元 李冶 撰
大勾一十八问
或问乙从东门直行一十六步甲从干隅东行三百二十步望乙与城叅相直问答同前
法曰甲东行内减二之乙南行复以乘甲东行为实四之东行内减二之乙东行为从四益隅得半径草曰立天元一为半径以二之加乙东行得□□为中勾以中勾减于甲东行得□□为勾率也其天元半径即股率也置甲东行为大勾以股率乗之得□合以勾率除之不受除便以此为大股【内带勾率分母】再置天元以二之以勾率乗之得□□减于大股余□□为股圆差于上【内有勾率分母】又以二之天元减甲东行得□□为小差以乗上位得□□□为半段黄方幂【内有勾率分母】寄左然后以天元自之又以勾率乘之又就分倍之得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门南行三十步而立甲从干隅东行三百二十步望乙与城叅相直问答同前
法曰甲乙相乘为实甲东行为从二虚法得半径草曰识别具见大股第二问中立天元为半径内减乙南行得□□为虚股以乘通勾甲东行得□□为半段城径幂【寄左】然后以天元自之又就分二之得□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出南门直行一百三十五步而立甲从干隅东行三百二十步望见乙问答同前
法曰以乙南行乘甲东行幂为实二之乙南行乘甲东行为从方亷空二步常法得半径
草曰立天元一为半城径以二之加于乙南行得□□为股率以天元减甲东行得□□为勾率乃置乙南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此为小勾此即半梯之头【内带股率分母】又以勾率乘之得□□□为半径幂【内股率分母】寄左乃以股率乘天元幂得□□□为同数与左相消得□○□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出南门东行七十二步甲从西北隅取直行三百二十步见乙问答同前
法曰二行相乘为实以东行为从一步常法得半径草曰立天元一为半城径以减甲东行步得□□为梯底以乙东行七十二步为梯头以乘之得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙从西南隅直东行一百九十二步甲从西北隅直东行三百二十步望见乙问答同前
法曰二行步相乘为实二行相并为法得半径草曰立天元一为半径副置之上以减于乙东行得□□为梯头于上下位减于甲东行得□□为梯底以乘上位得丨□□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得□□上法下实即半径也合问
或问乙从坤隅直南行三百六十步而止甲从干隅直东行三百二十步望见乙问答同前
法曰二行步相乗倍之为实二之甲东行为从一步常法得城径
草曰立天元一以为城径加一南行得□□为股二行步相并得六百八十步为甲东行为勾勾股相乘得□□又倍之得□□为二直积【寄左】然后以勾股相并得□□为三事和以天元乘之得丨□为同数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问东门南不知逺近有树甲从干隅东行三百二十步望树与城叅相直复就树斜行一百七十步至树问答同前
法曰两段东行步幂内减两段东行斜行相乗数为实【按或云倍东行步以二行差东之亦同】二之东行为从一益隅得城径草曰别得东行步即大勾斜行步即小也乃立天元一为城径减东行步得□□为勾圆差也【今为小勾】置东行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除便以此为大【内带小勾分母】再置东行步以小勾乘之得□□为大勾以减大得□□为大差合以小差乗之【縁内带小差分母】更不湏乗便以此为半段黄方幂【更无分母】又二之得□□为一段黄方幂【寄左】然后以天元幂与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问
依前问假令乙出东门南行不知步数而止甲从干东行三百二十步望乙与城相直复就乙斜行一百七十步
法曰以甲东行乘二行差幂为实以甲东行乘二之二行差为从方二之二行差为隅法得半径
草曰识别得二行相减余一百五十即半城径与乙南行共数也得此数更不湏用斜立天元一为半径减于二行差得□□即半梯头也又以二天元减甲东行步得□□为勾率又以一百五十为股率乃置甲东行以股率乘之得□合勾率除不除便以此为大股【内寄勾率分母】再置天元以勾率乘之得□□以减于大股得□□□为半梯底也头底相乘得下□□□□为半径幂也【内带勾率分母】寄左然后以勾率乘天元幂得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问
或问南门东不知逺近有树甲从干隅东行三百二十步见树复向树斜行二百七十二步至树问答同前法曰二之二行差乘二之甲东行为实并二之二行差及二之甲东行为从二步益隅得城径
草曰别得二行相减余四十八步即虚积之勾也立天元一为城径内减二之二行差得□□为梯头于上置甲东行步以二之内减天元得□□为梯底以乘上位得□□□为城径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问甲从干隅东行三百二十步而止乙出南门直行不知步数望见甲复就甲斜行四百二十五步与甲相防问答同前
法曰二行步相减以乘东行幂得数半之为实以半之东行步乗东行步于上二行步相减余乗东行步减上位为从二之东行步为益亷一步常法得半径草曰识别得二行相减是髙积上勾股较【此勾即半径也】又别得是髙不及股圆差数乃立天元为半城径以减东行步得□□为中勾其斜行步即中也又置半城径以斜步乗之得□合以中勾除之不受除便以此为髙【内寄中勾为母】又以二行步相减余一百五步为髙不及股圆差数置此数以中勾乘之得□□加入髙得□□为大差于上【内带中勾分母】又倍天元减东行步得□□为小差又半之得□□以乘上位得□□□为半径幂【内有中勾分母】寄左乃以天元自乗又以中勾乘之得□□□为同数与左相消得□□□□以立方开得一百二十步倍之即城径也合问
或问甲乙二人俱在干隅乙直南行不知步数而立甲直东行三百二十步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相防问答同前
法曰以二行差乘甲东行步又二之为实以二之二行差为从一步常法得城径
草曰别得二行步相减余三百六十步即股圆差也乃立天元一为圆径以减于甲东行步得□□为小差以东行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得□□为一段城径幂【寄左】乃以天元幂与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问东门外不知逺近有树甲从干隅东行三百二十步望树与城叅相直复就树斜行一百三十六步至树问答同前
法曰倍二行相减数内减甲东行得数复以乘甲东行为实【按或云倍斜步以减甲东行余以甲东行乗之亦同】倍二行差为从二步虚常法得半径
草曰识别得斜行步乃树至城心步也立天元一为半径加斜行步得□□即树至城西门之步也乃以减于甲东行得下□□为小勾率其天元半径即小股率其斜步即小数也再置甲东行步内减天元得□□为梯底于上又置梯底内减二之小勾率得□□【按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元减梯底之少一元反为多一元以三百六十八步减梯底之三百二十步反为少四十八步也】以乘上位得□□□为半径幂乃以天元幂与左相消得下式□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问南门外不知步数有槐一株甲从干隅直东行至柳树下望见槐树复斜行至槐树下甲自云我共行了七百四十五步乙从坤隅南行望见槐柳与城叅相直复斜行至槐树下乙自云我南行步多于斜行步一百五步
按此问下有草无法今依细草补之
法曰置甲共步内减乙较步余数折半自之再倍乙较步乗之为立方实置上减余折半数又减二之乙较步复以减余折半数乗之为从甲共步内减乙较步为亷五分为负隅开立方得城径
草曰识别得一百五步是大差多于髙数又为髙上勾股差数又别得是甲斜行多于东行数也乃副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位减一百五步而半之得三百二十步即甲东行也乃立天元一为圆径以半之减于甲东行步得□□为中勾其甲斜行四百二十五步即中也再置天元以半之为小勾以中乘之得□合以中勾除不除便以为髙于上【内中勾分母】别置乙多步一百五步以中勾乘之得□□为大差多于髙数也以加入上位得下式□□为一个大差也置甲东行以天元减之又倍之得□□为二个小差以乗大差得下□□□为一段黄方幂【内带中股分母】寄左然后置天元幂丨□以中勾通之得□□□与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问
或问出东门直行不知步数有槐树一株出南门东行不知步数有柳树一株槐栁斜相距一百五十三步甲从干东行三百二十步望槐柳与城防相直问答同前
法曰二行相乘讫又以乗甲东行幂为实斜行乗甲东行幂又三之为从方甲东行幂内减两段二行相乘数为第一亷二之甲东行为益二亷二步常法开三乗方得半径
草曰立天元一为半径以二之减于甲东行得□□为小差以自之得□□□加于甲东行幂复半之得□□□为大【内寄小差分母】又置斜相距步以大勾乘之得□合大除不除便以此为小勾【内大分母】乃以天元减甲东行数得□□为半梯底以乘小勾半梯头得□□为半径幂于上此半径幂内有大分母此大分母元小差分母故先用小差分母以乗上半径幂得□□□为半径幂也内本大分母【寄左】然后以大乘天元幂得□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乗方得一百二十步即半城径也合问
或问甲从干隅东行三百二十步而止丙出东门南行乙出东门直行各不知步数而立甲廻望乙丙悉与城叅相直既而乙就丙斜行三十四步相防问答同前
法曰甲东行再自之于上以二之斜行步乘甲东行幂减上位为立方实两段南行幂内减东行斜行相乘数为益从以甲东行加五【按加五即加半】为从亷五分虚隅得全径
草曰立天元一为城径以减于甲东行步得□□为小差以自之得丨□□为小差幂也乃置甲东行幂内加小差幂而半之得□□□为大也【内带小差分母】又置甲东行幂乃减小差幂而半之得□□○为大股也【内带小差分母】乃置斜行步在地以大股乘之得□□合以大除之不除而又倍之得□□为梯头也【即两个小股内寄大为母权寄】乃置天元圆径以半之以小差分母通之得□□以减于大股余得□又倍之得□为梯底也【即两个边股内亦有小差分母】以乘权寄得□□□为城径幂也【内寄大及小差分母】寄左然后以天元自之为幂以大通之又以小差通之得□□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问
依前问假令东门外有树乙出东门南行不知步数而立【只云树去城步少于乙南行步】甲从干隅向东行三百二十步望乙与树悉与城叅相直乙复就树斜行三十四步到树问答同前
法曰甲东行自之又以斜步乘之为立方实置半段甲东行幂于上以斜步乗甲东行减上位为从亷空半步常法得勾圆差
草曰别得乙斜行即□也□得小勾股即大股较也乃立天元一为勾圆差以自之为幂副之上以加于甲东行幂而半之得□□□为大也【寄小差分母】下以减于甲东行幂而半之得□□□为大股也【寄小差分母】乃置斜步以大股乘之得□□□合大除不除便以此为小股【寄大分母】又置斜步以甲东行乗之得□合大除不除便以此为小勾而又以通母分通之得□为同分小勾也【寄大分母】注【大股乘时有小差分母今大勾无母故又以齐同之】又置斜步以大通之得□□□为同分小也三位相并得□□为勾圆差也【寄左】然后置天元以大通之得□○□为同数与左相消得□○□□开立方得八十步即勾圆差也以勾圆差减于甲东行步余二百四十步即城径也合问
或问南门外不知步数有树甲从干东行三百二十步而立乙出西门便南行望树及甲与城叅相直却就树斜行二百五十五步至树问答同前
法曰二行相乘于上以半之甲东行乗之为实二行相乘于上又半之甲东行以乘甲东行加上位为益从甲东行为从亷一步虚法开立方得半径
草曰立天元一为半径便以为小勾其斜行即小也乃以甲东行为大勾以小乘之复以天元除之得□□即大也又倍天元减东行余□□为小差以减大余□□□为大股也又倍天元以减股余□□为大差也却以半小差□□乗之得下式□□□为半径幂【寄左】乃以天元幂与左相消得丨□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问
或问南门外不知步数有槐树一株东门外不知步数有柳树一株槐柳相距二百八十九步甲从干东行三百二十步斜望槐柳与城叅相直问答同前法曰二行相乗得数又自增乘为实斜行幂乘甲东行又倍之为益从两行相乘又倍之为益亷二之斜步为第二亷二步常法开三乘方得栁至城心步草曰别得柳至城心步即甲立处柳树步也立天元一为柳至城心步加斜步得□□为底以天元乘之得丨□○合斜步除不除便以此为底勾【寄斜步分母】乃再置通勾以斜步乘之得□为带母通勾内减底勾余□□□为半径以自之得丨□□□□为半径幂内带斜步幂分母【寄左】乃以天元减斜步得□□为明以天元乘之得□□合斜步除不除便以此为半梯头【寄斜步为母】复以底勾半梯底乘之得□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得一百三十六步即柳至城心步也合问
或问甲从干隅东行三百二十步而立乙出城东行丙出城南行三人相望俱与城相直乙丙共行了一百五十一步问答同前
法曰以甲东行为幂折半又以自之为三乘方实倍共步加甲东行以乗半段甲行幂为从方甲行乗共数为从亷甲东行加五为第二益亷二分五厘常法得小差
草曰别得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一为小差以自之副置二位上位减于甲东行幂以天元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行幂以天元除之又折半得□○□为大也其甲东行即大勾也并大勾大股得□□□即大和也再立天元以减甲东行步得□□即圆径也以圆径加共行步得□□即皇极和也【即小和又为髙平共数】又倍之得□□即黄长黄广共也内减大得下式□□□为皇极内小黄方也【亦为虚】再置大和□□□以小黄方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便以为城径内寄小和为母【寄左】然后天元减甲东行得□□为大黄方以小和乘之得丨□□为同数与左相消得□□□□□开三乗方得八十步即小差也以小差减甲东行余二百四十步即城径也合问
或问丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立甲从干隅东行三百二十步望乙丙悉与城防相直乙就丙斜行一百二步相防问答同前
法曰甲东行自之于上倍斜行步乘之为立方实倍斜行步乘甲东行于上加两段甲东行幂为从四之甲东行为益亷四为隅法得半城径
草曰别得斜步即虚减于全径即小和也乃立天元一为半径以二之减于甲东行得□□为小差也以自之得□□□为小差幂也置甲东行幂内加小差幂而半之得下□□□为大【内带小差分母】置甲东行幂内减小差幂而半之得□□为大股也内亦带小差为母又以小差乘大勾得□□并入大股得□□□为大和也【带小差母】乃先以小乗大和得下□□□寄左次以斜步减于二天元得□□为小和以乗大得下式□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步即半城径也合问
依前问假令乙出东门南行丙出南门东行各不知步数而立【只云丙行多于乙行步】甲从干隅东行三百二十步望乙丙与城防相直其乙丙共行一百二步问答同前法曰倍共步以乗甲东行幂为立方实共步乗甲东行于上又以甲东行自之加上位为益从甲东行为从亷五分隅常法得城径
草曰别得共步便为小得小勾小股即与圆径同立天元为城径以减乙东行得□□为小差以自之得□□□为小差幂也乃置甲东行以自之为幂副之上以加小差幂而半之得□□□为大也【内寄小差分母】下以减小差幂而半之得□□○为大股也【内寄小差分母】乃置共步在地以大股乘之得□□合大除不除便以此为小股也【寄大分母】又置共步以甲东行乘之得□合以大除不除便以此为小勾而又以元分母小差乘之得□□为同分小勾【只寄大分母】注【其大内元带小差分母其大勾内却无分母故母故今复以小差通之齐同其分母也】又置共步以大通之得□□□同分小也三位相并得□□为城径也【内有大分母】寄左然后置天元城径□以大分母通之得□□□○为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问
测圆海镜卷六
<子部,天文算法类,算书之属,测圆海镜>钦定四库全书