我妻子的和平叫声一消失，我就向那位陌生人走去。一来，我想凑近一些把他看个仔细；二来，我也想请他坐下来。可他的样子实在是把我惊呆了，结果我完全忘了说话，只是一动不动地看着他。他的形状完全光滑，一点也看不到角的痕迹，但他的大小和亮度每一秒钟都在逐渐发生变化。
就我个人的经验而言，平面国里没有哪个形状能做到这一点。我的脑海中闪过一个念头：莫非站在面前的是一位强盗或者杀人凶手，一位形状不规则的等腰三角形怪物？也许此人模仿圆形的声音，设法混进了我的家里，现在他正准备用尖锐的角来攻击我呢。
我家的客厅里没有雾（当时的天气恰好十分干燥），加上我又与这位访客靠得太近，因此我很难通过视觉准确判断他的形状。恐惧攫住了我的心灵，我不顾礼节地冲了上去：“先生，您必须允许我——”我一边这么说着，一边开始触摸这位陌生人。我的妻子说得没错。这位访客身上完全没有角的痕迹。他周身绝对光滑，丝毫没有凹凸不平的地方。我活到这把年纪，还从来没有见过如此完美的圆形。这位陌生人一动不动地站在那里任我触摸。我绕着他走了一周，从他的眼睛开始，直到我再次触到他的眼睛为止。他自始至终都是一个圆，一个完美无缺的圆，这一点绝对不容置疑。接下来，我与这位访客进行了一番对话。作为一个正方形绅士，通常我绝对不会粗鲁地触摸一个圆形。因此摸完这位访客以后，我不禁又羞又愧，一个劲地向他道歉。我会省去那些过度重复的道歉之语，其他对话我则根据记忆尽量按原貌向读者们复述。
先开口说话的是那位陌生人。因为我触摸了他好长时间，他实在是被我弄得不耐烦了。
陌生人：“你摸了我这么久，也差不多该够了吧？你是不是还没有向我介绍自己？”
我：“最尊敬的先生，请原谅我的无礼。我这样冒犯您不是因为我不懂礼节，而是因为您的来访有些突然，使我略微有些惊讶和紧张。我恳请您别把我的无礼之举告诉其他人，尤其是不要告诉我的妻子。但在与您对话之前，我想斗胆提出一个小小的问题，不知您能不能屈尊满足一下我的好奇心？请问，阁下是从哪里来的呢？”
陌生人：“从空间来的，从空间来的，先生，我还能是从哪儿来的呢？”
我：“阁下，请您原谅我的无知。但您不是已经在空间中了吗？此刻，您和在下不就在空间中吗？”
陌生人：“呸！你对空间知道些什么？你能定义空间吗？”
我：“空间，我的阁下，就是高度和宽度的无限延长。”
陌生人：“果然！你瞧，你连什么是空间都不知道。你认为空间只是二维的，而我来这里，就是为了向你宣布空间的第三个维度——除了高度和宽度以外，空间还有第三个维度，那就是长度。”
我：“阁下可真爱说笑。其实我们也说‘长度’和‘高度’，或者‘宽度’和‘厚度’，就是说我们可以用四个名词来描述两个维度。”
陌生人：“我指的不是三个名词，而是真的有三个维度。”
我：“阁下能不能向我解释或展示一下第三个维度在哪个方向上呢，因为我并不知道有这么一个方向？”
陌生人：“我就是从第三个方向上来的。第三个方向就是朝上和朝下的那个方向。”
我：“阁下指的似乎是朝南和朝北的方向吧。”
陌生人：“我不是说朝南和朝北的方向。我说的是一个你看不见的方向，因为你身体的侧面没有眼睛。”
我：“抱歉，阁下，您搞错了。在我的正面和背面的交界处有一个完美的发光体，那就是我的眼睛，阁下只要过来检查一下就知道了。”
陌生人：“是的，我知道你的边上有一个眼睛。但是，要想看到空间，边上的眼睛是不管用的，你得有一个长在侧面的眼睛——我们空间国把那叫作你的侧面，我估计你会把那叫作自己的内部吧。”
我：“一个长在我内部的眼睛！一个长在我肚子里的眼睛！阁下，您可真幽默。”
陌生人：“我可不是与你开玩笑。我对你说过，我来自空间。既然你不懂什么叫空间，那就这么说吧，我来自三维世界。我最近才从三维世界中注意到你们的这个平面，当然啰，你们把这个平面叫作空间。从我的角度来看，所有你们称之为实心物体的东西（我知道你们说的实心物体是指“四面闭合的物体”）其实都是敞开的。你们的房屋、你们的教堂、你们的橱柜和保险箱，甚至你们的身体内部和你们的肠胃，对我而言都是一览无余的。”
我：“阁下，这种惊人之语说起来倒也不难。”
陌生人：“你的意思是，说起来不难，但证明起来就不容易了？但是，我正打算向你证明呢。
“我来访时看到了你的四个儿子分别在自己的房间中，他们都是五边形；还有你的两个孙子，他们是六边形；我看见最小的那个六边形和你在这儿待了一会儿，然后才回自己的房间里去。然后你和你的妻子就单独留在这里。我还看到你家的仆人们在厨房里吃晚餐，他们共有三人，都是等腰三角形；还有一个小听差在洗碗间里。然后我就走进这个房间了，你觉得我是怎么进来的呢？”
我：“我估计，您是从屋顶进来的吧。”
陌生人：“不是的。你自己也清楚，你家的屋顶最近刚修得严丝合缝，连一个女人也进不来。我对你说过，我是从空间里来的。我已经向你描述过你的孩子和家庭成员了，难道你还不相信我的说法吗？”
我：“阁下想必明白，任何一个像您这么消息灵通的人只要走到我家附近，都很容易收集到关于在下的这些信息啊。”
陌生人（自言自语地说）：“我该怎么办呀？等等，我又想到了一个法子。让我来问你，当你看到一条线段——比如说，你的妻子——时，你觉得她有几个维度呢？”
我：“阁下是把我当成粗人了吧。只有不懂数学的粗人才会真的以为女人是一条只有一个维度的线段。不，不，阁下，我们正方形是有些见识的。和您一样，我们知道女人虽然通常被称作线段，但从科学的角度来说其实是非常窄的平行四边形。女人跟其他人一样有两个维度，也就是长度和宽度（或者说厚度）。”
陌生人：“但是，既然一条线段能被看见，就说明她还有另外一个维度。”
我：“阁下，刚才我已经承认了，女人确实既有长度也有宽度。长度我们能看得见；宽度我们虽然看不见，但能推测出来。女人的宽度虽然很小，却也是可以被测量到的。”
陌生人：“你没明白我的意思。我的意思是说，当你看到一个女人时，你不仅应该看到她的长度，推测到她的宽度，还应该看到另一个维度——也就是我们说的‘高度’。虽然在你们国家中，所有东西的高度都是无限小的，但假如一条线段只有长度而没有‘高度’，她就不能在空间中存在，也不可能被看见了。我想你一定明白这个道理吧？”
我：“阁下，我必须承认，我一点儿也不知道您在说什么。在我们平面国中，当我们看见一条线段，我们只能看见她的长度和亮度。如果她的亮度消失，我们就看不见这条线段了，就像您说的那样，她就无法在空间中存在了。我是不是应该这样理解阁下的意思呢：您把我们说的亮度定义为一种维度，您把我们称作‘亮度’的东西称作‘高度’？”
陌生人：“不是的，我不是那个意思。我说的‘高度’是一个真实的维度，就像你们说的‘长度’一样。只是对你们来说，因为所有东西的高度都非常小，你们不容易看到这个维度罢了。”
我：“阁下，您说的内容很容易验证。您说我有第三个维度，您把这个维度叫作‘高度’。维度意味着方向，并且应该是可以测量的。只要您能量出我的‘高度’，或者展示给我看我的‘高度’究竟在哪个方向上延展，我就立即相信您说的话。否则，请原谅我无法相信阁下的说辞。”
陌生人（自言自语地说）：“这两件事我都做不到啊。我怎么才能说服他呢？对了，我先把事实说清楚，再做一些直观的演示，那样应该就行了。——先生，现在请听我说。
“你生活在一个平面上。我把这个巨大的平面叫作一个液面，而你们把它叫作平面国。你和你的同胞们生活在这个平面表面，或者说生活在这个平面中，你们既不能浮到这个液面以上，也不能沉到这个液面以下。
“我不是一个平面图形，而是一个立体图形。你把我叫作一个圆，但事实上我不是一个圆，我是无数个大小不同的圆组成的图形。最小的圆只是一个点，最大的圆直径有13英寸，这些圆全部叠加在一起，就成了我。你所在的平面会在我的身体上切出一个截面，就像现在这样，这个截面是一个圆。在我自己的国家中，我真正的名字是球。但你把我叫作圆是完全正确的，因为一个球要想出现在平面国居民的眼前，他的形象就只能是一个圆。
“你不记得了吗——昨天晚上，我看见你头脑中关于直线国的幻象了，因为平面国的一切我都能看得清清楚楚——我说，你不记得了吗？当你走进直线国时，虽然你是个方形，你却只能在国王面前呈现出一条线段的样子。因为直线国的维度太少，无法将你的形状完整地呈现出来。国王只能看到你的一部分，或者说只能看到你的截线。现在的情况和你梦里的情况完全一样，你们平面国只有两个维度，而我是一个三维物体，所以我无法在平面国中展现我的全貌。你只能看到我的一部分，或者说只能看到我的截面，这个截面就是你所说的圆。
“我看到你的目光变暗了，你一定是还不相信我说的话吧。你可看好了，我现在就向你证明我所言非虚。确实，你每次只能看到一个圆，也就是我的一个截面，因为你没法把目光移到平面国的平面以外。但是，当我在空间中逐渐升高时，你至少能看出我的截面在越变越小吧。现在，你看，我要升高了；你的眼睛应该能看到我所呈现的圆形越变越小，直到收缩为一个点，然后完全消失。”
我没法看到他的“上升”过程，但他确实越变越小，最终消失在我的视野里。我眨了一两次眼睛，以确保自己不是在做梦。但是，这真的不是梦。从虚空的深处传来一个空洞的声音，那声音仿佛是从我的心脏附近发出的：“我有没有完全消失？现在你相信了吗？好吧，现在我要逐渐回到平面国中来了，你将看到我的截面变得越来越大。”
任何一位空间国的读者都能轻松地理解，这位神秘的访客不仅没有说谎，而且说的都是浅显易懂的事实。但是，对我来说，尽管精通平面国的数学，我还是很难理解他的话。就连空间国的小孩也能看懂下面的这几幅粗糙的示意图吧。这三幅图描述了球在上升过程中所处的三个位置。在我看来，或者说在任何一个平面国居民看来，这个球的样子始终是一个圆：一开始圆的面积最大，然后逐渐变小，最后变得非常小，几乎成了一个点。但是，当时的我只能看到眼前的事实，却根本搞不清现象背后的原理。我只能理解到，这个圆将自己越变越小，直至完全消失，然后他又再次出现在我面前，并且快速地越变越大。
变回原始大小以后，这个圆深深地叹了一口气，因为他从我的沉默中猜到，我根本没有理解他的意思。事实上，当时我已经开始相信，此人根本不是一个圆——他一定是一个特别机灵、会变戏法的骗徒，否则那些古老的迷信传说岂不就是真的了？毕竟，世界上确实有魔术师和巫师之类的人。
陌生人良久不语，然后他喃喃地对自己说：“现在只剩最后一个法子了，如果这个法子再不奏效，我就只能采取行动了。我必须试试类比的办法。”接着又是一阵更久的沉默，然后陌生人再次开口说起话来。
球：“告诉我，数学家先生。如果一个点向北面移动，并留下一条发光的轨迹，你管这条轨迹叫作什么呢？”
我：“一条线段。”
球：“那么一条线段有几个端点呢？”
我：“两个。”
球：“现在，假设这条南北向的线段沿东西方向平行移动，于是线段上的每个点都会在东西方向上留下一条直线形的轨迹。你怎么称呼由此形成的图形呢？我们假设线段移动的距离与线段的原始长度相等——你把这个图形叫作什么？”
我：“一个正方形。”
球：“那么一个正方形有几条边？有几个角？”
我：“四条边和四个角。”
球：“现在，发挥一下你的想象力，想象平面国中的一个正方形平行向上移动。”
我：“什么？您是说向北移动吗？”
球：“不，不是向北移动。向上移动，移到平面国以外去。
“如果这个正方形向北移动，那么正方形中靠南边的点就会经过靠北边的点原来占据的地方。我不是这个意思。
“既然你就是一个正方形，我们就以你为例来说明吧。我的意思是说，你身体上的每一个点——按照你的说法，就是你身体内部的每一个点——都会在空间中向上移动，但是任何一个点都不会经过其他点曾经占据过的地方。每一个点留下的轨迹都是一条仅属于它自己的线段。我这是在用类比的方式向你说明，你一定能听明白吧。”
此时，我已经产生了一种强烈的冲动。我只想没头没脑地冲向这位访客，把他扔回空间里去，或者说扔到平面国以外的随便什么地方去，反正只要能让他从我眼前消失就行。但我强忍住不耐烦的心情，回答道：
“既然您说‘向上’移动正方形能产生一个新的图形，那么请问，这个图形究竟是什么性质的图形呢？我假定您总可以用平面国的语言来描述这个图形吧。”
球：“哦，当然可以。这个形状非常简单，只需通过严格的类比就能推出——只是，顺便说一声，你不能把这个新的形状叫作‘图形’，因为他是一个立体形。但是我可以向你描述这个新的形状。准确地说，我描述不了，但类比的方法可以让你明白这个新的形状是什么样的。
“首先，假设我们有一个点。既然是一个点，那么他当然只有1个顶点。
“通过移动一个点，可以得到一条线段。一条线段有2个顶点。
“通过移动一条线段，可以得到一个正方形。一个正方形有4个顶点。
“下面的问题，你自己就可以回答了：1，2，4，这显然是一个几何级数。那么这个级数中的下一个数字是什么呢？”
我：“8。”
球：“完全正确。所以说，通过移动一个正方形，能够产生一个新的形状。现在你还不知道这个形状的名字，但我们空间国的人把他叫作‘立方体’。一个立方体有8个顶点。现在你相信我所说的了吗？”
我：“既然您说这个新的形状有‘顶点’，那想必就是我们说的‘角’了。那么这个新玩意儿也有侧边吗？”
球：“当然有侧边，这一点通过类比就可以推演出来呀。但是，这个新形状的侧边其实不是你们所说的‘侧边’，而是我们所说的‘侧面’。一个‘侧面’就相当于平面国中的一个实心图形。”
我：“按照您的说法，将我的内部平行向上移动，就能得到一个新的形状，你们把这个形状叫作立方体。那么，这个新的形状究竟有多少个实心图形，或者说有多少个侧面呢？”
球：“你怎么还问我？你不是数学家吗！恕我冒犯，我这么说吧：任何一个形状都可看作是由一些‘侧元素’围成的，每个‘侧元素’的维度总是比这个形状的维度小1。因为一个点是零维的，所以点没有‘侧元素’；以此类推，线段有2个‘侧点’（我们可以把线段的两个端点称作是他的‘侧点’）；正方形有4条侧边；0，2，4，你把这个级数叫作什么？
我：“算术级数。”
球：“那么这个级数里的下一个数字是多少？”
我：“6。”
球：“完全正确。你瞧，你自己就能回答这个问题吧。通过移动正方形产生的这个立方体是由6个‘侧面’围成的，也就是说由6个你的内部围成的。现在你都明白了吧，对不对？”
“怪物，”我尖叫道，“不管你是骗子、巫师、噩梦，还是魔鬼，我都不能再忍受你的恶作剧了。现在让我跟你拼个你死我活吧。”我一边这么说，一边冲向眼前的这个怪人。