元 李冶 撰
正率一十四问
假令有圆城一所不知周径四面开门门外纵横各有十字大道其西北十字道头定为干地其东北十字道头定为艮地其东南十字道头定为防地其西南十字道头定为坤地所有测望杂法一一设问如后
或问甲乙二人俱在干地乙东行三百二十步而立甲南行六百步望见乙问径几里
答曰城径二百四十步
法曰此为勾股容圆也以勾股相乗倍之为实并勾股幂以求复加入勾股共以为法
草曰置甲南行六百步在地以乙东行三百二十步乘之得一十九万二千步倍之得三十八万四千步为实以乙东行步自之得一十万零二千四百步为勾幂以甲南行步自之得三十六万步为股幂二幂相并得四十六万二千四百步为方实以平方开之得六百八十步则也以加勾股共共得一千六百步以为法如法而一得二百四十步则城径也合问
或问甲乙二人俱在西门乙东行二百五十六步甲南行四百八十步望见乙问答同前
法曰此为勾上容圆也以勾股相乘倍之为实并勾股幂以求加入股以为法
草曰置甲南行四百八十步在地以乙东行二百五十六步乘之得一十二万二千八百八十步倍之得二十四万五千七百六十步为实以乙东行步自之得六万五千五百三十六步为勾幂以甲南行步自之得二十三万零四百步为股幂勾股幂相并得二十九万五千九百三十六步为方实以平方开之得五百四十四步为也以加入南行步共得一千零二十四步以为法而一得二百四十步则城径合问
或问甲乙二人俱在北门乙东行二百步而止甲南行三百七十五步望见乙问答同前
法曰此为股上容圆也以勾股相乘倍之为实以勾股幂求加入勾以为法
草曰置甲南行三百七十五步以乙东行二百步乘之得七万五千步倍之得一十五万步为实以乙东行自之得四万步为勾幂以甲南行自之得一十四万零六百二十五步为股幂勾股幂相并得一十八万零六百二十五步为方实如平方而一得四百二十五步则也加入乙东行二百步共得六百二十五步以为法以法除之得二百四十步则城径也合问
或问甲乙二人俱在圆城中心而立乙穿城向东行一百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望见乙问答同前
法曰此为勾股上容圆也以勾股相乘倍之为实并勾股幂如法求以为法
草曰以二行步相乘得三万四千六百八十步倍之得六万九千三百六十步为实置乙东行自之得一万八千四百九十六步为勾幂又以甲南行自之得六万五千零二十五步为股幂二幂相并得八万三千五百二十一步为方实以平方开之得二百八十九步即也便以为法如法除实得二百四十步即圆城之径也合问
或问甲乙二人同立于干地乙东行一百八十步遇塔而止甲南行三百六十步回望其塔正居城径之半问答同前
法曰此为上容圆也以勾股相乘倍之为实以勾股和为法
草曰以二行步相乘得六万四千八百步倍之得一十二万九千六百步为实并二行步得五百四十步以为法除实得二百四十步即城径也合问
或问甲乙二人俱在坤地乙东行一百九十二步而止甲南行三百六十步望乙与城防相直问答同前法曰此为勾外容圆也以勾股相乘倍之为实以较和为法
草曰以二行步相乘得六万九千一百二十步倍之得一十三万八千二百四十步为实置乙东行自之得三万六千八百六十四步为勾幂又置甲南行自之得一十二万九千六百步为股幂二幂相并得一十六万六千四百六十四步为方实以平方开之得四百零八即也又置甲南行步内减乙东行步余一百六十八步即较也以较加共得五百七十六步以为法实如法而一得二百四十步为城径也合问
按此题用勾股求得即可加减得较较为城径今必以勾股相乘倍积为实求得加减得较和为法而后始得较较为城径者盖欲因此并明勾股相乘之倍积为较较较和相乘之积非故为纡廻也
或问甲乙二人同立于艮地甲南行一百五十步而止乙东行八十步望乙与城防相直问答同前
法曰此为股外容圆也以勾股相乘倍之为实以较较为法
草曰二行步相乘得一万二千倍之得二万四千步为实以甲南行自之得二万二千五百步为股幂又以乙东行步自之得六千四百步为勾幂勾股幂相并得二万八千九百步为方实以平方开之得一百七十步即也以二行步相减余七十步为勾股较也以此较又减余一百步即较较也便以为法实如法而一得二百四十步即城径也合问按此题系较和为城径其用法实以较取和之意与上题同
或问甲乙二人同立于防地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙与城防相直问答同前
法曰此为外容圆也勾股相乘倍之为实以和较为法
草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八千六百四十步为实以甲北行自之得八千一百步为股幂又以乙西行自之得二千三百零四步为勾幂并二幂得一万零四百零四步为方实以平方开之得一百零二步为也又并二行步得一百三十八步为和以减和余三十六步得黄方以为法实如法而一得二百四十步即城径也合问
按此题和和即城径其以勾股相乘倍积为实黄方为法者亦以明和和黄方相乘之积与勾股相乘之倍积为相等也
或问甲乙二人俱在南门乙东行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙与城防相直问答同前法曰此为勾外容圆半也以勾股相乘倍之为实以大差为法
草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一万九千四百四十步为实又以乙东行自之得五千一百八十四步为勾幂又以南行自之得一万八千二百二十五步为股幂二幂相并得二万三千四百零九步为方实以平方开之得一百五十三步即也以乙东行七十二步为勾以减余八十一步即勾差也便以为法实如法而一得二百四十步即城径也合问
或问甲乙二人俱在东门甲南行三十步而止乙东行一十六步回望甲与城防相直问答同前
法曰此为股外容圆半也以勾股相乘倍之为实以小差为法
草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六十步为实又以乙东行自之得二百五十六步为勾幂又以甲南行自之得九百步为股幂二幂相并得一千一百五十六步为方实以平方开之得三十四步即也以甲南行三十步为股以减余四步以为法以法除实得二百四十步即城径也合问
或问甲出西门南行四百八十步而止乙出东门南行三十步望见甲问答同前
法曰此为半矮梯也以二行步相乘为实如平方而一得半径
草曰以二行步相乘得一万四千四百步为实以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
又问甲乙二人乙出南门折而东行七十二步而止甲出北门折而东行二百望见乙问答同前
法曰以二行步相乘得数四之为实如平方而一得城径
草曰二行步相乘得一万四千四百步又四之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问
又假令乙出南门折东行二十步甲出北门折东行七百二十步如此之类亦同上法【以上三问是以半矮梯求之】按右三题通为一问
或问甲乙二人乙在艮地东行八十步而立甲在坤地南行三百六十步望见乙问答同前
法曰此为两差求黄方也以二行步相乘倍之为实以平方开得城径
草曰二行步相乘得二万八千八百步倍之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问 别得甲南行即股圆差也乙东行即勾圆差也
或问甲出东门四十八步而立乙出南门四十八步见之问答同前
法曰此当以方五斜七求之每出门二步管径十步草曰置出门步在地以五之得二百四十步即城径也据此法合置出门步在地以十之二而一以二数相折故五因便是合问
按方五斜七古率非密率也设问以尽此题之变故率之踈密勿论
或问出西门南行四百八十步有树出北门东行二百步见之问答同前
法曰以二行步相乗为实二行步相并为从二步常法得半径
草曰立天元一为半径置南行步在地内减天元半径得□□为股圆差【按斜画者少之记也□□是为四百八十步少一元也下仿此】又置乙东行步在地内减天元得下式□□为勾圆差以勾圆差乘股圆差得丨□□【按丨□□为一平方少六百八十元多九万六千步】为半段黄方幂即城幂之半也【寄左】又置天元幂以倍之得□□亦为半段黄方幂与左相消得丨□□如带纵法之得半径合问【按相消者取上两相等之数同加减相等之数使一为步数一为方元数仍相等也如寄数内减一平方加六百八十元则得九万六千步又数内亦减一平方加六百八十元则得一平方六百八十元是为一平方六百八十元与九万六千步等故其式为丨□□旧稿方元数皆作斜画以别之然遇方元数有多少异号者殊混人目今不用】
又法识别得二行并即大也立天元一为半径置甲南行步加天元一得□□为大股又置乙东行步加天元得□□为大勾也勾股相乘得丨□□为一个大直积以天元除之得下式□□□为三事和【寄左黄方除倍积得三事和今以半黄方除直积亦为三事和也】然后并二行步又并入勾股共得□□为同数与左相消得□□□以带纵平方开之得一百二十步倍之得全径也合问按是书皆先法后草草者以立天元一推衍而得其方元积数者也法者又取推衍中之支节条目融防而归于简约者也草者法之本法者草之用法使人易于推步而草则存其义以俟知者二者相须不可偏废顾应祥仅演其开方乘除之数而去其细草盖亦不得其理矣
按元时未有笔算故加减乘除之式不能详载观者遂以为无下手处今借根方法既明视此则涣如氷释矣
测圆海镜卷二
钦定四库全书