宣城梅文鼎撰
大统历法一
法源
史载历法必载其所以历法之原如太初诸历起数钟律一行大衍求端河洛是也古今历法惟授时历独以测验算术为宗以为与天既合则律吕之损益易象之竒偶悉在其中不必一一牵附矣攷郭守敬传有修改源流一卷仪像法式二卷历议拟稿三卷二至晷景攷二十卷五星细行考五十卷古今交食考一卷新测二十八舍杂坐诸星入宿去极一卷新测无名星一卷并藏之官又齐履谦传之授时历有经串经以着定法串以纪成数履谦又作经串演撰八法一卷以求其法之所以然数之所从出作元史者漫无采摭而仅存履谦之历议録历经之初稿及仪象大畧而已其三应改率及立成之数与夫黄赤道割圆弧矢之法日月五星平立定三差之原尽削不载使作者精意湮没识者憾焉今据大统历及通轨及历草诸书稍为铨次着于篇而仍以法原为首其目七曰勾股测望曰弧矢割圆曰黄赤道差曰黄赤道内外度曰白道交周曰日月五星平立定三差曰里差刻漏
勾股测望
北京立四丈表冬至日测得正午景长七丈九尺八寸五分 以简仪测到冬至日南至地平二十六度四十六分五十秒为半弧背 求得矢度五度九十一分半置周天半径截矢余五十四度九十六分为股乃本
地去戴日下之度 以股别勾术求得勾二十六度一十七分六十六秒为日下至地度即冬至日出地半弧 北京立四丈表夏至日测得正午景长一丈一尺七十一分【按元史作一丈二尺三寸六分】 以简仪测到夏至日南至地平七十四度二十六分半为半弧背 求得矢度四十三度七十四分少 置周天半径截矢余一十七度一十三分二十五秒为勾乃本地去戴日下之度以勾别股术求得股五十八度四十五分半为日下至地度即夏至日出地半弧 以二至日度相并得一百度七十三分折半得五十度三十六分半为北京赤道出地度转减周天四之一余四十度九十四分九十三秒七十五防为北京北极出地度
弧矢割圆
周天径一百二十一度七十五分少
半径六十○度八十七分半【又为黄赤道大】
二至黄赤道内外半弧背二十四度【所测就整】
二至黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒
黄赤道大勾二十三度八十分七十秒
黄赤道大股五十六度○二分六十八秒
割圆求矢术 置半弧背度自之为半弧背羃周天径自之为径羃又为上廉 二羃相乗得数为正实 径羃乗径得数为益从方 半弧背倍之乗径得数为下亷置初商为上法以乗上亷得数以减益从方余为从方 置初商自之以减下廉余以初商乗之得数为从廉 从方从廉相并为下法 下法乗上法以减正寔而定初商有不尽者次第商除则次商又为上法 置初商倍之得数与次商相并以乗上廉得数以减益从方余为从方 并初商次商而自之又以初商自之并二数以减下亷余以初商倍数并次商乗之得数为从廉从方从廉相并为下法 下法乗上法以减余寔而定次商有不尽者如法商之
皆以商得数为矢度之数【黄赤道同用】
如以半弧背一度求矢度 术曰置半弧背一度自之得一度为半弧背羃 置周天径一百二十一度太自之得一万四千八百二十三度○六分二十五秒为径羃【又为上廉】
二羃相乗得一万四千八百二十三度○六分二五为正寔 径羃又乗径得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五为益从方 半弧背一度倍之得二度以乗径得二百四十三度五十分为下廉初商八十秒【为上法】 置初商八十秒乗上廉一万四千八百二十三度○六二五得一百一十八度五八四五以减益从方一百八十○万四千七百○七度八五九三七五余一百八十○万四千五百八十九度二七四八七五为从方 又置初商八十秒自之得六十四防以减下廉余二百四十三度四九九九九三六仍以八十秒乗之得一度九四七九九九四八八为从廉 以从廉从方并之共得一百八十○万四千五百九十一度二三二八七四四八八为下法 下法乗上法得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四以减正寔余寔三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六
次啇二秒【为上法】 置初啇八十秒倍之得一分六十秒加次啇二秒得一分六十二秒乗上廉一万四千八百二十三度○六二五得一分六十二秒乗上廉一万四千八百二十三度○六二五得二百四十○度一二三六一二五以减益从方余一百八十○万四千四百六十七度七二五七六二五为从方 又置初次啇八十二秒自之得六十七防加初啇八十秒自之数得一秒三十一防以减下廉余二百四十三度四九九八六九以前所得一分六十二秒乗之得三度九十四分四六九七八七七八为从廉 以从廉从方并得一百八十○万四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八为下法 下法乗上法得二百六十○度八九四三三四○九二○七五五六以减余寔仍余二十五度四三八三八二九一二○二○四四【不足一秒弃不用后同】
凡求得矢度八十二秒
如以半弧背二度求矢度用上法得矢三分二十八秒如以半弧背二十四度求矢度用上法得矢四度八十四分八十二秒
如以半弧背四十四度求矢度用上法得矢一十六度五十六分八十二秒
余度各如上法求到矢度以为黄赤相求及其内外度之根【数详后】
黄赤道差
求黄道各度下赤道积度术 置周天半径度分内减去黄道矢度余为黄赤道小 置黄赤道小以黄赤道大股乗之【大股见割圆】为寔黄赤道大【半径】为法寔如法而一为黄赤道小股 置黄道矢自乗为寔以周天全径为法寔如法而一为黄道半背差 以差去减黄道积度【即黄道半弧背】余为黄道半弧 置黄道半弧自之为股羃黄赤道小股自之为勾羃二羃并之以开平方法除之为赤道小 置黄道半弧以周天半径【亦为赤道大】乗之为寔以赤道小为法而一为赤道半弧 置黄赤道小股【亦为赤道横小勾】以赤道大【即周天半径】乗之为寔以赤道小为法而一为赤道横大勾以减半径余为赤道横弧矢 横弧矢自之为寔以周天全径为法而一为赤道半背差 以差加赤道半弧为赤道积度 如黄道半弧背一度求赤道积度 术曰置周天半径六十○度八十六分五十秒【即黄赤道大】内减黄道矢八十二秒余六十○度八六六八为黄赤道小 置黄赤道小以黄赤道大股五十六度○二六八乗之得三千四百一十○度一七二○三○二四为寔以黄赤道大六十○度八七五为法寔如法而一得五十六度○一分九十二秒为黄赤道小股【又为赤道小勾】 置矢度八十二秒自之得六十七防以周天径一百二十二度七五为法除之得五十五纎为黄道半背差 置黄道背一度内减黄道半弧背差余为半弧因差在防以下不减即用一度为半弧 置黄道半弧一度自之得一度为股羃 黄赤道小股五十六度○一九二自之得三千一百三十八度一五○七六八六四为勾羃二羃并得三千一百三十九度空七六八六四为寔平方开之得五十六度○二八一为赤道小 置黄道半弧一度以周天半径【即赤道大】乗之得六十○度八七五为寔以赤道小五十六度○二八一为法除之得一度○八分六十五秒为赤道半弧 置黄赤道小股五十六度○一九二【又为赤道小勾】以赤道大半径六十○度八七五乗之得三千四百一十○度一六八八为寔以赤道小为法除之得六十○度八十六分五十三秒为赤道横大勾 置半径六十○度八十七分五十秒内减赤道大勾六十○度八十六分五十三秒余九十七秒为赤道横弧矢置赤道横弧矢九十七秒自之得九十四防○九以周天径为法除之得七十七纎为赤道背差 置赤道半弧一度○八分六十五秒加赤道背差为赤道积度今差在防以下不加即用半弧为积度 凡求得赤道积度一度○八分六十五秒如黄道二度下赤道积度二度一十七分二十八秒
如求黄道二十四度下赤道积度用上法得赤道积度二十五度七十七分五十二秒
如求黄道四十四度下赤道积度用上法得赤道积度四十六度三十○分八十五秒
余度各如上法求到各黄道度下赤道积度乃至后之率其分后以赤道度求黄道及此求之得数并同
黄赤道相求弧矢诸率立成
按郭守敬创法五端内一曰黄赤道差此其根率也旧法以一百一度相减相乗授时立术以勾股弧矢方圆斜直所容求其差数合于浑象之理视古为密顾至元历经所载甚畧又误以黄道矢度为积差黄道矢差为差率今正之
按旧史无图然表亦图之属也今勾股割圆弧矢黄赤道推变诸法寔为历家测算之本非图不明因存其要者数端
大统历志卷一