钦定四库全书
厯算全书卷五十二
宣城梅文鼎撰
三角法举要卷三
内容外切【三角测量之用在邉与角而其内容外切亦所当明故次于算例之后】内容有二曰本形曰他形
一三角求积
积谓之幂亦谓之面乃本形所有
一三角容员
一三角容方
以上皆形内所容之他形
外切惟一
一三角形外切之员
三角求积第一术
底与高相乗折半见积
内分二支
一句股形即以句股为底为高
一锐角钝角形任以一邉为底而求其垂线为高
假如句股形甲乙股【一百二十尺】乙丙句【三十五尺】求积
术以甲乙股乙丙句相乗【四千二百尺】折半得积
凡求得句股形积二千一百尺
如图甲乙股与乙丙句相乗成甲
乙丙丁长方形其形半实半虚故
折半见积
或以句折半【十七尺半】乗股亦得积【二千
一百尺】
如图乙丙句折半于戊以乙戊乗
甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己
补甲丁己也
或以股折半【六十尺】乗句亦得积【二千
一百尺】
如图甲乙股折半于己以己乙乗
乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊
补戊丁丙也
右句股形以句为底以股为高若以股为底则句又为高可互用也
句股形有立有平若平地句股以句为濶以股为长其理无二
论曰凡求平积皆谓之幂其形如网目又似窓櫺之空皆以横直相交如十字亦如机杼之有经纬而成布帛故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半则成正剖之半方形矣其他锐角钝角或有直无横有横无直必以法求之使成句股然后可算故句股者三角法所依以立也
假如锐角形甲乙邉【二百三十二尺】甲丙邉【三百四十尺】乙丙邉【四百六十八尺】求积
术先求垂线用锐角第三术任以
乙丙邉为底以甲丙甲乙为两
两之较数【一百零八尺】总数【五百七十二尺】相乗【六万一千七百七十六尺】为实以乙丙底
为法除之得数【一百三十二尺】转减乙丙余数【三百三十六尺】半之得乙丁【一百六十八尺】依句股法以乙丁自乗【二万八千二百二十四尺】与甲乙自乗【五万三千八百二十四尺】相减余数【二万五千六百尺】平方开之得甲丁垂线【一百六十尺】以甲丁垂线折半乗乙丙底得积凡求得锐角形积三万七千四百四十尺
如图移辛补壬移庚补癸则成长
方形即垂线折半乗底之积
右锐角形任以乙丙邉为底取垂
线求积若改用甲乙或甲丙邉为
底则所得垂线不同而得积无异故可以任用为底假如钝角形甲乙邉【五十八步】甲丙邉【八十五步】乙丙邉【三十三步】求积
术求垂线立于形外用钝角第三
术以乙丙为底甲乙甲丙为两
总数【一百四十三步】较数【二十七步】相乗【三千八百
六十一步】为实乙丙底为法除之得数
【一百一十七步】内减乙丙余数【八十四步】折半
【四十二步】为乙丁【即乙丙引长邉】依句股法乙丁自乗【一千七百六十四步】甲乙自乗【三千三百六十四步】相减余数【一千六百步】平方开之得甲丁【四十步】为形外垂线以乙丙底折半【十六步半】乗之得积
凡求得钝角形积六百六十步
如图甲乙丙钝角形移戊补庚移
庚己补壬癸又移壬子补辛成辛
癸丑长方即乙丙底折半乗中长
甲丁之积
右钝角形以乙丙为底故从甲角作垂线若以甲乙为底则自丙角作垂线亦立形外而垂线不同然以之求积并同若以甲丙为底从乙角作垂线则在形内如锐角矣其垂线必又不同而其得积无有不同故亦可任用一邉为底
凡用垂线之高乗底见积必其线上指天顶底线之横下应地平两线相交正如十字故其所乗之幂积皆成小平方可以虚实相补而求其积数钝角形引长底线以作垂线立于形外则两线相遇亦成十字正方之角矣
总论曰三角形作垂线于内则分两句股钝角形作垂线于外则补成句股皆句股法也
三角求积第二术
以中垂线乗半周得积谓之以量代算
假如钝角形乙丙邉【五十八步】甲乙邉【一百一十七步】甲丙邉【八十五步】求积
术平分甲乙两角各作线防于心从
心作十字垂线至乙甲邉【如心庚】即中
垂线也乃量取中垂线【心庚】得数【一十八步】
合计三邉而半之【一百三十步】为半周以半周乗中垂线得积
凡求得钝角形积二千三百四十步
又术如前取中垂线【心庚】为濶半周为
长【如乙癸及丁壬】别作一长方形【如乙壬丁癸】即
与【甲乙丙】钝角形等积
解曰凡自形心作垂线至各邉皆等故中垂线乗半周为一切有法之形所公用方员及五等面六等面至十等面以上并同故以中垂线为濶半周为长其所作长方形即与三角形等积
又解曰中垂线至邉皆十字正方角即分各邉成句股形以乗半周得积即句股相乗折半之理
附分角术 有甲角欲平分之
术以甲角为心作虚半规截角旁两
线得辛壬二防乃自辛自壬各用为
心作弧线相遇于癸作癸甲线即分
此角为两平分
三角求心术
如上分角术于甲角平分之于乙角
又平分之两平分之线必相遇成一
防此一防即三角形之心
解曰试再于丙角如上法分之则亦
必相遇于原防
三角求积第三术
以三较连乗又乗半总开方见积
假如钝角形甲乙邉【一百一十六尺】甲丙邉【一百七十尺】乙丙邉【二百三十四尺】求积
术合计三邉而半之【二百六十尺】为半总
以与甲乙邉相减得较【一百四十四尺】与甲
丙邉相减得较【九十尺】与乙丙邉相减
得较【二十六尺】三较连乗【以两较相乗得数又以余一较】
【乗之也】得数【三十三万六千九百六十尺】又以半总较之得数【八千七百六十万零九千六百尺】平方开之得积
凡求得钝角形积九千三百六十尺
若系锐角同法
解曰此亦中垂线乗半周之理但所得为幂乗幂之数故开方见积详或问
三角容员第一术
以与句股求容员径【此术惟句股形有之凡句股相并为和以和与并为和和以和与相减为和较】
假如【甲乙丙】句股形甲丙句【二十步】乙甲股【二十一步】乙丙【二十九步】求容员径
术以句股和【四十一步】与相减得数为容员径
凡求得内容员径一十二步
解曰此以和较为容员径
如图从容员心作半径至邉又作
分角线至角成六小句股形则各
角旁之两线相等【如丙戊丙庚两线在丙角旁则
相等乙庚乙己在乙角旁甲戊甲己在甲角旁并两线相等】
其在正方角旁者【甲戊甲己】乃和较也【于乙丙内分丙庚以对丙戊又分乙庚以对乙己则其余为甲戊及甲己此即句股和与乙丙相较之数也】然即为内容员径何也各角旁两线并自相等而正方角旁之两线又皆与容员半径等【正方角旁两小形之角皆平分方角之半则句股自相等而甲戊等心戊甲己等心己】然则和较者正方角旁两线【甲戊甲己】之合即容员两半径【心戊心己】之合也故和较即容员径也
试以甲戊为半径作员则戊心亦
半径而其全径【癸戊甲】与容员径【丁心
己】等以甲己为半径作员则己心
亦半径而其全径【辛己甲】与容员径
【戊心壬】亦等
三角容员第二术
以周与积求容员径
内分二支
一句股形以和和为用【亦可用半】
一锐角钝角形以全周半周为用
假如【甲乙丙】句股形甲丙句【一十六步】甲乙股【三十步】乙丙【三十四步】求容员径
术以句股相乗得数【四百八十步】为实并句股数【共八十歩】为法除之得数倍之为容员径
凡求得容员径一十二步
解曰此以和和除句股倍积得容员半径也
如图从容员心作对角线分其形为三【一甲心丙一甲心乙一丙心乙】乃于甲丙句线两端各引长之截子甲如乙甲股截丙丑如丙乙则子丑线即和和也乃自员心作癸壬直线与丑子平行两端各聫之成长方又作辛丙线分为三长方形其濶并如员半径其长各如句如股如
而各为所分三小形之倍积【甲辛长方
如甲丙句之长而以心戊半径为濶即为甲心丙分形之倍甲癸长
方如乙甲股之长而以同心己之半径为濶即为乙心甲形之倍丙
壬长方如丙乙之长而以同心庚之半径为濶即为乙心丙形之
倍】合之即为本形倍积与句股相
乗同也【句股相乗为倍积见求积条】故以和
和除句股相乗积得容员半径
假如【甲乙丙】句股形甲丙句【八十八尺】甲乙股【一百零五尺】乙丙【一百三十七尺】求容员径
术以句股相乗而半之得积【四千六百二十尺】为实并句股数而半之【一百六十五尺】为法除之得数倍之为容员径凡求得内容员径五十六尺
解曰此以半周除句股形积而得容员半径也【半周即和和之半】
如图从容员心分本形为六小句股则同角之句股各
相等可以合之而各成小方形【同甲角之
两句股成丁己小方形同丙角之两句股可合之成丁辛长方形以心辛
丙形等丙戊心也同乙角之两句股可合之成己庚长方形以乙庚心形
等心戊乙也】乃移己庚长方为辛癸长方
则癸甲即同半周而癸己大长方即
为半周乗半径而与句股积等也【六小形之句皆原形之周变为长方则两两相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之长并半周壬癸及己甲辛丙之间并同心丁是半周乗半径也辛癸长方与己庚等积即与乙角旁两句股等积又丁辛长方与丙角旁两句股等积再加丁己形即与原设乙甲丙句股形等积矣】然则以句股相乗而半之者句股形积也故以半周除之即容员半径矣
或以和和除四倍积得容员全径并同前论
论曰句股形古法以和较为容员径与和和互相乗除乃至精之理测员海镜引伸其例以为测望之用其变甚多三角容员盖从此出故为第一支
假如【甲乙丙】锐角形乙丙邉【五十六尺】甲丙邉【七十五尺】甲乙邉【六十一尺】求容员径
术以乙丙邉为底求得甲丁中长线【六十尺○法见求积】以乗底得数【三千三百六十尺】倍之【六千七百二十尺】为实合计三邉【共一百九十二尺】为法除之得容员径
凡求得内容员径三十五尺
解曰此以全周除四倍积得容员
径也
如图自容员心作对角线分为
小三角形三各以员半径为高
各邉为底若于各邉作长方而
各以邉为长半径为濶必倍大
于各小三角形【如壬丙长方倍大于丙心乙形
丙丑长方倍大于丙心甲形甲丁长方倍大于甲心乙形】又
作加一倍之长方则四倍大于
各小三角【如未乙长方倍大于丙壬长方必四倍于】
【丙心乙三角则夘甲亦四倍于丙心甲而甲酉亦四倍于甲心乙】于是而通为一大长方【移夘甲长方为亥丙移甲酉为乙辰则成亥午大长方形矣】必四倍原形之幂而以三邉合数为长以容员之径为濶然则以中长线乗底而倍之者正为积之四倍也以三邉除之岂不即得员径乎
或以全周除倍积得容员半径
或以半周除积得容员半径并同
若钝角形亦同上法
论曰锐角钝角并以周为法此与句股形用和和同但必先求中长线故为第二支
三角容员第三术
以中垂线为员半径曰以量代算
假如【甲乙丙】三角形求容员径【既不用算故不言邉角之数】
如求积术均分甲乙二角之度各
作虚线交于己即己为容员之心
次以己为心尽一邉为界运规作
员此员界必切三邉
于是从己心向三邉各作十字垂线必俱在切员之防而等为员半径知半径知全径矣【半径各如己庚线】
论曰此容员心即三角形之心【故以容员半径乗半总即得积也】又案此术亦句股及锐钝两角通用
三角容员第四术
用三较连乗
假如【甲乙丙】钝角形乙丙邉【四百三十二尺】甲丙邉【五百尺】甲乙邉【一百四十八尺】求容员径
术以半总【五百四十尺】求得乙丙邉较
【一百○八尺】甲丙邉较【四十尺】乙甲邉较
【三百九十二尺】三较连乗得数【一百六十九万三千
四百四十尺】以半总除之得数【三千一百三十】
【六尺】四因之【一万二千五百四十四尺】为实平方开之得容员径凡求得内容员径一百一十二尺
锐角同法
解曰此所得者为容员径上之自乗方幂故开方得径
三角容方第一术
合底与高除倍积得容方径
内分二支
一句股形即以句股为底为高【即句股和也其容方依正方角】一三角形以一邉为底求其垂线为高【句股形以为底锐角形三邉皆可为底钝角形以大邉为底其容方并依为底之邉】
假如【甲乙丙】句股形甲丙股【三十六尺】乙丙句【一十八尺】求容方依正方角而以容方之一角切于
术以句股相乗得数【六百四十八尺】为实以句股和【五十四尺】为法除之得所求
求到内容方径一十二尺
如图作寅乙线与股平行作寅甲
线与句平行成寅丙长方为句股
形倍积
次引寅甲线横出截之于癸引乙
丙句横出截之于夘使引出两线
【甲癸及丙夘】皆如甲丙股仍作夘癸线聫之
乃从癸作斜线至乙割甲丙股于戊则戊丙为所求容方之邉又从戊作申未横线与上下两线平行割甲乙于己则己戊为所求容方之又一邉末从己作午辛立线割丙乙句于辛则己辛及辛丙又为两对邉而四邉相等为句股形内所容之方
解曰寅夘大长方以癸乙斜线分两句股则相等而寅戊与戊夘两长方等则寅丙长方与申夘长方亦等【寅丙内减寅戊而加相等之戊夘即成申夘】夫寅丙者句股倍积而申夘者句股和乗容方径也【乙丙句丙夘股合之为申夘形之长申乙及未夘并同方径为濶】故以句股和除倍积得容方径
又解曰寅丙长方分两句股而等则寅戊与午丙两长方等【寅己与己丙既等则于寅戊内减寅己而加相等之己丙即成午丙】而寅戊原等戊夘则午丙亦与戊夘等夫午丙形之丙甲与戊夘形之丙夘皆股也则两形等积又等邉矣其长等其濶亦等【甲丙与丙夘既等则辛丙与戊丙亦等】而对邉悉等即成正方形
论曰此以句为底股为高也若以股为底句为高所得亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中长除积盖生于此是为第一术之第一支
假如【甲乙丙】句股形乙丙二十八尺其积一百六十八尺求容方依线而以容方之两角切于句股术以除倍积【三百三十六尺】得对角线【一十二尺】与相并【四十尺】为法倍积为实法除实得所求
求到容方径八尺四寸
如图作寅丑线与乙丙平行又作
寅丙及丑乙与甲丁对角线平行成
丑丙长方为句股形倍积
次引乙丙至夘引寅丑线至癸使
癸丑及夘乙并同甲丁仍作癸夘线
聫之
次从癸向丙作斜线割丑乙线于子遂从子作申未线与乙丙平行割甲乙股于庚割甲丙句于己则庚己为容方之一邉末从庚作辰壬线从己作午辛线并与甲丁平行而割乙丙于壬于辛则辛壬及庚壬及己辛三线并与庚己等而成正方
解曰寅子长方与子夘长方等积【癸丙线分寅夘形为两句股而等则两句股内所作之方必等】午壬长方又与寅子等【寅丁形以甲丙线分为两句股则寅己与己丁等又丑丁形以甲乙线分为两句股则丑庚与丁庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚则午丁等寅戊而辰丁等丑戊合之而午壬等寅子】则午壬亦与子夘等而午壬之邉【午辛及辰壬】子夘之邉【夘乙及未子】并等甲丁对角线则两形【午壬子夘】等积又等邉矣其长等其濶亦等【辰壬既等夘乙则辛壬亦等子乙而庚壬及己辛亦不得不等】故四线必俱等也
又解曰寅子既与子夘等则寅乙必与申夘等【于寅乙内移寅子居子夘之位即成申夘】而寅乙者倍积也申夘者底偕中长乗容方径也【乙丙也夘乙即甲丁对角中长线也合之为丙夘之长其两端之濶申丙及未夘并同方径】故合与对角线为法以除倍积得容方径
论曰此以一邉为底中长线为高也既以一邉为底其容方即依此一邉而以两方角切余二邉也句股形故以为底若锐角形则任以一邉为底但依大邉则容方转小亦如句股形依方角之容方必大于依线之容方也钝角形但可以大邉为底其求之则皆一法也是为第一术之第二支
三角容方第二术
以图算
内分二支
一以法截中长线得容方径【句股形即截其邉】
一以法截两斜邉得容方边【句股形即截其】
假如锐角形求容方任以一邉为底
如图以乙丙最小邉为底先从对角甲作中长垂线至丁又从乙角作丑乙立线与甲丁平行而等乃从甲角
作横线过丑至癸截丑癸亦如甲
丁乃从癸向丙角作斜线割丑乙
立线于子末以子乙之度截中长
线【甲丁垂线】于戊即戊丁为容方之径
【从戊作己庚又从己作线至辛从庚作线至壬成庚己辛壬即所求
容方】
解曰甲戊与戊丁若甲丁与乙丙【子丑癸句股与子乙丙形有子交角必相似则丑子句与子乙句若丑癸股与乙丙股而丑子原与甲戊等子乙与戊丁等丑癸与甲丁等则甲戊与戊丁亦若甲丁与乙丙】又甲戊与己庚若甲丁与乙丙【甲己庚三角为甲丙乙之截形必相似则甲戊与己庚若甲丁与乙丙】
合两比例观之则甲戊与戊丁若甲戊与己庚而己庚即戊丁
以上并锐角形
凡锐角三邉并可
为底而皆一法
假如句股形求容方以股为底则于句端甲作横线与股平行而截之于癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作斜线割甲乙句于戊则戊乙即容方之一邉末作己戊与股平行作己辛与句平行即成容方【或以句为底则从股端丙作丙癸横线与股等亦作癸甲斜线割丙乙股于戊其所得容方亦同图如左】
论曰锐角钝角皆截中长线为容方径句股形以为底亦然惟句股形以句为底即截其股为容方径【用股为底即截句】不另求中长而与截中长之法并同是为第二术之第一支
假如乙丙丁三角求容方 依乙丙邉为底
如图以乙丙底作正方形【即甲乙丙戊方】又作丁辛对角线次作甲辛及戊
辛两斜线割原形之两斜线于己
于庚乃作己庚线为所求容方之
一邉【末作己壬及庚癸两线成小方形于形内即所求】
解曰甲戊与己庚若子辛与午辛也【己庚辛三角形为甲戊辛之切形则其横与直之比例相等】而甲戊与子辛同为方径而等则己庚与午辛亦同为小方径而等
若底上方形大则其径亦大于对
角线则如第二图引丁辛线至子
其理亦同
有此二法则三邉并可为底
钝角形用大邉为底句股形用为底并同第二图
若句股形以句为底求容方如图即用乙丙句作【丙辛庚乙】方形从方角庚向丙作斜线割丁乙于壬从壬作癸
壬及甲壬二线即所容方【或用股上方则
引出句邉如股】
解曰庚丙线分丙角为两平分则
其横直线自相等【壬癸与癸丙相等壬甲与甲丙】
【相等则四线皆等】而成正方嘉禾陈防庵用分角法求容方与此同理
论曰此皆以底上方形为法而得所求小方也故不论顶之偏正其所得容方并同惟句股容方依正方角则中长线与原邉合而为一法虽小异其用不殊是为第二术之第二支
三角形外切平员第一术
句股形以为径
假如甲乙丙句股形乙丙长四尺五寸二分求外切员
术以折半取心得半径二尺二寸六分其长四尺五寸二分即外切平员全径以平员周率三五五乗之径率一一三除之得员周一十四尺二寸
如图乙丙员径即句股形之折半于丁即员心也以
乙丁半径为度从丁心运规作员
必过甲而句股形之角皆切员周
矣
论曰凡平员径上从两端各作直线至员周相防则成正方角【如乙丙径之两端于丙于乙各作直线防于甲则甲角必为正角】而为句股形【假令两线相遇于庚即成庚乙丙句股形于辛亦然以其皆正角故也】故不问句股长短而并以其为外切员之径
又论曰径一百一十三而周三百五十五此郑端清世子所述祖冲之术也【见律吕精义】按古率周三径一李淳风等释古九章以为术从简易举大纲而言之诚为通论诸家所传径五十周一百五十七则魏刘徽所改谓之徽率径七周二十二则祖冲之所定谓之宻率由今以观冲之自有两率【一为七与二十二一为一一三与三五五】盖以其捷者为恒用之须而存其精者明测算之理亦可以观古人之用心矣
三角形外切平员第二术
分邉取员心内分二支并以图算
一句股形但分一邉即得员心【其心在】
一锐角形钝角形并分二邉可得员心【锐角形员心在形内钝角形员心在形外】
假如甲乙丙句股形求外切员
术任于句或股平分之作十字正线此线过线之防即为员心
如图甲乙丙形以甲乙股平分于
戊从戊作庚丁正十字线至乙丙
即分为两平分而丁即员心
从丁运规作外切员则甲乙丙三
防并切员周而乙丁丙丁庚丁皆半径
论曰若平分甲丙句于辛从辛作十字正线亦必至丁故但任分其一邉即可得心
又论曰若依第一术先得丁心从丁心作直线与句平行即此线能分股线为两平分【如丁庚线与甲丙句平行过甲乙股即平分股线于戊】若与股平行而分句线亦然【如丁辛线与甲乙股平行即分句线于辛】右句股形外切平员之心在线中央
假如锐角形求形外切员
术任以两邉各平分之作十字线引长之必相遇于一防即为员心
如图甲乙丙锐角形任以甲丙邉
平分之于戊作庚戊丁十字线又
任以乙丙邉平分之于壬作癸壬
丁十字线两直线稍引长之相遇
于丁以丁为心作员则甲乙丙三角并切员周而丁癸丁庚皆半径
论曰试于余一邉再平分之作十字正线亦必防于此防故此防必员心【如甲乙邉再平分之于辛作子辛丁十字线亦必相遇于丁防】
右锐角形外切平员之心在形之内
假如钝角形求形外切员 术同锐角
如图甲乙丙形甲为钝角任分甲
丙于戊分甲乙于辛各作十字线
防于丁心从丁作员则丁庚丁癸
皆半径而三角并切员周若用大
邉平分于壬作壬丁子线亦同
论曰试于丁心作线至丙至乙至甲必皆成员半径与丁庚丁癸同故丁为员心也
右钝角形外切平员之心在形之外
总论曰此与容员之法不同何也内容员之心即三角形之心故其半径皆与各邉为垂线而不能平分其邉然从心作线至角即能分各角为两平分此分角求心之法所由以立也外切员之心非三角形之心其心或在形内或在形外距邉不等而能以十字线剖各邉为两平分此分邉求心之法所由以立盖即三防串员之法也
附三防串员
有甲乙丙三防欲使之并在员周
术任以甲为心作虚员分用元度
以丙为心亦作虚员分两员分相
交于戊于辛作戊辛直线又任以
乙为心以丙为心各作同度之虚员分相交于庚于壬作庚壬直线两直线相遇于丁以丁为心作员则三防并在员周
员周有三防不知其心亦用此法
厯算全书卷五十二