨论过它，在离太阳和地球相等的距离处，在它经过其近日点之后比在此之前看起来更暗。因在12月它常常可与三等星相比，在11月相当于一等星或者二等星。且那些看到这两者的人把先出现的描述为一颗较大的彗星。因为剑桥 的某个青年，在11月19日看到这颗彗星自身的光尽管是铅色的和暗淡的，但等于角宿一，且比后来更亮。11月20日，旧历，蒙塔纳里 看到彗星比一等星大，那时［彗尾］的长度为二度。又斯托勒先生，给我们的信中写道，在12月当喷出的尾最大且最亮时，彗星的头不大且所看见的彗星的头的大小远不及彗星在11月日出前所呈现的。且他猜测此事的原因是在开始时彗星的头部的更为丰富的物质已逐渐地被消耗。

其他喷射极大且极亮的尾的彗星，它们的头看起来相当暗淡且微小，这似乎出于相同的原因。因为1668年3月5日，新历，瓦伦廷·斯坦塞尔神父，早上七时，在巴西看见一颗彗星向着太阳下落处的南面，很接近地平线，头极小，几乎看不见，但尾极度明亮，使得站在岸边的人很容易看到它从海中反射的形象。它看起来像自西向南在长度上伸展23度的明亮的火柱，且几乎与地平线平行。但如此大的一个光辉仅持续了三天，之后，马上显著地减小，且在光辉减弱的时间内尾的大小被增加。因此在葡萄牙它被说成几乎占据了天空的四分之一（亦即45度），自西向东以显著的光辉伸展，但不是整个的尾都能被看见，因为在那些部分彗星的头总隐藏在地平线之下。由彗尾的大小的增加和光辉的减小可知，显然彗星的头正退离太阳，且在刚开始被看到时它很靠近太阳，正如1680年的彗星的情形。在《撒克逊编年史 》上可以读到，1106年有一颗类似的彗星:星小且暗（如1680年的那颗），然由彼尾发出之光辉亮甚，似火柱伸于东方及北方之间。正如赫维留 从达勒姆的僧侣西米恩 那里得到的。这颗彗星在2月初出现，且此后在太阳下落处的南方，约在黄昏时能看到。由此且由彗尾的位置推知彗星的头靠近太阳。离太阳之距，帕利斯·马太说，约一肘，自三时（更正确些，六时）至九时，一长光柱由彼射出。这也是亚里士多德 在《天象论 》第一卷第6节描述过的燃烧的彗星：其头初不能见，或因下沉早于日落，或因匿于日光；次日其形尽现，因距太阳至近，倾即下沉。四散之头火，因（即彗尾）燃烧过度，乃不见。燃烧有日（亚里士多德 说），其次乃小，彗星之面目（彗星的头）亦复出现。光辉横天，三有其一（亦即达60gr. ）。其所来也，是年（第101次奥林匹克竞技大会的第4年）冬天，其所去也，猎户腰带。1618年的那颗彗星，它从太阳的光线中显示出非常大的尾，似乎等于，甚至于超过一等星，但一些被看到的较大的彗星有较短的尾。传说它们中的一些等于木星，一些等于金星，或者甚至等于月球。

我们说彗星是一类在非常偏心的轨道上围绕太阳运行的行星。且由于行星没有尾，一般地它们之中较小的在靠近太阳的较小的轨道上运行，因此似乎在它们的近日点更靠近太阳的彗星多半较小是合理的，否则因为它们的吸引而对太阳作用太过。但是，至于它们的轨道的横截直径，以及它们运行的循环时间，我留待通过比较过了很长一段时间后又回到相同的轨道的彗星确定它们。同时下面的命题可能有助于此。

命题XLII 问题XXII

修正已求得的彗星的轨道。

运算1 假设由前面的命题发现的轨道的平面的位置；并选择由非常精确的观测确定的彗星的三个位置，且彼此之间的距离尽可能地大，又设A为第一次和第二次观测之间的时间，且B为第二次和第三次观测之间的时间。但在这些位置之一，彗星应在它的近地点，或者至少离近地点不远。由这些视位置，通过三角学运算，发现彗星在假定的那个轨道的平面上的三个真实位置。然后由这些已发现的位置，由算术运算，遵照第一卷命题XXI，围绕作为焦点的太阳的中心，画一圆锥截线；且它的面积，由太阳向所发现的位置引的半径界定，设为D和E；即D为第一次和第二次观测之间的面积，且E为第二次和第三次观测之间的面积。又设T为整个时间，在此期间这颗彗星以由第一卷命题XVI所发现的速度应画出整个面积D+E。

运算2 轨道的平面的交点的黄经被增大，那个黄经加上20′或者30′，它被称为P；且保持那个平面对黄道的平面的倾角。其次从上述的彗星的三个观测到的位置，按照上面，在这个新的平面上发现三个真实位置；再次发现经过那些位置的轨道，且观测之间同样画出的两个面积，是d和e，若整个时间果真为t，在此期间应画出总的面积d+e。

运算3 保持在第一次运算中交点的黄经，而轨道的平面对黄道的平面的倾角被增大，那个倾角加上20′或者30′，它被称为Q。然后从上述观测到的彗星的三个视位置，在这个新的平面上发现三个真实位置；且轨道也穿过那些位置，观察之间同样画出的两个面积，是δ和ε，且整个时间为τ，在此期间应画出总的面积δ+ε。

现在取C比1如同A比B，且G比1如同D比E，又g比1如同d比e，再者γ比1如同δ比ε；再设S为第一次和第三次观测之间的真实时间；且细心观察+号和-号，并按照定律2G-2C=mG-mg+nG-nγ，以及2T-2S等于mT-mt+nT-nτ寻找数m和n。且如果在第一次运算中指定I为轨道的平面对于黄道的平面的倾角，且K为任一交点的黄经，则I+nQ是轨道的平面对黄道的平面的真实倾角，而K+mP为交点的真实黄经。且最终，如果在第一，第二和第三次运算中，指定量R，r和ρ分别为轨道的通径，且量1/L，1/l，1/λ为它们的横截径，则彗星画出的轨道的真实通径为R+mr-mR+nρ-nR，且真实横截径为1/（L+ml-mL+nλ-nL）。从给定的横截径，则彗星的循环时间亦被给定。此即所求 。

但是彗星运行的循环时间，以及轨道的横截径，绝不能足够精确地被确定，除非相互比较在不同时期出现的彗星。如果找到几颗彗星，在相等的时间间隔过后，它们画出同一轨道，必须得出所有这些在同一轨道上运行的彗星是一颗且同一颗彗星。且最后由运行时间轨道的横截径被给定，且由这些径椭圆轨道被确定。

所以，为此目的，几颗彗星的轨道的计算依据它们是抛物线的假设。因为这样的轨道总与天象很近似地符合。这是明显的，不仅从1680年彗星的抛物线轨道，在上面我把它与观测相比较；而且也从那颗著名的彗星，它出现在1664年和1665年，且被赫维留 观测过。他从自己的观测计算了这颗彗星的黄经和黄纬，但欠精确。由同样的观测，我们的同国人哈雷 重新计算了这颗彗星的位置，且由如此发现的位置他确定了彗星的轨道。他发现彗星的升交点在 21gr. .13′.53″，轨道对黄道的平面的倾角为21gr. .18′.40″，在其轨道上近日点离交点的距离为49gr. .27′.30″。近日点在 8gr. .40′.30″，且日心纬度为南黄纬16gr. .1′.45″。彗星在11月伦敦 的平时24d .11h .52′的午后，或者格但斯克 的13h .8′，旧历，在近日点，且抛物线的通径为410286，地球离太阳的平均距离取作100000。在这一计算的轨道上彗星的位置与观测符合得何等精确，从如下由哈雷 计算的表显而易见。

1665年初的2月，白羊座的第一颗星，今后我称之为γ，在 28gr. .30′.15″，且北黄纬为7gr. .8′.58″。白羊座的第二颗星在 29gr. .17′.18″，且北黄纬为8gr. .28′.16″。又［座中的］一颗七等星，我称之为A，在 28gr. .24′.45″，且北黄纬为8gr. .28′.33″。在巴黎 的2月7d .7h .30′（亦即格但斯克 的2月7d .8h .37′），旧历，彗星与星γ和A构成一三角形，直角在γ。且彗星离星γ的距离等于星γ和星A之间的距离，亦即一个大圆的1gr. .19′.46″；且因此在星γ的纬线的平行线上是1gr. .20′.26″。所以，如果从星γ的黄经除去经度1gr. .20′.26″，留下彗星的黄经 27gr. .9′.49″。奥祖 ，从他自己的这一观测中近似地把彗星置于 27gr. .0′。从胡克 描绘的彗星的运动图中，那时它在 26gr. .59′.24″。取平均值，我把它置于 27gr. .4′.46″。由相同的观测，奥祖 把彗星当时的黄纬置为向北7gr. 又4′或者5′。他本应该把它置于更准确的7gr. .3′.29″，因为彗星的和星γ的黄纬的差等于星γ和星A的黄经的差。

伦敦 的2月22d .7h .30′，亦即格但斯克 的2月22d .8h .46′，根据胡克 的观测，他自己画在一幅图中，以及奥祖 的观测，并由珀蒂画在一幅图中，彗星离星A的距离，是星A和白羊座的第一颗星之间的距离的五分之一，或者15′.17″。且彗星离连结星A和白羊座的第一颗星的线的距离是同一个五分之一的四分之一，亦即4′。且因此彗星在 28gr. .29′.46″，且北黄纬为8gr. .12′.36″。

伦敦 的3月1d .7h .0′，亦即格但斯克 的3月1d .8h .16′，彗星被观测到靠近白羊座的第二颗星，它们之间的距离比白羊座的第一和第二颗星之间的距离，这就是，比1gr. .33′，如同4比45，按照胡克 ；或者如同2比23，按照戈蒂尼 。因此彗星和白羊座第二颗星之间的距离，按照胡克 为8′.16″，按照戈蒂尼 为8′.5″，或者取平均，为8′.10″。又按照戈蒂尼 ，彗星现在刚过了白羊座的第二颗星大约它一天完成的空间的四分之一或者五分之一，亦即大约1′.35″（对此奥祖 深表同意），或者按照胡克 稍小一些，他置之为1′。所以，如果白羊座的第一颗星的黄经加上1′，且其黄纬加上8′.10″，得到彗星的黄经 29gr. .18′，且北黄纬8gr. .36′.26″。

巴黎 的3月7d .7h .30′（亦即格但斯克 的3月7d .8h .37′），由奥祖 的观测，彗星离白羊座第二颗星的距离等于白羊座第二颗星离星A的距离，亦即52′.29″。且彗星的和白羊座第二颗星的黄经的差为45′或者46′，或者取平均45′.30″。且因此彗星在 0gr. .2′.48″。由奥祖 的观测图，它由珀蒂绘制，赫维留 导出彗星的黄纬为8gr. .54′。但刻工使彗星临近其运动结束时的路径不合法地弯曲，而赫维留 在奥祖 的观测图上由自己作图纠正了不合法的弯曲，且如此彗星的黄纬成为8gr. .55′.30″。且由稍大一点的纠正，黄纬成为8gr. .56′或者8gr. .57′。

3月9日，这颗彗星亦曾被看到，且那时它的位置应在 0gr. .18′，且北黄纬约为9gr. . ′。

这颗彗星在三个月内可以见到，它几乎行经六个宫，且其中有一天几乎完成约二十度。它的路径与一个极大的圆偏离很多，路径向北弯曲；且其运动临近结束时由逆行变为顺行。而尽管其路径如此异常，自始至终理论与观测符合的精确性，不低于通常行星的理论与对它们的观测的符合，由表这是明显的。但我们在彗星最迅速时，应减去约二分，这使得从升交点和近日点之间的角被除去十二秒，或者使那个角为49gr. .27′.18″。两颗（这一颗和前面的一颗）彗星中每一颗的周年视差很显著，且由此地球在大轨道上的周年运动被证明。

此理论亦被一颗彗星的运动证实，它出现在1683年。这颗彗星在一条轨道上逆行，它的平面与黄道的平面几乎夹一直角。它的升交点（由哈雷 的计算）在 23gr. .23′；轨道对黄道的平面的倾角为83gr. .11′；近日点在 25gr. .29′.30″；近日点离太阳的距离为56020，大轨道的半径取作100000，且它在近日点的时间为7月2d .3h .50′。又彗星在这一轨道上的位置由哈雷 计算，并与弗拉姆斯蒂德 观测到的位置相比较，如下表所示。

理论也被一颗逆行的彗星的运动证实，它出现在1682年。它的升交点（由哈雷 的计算）在 21gr. .16′.30″。轨道对黄道的平面的倾角为17gr. .56′.0″。近日点在 2gr. .52′.50″。近日点离太阳的距离为58328，大轨道的半径取为100000。且它在近日点的平时为9月4d .7h .39′。由弗拉姆斯蒂德 的观测计算的位置与由理论计算的位置的比较，如下表所示。

理论又被一颗逆行的彗星的运动证实，它出现在1723年。这颗彗星的升交点（由牛津 的萨维里 天文学教授布拉得雷 先生的计算），在 14gr. .16′。轨道对黄道的平面的倾角为49gr. .59′。近日点在 12gr. .15′.20″。近日点离太阳的距离为998651，大轨道的半径取为1000000，且它在近日点的平时为9月16d .16h .10′。彗星在这一轨道上的位置由布拉得雷 计算，且与由他自己和由他的舅父庞德 先生，以及由哈雷 先生观测的位置的比较，如下表所示。

由这些例子更为清楚，彗星的运动由我们阐述的理论表示，在精确性上并不比通常由行星的理论表示行星的运动差。且所以彗星的轨道能由这一理论计算，而彗星在任意的轨道上运行的循环时间终究能被确定，且最后椭圆轨道的横截径和远日点的高度会被知道。

一颗逆行的彗星，它出现在1607年，画出一条轨道，它的升交点（由哈雷 的计算）在 20gr. .21′；轨道的平面对黄道的平面的倾角为17gr. .2′；近日点在 2gr. .16′；且近日点离太阳的距离为58680，大轨道的半径取为100000。又彗星在10月16d .3h .50′在近日点。这一条轨道与出现在1682年的一颗彗星的轨道非常接近。如果这两颗彗星是一颗且同一颗，则这颗彗星的运行时间为75年，且它的轨道的长轴比大轨道的长轴，如同√c：75×75比1，或者约为1778比100。又这颗彗星的远日点离太阳的距离比地球离太阳的平均距离，约略如同35比1。一旦知道了这些量，确定这颗彗星的椭圆轨道绝不困难。如果彗星在那条轨道上在那以后75年的时间返回，则情况就是这样。其他的彗星似乎运行的时间更长并上升得更高。

但是彗星，因为它们中多数的远日点离太阳很远，且在远日点运动缓慢，由于它们相互的重力而彼此摄动，使得它们的偏心率和运行时间有时被增加一些，有时被减小一些。因此，不要期待同一颗彗星在相同的轨道上，且在相同的时间准确地回归。如果我们发现的变化没有起源于以上所说的原因的变化大，这就足够了。

且因此为什么彗星不像行星那样被限制于黄道，而从那里离开，并以各种运动被携带到天空的所有的区域的原因被显现出来。即是，为此目的，在它们的远日点，当它们缓慢地运动时，它们能彼此离得尽可能地远且彼此之间的牵引尽可能地小。这是彗星下降至最低，且因此在远日点远动得最慢，并也应该升至最高的原因。

一颗彗星，它出现在1680年，在它自己的近日点离太阳的距离小于太阳的直径的六分之一；且由于它的速度在接近太阳的那个地方最大，又由于一定的太阳的大气的密度，彗星必定受到一些阻碍和迟滞，因此经每次运行更靠近太阳，并最终落到太阳的本体上。但是在它的远日点，当它运动得最缓慢时，有时会由于其他彗星的吸引而有些被迟滞，且因此向太阳降落。恒星也是如此，它们逐渐发出光和蒸汽，能由彗星落入它们而得以补给，且被它们的新的供给点燃，而被认为是一颗新星。这一类的那些恒星，它们突然出现，起初以极大的光辉发亮，且以后逐渐消失。在仙后座的椅上出现的就是如此的一颗星，1572年11月8日，当科内利乌斯·格马 在天气晴朗的晚上巡视那一部分天空时，一点也看不到它；在次日（11月9日）晚上，他看见它比任何恒星都亮，且其光辉难于让位于金星。第谷·布拉赫 在同一个月的11日，当这颗星最亮时看到了；并且他观察到自那时以后它逐渐减弱，又在16个月的时间之后，他观察到它的消失。在11月，当它刚出现时，它的光辉等于金星。在12月，它减小一些，等于木星。在1573年的1月，它弱于木星而比天狼星（sirius）亮，在2月和3月初它变得等于天狼星。在4月和5月被看到等于二等星，在6月、7月和8月等于三等星，在9月、10月和11月等于四等星，在12月和1574年的1月等于五等星；且在2月被看到等于六等星，又在3月它飘然而逝。它的颜色在开始时明朗、发白且发亮，此后变黄，且在1573年3月它像火星和毕宿五（Aldebaran）那样发红；但在5月它呈青白色，如我们在土星上看到的，它保持这种颜色直至最后，然而一直在变暗。这类星也出现在蛇夫座的右脚，在1604年9月30日，旧历，它开始被开普勒 的学生们观察到，且其光辉超过木星，而在前一夜，一点也看不到它，且自那时起它逐步减弱，在15或者16个月的时间飘然而逝。据说以不寻常的光辉按这种方式出现的一颗新星唤起喜帕恰斯去观测恒星并列为星表。但是恒星，它们交替地出现并消失，也逐渐增大，但它们自身的光辉很少超过三等星，它们似乎是另一类的星，且由旋转交替显示明的一侧和暗的一侧。但是蒸汽，它们起源于太阳和恒星，以及彗星的尾，由自身的重力它们能落入行星的大气中，且在那里凝结并变成水和湿气（spiritus humidos），且之后由于缓热逐渐变成盐、硫黄、酊（tinctura）、泥、黏土、陶土、沙、石、珊瑚，以及其他地上的物质。

总释（SCHOLIUM GENERALE）

涡漩的假设被许多困难包围。由于任意行星向太阳所引的半径画出的面积与时间成比例，涡漩的部分的循环时间应按照离太阳的距离的二次比。由于行星的循环时间按照离太阳的距离的二分之三次比，涡漩的部分的循环时间必须按照距离的二分之三次比。由于围绕土星、木星和其他行星的较小的涡漩保持旋转且平静地漂浮在太阳的涡漩中，太阳的涡漩的部分的循环时间应相等。太阳和行星围绕它们自身的轴旋转，它们应与涡漩的运动相符，这与所有所说的比例不相容。彗星的运动是极为规则的，且遵从与行星运动相同的定律，而这不能由涡漩解释。彗星以很大的偏心运动被携带到天空的所有部分，这是不可能的，除非涡漩被除去。

抛射体，在我们的空气中，只受到空气的阻碍。抽出空气，如同在波义耳的真空中，阻力消失，诚然如此，则纤细的羽毛和纯金以相同的速度在这真空中下落。且这对天上的空间，它在地球的大气之上，有相同之理。所有物体在这种空间中应自由地运动；且所以行星和彗星在种类和位置被给定的轨道上按前面阐述过的定律永久地运行。无疑它们由重力的定律被保持在自己的轨道上，但绝不能由这些定律在一开始就获得轨道的规则的位置。

六个一等行星围绕太阳在太阳的同心圆上运行，运动的方向相同，很近似地在同一平面上。十个月球围绕地球，木星和土星在它们的同心圆上运行，运动的方向相同，很近似地在行星轨道的平面上。而所有这些规则的运动不起源于力学的原因；因为彗星在偏心率很大的轨道上，被自由地携带到天空的所有部分。以这种类型的运动，彗星极迅速且极容易地穿过行星的轨道，且在它们自己的远日点，在那里它们很缓慢地运动且逗留很长时间，它们彼此相距非常遥远，使得相互的牵引尽可能地小。太阳、行星和彗星的这个极精致的结构不可能发生，除非通过一个理智的和有权能的存在（ens）的设计和主宰。且如果恒星位于类似的系统的中心，所有这些，因为是根据类似的设计建造的，必定受惟一者的主宰；尤其是由于恒星的光与太阳的光的本性相同，且每一个系统的光向其他所有系统发射，且为了使恒星的系统不因为它们自身的重力而相互降落，他让它们彼此之间存在巨大的距离。

他不是作为宇宙的灵魂，而是作为一切的主宰而统治所有。且a 亦即宇宙的统帅。因为他自身的统治，我主上帝经常被称作a Παντοκρáτωρ，因为上帝是一个相对的称谓，且涉及臣仆；再者神性是上帝的统治权，不是对其自身的本体，如上帝是宇宙的灵魂的那个看法，而是对臣仆。至高的上帝是永恒的、无限的、绝对完美的存在；但无论如何，一个完美却没有统治权的存在不是我主上帝。我们也说我的上帝，你们的上帝，以色列人的上帝，上帝的上帝，以及主人的主人，但我们不说我的永恒者，你们的永恒者，以色列人的永恒者，上帝的永恒者；我们不说我的无限者，或者我的完美者。这些称号不包含对臣仆的关系。上帝b 我国人波科克 从阿拉伯语的词du（在间接格的情形：di）引出［拉丁文的］词dei，它的意思是主人。且在这种意义上王子被称为dii，《诗篇 》lxxxiv.6和《约翰福音 》x.45。以及摩西被称为他哥哥亚伦的上帝，法老的上帝（《出埃及记 》iv.16和vii.1）。且在相同的意义上过去死了的王子的灵魂被异教徒称为上帝，但这是错误的，由于他们缺乏统治权。这个词处处指主人，但并非每个主人是上帝。精神存在的统治权构成上帝，真正的统治权构成真正的上帝，崇高的统治权构成崇高的上帝，想象上的统治权构成想象上的上帝。且作为出自真正的统治权的结果，真正的上帝是生气勃勃的、明智的和有权能的；从其余的完美性上来说，他是至高者或者最高的完美。永恒者（æternus）是无限的、全能的和全知的，亦即，在自无有穷期到无有穷期的延展中，在从无限到无限的空间中，他统治一切；且他知道一切，无论是已发生的和将要发生的。他不是永恒和无限，而是永恒的和无限的；他不是持续（duratio）和空间（spatium），而是持续的和此在的，他永恒持续，且无所不在，且通过他永久的和到处的存在，构成持续和空间。由于空间的每一个小部分是永久的，且持续的任一不可分的瞬是无处不在的，毫无疑义，万物的创造者和主人是无时不在的和无处不在的。每一个有感觉的灵魂，在不同的时间，且在不同的感觉的和运动的器官上，是同一个不可分的主体（persona）。给定的部分在持续上是连续的，在空间上是共存的，二者皆不在人的主体中或者他的思维本原中；且更不在上帝的思维实体中。每一个人，就感觉问题而言，是一个，且同一个在他自己生命延续期间存在于所有和每个感觉器官中的人。上帝是一个且同一个永恒的和无处不在的上帝。他无处不在不仅由其能力，而且也由其实质：因为无实质无以支持能力。一切事物被他c 这是古人的看法，如西塞罗在《论上帝的本性 》第I卷中的毕达格拉斯。泰勒斯，阿那克萨哥拉，维吉尔《农事诗 》第iv卷，第220行，和《伊尼特 》第6卷721行；斐洛在《寓言 》第I卷的开头；阿拉托斯在《天象 》的开头。这也是圣书作者的看法，如保罗在《使徒行传 》xvii.27，28。约翰在《约翰福音 》xiv.2。摩西在《出埃及记 》iv.39以及x.14。大卫在《诗篇 》cxxxix.7，8，9。所罗门在《列王记·上 》viii.27。约伯在《约伯记 》xxii.12，13，14。耶利米在《耶利米书 》xxiii.23，24。此外，偶像崇拜者想象太阳，月球和星星，人的灵魂以及世界的其他部分是至高的上帝的部分，且因此但却是错误地加以崇拜。包容且在其中运动，但没有相互的感觉。上帝不承担来自躯体的运动；那些躯体丝毫没有感到来自上帝的无处不在的阻碍。承认至高上帝的存在是必然的，且同样要承认他是永恒的和无处不在的。因此他也完全与自身相似，全都是眼，全都是耳，全都是脑，全都是臂，全都是感觉的、理解的和作用的力，但绝不以人的方式，绝不以物体的方式，总起来以我们不能理解的方式［存在］。正如失明者没有颜色的概念，我们同样没有一种方式，以它能完全感觉和理解最明智的上帝。他完全离弃了身体和身体的外形，且因此既不能被看到，也不能被听到，也不能被触到，也不应以某一身体形象加以礼拜。我们有他的属性的观念，但我们对任一事物的本质一无所知。我们看到的只是物体的形状和颜色，听到的只是声音，触到的只是［物体的］外表，嗅到的仅仅是气味，尝到的只是滋味：对最深的本质我们没有感觉，也不能认识它们反映的行动；且我们更不能对上帝的本质有什么概念。我们只能通过他的性质和品质，并通过至慧和至善的事物的结构和终极原因认识他，且由于他的完美性而钦佩他；又由于统治权而崇拜和服务于他。我们的服务也是作为臣仆，且没有统治权，先见的和终极目的的上帝除命运和大自然外什么也不是。由形而上学的盲目的必然性，无论如何它同样是永恒的和无处不在的，但事物的变化不可能由它产生。一切事物在位置和时间状况上的差异，只可能出自一个真的必然存在的理念（idea）和意志。但人们通过寓言说上帝能看，能听，能说，能笑，能爱，能恨，能慕，能予，能受，能喜，能怒，能战，能制，能立，能建。因为所有关于上帝的说法借用了出自人的关系的某种程度的相似性，这种相似性不是完美的，但能达到一定程度。关于上帝而言就是这些，从现象研究他，从属于自然哲学。

到现在为止，我由重力解释了天体的和我们的大海的现象，但我尚未指明重力的原因。无疑，这种力起源于某个原因，它深入到太阳的和行星的中心，能力没有减小；且那种作用不与它在其上作用（如通常力学的原因）的表面上的小部分的量成比例，而与立体 中的物质的量成比例，且其作用在每个方向被延伸到巨大的距离，总按照距离的二次比减小。向着太阳的重力由向着太阳的每个小部分的重力复合而成，且在退离太阳时精确地按照距离的二次比减小直至土星的轨道，由行星的远日点静止，这是显然的，且甚至一直到彗星最远的远日点，只要那些远日点静止。我尚未能从现象导出重力的这些性质的原因，且我不虚构假设（hypotheses non fingo）。因为凡不能现象导出的，被称为假设；且假设，无论是形而上学的，或者是物理学的，无论是隐藏的属性的，或者是力学的，在实验哲学中是没有地位的。在这一哲学中，命题由现象导出，且由归纳法使之一般化。物体的不可入性，可运动性，和冲击以及运动的和重力的定律就是如此被发现的。且重力确实存在，并按照我们已阐述的定律作用，由它足以解释天体和我们的海洋的一切运动，这就够了。

现在有可能增添关于某种气（spiritus）的一些内容，它极为精细，能侵入粗大物体并藏匿在它们之中；由它的力和作用，物体的小部分在极短的距离相互吸引，且当它们接触时凝聚；且带电的物体在较远的距离作用，排斥并吸引邻近的小物体；此外，光被发射，反射，折射，弯曲，并加热物体；且所有被激起的感觉，以及动物的肢体按意愿的要求运动，即，由这种气的振动，沿着神经的牢固的纤维从外部的感觉器官传播到脑，再由脑传入肌肉。但这些事情三言两语说不清楚；而且没有足够多的实验，由它们能精确地确定和证明这种气的作用定律。