<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
歴算全书卷四十六
宣城梅文鼎撰
句股阐微卷一
句股正义
首题
句股者横曰句纵曰股【亦可云勾纵股横】斜曰三线相聨而成句股形也
如图甲乙丙形甲乙为股乙丙为句甲丙为亦可云【甲乙为句乙丙为股】也 凡三角形或三角俱鋭或两鋭一钝或两鋭一
正【鋭钝正説具三角形算法中】句股形者两鋭一正形也其句股两线纵横相遇而成者为正角如乙防句两线及股两线相遇而成者为鋭角如甲丙两防 此三线者或三线俱不等其最大者必或两线等其等者必句股而无三线等何者以句股形一角正故也
一题
句股求
法曰句股各自乘并之开方得
如图甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自乗得乙戊方两方相并即甲巳方开之得甲丙
论曰试移庚实形补辛虚形移丑实形补卯虚形移壬实形补子虚形移卯午实形补壬辰虚形所移者恰尽所补者恰足得乙丁与乙戊两方并恰与甲巳方等又论曰更以句与股相等之形观之夫句与股既等则句股各自乗固方也即句股互相乗亦方也【凡句股不等则句股互相乗必是矩形】如丁戊大方平分方边于方形中纵横作线中分四
小方形必等又句与股既等则上方边为句股各自乗两方之对角线亦为句股互相乗两方之对角线如于四小方形中作四对角线相聨而成一中方形也此中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此图观之尤为明显
又法曰句与股相乗倍之另以句股差自乗并入倍数开方得
论曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形中分为庚戊两形夫庚形即辛形也倍之者再加癸卯两形也乙丙为句丙巳
为股乙巳为句股差自乗得乙子方并入倍数共成甲壬方为甲丙上方也
又法曰句自乗倍股依长濶相差法求之得股差加股为
论曰甲乙丙句股形甲丙也丁已亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形即句自乗之数也而已壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦
句自乗之数也此丙戊矩形中乙丙为股加乙壬为倍股曰长濶相差者丙午为长午戊为濶与壬午等即壬丙倍股为长濶之差也依法求之得壬午为股差
二题
句求股
法曰自乗内减句自乗余开方得股
论曰一题句股求苐一法句股各自乗并之即自乗数则自乗数中有句股各自乗之数也今于自乗数中减去句自乗所存者即股自乗数矣就一题之图观之自见
又法曰句相并得数相减得数两数相乗得数开方得股
如图甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲丙与乙丙相并即乙丁线相减即乙巳线【乙巳与乙子等】两线【乙丁乙子】相乗得子丁矩即
甲乙股上方
论曰己午方者已丙线上方即甲丙上方也内减子午形为乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上方矣而巳未矩又与丁卯矩等则丁子矩形即卯巳未磬折形矣亦即甲乙股上方矣
又法曰句自乗倍依长濶相和法求之得股差用减得股
论曰甲乙丙句股形甲丙也丁己亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形
即甲乙句自乗之数也而己壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦甲乙句自乗之数也此丙戊矩形中乙午为乙丙并午戊为倍曰长濶相和者丙午为长午戊为濶即丙午午戊并为长濶相和也依法求之得壬午为股差
三题
股求句
法同二题句求股
附长濶相和法
如图丁乙矩形积九百七十二尺丁甲为长乙甲为濶两边之和共六十三尺求甲丁甲乙二边各若干 法以和数
自乗得三千九百六十九尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与和自乗相减存八十一尺开方得九尺【即丁甲乙甲二边之较数】以与和【六十三尺】相并折半得三十六尺为甲丁长边又与和相减折半得二十七尺为甲乙矩边长濶相差法【图同上】
丁乙矩形积九百七十二尺甲乙为濶戊乙为长丙戊九尺【乙丙即甲乙】为长濶相差数甲乙戊乙二边各若干法以较数【九尺】自乗得八十一尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与较自乗相并得三千九百六十九尺开方得六十三尺【即戊乙甲乙二边之和数】以与较九尺相并折半得三十六尺为戊乙长边又与较【九尺】相减折半得二十七尺为甲乙短边
解曰甲午矩形作乙丙对角线成甲乙丙句股形甲丙长句也甲乙濶股也丙丑长濶和也【甲丑即乙甲】自乗得丙
子大方四倍矩积也并大方内戊丁
庚辛四矩形之积【大方内所容四矩俱与元形等如丙
壬矩即甲午矩其八句股形亦俱等元形】相减存己壬小
方开方得巳未边即甲乙甲丙二边之较数也【卯亥即甲乙股卯壬即甲丙句则壬亥为两边较数即长濶相差也】既得较数与所有和数相加减得甲乙甲丙二边矣
若长濶相差法是先有巳未较数故以上法反用之求得丙丑和得丙丑亦得甲乙与甲丙矣
四题
与句股较求句股
法曰自乗倍之较自乗用减倍数余开方得句股和于是和加较半之得长股和减较半之得短句
论曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股也丙戊股上方也两方并共为上方辛壬亦句上方
庚已亦股上方两方并亦共为上
方此即自乗倍之之数也而两句
方两股方并为丙己大方则中间重
叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股较也庚戊方即较上方也减之而重叠者去矣所存者为句股和上方矣故开之得丙丑为句股和也
又法曰自乗内减较自乗余半之以较为长濶相差法求之得短句加较得长股
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也巳子较也己丑较上方也两方相减余壬辛午未四形半之余午未二
形而午形又即戊形则是余未戊二形也此未戊二形者句股矩内形也故以巳子较用长濶相差法求之得子丙短句句加较得巳丙长股
五题
股与句较求句
法曰股自乗内减较自乗余半之以较为法除之得句句加较得
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也甲巳较也甲戊较上方也庚甲辛磬折形股自乗数也内减甲戊较上
方所余丙戊戊壬两形即为句与句较矩内形者二矣取其一如丙戊形以戊己较除之得己丙句【或不用折半倍较为法除之亦同】
又法曰股自乗以较为法除之得句和于是加较折半得减较折半得句
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丙己亦句也丁戊句上方也所余庚甲辛 折形即股自乗数也而壬辛形与戊丙形等即壬己矩形亦股自乗数也以甲巳较除之得甲壬为句和也
又法曰股自乗较自乗相并倍较为法除之得减较得句
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丁己为句上方即戊甲辛磬折形为股上方矣又己丙矩与庚壬矩等
即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子较上方共得辛丑矩形其庚辛边即是倍较
六题
句与股较求股
法同五题
七题
与句股和求句股
法曰自乗倍之内减句股和自乗余开方得句股较于是较加和半之得长股较减和半之得短句
论曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁子和上方也丁午未子两句上方丙丑壬巳两股上方此即自乗倍之之数
也以较丁子和上方则其中重叠一壬丑方矣而此方之边即是句股较
又法曰句股和自乗内减自乗余半之以句股和用长濶相和法求之得句股
论曰丙丁为句股和丁巳为和上方午乙壬磬折形即上方两方相减余午丑壬磬折形分为午丑及丑壬两形形
之两边即句股
八题
股与句和求句
法曰句和自乗内减股自乗余半之以句和除之得句用减句和得【或不用折半倍句和除之亦同】
论曰甲乙丙句股形甲丁为句和甲巳为和上方又甲午为上方甲子为句上方即未午壬磬折形为股自乗而子丙矩与午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也于和方中减之所存者为未丁及戊己两矩形矣形之一边如甲丁即句和其一邉如甲未即句
又法曰股自乗得数以句和除之得句较于是用加句和半之得用减句和半之得句
论曰甲乙丙句股形甲丁句和也甲戊上方也戊己句上方也即午甲未磬折形为股自乗矣而卯巳矩与午丁
矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁边即句和丁子边即句较
又法曰句和自乗股自乗相并倍和为法除之得减和得句
论曰甲丁为句和甲戊为和自乗
戊丑为句今试依庚戊矩作丁卯矩
即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲
巳为上方未壬为句上方即未己壬磬折形为股自乗矣而壬子矩与子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然此犹在和自乗数中也今另加一股自乗如丑卯矩并
前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形
即为两自乗相并之数形之甲癸邉
即句和之倍形之甲庚边即是
也
九题
句与股和求股
法同八题
十题
句较股较求句股
法曰先以两较相减得即为句股较次以两较各自乗相并内减句股较自乗余开方得和较【和句股和也】于是加股较得句加句较得股以句较加句或以股较加股得
论曰甲乙丙句股形甲丙也甲巳即股也巳丙股较也甲壬即句也壬丙句较也壬己句股较也今试引甲壬句至丁令甲丁为句股和即丙丁为和较也次作甲戊为和上方午未为句较上方午子为股较上方【即庚辰方】两较上方相并共为午未辰磬折形内减
未子句股较上方余辰午癸磬折形
即戊午和较上方何则试观丑午
已磬折形句上方也子戊形亦句上
方也今于丑午已磬折形中减丑申及辛巳两矩形即是于子戊形中减卯子亥磬折形也然则所余之辰午癸磬折形非即戊午方乎
又法曰两较相乗倍之开方亦得
和较以下同前法
论曰甲乙丙句股形试引甲丙至丁
得甲丁为句股和甲戊为和上方【甲未股未丁句】丁子己子句也丁辛己壬也子辛子壬句较也未子亥子股也未申亥卯也子申子卯股较也然则卯辛与申壬两矩形即是两较相乘倍之之数也此两矩形者即戊午和较上方【丙丁为和较】何则未申亥磬折形句实也子戊方形亦句实也今试于未午亥磬折形减辛丙庚亥两矩形【辛未及亥壬皆是和较】及子午方即是于戊子方中减癸子丑磬折形也然则卯辛与申壬两矩形非戊午方乎
十一题
句股较句较求句股【句短股长看此题】
法曰先以两较相减得即为股较次以两较各自乗相减余为实倍股较为法用长濶相差法求之得句句加句股较得股句加句较得
论曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句
丙巳戊乙句股较戊己句较乙
巳股较乙丁亦为句丙丁为句股
和丙庚为和上方辛壬为句股较上方辛子为句较上方两较上方相减余丑子午磬折形夫乙子卯磬折形句实也壬庚方亦句实也今于壬庚方中作未庚未申两矩形与己丑寅卯两矩形等即所余壬申形与丑
子午磬折形等矣于是依壬申形作
壬亥形此形壬酉为长壬癸为濶与
壬辰等即辰未未酉为股较之倍
为长濶之差
按此法句股较句较相减得股较即三较皆备矣十题第一法句较股较相减得句股较即三较亦皆备矣既皆备三较则法可互用特以就题立法则法固各有攸属耳
十二题
句股较股较求句股【股短句长看此题】
法同十一题
十三题
句和股和求句股
法曰两和各自乗相并两和相减即为句股较自乗用减相并数余开方为和和【和也句股和也和和与句股和相并也】于是内减句和得股内减股和得句内减句股得
论曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股
和也乙午股和上方也乙丙
句也丙子句和也丙未句和
上方也甲丙也丙丑股也丑巳
句也甲己和和也甲壬和和
上方也乙午丙未两方并较甲壬
方则两方多一句股较自乗之数何则试观甲壬方中股句三方即乙午丙末两方中句股三方也甲壬方中股矩二句矩二即乙午丙未两方中股矩二句矩二也无或异也所异者惟甲壬方中余句股矩二与乙午丙未两方中余方一则方一与句股
矩二其较为句股较上方何则试
观另图甲丙也甲丁上方也
甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句
股矩形之半也而丙巳丁丁子丑
丑午甲三形皆与甲乙丙形等共
四形即得句股矩之二也中余乙巳子午方即句股较上方然则乙午丙未两方并较甲壬方不多一句股较上方乎故于两方中减之即得甲壬方也
又法曰两和相乗倍之开方得
和和以下同前法
论曰甲乙丙形乙丁股和也丁
午句和也乙午两和矩内形也丙子句和也丙辛股和也丙未两和矩内形也甲丙也丙丑股也丑
巳句也甲己和和也甲壬和
和上方也乙午丙未两矩形与甲
壬方形等者两矩形中有两方
甲壬形中有方一股方一句方
一亦即两方也两矩形中有股
矩二句矩二句股矩二甲壬形亦有股矩二句矩二句股矩二也然则乙午丙未两矩形不与甲壬方形等乎
十四题
句股和句和求句股
法曰先以两和相减得即为股较次以两和各自乗相减余为实倍股较为法依长濶相差法求之得句句减句股和得股句减句和得
论曰甲乙丙形甲丁句和也甲戊句和上方也巳丁句股和也子戊句股和上方也两和之较为甲巳两方之较
为壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句实也癸戊方形亦句实也夫癸戊方形与壬甲丑磬折形其余为辛未午丁两矩形今试作癸寅寅申两矩形与之等即戊申矩形与壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚为濶即句与庚癸等癸卯卯申为倍数为长濶之差
十五题
句股和股和求句股
法同十四题
十六题
句股形中求容方
先论曰凡于句股形中依句股两边作方形或矩形则作形之外所余之角形二自相似亦与元形相似如图甲乙丙元形作壬丁乙子方形则此形之外所余甲丁壬及壬子丙两角形自相似何则谓甲丁与壬子相似丁壬与子丙相似也若
作壬丁乙子矩形亦然又此两形之各两边与元形之两边相似何则谓甲丁壬子两边与甲乙边相似丁壬子丙两邉与乙丙边相似也于是遂生求容方之法如左【独不能生求容矩之法者以容方则甲丁丁壬两邉即甲乙邉壬子子丙两邉即乙丙邉也若容矩则否】
法曰句股相乗为实并句股为法除之得方边
论曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲
午边甲乙股乙午即句乙子即方
边何则甲丙为甲丙矩形之对
角线亦为甲壬壬丙矩形之对角线则甲乙丙与甲丑丙甲丁壬与甲未壬壬子丙与壬亥丙各角形自相等今于甲乙丙甲丑丙相等之两形中各减去相等之角形所余之乙壬方与壬丑方必等次于两方各加一同用之子亥矩则乙亥矩与子丑矩亦必等而子午矩与乙亥矩等亦即与子丑矩等然则甲丙矩不与未午矩等乎
又法曰句自乗为实并句股为法除之得余句用减句余即方边
论曰甲乙丙句股形乙丙句自乗
得乙丁方即未已矩形形之戊丙
即股丙巳即句丙子即余句乙子即方边何则丑丁形即子巳形也壬乙形即壬戊形也然则乙丁方即未巳矩也
十七题
句股形中求容圆
法曰句股相乗倍之为实句股共为法除之得容圆径【或句股相乗为实句股共为法除之得容员之半径 或句股相乗半之为实句股并而半之为法除之得容圆之半径】
论曰试于形之三边截取己子未
三防令乙子与乙巳等甲巳与甲
未等丙未与丙子等次于已子未
三防各作己丁未丁子丁三线为
形三边之垂线必相遇于丁而相
等何则试先就己甲未丁四边形论之甲巳甲未两边等己未两角皆正即巳丁未丁两线必等依显未丁与子丁两线子丁与巳丁两线亦必各等然则丁即圆心三线即圆之半径矣果何术以求之乎曰试作甲丁丙丁乙丁三对角线平分甲乙丙三角及丁角因平分三个四边形为六个三边形各两相等次引乙丙至壬令丙壬与甲已等则乙壬线为甲乙丙三边之半何则乙子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲未甲巳之半然则乙壬者甲乙丙三边之半矣次引长巳丁线至亥令己亥与乙壬等必相与为平行次作壬亥丙午两线与子丁线等而相与为平行末作丙亥对角线则乙亥矩形与甲乙丙元形等何则乙巳丁子方形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角形虽不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合丙子丁形而成子午矩形者也至于壬午矩形全在元形之外然亦即甲巳丁甲未丁两形颠倒凑合而成者也然则乙亥矩形与甲乙丙元形等矣于是以句股相乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三边之半分之得子丁为圆半径或以三邉之全分元形之倍亦
得圆之半径或三边之全分元形
之四倍得全圆径也
又法曰句股三边半之内减
得圆之半径【或倍用减三邉之全得全圆径】论曰甲乙丙元形之乙角既是正
角乙子丁乙已丁两角又是正角即子丁己亦必正角然则子丁己乙形必是正角方形而四边等矣即乙巳乙子两边必与丁己丁子圆之两半径等矣此乙已乙子之两边果何术以求之乎依前论乙壬线为三边之半而丙壬即甲未也丙子即丙未也则子壬线即甲丙也于是子壬减乙壬三边之半得乙子即圆之半径若倍数用减三边之全得全圆径
又法曰句股并以减之得全圆径
论曰如前图乙丙句也丙壬与乙巳并即甲乙股也何则以丙壬与甲巳等故也壬子即甲丙也何则以丙壬与甲未等丙子与丙未等故也于是以子壬减壬己句股并得子巳为圆之全径何则以乙子与子丁等乙巳又与乙子等故也
巳上十七题除求方求圆二题余十五题已尽句股之蕴矣然论其题则不止于己上十五题也今反覆推之凡得一百四十四题虽究其归不出于己上十五题之法要亦不可不备使习者得以按题而索之逐类而通之也
勾股较勾股和 句股较句和 句股较股和句较句和 句较句股和 句较股和股较股和 股较句股和 股较句和已上共九题
【句】和和
较较 句较较 股较较
和较 句和较 股和较
较和 句较和 股较和
巳上十则各以 【股】三则配之得三十题
各以 【股和】三则配之得三十题
各以 【股较】三则配之得三十题
又巳上十则 【股】和和为一则以下九则配之得九题较较为一则以下八则配之得八题句较较为一则以下七则配之得七题股较较为一则以下六则配之得六题和较为一则以下五则配之得五题句和较为一则以下四则配之得四题股和较为一则以下三则配之得三题较和为一则以下二则配之得二题句较和为一则以下一则配之得一题
已上共一百四十四题学者按题而索之逐类而通之要不出于前所列之十五题也
又一题【后十四题尽句股之变】
容方与余句求余股与余股求余句因得全句全股法曰方边自乗以余句除之得余股以余股除之得余句各以所得加方边因得全句全股
论曰乙丁方边也自乗得乙壬方
即壬丑矩【论详前十六题】故以己壬【即丙未余】
【句】除之得子壬【即甲丁余股】以子壬除之得己壬因以己壬加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股又法曰以余句除方边【余句小于方邉】得数即用以乗方笾得余股或以方边除余股【余股大于方邉】得数即用以除方边得余句
论曰方边为余句余股连比例之中率以前率余句比中率方边则方边为几倍大即以中率方边比后率余股则余股亦必为几倍大又以后率余股比中率方邉
则方边为几倍小即以中率方边
比前率余句则余句亦必为几倍
小故得数者得其几倍大几倍小之数也大用乗小用除
又二题
余句余股求容方因得全句全股
法曰余句股相乗开方得方边各以余句股加之得全句股
论曰子壬即余股也己壬即余句
也丑壬矩即乙壬方也【论详前十六题】因
以甲丁【余股】丙未【余句】加之得全股【甲乙】全句【乙丙】
又法曰以余句除余股【以小除大】得数开方得中率之比例于是以中率之比例除余股得方边或以中率之比例乗余句亦得方邉
论曰余句余股之于方边为连比例之前后率今以己壬余句比子壬余股得子壬为几倍大即是以己壬线上方比己壬线与子壬线上矩得丑壬矩为几倍大也而丑壬矩又与乙壬方等开方得连比例之中率者以方则边等边等则比例连故也既得连比例之中率则方边可得而知矣
右两题宜附前十六题之后
又三题
句股形句股较求句股
法曰形四倍之另以较自乗相并开方得次依前四题法求句股
论曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁丙未子与甲乙丙四形也乙巳为句股较
乙午为较上方四形与一方相并成甲子方开方得甲丙
又法曰形八倍之另以较自乗相并开方得句股和于是和加较折半得股和减较折半得句论曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁己己甲四矩形也乙子为句股较乙午
为较上方四矩形与一方并成丑未方开方得丑壬为句股和
又法曰形倍之以句股较用长濶相差法求之得句句加较得股
论曰甲乙丙句股形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙句已甲较即乙已与乙丙句等丙巳为句上方丁句为句与较矩内形今试商
得乙丙为句乙巳加已甲为股
又四题
句股形句股和求句股
法曰形四倍之另以句股和自乗相减开方得次依前七题法求句股
论曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊丁丁己辛辛壬甲四形并也乙壬为句股和乙巳为和上方内减四形并余甲
辛丁丙方开方得甲丙
又法形八倍之另以句股和自乗相减开方得句股较于是用加和折半为股用减和折半为句
论曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁丁辛辛甲四矩形并也午戊为和戊壬为和上方内减四矩形并余子乙未丑
方开方得子乙为句股较
又法曰形倍之以句股和用长濶相和法求之得句句减和得股
论曰甲乙丙句股形倍之得乙巳
矩形甲乙股乙丙句并之为和今试
商得乙丙为句用减和余甲乙即股
又五题
句股形中求从直角【句股相联处】至作垂线【与相交为直角】分元形为两句股形
法曰上方句上方并之内减股上方余半之以除之得数为上作垂线之处于是以所得数与句依句求股法作垂线
论曰甲乙丙元形求从直角作乙午线为甲丙之垂线甲丙也甲丑上方也乙丙句也乙己句上方也
甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午
线上方也乙巳方中之丁申方亦
乙午线上方也即两方等矣又乙
辛方中之子辛未磬折形甲丑方
中之午壬方也今于甲丑乙巳两
方中减乙辛方即于两方中减丁申方与午壬方也两方中所存者为申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申巳丁磬折形又与丑卯方等半之即得午丑矩故以丙丑除之得丙午【若乙辛方与甲丑方并内减乙巳方余半之以除之得甲午同上论按此法不但可施诸句股直角形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】
又法曰句股相并得数相减得数两得数相乗以除之得数用减余半之得数为上作垂线之处
如图甲乙丙形甲乙股乙丙句相
加得甲丁相减得甲巳甲丁与甲
巳相乗得数以甲丙除之得甲
子用减余丙子半之于午即午防为上作垂线之处一论曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上方形并与甲乙上方形等如图壬丁矩甲丁偕甲巳矩内形也【甲壬与甲巳等】辛甲未磬折形即壬丁矩也【壬未矩与辛丁矩等】未辛方
乙巳上方也并之得甲戊方即甲乙上方
二论丁已甲线贯圜心于乙庚甲线切圜周于庚乙庚甲为直角夫丁甲偕巳甲矩内形与甲庚线上方形等何则乙庚庚甲两线上方形与乙甲线上方等而丁甲
偕巳甲矩内形及乙已上方并亦与
乙甲线上方等【一论之图可见】此两率者每
减一相等之乙庚乙巳两线上方则
甲丁偕甲巳矩内形与甲庚线上方形必等
三论曰丙甲线不贯圜心于乙庚甲
线切圜周于庚乙庚甲直角形乙午
甲亦直角形两形合一乙甲则乙
庚庚甲两线上方并与乙午午甲两线上方并必等又乙午子直角形则乙午午子两线上方并与乙子线上方等夫午甲上方形中原有【一论之图可见】丙甲偕子甲矩内
形及午子上方形今于乙甲上方形
中减乙庚上方形即减去同乙庚之
乙子上方同乙子之乙午午子两线
上方然则所余之丙甲偕子甲矩形与甲庚上方形必等四论曰前甲丁偕甲巳矩内形与庚甲上方等【二论之图】甲丙偕甲子矩内形与庚甲上方亦等【三论之图】则两矩形自
相等而等角防之各两边彼此互相
视何则试引戊子壬己两线相遇于
丑而成甲丑形夫甲戊与甲丑两形
同在戊丑丙己两平行线内等高则两形之比例若其底甲丙与甲己之比例依显甲壬与甲丑两形之比例亦若其底甲丁与甲子之比例夫甲戊与甲壬两矩形元等则甲戊形与甲丑形即甲壬形与甲丑形也即甲丙与甲己之比例亦即甲丁与甲子之比例也更之则甲丙与甲丁之比例亦若甲己与甲子之比例
于是以甲丙为一率甲丁为二率
甲己为三率二三率相乗一率除
之得四率甲子也既得甲子用减
甲丙余丙子半之于午得午防为上作垂线之处何则试作乙子线与乙丙同为圜之半径即等而成乙丙子两边等角形则午点折丙子之半必是直角【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】
右既得乙午垂线即分甲乙丙原形为甲午乙乙午丙两句股形此两形者自相似亦与元形相似
又六题
句股形中求依一边容方
法曰先依又五题法求形中垂线次以与垂线相乗得数并与垂线为法除之得方边
论曰甲乙丙元形乙丁为垂线求依甲乙作方边如子丑而成子午方形夫甲乙丙元形与己乙午分形相似何则以己午与甲丙平行故也次观己午与未丁等即乙未
与己午并是乙丁垂线也然则乙丁偕甲丙并而与甲丙若乙未偕己午并【即乙丁垂线】而与己午
又法曰垂线自乗并与垂线为法除之得数用减垂线得方边
论曰乙丁偕甲丙并【一率】而与乙丁【二率】若乙未偕己午并【三率即乙丁】而与乙未【四率】于是以乙未减乙丁余未丁即方边【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用】
又七题
句股形中求分作两边等三角形二
法曰半之即是两边等之一边
论曰甲乙丙形半于丁于是以丁为心甲丙为界作圜必切乙角得乙丁与
半等因成乙甲丁乙丙丁两形皆两边等三角形也
又八题
斜三角形中求作中垂线分元形为两句股形
法具又五题
又九题
斜三角形中求积
先分别是锐角形或是钝角形【若是正角形法以句股相乗半之即得】法曰大中小三边用小中两边依句股求法求之若求得数小于大边即是鋭角形大则是钝角形
鋭角形求积法曰任取一角依又五题求中垂线【鋭角形求中垂线任取一角皆在形内】分元形为两句股形次以两分形句与股各相乗半之得积
论曰甲乙丙鋭角形先求得乙丁中垂线分为甲丁乙乙丁丙两句股形次以
甲丁与丁乙丁乙与丁丙各相乗得丁戊与丁己两矩形各半之得甲乙丙形之积【或以乙丁因甲丙之半亦得或以甲丙因乙丁之半亦得】钝角形求积法【于钝角至对边作垂线则垂线在形内法同前】于鋭角至对边作垂线则垂线在形外而引对边出形外凑之曰大边上方内减中小两边上方余半之以中边除之得引凑数与小边为股求句得垂线【或以小邉除半数得引凑数与中邉为句求股亦得垂线】既得垂线则与引凑数凑成一小句股形又以垂线与引凑数偕元形之边凑成一大句股形大小两句股形相减得所求
论曰甲乙丙钝角形【乙为钝角】求从丙鋭角作丙丁垂线而引乙丁线以凑之【从甲角作垂线亦在形外兹不备述】夫甲丙上方元包
丙丁与甲丁两边上方今于甲丙上
大方中减乙甲乙丙上两方即是减
丙庚与子午两方为乙丙上方减甲
子方为甲乙上方也而所存者为丁
子子辛两矩形矣半之为子丁一矩
形以中边乙子除之得乙丁为引数
也丙丁乙为小句股形丙丁甲为大
句股形两形相减得甲乙丙斜三角形积
又法曰三边数并而半之以每边数各减之得三较数三较连乗【任以二较相乗得数又以一较乗之】得数又以半数乗之得数开方得积
如后图甲乙丙元形求其积
一图 一论曰壬乙矩形与元形等
论同前十七题所论乙亥矩
形与甲乙丙元形等
二论曰丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗开方与乙
二图 壬矩形等如图子壬二丑壬三相
乗得六为子丑矩形今以子壬二
自乗得四为子卯方即壬寅边以
丑壬三乗之得十二为丑寅矩形又以三乗之得三十六为辰寅矩形即午丑方形故开方得辰午六与子丑
三图 矩形等
三论曰丁心偕戊庚矩形与乙丁相乗其所得数与丁心方偕乙戊相乗所得
数等何则乙丁心形与乙戊庚形相似之形也戊庚与丁心若乙戊与乙丁则戊庚偕丁心矩形【即庚未矩形】与丁心方【即己戊方形】亦若乙戊与乙丁也
四论曰丙丁偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等【就一图观之】何则心丁丙形与丙戊庚形相似之形也夫庚乙线平分丁乙甲角庚戊为丙戊之垂线则戊为直角次依丙戊线截取丙卯线作卯庚线为丙卯之垂线则卯为直角此庚乙庚戊庚卯三线必相交于庚防三线既相
交于庚点则丙庚线必平分
卯丙戊角而卯丙戊角又即
己心丁角因得心丁丙形与
丙戊庚形为相似之形也两形既相似则丁心与丁丙若丙戊与戊庚也
解庚乙庚卯庚戊三线必相交于庚点所以然之故庚心乙界作圈 次依甲乙丙形作丙丁辛形 次引乙丁线至癸引辛甲线至壬乙庚线平分丙乙甲角则
庚防必是圈心戊防折乙癸线之
半则戊防必直角 卯防折壬辛
线之半则卯防必直角 乙癸与
乙己等 乙丙辛丙为大边甲丙
丁丙为中边甲壬丁癸即小边
总论曰二论丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗所得数开方与乙壬矩形等夫乙戊半数也亦既得之矣次欲求丁心与乙戊相乗而丁心不可得 三论丁心戊庚矩形与乙丁相乗所得数与丁心方偕乙戊相乗所得数等夫乙丁三较之一也则又得之矣次欲求丁心与戊庚两线而两线又不可得 四论丁丙偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三较之二也则尽得之矣 今法于四论用丁丙偕丙戊二较相乗于三论用乙丁一较乗之于二论用乙戊半数乗之开方得数与乙壬矩形等
又十题
斜三角形中求容圆
法曰先依又九题求积次取三边数并而半之用除积得员之半径【或置二较连乗数以半数除之得开方亦得圆半径】
论曰先依又九题求得乙壬矩
形为甲乙丙元形积次以乙戊
除之【即三边数之半也】得丁心即圆之半径【若以三边之全除元形之倍亦得圆半径若以三边之全除元形之四倍得圆全径】
又十一题
斜三角形中求容方
法同又六题
又十二题
斜三角形有三和数求三边
法曰三和数相减得三较数各置三较数各以非所较之边加减之各半之其加而半者得大边或中边减而半者得小边或中边
如图戊己庚为三和数【戊为大中两和数己为大小两和数庚为小中两和数】甲为戊庚两和之较乙为己庚两和之较丙为戊己两和之较于是置甲较数以己为非所较之边加而半之得大边减而半之得小边置乙较数以戊为非所较之边加而半之得大边减而
半之得中边置丙较数以庚为非所较之边加而半之得中边减而半之得小边
论曰戊者大中两和数也加减用乙者乙为己庚两和之较庚者小中两和数己者大小两和数此两和数中皆有相等之小数而余为大中两数矣此乙所以爲大中两数之较也余仿此
又十三题
句股测高【测逺测广测深同法】
法曰先准地平【地平者必令所测地面自所测之处至高之根如水之平也】次立表与地平为垂线退后立望竿令所测高表尖竿头叅相直末自竿至高根量得若干逺然后以表竿差与逺相乗而以表竿相去若干除之加竿长若干得所求之高如图丙乙高乙甲逺丁甲竿己戊表己子为表竿差戊甲为表竿相去夫丁子己形与丁辛丙形相似故丁子与己子若丁辛
与丙辛也
又十四题
句股重测高逺【测广测深同法】
法曰若无高根之可量者则用重测法谓一次立表竿令表竿与高叅相直二次立表竿令表竿与高防相直【两表两竿要各相等又要或前或后立成一直线】然后以表竿之较乗两表相去而以两表竿相去之较除之加表高若干得所求之高又以前表竿相去乗两表相去而以两表竿相去之较除之加前表竿相去得所求之逺
如图甲乙高乙丙逺各不知数用重
表测之 丁子为前表己丙为望竿
子丙为表竿相去甲丁己三防叅相
直午壬为后表丑辛为望竿壬辛为
表竿相去甲午丑三防叅相直丁亥为表竿之较子壬为两表相去未辛为两表竿相去之较己上用以测高借丁卯【元是表竿相去】为表竿相差借卯己【元是表竿相差】为表竿
相去辰戊亦借为表竿相差戊癸亦借为表竿相去甲辰癸三防亦叅相直丁辰亦借为两表相去与丁午等即庚癸亦为两表竿相去之较与辛未等以上用以测逺解庚癸线与辛未线必等所以然之故
如图甲乙矩内形甲乙为对角线丙丁及戊己两线与
矩形之边为平行而交角线
于庚 次任作辛壬线亦交
角线于庚 次截甲癸线与
甲辛线等作癸子线亦交角
线于庚则子乙线与壬乙线必等
论曰试作午丑及午未两线与甲辛及甲癸相线为平行夫庚甲辛及庚午丑两角形相似之形也则庚甲与庚午若甲辛与午丑依显庚甲与庚午若甲癸与午未然则甲辛与甲癸亦若午丑与午未夫午丑与午未如是则子乙与乙壬亦如是矣
先论甲乙矩形此形甲己为对角线寅卯申亥两线交于角线上之丁防则卯申矩形与亥寅矩形等
次论甲丑矩形此形甲丑为对角
线寅酉房壬两线交于角线之午
点则房酉矩形与寅心矩形等
末总论曰夫房酉矩形与寅心矩
形既等而午井形又与卯申形等即亦与亥寅形等然则房酉矩形中所余之井酉形与寅心矩形中所余之丁心形必等
于是以丁亥表竿相差乗丁午两表相去得丁心矩形即井酉形而以井女两表竿相去之较除之得女酉加酉辛表共女辛即甲乙高
先论甲己矩形同前
次论甲癸矩形此形甲癸为对角线申氐戊亢两线交于角线之辰防则亢氐矩形与戊申矩形等
末总论曰夫亢氐矩形与戊申矩形既等而辰牛形又与亥寅形等即亦与卯申形等然则亢氐矩形中所余之牛氐形与戊申矩形中所余之丁戊形必等
于是以丁卯表竿相差乗丁辰两表相去得丁戊矩形即牛氐形而以牛危两表竿相去之较除之得危氐加氐癸表竿差共危癸即乙丙逺也
求高又法 既得危氐线即以亢牛乗之得牛辰形此形即寅亥矩形亦即申卯矩形也故以丁卯除之得丁申高
求逺又法 既得女酉线即以房井乗之得井午矩形此形即申夘矩形亦即寅亥矩形也故以丁亥除之得丁寅逺
歴算全书卷四十六