钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷二
几何原本一
几何原本二
几何原本三
几何原本四
几何原本五
几何原本一
第一
凡论数度必始于一点自点引之而为线自线广之而为面自而积之而为体是名三大纲是以有长而无阔者谓之线有长与阔而无厚者谓之面长与阔厚俱全者谓之体惟点无长阔厚薄其间不能容分不可以数度然线之两端即点而线面体皆由此生点虽不入于数实为众数之本
第二
线有直曲两种其二线之一端相合一端渐离必成一角二线若俱直者谓之直线角一线直一线曲者谓之不等线角二线俱曲者谓之曲线角
第三
凡角之大小皆在于角空之寛狭出角之二线即如规之两股渐渐张去自然开寛是以命角不论线之长短止看角之大小如丙角两线虽长其开股之空狭遂为小角若丁角两线虽短其开股之空寛遂成大角矣
第四
凡命角必用三字为记如甲乙丙三角形指甲角则云乙甲丙角指乙角则云甲乙丙角指丙角则云甲丙乙角是也亦有单举一字者则其所举之一字即是所指之角也【如单言甲角乙角丙角之类】
第五
凡有一线以此线之一端为枢复以此线之一端为界旋转一周即成一圜如甲乙一线以甲端为枢乙端为界旋转复至乙处即成乙丙丁戊之圜此圜线谓之圜界圜界内所积之面度谓之圜面
第六
凡圜界不拘长短其分界之所即为弧线如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱为弧线因其形似弧故名之
第七
凡圜自一界过圜心至相对之界画一直线将一圜为两平分则为圜径如乙丙丁戊之圜以甲为心自圜界乙处过甲心至丁或自圜界丙处过甲心至戊画乙甲丁及丙甲戊线皆为圜径也第八
凡自圜心至圜界作几何线皆谓之辐线其度俱相等因平分全径之半故又谓之半径线
第九
凡圜界皆以所对之角而命其弧而角又以所对之弧而命其度葢角度俱在圜界而圜界为角度之规也如乙角为心甲丙为界则乙角相对之界即甲丙弧而甲丙弧即乙角之度也
第十
凡角相对之弧得圜界四分之一者此角必直故谓之直角如甲丁丙戊之圜甲乙丙之径自中心乙至圜界丁画一半径将半圜界又分为两平分则成甲乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界四分之一则此二角为直角也若自丁界过乙心至圜界戊处画一直线又成丁乙戊之径复得甲乙戊丙乙戊两相等之直角矣故凡画一直线交于别线其所成之角若直此线谓之垂线葢因平分圜界为四其四弧相对之四角必相等而皆为直角则其二径相交必互为垂线可知矣
第十一
凡角相对之弧不足圜界四分之一者谓之鋭角若过四分之一者谓之钝角故自圜径中心复画一辐线而不平分半圜之界则成一鋭角一钝角如甲己丙庚之圜于甲乙丙之径自乙心至甲己丙之半圜界不两平分于丁处画一辐线遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一钝角再将丁乙线引于相对圜界戊处画一丁乙戊径线复成甲乙戊一鋭角丙乙戊一钝角合前二角总为四角矣故凡二角两尖相对谓之对角二角两尖相并谓之并角如甲乙戊丙乙丁二角之两尖相对即谓之对角丙乙戊甲乙丁二角之两尖亦相对故亦谓之对角也如丙乙戊甲乙戊之二角两尖相并而同出一线则谓之并角矣
第十二
凡一圜内设两角此一角相对之弧与彼一角相对之弧其限若等则此二角之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙丁角相对之丙丁弧甲乙戊角相对之甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊角其度亦相等也
第十三
凡有一圜其径线之中心作相并之二角此二角之度必与二直角等如甲丙丁之圜自丁乙丙径线之中心作甲乙丙甲乙丁之相并二角此二角之度必与二直角相等也
第十四
凡一直线交于他直线其所成之二角或为二直角或与二直角等如丙乙丁直线上画一甲乙直线至于乙处即成甲乙丙甲乙丁之二直角也又或于丙乙丁直线上画一戊乙直线亦至乙处复成丙乙戊一鋭角丁乙戊一钝角此二角必与二直角相等也再申明之以乙为心丙为界旋转画一圜则丙乙丁线为圜之径线必将圜界平分为两平分矣此丙乙丁径线之中心所画之甲乙线又将半圜界平分为两平分则此二角各相对之弧皆为一圜界四分之一而各为一直角可知矣又如戊乙线将半圜界虽不两平分而成一鋭角一钝角然所成二角仍在丙乙丁径线所限半圜界度为全圜界四分之二故与二直角相等也
第十五
凡自一心画为众线其所成之角虽多止与四直角相等如自甲心至乙至丙至丁至戊至已画众辐线虽成众角其各角所函之度必与四直角等葢因甲防为心众辐线皆立一圜之界故众角所对之弧总不越一圜之全度前言一圜之界仅有四直角之弧线兹角虽多亦未尝出一圜之界故曰众角虽多止与四直角等也
第十六
凡两直线相交所成二对角之度必俱相等如甲乙丙丁二线交于戊处成甲戊丁丙戊乙之二对角斯二角之度必俱相等今以二线相交之处为心旋转画一全圜则甲乙丙丁二线俱为此圜之径线矣惟其俱为径线故将一圜为两平分而甲戊乙之径线为甲丙乙之半圜界丙戊丁之径线为丙甲丁之半圜界因两半圜界俱系全圜径线故相交成对角其度必等兹将甲丙乙之半圜界减去甲丙弧即余丙乙弧丙甲丁之半圜界亦减去丙甲弧又余甲丁弧凡两相等之弧减去一段相等之弧所余之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半圜之界内减去甲丙丙甲同体之弧则所余丙乙甲丁相对之弧亦必相等矣此二弧之度既俱相等则所对之甲戊丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣其余甲戊丙丁戊乙亦与甲戊丁丙戊乙同理故其所对之角度亦必相等也第十七
凡大小圜界俱定为三百六十度而一度定为六十分一分定为六十秒一秒定为六十防一防定为六十纤夫圜界定为三百六十度者取其数无竒零便于布算即徴之经传亦皆符合也【易曰凡三百有六十当期之日邵子曰三百六十中分之得一百八十为二至二分相去之数】度下皆以六十起数者以三百六十乃六六所成以六十度之可得整数也凡有度之圜界可度角分之大小如甲乙丙角欲求其度则以有度之圜心置于乙角察乙丙乙甲之相离可以容圜界之几度如容九十度即是甲乙丙直角【何以知为直角因九十度为全圜三百六十度之四分之一前言凡角得圜界四分之一者为直角故知其为直角也】若过九十度者为丁乙丙钝角不足九十度者为丙乙戊鋭角观此三角之度其余可类推矣第十八
凡二线之间寛狭相离之分俱等则此二线谓之平行线也
第十九
欲求平行线之间相距几何则自上一线不拘何处至下一线画二纵线则此二线为相距度分也如甲乙丙丁二线平行自上线甲乙二处至下线丙丁二处画二纵线则此二线为相等线其度必等然则甲乙丙丁相对之间其相距之远近不已见耶
第二十
平行二线虽引至于无穷其端必不能相合葢二线相离之度各处逺近俱为相等故也如甲乙丙丁平行二线随意引于戊己又自戊至己画一纵线其度亦等于甲丙乙丁二纵线故曰平行线虽引至于无穷其端终不能相合也第二十一
凡平行二线或纵或斜画一直线交加于上则平行线上所成之二角必俱相等如甲乙丙丁二平行线上画一庚辛斜线其甲乙线之庚戊乙角丙丁线之戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大于戊己丁角则戊乙线必离于庚戊线而向丙丁线甲乙丙丁二线不平行矣若甲乙丙丁二线毫无偏斜又得庚辛直线相交成二角则此二角必然相等矣第二十二
凡平行二线上画一斜线则成八角此八角度有相等者必是对角或内外角如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其两尖相对谓之对角庚戊乙戊己丁二角其度亦相等因其在平行二线之内外故谓之内外角甲戊己戊己丁二角其度亦相等因其俱在平行二线之内而立斜线之左右故又谓之相对错角又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因其立一线之界谓之并角庚戊甲丁己辛二角其度亦相等因其俱在平行二线之外故谓之外角乙戊己丙己戊二角其度亦相等因其又俱在平行二线之内故又谓之内角总之二平行线上交以斜线所成八角必两两相等也第二十三
平行线上一边之二内角或一边之二外角与二直角相等如丁己戊角与丙己戊角为并角则此二并角与二直角等前第十四节云凡一直线交于他直线所成二角必与二直角相等则此二角同出于一直线为并角故亦与二直角等矣又如甲戊庚庚戊乙虽为外角而亦为并角此二并角亦与二直角等也他如甲戊己乙戊己二并角丙己辛丁己辛二并角亦与二直角等也第二十四
有平行二线复与一线相平行者此三线互相为平行线也如甲乙丙丁二线之间有戊己线与之平行则甲乙丙丁戊己三线互相为平行线也照前第二十一节在此三线上画一庚辛壬斜线则所成之庚辛二角必相等而辛壬二角亦必等也三线之与斜线相交所成之角既各相等则三线互为平行可知矣
几何原本二
第一
凡各种界所成俱谓之形其直界所成者为直界形曲界所成者为曲界形凡直界所成各形未有少于三角形界者故三角形为诸形之首
第二
凡三角形一角直者为直角三角形一角钝者为钝角三角形三角俱鋭者为鋭角三角形
第三
凡三角形其三边线度等者为等边三角形两边线度等者为两等边三角形三边线度俱不等者为不等边三角形第四
凡三角形之三角度相并必与二直角度等如甲乙丙三角形自乙角与甲丙线平行画一乙丁线则成丙乙丁角与丙角为二尖交错之二角其度必相等【见首卷第二十二节】而甲角与甲乙丁角为甲丙乙丁二平行线内一边之二内角与二直角等【见首卷第二十三节】今于甲乙丁直角内减丙乙丁角所余为甲乙丙角丙乙丁角既与丙角度等则甲乙丙丙乙丁合成之一直角与甲角之一直角非二直角之度耶
第五
凡三角形自一界线引长成一外角此外角度与三角形内所有之二鋭角等如甲乙丙三角形自甲乙线引长至丁所成之丙乙丁角即为外角其度与三角形内甲丙二鋭角之度等葢甲乙丙三角形之三角度并之原与二直角等【如本卷第四节云】而甲丁直线与丙乙直线相交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦与二直角等【如首卷第十四节云】则此内外二角所并之度与三 形内三角所并之度亦必相等今于内外角所并之二直角内减去甲乙丙角则所余之丙乙丁一外角度与甲角丙角所并之度为相等可知矣
第六
凡两三角形其两边线之度相等二线所合之角又等则二形底线之度必等二形之式亦等其底线之二角亦皆等也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊二线甲乙丁己二线又互相等则乙丙戊己之二底线必等其二形之三角式亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦相等若将二形之甲角丁角相合则甲丙丁戊二线甲乙丁己二线各度必等因其俱等故丙乙线之二角与戊己线之二角俱恰相符而无偏侧矣若谓乙丙底与戊己底不符必是戊己线上斜于庚或下斜于辛不成直线形矣第七
两三角形其三边线之度若等则三角之度亦必相等而此形内所函之分亦俱等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线甲丙线丁己线乙丙线戊己线两两相等则甲角与丁角乙角与戊角丙角与己角必各相等而甲乙丙三界所函之分丁戊己三界所函之分亦俱相等葢因此两三角形之各线俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也第八
凡两三角形有一线相等其相等线左右所生之二角又相等则其他线他角俱相等而二形之分亦相等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线若等而此二线左边所成之甲角丁角右边所成之乙角戊角亦相等则甲丙线度与丁己线度等丙乙线度与己戊线度等而丙角与己角亦等甲丙乙形所函之分与丁己戊形所函之分自然相等矣若将甲乙线与丁戊线相较再将甲角与丁角乙角与戊角相较此二线二角之度必俱相符此二线二角既俱相符其他线他角亦必各相符矣若谓一线不符则相等之角亦必不符必其一线斜出或一线偏入以致各角俱不相等角既不相等而形式亦必不同矣
第九
三角形之两边线若等其底线之两角度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙乙两边线之度等则其甲丙底线之甲角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平分于丁处自丁至乙角画一直线遂成甲乙丁丙乙丁两三角形此两形之甲乙线与丙乙线既相等而甲丙底线平分之甲丁丙丁线度亦等则乙丁为两三角形所共用之各一边线然则此两三角形之各三边线度必俱相等可知矣三角形之三线既各相等则其各角之度亦必相等因其各角之度相等故甲角丙角之度亦必等也
第十
有两边相等之三角形自上角至底线画一直线将底线为两平分则此线为上角之平分线又为底线之垂线也如甲乙丙乙两边线度相等之甲乙丙三角形自上角乙至底线丁画一直线将甲丙底线为两平分则为乙角之平分线又为甲丙底线之垂线也葢乙丁线将乙甲丙三角形平分为甲乙丁丙乙丁两三角形此两三角形之各界线度必各相等而各角之度又俱相等则甲乙丁角丙乙丁角将乙角为两平分矣而甲丁乙角丙丁乙角又为相等之两直角因其为两直角故乙丁线为平分甲丙底线之垂线也
第十一
凡三角形内长界所对之角必大短界所对之角必小如甲乙丙三角形之乙丙界长于甲丙界故其相对之甲角大于乙角而甲乙界短于甲丙界故其所对之丙角小于乙角也试依甲丙界度截乙丙于丁复自甲至丁作甲丁线即成甲丙丁两界相等之三角形夫甲丙丁丙两界度既相等则甲丁丙丁甲丙两角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲丙角原自乙甲丙角所分则乙甲丙角必大于甲丁丙角矣然此甲丁丙角为甲乙丁小三角形之外角与小三角形内之甲乙二角相并之度等【见本卷第五节】既与甲乙二角之度等则大于乙角可知矣夫甲丁丙角既大于乙角则乙甲丙角必更大于乙角矣丙角之小于乙角其理亦同
第十二
凡三角形内必有二鋭角葢三角形之三角并之与二直角等【见本卷第四节】如甲乙丙三角形之乙角为直角则所余甲角丙角并之始与乙角相等二角并之仅与一直角等则此二角独较之必小于直角矣故此甲丙二角为鋭角也又如丁戊己三角形之戊角为钝角则所余之丁角己角愈小于直角而为鋭角矣第十三
凡自一防至一横线画众线而众线内有一垂线必短于他线而他线与垂线相离愈逺则愈长也如自甲防至乙丙线画甲乙甲丁甲戊几线此内甲乙为垂线较之甲丁甲戊线则其度最短而甲戊线与甲乙线相离既远于甲丁故更长于甲丁线也葢甲乙为垂线则乙角必为直角【见首卷第十节】而甲乙丁三角形内丁角甲角必俱为鋭角而小于乙角矣因乙角大于丁角故此乙角相对之甲丁线必长于丁角相对之甲乙线又甲丁戊外角原与甲乙丁乙甲丁二内角相并之度等【见本卷第五节】则此甲丁戊一外角必大于甲乙丁一内角矣甲丁戊之外角既大于甲乙丁之内角则甲丁戊角相对之甲戊线必长于甲乙丁角相对之甲丁线可知矣
第十四
凡三角形将二界线相并必长于所余之一界线如甲乙丙三角形将甲乙甲丙二界线并之则长于所余之乙丙界线也试以丙甲线引之至丁作丁甲线与甲乙等则丁丙线为甲丙甲乙二界线之共度矣复自丁至乙作丁乙线成乙甲丁两界相等之三角形其丁乙甲角与丁角等【见本卷第九节】则丁乙丙角必大于丁角夫丁乙丙角既大于丁角则其所对之丁丙线必长于丁角相对之乙丙线可知矣【见本卷第十一节】
几何原本三
第一
凡四边线函四角者其形有五四边线度等而角度亦等者为正方形四角直而两边线短两边线长者为长方形四边线度等而角度不等者为等边斜方形两边线长两边线短而角度又不等者为两等边斜方形以上四形俱自平行线出如四边线不等亦不平行而四角度又不等者为不等边斜方形第二
凡四平行线所成方形其所函之角成两对角必两两相等如甲乙丙丁平行线方形其甲角度丙角度等而乙角度丁角度亦等若以丙丁线引长至戊作一线成一丁外角与甲角为二尖交错之角其度相等【见首卷第二十二节】而丁外角与丙角又为一边之内外角其度亦等【见首卷第二十二节】夫甲丁二角既等丁丙二角又等则甲角与丙角必自相等而丁乙两对角之相等不言可知矣
第三
凡平行四边形自一角至相对之角作一对角线必平分四边形为两三角形如甲丙乙丁四边形作甲乙对角线即成丙甲乙丁甲乙两相等三角形葢此四边形之丙丁二角为对角其度必等【见本卷第二节】而对角线所分之丙甲乙丁乙甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱为二尖交错之角其度又两两相等【见首卷第二十二节】夫此两三角形原自一四边形而分各角又俱相等则其所函之分必等而四边形平分为两平分无疑矣
第四
凡平行线所成方形其两两平行线度俱相等如甲丙乙丁四边形之丙甲线与乙丁线度等丙乙线与甲丁线度等此即如前节作一对角线成两三角形而两形之各角必俱相等则丙甲乙丁二线丙乙甲丁二线俱为各相等角所对之线其度亦必相等矣【见二卷第八节】第五
平行线方形内两对角线其相交处必平分二线之正中如甲乙丙丁二线相交于戊则所成甲戊戊乙二线丙戊戊丁二线俱等葢因丙戊乙甲戊丁两三角形之丙乙甲丁二线为平行线其度等【见本卷第四节】而丙乙戊丁甲戊二角乙丙戊甲丁戊二角皆为平行线内相对之错角其度俱等【见首卷第二十二节】夫丙乙甲丁二线既等各相对之错角又等则丙乙戊丁甲戊二等角相对之戊丙戊丁二线度与甲丁戊乙丙戊二等角相对之戊甲戊乙二线度必皆相等可知矣【见二卷第八节】
第六
凡平行线方形内于对角线上或纵或横正中截开即将此形为两平分如甲丙乙丁之方形其甲乙对角线上画一戊己线于庚处截开则平分甲丙乙丁方形为丙戊己乙一段甲戊己丁一段此二段内之戊甲庚己乙庚两三角形之甲庚乙庚二线相等而戊甲庚己乙庚之两角又为平行线内二尖交错之角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相对之角其度又等则此两三角形度亦必相等又如甲乙对角线将甲丙乙丁方形为两平分则其甲丙乙甲丁乙两三角形度必等将此两相等之三角形以戊己线截开于甲丙乙形内减甲戊庚于甲丁乙形内减乙己庚则所余之甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所分各形既俱两两相等则甲丙乙丁之方形为戊己线所截自为两平分可知矣
第七
凡四边形于对角线不拘何处复作相交二平行线即成四四边形设如甲丙乙丁四边形于对角线之戊处复作一壬戊己一辛戊庚相交之二平行线即成甲戊戊乙丙戊戊丁四四边形此四形中之甲戊戊乙二形为对角线上所成之形丙戊戊丁二形为对角线旁所成之形此对角线旁所成两形必俱相等如丙壬戊庚戊辛丁己两形之分是己葢甲丙乙丁之全形因甲乙对角线平分为两平分所成之甲丙乙甲丁乙两大三角形之分必等其对角线上所成之一小方形复为甲戊对角线平分为两平分成甲庚戊甲己戊两小三角形此两小三角形之分亦必等而对角线上所成之一大方形又为戊乙对角线平分为两平分成戊壬乙戊辛乙两中三角形此两中三角形之分亦必等今将甲丙乙甲丁乙两大三角形内减去甲庚戊甲己戊之两相等小三角形再减去戊壬乙戊辛乙之两相等中三角形所余对角线旁所成之丙壬戊庚戊辛丁己两四边形此两四边形自然相等矣
第八
凡两平行线内同底所成之四边形其面积必等如甲己乙辛两平行线内于乙丙底作甲乙丙丁一长方四边形戊乙丙己一斜方四邉形此两形虽不同而所容之分必相等何也试以两三角形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一三角形此两三角形之甲乙丁丙二线等甲戊丁己二线亦等【甲丁戊己二线俱与乙丙平行而度分相等若于甲丁戊己二线各加一丁戊线即成甲戊丁己线其度自然相等】而戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角其度又等则此两三角形自然相等可知矣今于两三角形内各减去丁戊庚则所余之甲乙庚丁戊庚丙己二形之分必等复于此二形内毎加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊乙丙己之两四边形其面积必然相等也
第九
两平行线内无论作几四边形其底度若等则面积必俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙己戊庚辛丁乙两平行线四边形其丙己辛丁两底度相等则其积亦等试自丙己底至庚乙画二直线即成一庚丙己乙斜四边形此斜四边形既与甲丙己戊四边形同出于丙己之底即同前节两形面积俱等矣至于庚辛丁乙与庚丙己乙又同出于庚乙之底故此两形面积亦俱等观此两两相等则甲丙己戊庚辛丁乙两形之面积相等明矣
第十
凡两平行线内同底所成之各种三角形其面积俱等如甲乙丙丁两平行线内于丙丁底作甲丙丁一三角形己丙丁一三角形此两三角形之面积必等何也自丁至戊作一直线与甲丙平行再自丁至乙作一直线与己丙平行即成甲丙丁戊己丙丁乙两四边形此二形既同出于丙丁底其面积相等而甲丙丁己丙丁两三角形为平分两四边形之一半其面积亦必相等矣
第十一
两平行线内无论作几三角形其底度若等其面积亦俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙戊庚戊己两三角形其丙戊戊己两底度相等故其面积亦等今自戊至辛作一直线与甲丙平行又自己至乙作一直线与庚戊平行即同前节成面积相等之两四边形而此甲丙戊庚戊己两三角形为面积相等两四邉形之各一半则此两三角形之面积必等可知矣
第十二
凡有几三角形其底若俱在一直线而各底相对之角又共遇于一处则其众三角形必在二平行线之间如甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直线上而各底相对之角又皆遇于甲处则此四三角形俱同在庚辛壬癸二平行线之间矣
第十三
凡等边等角各形内五边者为五角形六边者为六角形边愈多角愈多者俱随其边与角而名之焉
第十四
多边多角形自角至心作线凡有几界即成几三角形设如辛七边形自心至邉七角作七线即成七三角形而此各三角形之分俱相等也
第十五
欲知众边形各边角之度将边数加一倍得数减四其所余之数即为各边角度也如辛七邉形以七边数加一倍共为十四十四内减四所余之十即为十直角数为此七边形之各边角之总度也何也假如辛形自心至七角作七线成七三角形凡三角形之三角与二直角等【见二卷第四节】则此七三角形之各三角度共与十四直角等其七三角形之辛心所有之七角又与四直角等【见首卷第十五节】若将十四直角内减四直角乃余十直角则此十直角与众边形之各边角之总度相等可知矣
几何原本四
第一
凡有直线切于圜界而不与圜界相交者谓之切线如甲乙丙线切于丁圜乙界其线虽自甲过乙至丙而与圜界不出入相交此甲乙丙线即为圜之切线也又如一圜与一圜界相切而不相交则谓之切圜假如戊圜与己圜于庚界相切二界总未相交故又谓之切圜也第二
凡一直线横分圜之两界谓之?线其所分圜界之一段谓之弧此弧与?相交所成之二角谓之弧分角如甲丙线横分甲乙丙丁圜界于甲丙则甲丙线为?其所分之甲丁丙一段甲乙丙一段皆谓之弧而甲丙?与甲乙丙弧相交所成之甲丙乙丙甲乙二角即谓之弧分之角焉
第三
凡自一圜?线之两头复作二直线相遇于圜界之一处其所成之角谓之圜分内角又谓之弧分相对之界角也如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙?线之两头各作一直线于甲处相遇其所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲角与乙丁丙弧相对故又为弧分相对之界角也
第四
凡一圜有二辐线截弧之一段所成之三角形谓之分圜面形如甲圜自甲心至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二辐线所成之甲丙乙三角形即为分圜面形也
第五
凡自圜之辐线之末与圜界相切作一垂线则此垂线与辐线之末在圜界仅一防相切其他全在圜外即如甲圜之甲乙辐线于乙末作一丙乙垂线则此丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处之一防相切而此垂线之丁等处俱在圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊丁线此线必长于甲乙辐线【如二卷第十三节云】因其长于辐线必出于圜界之外此甲戊丁线既出于圜界之外则丙乙线全在圜外可知矣
第六
圜?线上自圜心作一垂线则将?线为两平分如乙丙?自圜心甲至?线丁作一垂线必将乙丙?为两平分成乙丁丁丙二段若自甲心至?线乙丙二末作二辐线成一甲乙丙三角形此三角形之甲乙甲丙二线为一圜之辐线其度必等此二辐线既等则甲乙丙三角形内甲丁垂线所分之乙丁丁丙二段亦必等矣若将垂线引长至弧界戊作线则又将乙丙弧界为两平分矣第七
凡自圜外一处至圜界两边作二切线此二线之度必等如自圜外甲至圜界乙丙两边作甲乙甲丙二切线此二线之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二切线之末作二辐线则此二辐线为甲乙甲丙之垂线矣【如本卷第五节云】因其为垂线则甲乙丁甲丙丁之二角必同为直角【见首卷第十节】再自丙至乙作一?线即成丁乙丙甲乙丙两三角形丁乙丙三角形之丁乙丁丙二线同为圜之辐线其度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相等此二角内减去丁乙丙丁丙乙二角则所余之甲乙丙甲丙乙二角亦自相等此二角既俱相等则甲乙甲丙二切线为等角傍之两界线自然相等无疑矣
第八
凡圜内两?线若等其分圜弧面之积必等自心至两?所作垂线亦必等如甲圜之丙乙丁戊二?之度若等则所分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面积必等自此圜之甲心至丙乙丁戊二?各作甲壬甲辛垂线其度亦必等何也如自甲心至丙乙丁戊二?之末各作辐线即成甲丙乙甲丁戊两三角形此两三角形之各界线必两两相等则此两三角形内相等线所对之角亦必相等【见二卷第七节】角既相等则等角相对弧界之丙己乙丁庚戊二段亦必相等【见首卷第十二节】丙己乙丁庚戊二弧线既等丙乙丁戊二?线又等则丁庚戊壬之弧面积与丙己乙辛之弧面积自然相符矣又甲辛甲壬二垂线将丙乙丁戊二?为两平分则丙辛乙辛丁壬戊壬之四线亦俱等三角形之各界线既两两相等而三角形内各角又两两相等则平分丙乙丁戊二?之甲辛甲壬之度自然相等矣
第九
凡?线之所属有三种一为弧之切线一为弧之割线一为弧之?线欲取弧界各角之度用此三线求之必得也如甲圜之甲乙辐线于乙末作丙乙垂线复自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂线丁分作甲丁线又从圜界戊至甲乙辐线作戊己垂线则成三种线此三线内丁乙线为乙戊弧之切线甲丁线为乙戊弧之割线戊己线为乙戊弧之正?凡欲得各角弧界之度必于此三种线取之如欲取乙甲戊角相对弧度则自与甲角相对乙戊弧之丁乙切线取之或自乙戊弧之甲丁割线取之或自乙戊弧之戊己正?取之皆得乙戊弧之度数焉
第十
一圜界内任于圜界一段至圜心作二线至圜界作二线即成二角在圜心者为心角在圜界者为界角设如甲乙丁圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二线仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二线成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角为心角甲丁乙角为界角也
第十一
圜内之心角界角同立圜界之一段而各角之二线所成之式又分为三种有界角心角同用一线者有界角心角不同用一线者有界角二线跨心角二线者总之此三种心角皆大于界角一倍如有三图圜心之甲丙乙角皆自圜界甲乙一段作甲丙乙丙二线圜界之甲丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙丁二线则第一圗之甲丁乙界角之乙丁线同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角为甲丙丁三角形之外角与甲丁丙丙甲丁二内角等【见二卷第五节】其甲丙丙丁二线又为一圜之辐线其度亦等此二线既等则甲丁丙丙甲丁二角亦必等【见二卷第九节】今甲丙乙之外角既与甲丁丙丙甲丁二内角等则甲丙乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣如第二图甲丁乙界角之乙丁线不同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之外则自丁角过圜之丙心至对界作一丁丙戊全径线即成甲丙戊一大心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角即如第一图必倍于甲丁戊大界角而乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界角于甲丙戊大心角内减去乙丙戊小心角甲丁戊大界角内减去乙丁戊小界角则所余之甲丙乙心角必大于所余之甲丁乙界角一倍矣如第三图甲丁乙界角之二线正跨于甲丙乙心角二线之上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之间则自丁角过圜之丙心至对界作丁丙戊全径线即成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁戊二界角此甲丙戊心角必倍于甲丁戊界角乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊界角以甲丙戊乙丙戊二心角并之乃甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界角并之乃甲丁乙一界角今所分之二心角既各倍于所分之界角则此所并之甲丙乙心角必倍于所并之甲丁乙界角矣
第十二
凡自圜之弧线一段任作相切界角几何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自甲乙弧线一段至圜界丙丁作相切之甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必俱相等试自圜之戊心至圜界甲乙作二辐线即成甲戊乙一心角此甲戊乙之心角与甲丙乙乙丁甲界角俱同一圜弧线之一段则心角必倍于界角然则甲丙乙乙丁甲二界角既俱为甲戊乙心角之一半则此二角之度必等可知矣
第十三
凡圜内心角所对弧线之度比界角所对弧线之度少一半则二角之度必等如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲丁戊一界角而甲乙丙心角相对甲丙弧线之度比甲丁戊界角相对甲戊弧线之度少一半则甲乙丙心角之度必与甲丁戊界角之度相等试自丁角过圜之乙心至对界作丁乙己全径线复自乙心至戊界作乙戊半径线即成甲乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二界角其甲乙己心角必倍于甲丁己界角而己乙戊心角亦必倍于己丁戊界角今以甲乙己己乙戊二心角相并甲丁己己丁戊二界角亦相并则甲乙己己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁己己丁戊二界角所并之度矣是以甲丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心角所并之一半夫甲丙弧线既为甲戊弧线之一半而甲乙丙角又为甲乙己己乙戊二心角所并之一半则甲乙丙心角度必与甲丁戊界角之度相等矣第十四
凡圜内界角立于圜界之半者必为直角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立于甲丁丙圜界之正一半则此甲乙丙角必然为直角也自甲丁丙之半圜于丁界为两平分复自丁界至圜心戊作丁戊辐线即成甲戊丁角其相对之甲丁弧为圜界四分之一既为圜界四分之一则必为直角【如首卷第十节云】夫心角相对弧线若为界角相对弧线之一半其二角之度相等矣【如本卷第十三节云】今甲戊丁心角相对之甲丁弧线既为甲乙丙界角相对之甲丁丙弧线之一半则甲戊丁心角度必与甲乙丙界角度相等且甲丁弧线既为圜界四分之一而甲丁丙弧线又为圜界之正一半则甲戊丁心角为直角而甲乙丙界角亦必为直角矣
第十五
凡圜内界角其所对之弧过于圜界之半者必为钝角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧大于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为钝角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分既大于半圜则此甲戊弧线一段亦大于圜之四分之一矣故此甲戊弧线相对之甲丁戊心角必为钝角【见首卷第十一节】夫心角相对之弧线比界角相对之弧线少一半则二角之度必相等【如本卷第十三节云】今甲丁戊心角相对之甲戊弧线正为甲乙丙界角相对甲戊丙弧线之一半则甲乙丙界角自然与甲丁戊心角等矣夫甲丁戊心角既为钝角则甲乙丙界角亦必为钝角矣
第十六
凡圜内界角其所对之弧不及圜界之半者必为鋭角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧小于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为鋭角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角此心角所对之甲戊弧线既不足圜界四分之一则此甲丁戊心角必为鋭角矣【见首卷第十一节】此甲丁戊心角所对之弧比之甲乙丙界角所对之弧为一半则此二角之度必等夫甲丁戊心角既为鋭角则甲乙丙界角亦必为鋭角矣
第十七
凡函圜各界形之各线与圜界相切而不相交则谓之函圜切界形如甲乙丙三角形之甲乙乙丙丙甲三界线俱在庚圜界之丁己戊三处相切而不相交故谓之函圜切界三角形又若甲乙丙丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界线俱在戊圜界之己庚辛壬四处相切而不相交则谓之函圜切界四边形观此二图则知函圜各界形必大于所函圜界形之分矣
第十八
凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出则谓之圜内所函各边形如甲乙丙三角形之甲角乙角丙角俱与丁圜界相抵而不曾割出即谓之圜内所函三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角乙角丙角丁角俱与戊圜界相抵而不割出则谓之圜内所函四边形观此二图则知函于圜界各界形必小于圜界形之分矣
第十九
凡等边众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近如甲圜形函乙丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊等邉六角形以三角形之三边比之六角形之六边则六角形之六邉与圜界相近矣设有十二角形之十二边比此六角形之六边则十二角之十二边又与圜界为近若有二十四角之二十四边则又更近于十二角之十二边矣葢函众界形之度必大于所函之众界形度【见本卷第十七十八两节】今甲圜既函等边六角形自大于六角形而此六角形又函等邉三角形亦必大于三角形由此推之十二角函六角二十四角函十二角其边愈多者其度愈大故与圜界愈近也又如复有一函圜等边四角形内又作一函圜等边八角形此四角形既函八角形必大于八角形可知矣若于八角形内复作十六角形十六角形内又作三十二角形其所函形愈小邉数愈多则与所函之圜界度愈近矣苟设一函于圜界之多邉形为几十万邉【设函于圜界之多邉形一自六邉起算一自四邉起算】复设一函圜界之多邉形亦为几十万邉【设函圜界之多邉形亦一自六邉起算一自四邉起算】使此函圜之多邉形自外与圜界相比而函于圜界之多邉形自内与圜界相比则此二多边形之每边直界线将与圜界曲线合而为一故圜界曲线可得直线之度而多邉形之直线亦可得为圜界度也
第二十
函圜切界等边形其所函圜之辐线度与一直角三角形之小边之度等而等邉形之众界共度又与三角形之大边之度等则三角形之面积与等边形之面积等如丙丁戊己庚等邉五角形其所函甲圜之甲乙辐线与辛壬癸直角三角形之辛壬小邉线度等而五角形之丙丁戊己庚五邉线共度又与三角形之壬癸大邉线度等则此辛壬癸三角形面积必与丙丁戊己庚等邉五角形面积等也何以见之若自五边形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲丁甲戊甲己甲庚五线即分成甲丙丁类五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸线度既与五角形之五邉共度等今将壬癸线平分五分以所分之每分为底依前所分五三角形式作甲壬丙类五正式三角形复自所分丙丁戊己四处俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛己辛四线遂分辛壬癸一三角形为辛壬丙类五斜式三角形再自甲壬丙类五三角形之甲角至底各作一甲乙垂线俱与圜之辐线等则甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣于是复自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相切作一辛子线与壬癸为平行线则此平行线内同底所成之各种三角形之面积必俱相等矣【见三卷第十节】葢辛壬丙甲壬丙两三角形为同底辛丙丁甲丙丁两三角形为同底辛丁戊甲丁戊两三角形为同底辛戊己甲戊己两三角形为同底辛己癸甲己癸两三角形为同底故其面积俱相等也且辛壬丙三角形与甲壬丙三角形既俱相等则辛壬丙之类五斜式三角形之面积即如甲壬丙之类五正式三角形之面积矣其所分各形之面积俱等则其全形之面积自然相等此所以辛壬癸直角三角形之面积与丙丁戊己庚等邉五角形之面积相等也
第二十一
圜界内函等边众界形其圜心至众界所作中垂线与一直角三角形之小邉之度等而等边众界形之众界共度又与直角三角形之大边之度等则此三角形之面积与等边众界形之面积等如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形其圜之甲心至众界所作甲辛垂线与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉线共度又与三角形之癸子大邉线度等则此壬子癸三角形面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形面积等也若依前节法将六邉形分为六三角形复以三角形之癸子界照六邉形度分为六分又照六边形所分六三角形作六正式三角形复自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五处作五斜线成六斜式三角形此两式三角形同底又同在二平行线内则其面积必两两相等此两式六三角形之垂线既与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而两式六三角形之底线共度又与壬子癸直角三角形之癸子大邉线度等则壬癸子直角三角形之面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形之面积相等矣第二十二
凡圜形之辐线与一直角三角形之小边线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等如有一甲圜形其甲乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁小邉线度等而甲圜形之乙周界又与丙丁戊三角形之丁戊大邉线度等则此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形之面积相等也何以见之甲圜之辐线与三角形之小邉等者即如等邉众界形之中垂线与三角形之小邉等也甲圜之周界与三角形之大邉等者即如等邉众界形之各界共度与三角形之大邉等也若夫函圜众界形相等之三角形其小边虽与圜之辐线等其大邉则长于圜之周线故其积分亦大于圜之积分而函于圜众界形相等之三角形其小邉既短于圜之辐线而大边亦短于圜之周线故其积分亦小于圜之积分今此甲圜形相等之丙丁戊三角形其小边既与圜之辐线等面三角形之大邉又与圜之周线等则其积分与圜形之积分相等无疑矣然圜周界曲线也等邉众界形之界度直线也观之似难于相通者如以圜之内外各设多邉众界形分为千万邉【如本卷第十九节云】则逼圜界最近将合而为一乃依所分之段为千万正式三角形此千万正式三角形之中垂线亦将与圜之辐线合而为一而千万邉共界度既与圜周合而为一则圜周之曲线亦变而为直线矣夫千万邉正式三角形之中垂线既成圜之辐线则与丙丁戊三角形之小边等而千万邉正式三角形之底界共度又成圜之周度则又与丙丁戊三角形之大边度等矣复自丙丁戊三角形之丙角至千万正式三角形之底界各作千万斜式三角形以比正式三角形因其防同其分自相等故千万斜式三角形之共积比之千万正式三角形之共积千万正式三角形之共积比之丙丁戊一直角三角形之面积丙丁戊直角三角形之面积比之甲圜形之面积俱相等也
第二十三
有一圜形又一众界形此圜界度若与彼众界总度等则圜形之面积必大于众界形之面积也如甲乙丙丁圜形之周界与戊己庚辛等边四角形之四邉总度等则圜形之面积必大于等邉四角形之面积矣前言凡圜形之辐线与一直角三角形之小邉线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则三角形之面积与圜形之面积相等矣今试以甲乙丙丁圜形周界为三角形之大邉以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三角形之小邉作一子丑寅直角三角形则三角形之丑寅大邉线度亦与戊己庚辛四角形之四邉总度等而三角形之子丑小邉线度虽与圜形甲壬辐线等却比四角形之自壬心至癸邉所作垂线为长若将三角形之子丑小邉线照四角形之壬癸垂线度截开则分子丑线于卯复自卯至寅作一斜?即成卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三角形之分与戊己庚辛四角形相等也此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分之则卯丑寅形必小于子丑寅形今甲乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角形之面积等而戊己庚辛四角形之面积又与卯丑寅三角形之面积等则戊己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙丁圜形之面积可知矣观此凡界度相等之形圜界所函之分比众界所函之分必大而众界所函之分与圜界所函之分同者则众界之总度复比圜界度大也
防何原本五
第一
平面之上所立直线无少偏倚其各边所生之角必俱直则谓之平面上所立垂线也如甲乙之平面正立一丙丁线不偏不倚此即为平面上所立之垂线矣
第二
凡两平面相对其所立众垂线度俱各相等则此相对之平面谓之平行面也如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂线之度俱相等此甲乙丙丁二平面即为平行面矣
第三
平面上复立一平面无少偏倚其两边所成之角必皆为直角则谓之平面上所立直面也如甲乙平面上所立之丙丁平面无偏无倚两边亦俱成直角此即为平面上所立之直面矣
第四
凡各面相合其每面之角所合处复成一种体角则谓之厚角夫厚角必自三面合之乃成其面多者为各瓣相并所成之厚角也如甲图四面为四瓣相并所生之厚角乙图五面为五瓣相并所生之厚角是己
第五
凡各面相并所成之厚角如将各面计之则其众角所合之分必不足于四直角度也如甲图五面合成之厚角若将其五面展开使平作乙丙丁戊己平面之五瓣复以甲为心作一甲圜其乙丙丁戊己之五瓣相离处不能满甲圜之周界矣因其不满于圜之周界故比四直角为不足也或以四直角分强欲作一厚角则其瓣过于大必不能成平面所合之厚角矣
第六
凡等边三面所合厚角其三面内之两面角倂之必大于一直角度也如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角将乙甲丙丙甲丁二面倂之必大于一直角度矣依前节法将甲厚角展开使平虽不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之二而并之则较之一直角度为大焉何以见之夫三面展开其所离之虚分仍有三面之分以三面之实分合三面之虚分则为六角之全形此六角之全形得四直角度矣六角而得四直角则三角必得二直角三角既得二直角则二角相倂必大于一直角可知矣
第七
凡平面二线交处作一垂线正立而无偏倚此线任在平面各处俱为垂线如甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二线相交己处作一戊己垂线正立而不偏倚则此戊己线任在甲乙丙丁平面上某一处俱为垂线也假使戊己垂线不能正立而有所偏倚则如壬己线近于辛而离于庚矣壬己线既近于辛而离于庚则偏向于丁丙而逺于甲乙而壬己丁壬己丙之二角为鋭角壬己甲壬己乙之二角为钝角矣戊己既如壬己则不得谓之甲丙丁乙二线相交处正立之垂线矣
第八
众线交处立一垂线其各角若俱直此所交各线必在一平面也如甲丙乙丁庚辛之三线相交处立一戊己垂线其与众线相接各角若俱直则此相交之三线必在一平面也夫众线之相交固在平面而垂线之所立正所以考面或一角不直则不得谓之平面矣
第九
平面上若立二垂线必互为平行线如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂线则此二线互为平行线也试自辛过己至壬作一辛壬线则戊己庚辛二垂线所立之分必正其在甲乙丙丁平面上任指何处所生之角俱是直角【见本卷首节】故戊己壬庚辛己二角俱为直角而相等也且此二角又为二线与一线相交所成之内外角其度既等则戊己庚辛二线必为平行线矣【如首卷第二十一节】第十
有二线与一垂线平行虽不在平面之一界此三线亦互相为平行线也如甲乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行不立于一直线上虽不居平面之一界此三线亦必互为平行线也试于甲乙丙丁戊己三线之末作一庚辛平面此平面上之戊己线为垂线其四围平面所生之各角俱是直角矣复自乙过己自丁过己作相交二线则成甲乙己戊己壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角俱为平行线一邉之内外角俱为相等角矣【见首卷第二十一节】而甲乙己丙丁己二角亦俱为直角夫甲乙丙丁二线在庚辛平面上所生之角皆直又皆与戊己垂线所生之角等则甲乙丙丁二线亦皆得为垂线其与戊己线为互相平行之三线可知矣
第十一
相对二平面之间横一直线此线在二平面上所生角若俱直则此相对二面互相为平行面也如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之间横一戊己直线此戊己线末所抵处其四围俱成直角则此二平面互相为平行面矣试将此二平面之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相交二线丙丁壬癸相交二线则戊己横线于二平面各界所生之角俱为直角如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所生之甲戊己戊己癸二尖交错之角相等故甲乙丙丁相当之二线为平行矣又如辛戊己戊己丙二尖交错之角亦相等故庚辛壬癸相当二线亦为平行矣相对二平面之上所有之相当各二线既俱同为平行线则相对之二平面自然互为平行面矣
第十二
有二平行面横交一面其相交处所生二线必平行如甲乙丙丁平行二面上横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交处所生二线亦俱平行也何以言之庚辛壬癸平面相交处所生二缝既在甲乙丙丁二平面之上自然与甲乙丙丁二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各线同为平行线且又在戊己一平面内其分自然相对故此二平面与一平面相交之缝线亦得为平行也
第十三
凡各种面内所积之实为体而皆因其面以名之焉如全体不成角度止现圆之圆面则谓之圆体甲乙图是也全体各面俱平各边相等所成各角又等则谓之平面正方体丙丁图是也全体各面虽平体长而面成两式其相对各面仍两两相等相对各边则又平行角又相等此谓之平行长方体戊己图是也体有曲平两面相杂而不成等边等面则谓之底平半圆体庚辛图是也全体相对之各面不平行上下两面平行则谓之上下面平行体壬癸图是也体圆而上下面俱平则谓之长圆体子图是也底为平面其各面俱合于一角而成厚角则谓之尖瓣体底三角者谓之三瓣尖体底四角者谓之四瓣尖体底众角者谓之众瓣尖体如丑寅卯三图是也又或底面圆而渐鋭成形则谓之尖圆体辰图是也
第十四
凡圆体长圆体尖圆体俱生于圜面故其外皮面积亦生于圜界一旋转之度分耳如取甲乙丙丁之圆形则以甲乙径线为枢心将甲丙乙半圆作转式旋转复还于原处即成甲丙乙丁一圆形体如取甲乙戊己平行面之长圆形则以甲乙中线为枢心将丙丁线界作转式旋转复还于原处即成甲乙戊己一长圆体如取甲丙丁平底尖圆形则以甲乙中线为枢心将甲丁邉线作转式旋转复还于原处即成甲乙丙丁一尖圆体矣
第十五
凡各体形其各面平行相当则相对两边面积俱相等如甲乙丙丁之正方体其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面俱各平行故相对二面之积自两两相等也
第十六
凡体面式不一而积等者为积数相等之体面式既同而体积又等者爲面式体积全等之体如甲乙二体为积数相等之体也丙丁二体为面式体积全等之体也
第十七
凡平行面之长方体自一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体必爲面式体积全等之体矣如甲乙平行面长方体自丙丁二角至相对戊己二角分为两段成戊丙乙丁己甲两三棱体为面式体积全等体也试以甲丙庚戊辛丁乙己两平面形自戊丙丁己两对角线均分为两三角形面则所分之戊庚丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面积俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面又互为平行必两两相等再对角线分成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一界所分必各相等今所分二形之各面既各相等则其积必等而为面式体积全等体无疑矣
第十八
凡平行二平面之间若同底立各平行体其积必相等设甲乙丙丁平行二平面之间于戊己庚辛底立壬庚癸己二平行体其积俱相等何也葢因壬戊己子丑寅平面三角形之壬戊己子面与卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角形之丑戊己寅面与卯辛庚辰癸午平面三角形之癸辛庚午面平行故其各面之度相等其壬子辰卯之面与丑寅午癸一面俱与戊己庚辛一面平行其度亦必相等此二面之度既等则壬子寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其上下各面度既等而平面两三角形之各面各邉度又俱等则此壬庚癸己二平行体之积必然相等也可知矣第十九
凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等设如甲乙丙丁平行二平面之间有戊己庚辛壬癸子丑二等积之底立一寅庚正靣平行体一卯子斜面平行体此二体之积必相等试自寅庚正面平行体之戊己庚辛底至卯子斜面平行体之卯辰午未面复作一卯庚斜面平行体则寅庚卯庚二体立于戊己庚辛之一底其积相等矣【如前节所云】而卯子卯庚二体又同立于卯辰午未之面其积亦必相等是以寅庚正面平行体卯子斜面平行体俱与卯庚平行体相等故云凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等也
第二十
平行平面之间有立于等积三角底之各三面体其积必俱等如甲乙丙丁平行二平面之间有子庚丑寅癸卯等积三角底立戊庚己辛癸壬之两三面体此二体积必相等何以见之若以此二体之上边二面之戊辰辰己二界平行作戊未己未二线辛午壬午二界平行作辛申壬申二线又于此二体之下边
二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉
丑二线寅癸癸夘二界平行作寅戌戌
卯二线则二体所生酉子庚丑戌寅癸
卯四边平行二底俱在子丑寅卯二对
角线其度相等【见三卷第三节】其分比三角面
各大一倍矣复于所作二底边酉戌二
处作酉未一纵线戌申一纵线即成未
庚申癸平行面二方体矣其酉子庚丑
戌寅癸卯二底既俱相等则所生之未
庚申癸平行面之二方体亦自相等【见本
卷第十九节】此未庚申癸平行面二方体既
各相等则戊庚己辛癸壬之三面体为
未庚申癸二方体之正一半其积必等
无疑矣
第二十一
凡各种体形难以图显葢以图止一面
故也必用木石制之始能相肖况此各
种形体又或有外实而内空者必按其
形以求其理始可发明其精蕴矣第二十二
凡各面所成体形内其各面俱平行或上下面为平行而立于等积之底其体之髙又等则其体之积亦相等如甲乙体其各面俱平行又如丙丁体其上下面平行立于等积之底其髙又等或又如戊己体其上下面平行圆面积又等髙又等则其两两体积必相等矣又如庚辛壬癸之类尖体形苟立于等积之底其体之髙若等则其体之积亦相等何以见之若将众尖体分为平行底之众小体其所分众小体之底度髙度必俱相等如子丑图其所分小体之积俱等故其全体之积亦相等也
第二十三
凡上下面平行各体与平底尖体同底同髙者不论平面圆面其平底尖体皆得上下面平行体三分之一如甲乙上下面平行之长方体与丙丁四瓣尖体其乙丁两底积等甲乙丙丁两髙度又等则甲乙长方体与丙丁尖体三形等如戊己上下面平行之三棱体与庚辛三瓣尖体其己辛两厎积等戊己庚辛两髙度又等则戊己三棱体与庚辛尖体三形等又如壬癸上下面平行之长圆体与子丑尖圆体其癸丑两底积等壬癸子丑两高度又等则壬癸长圆体与子丑尖圆体三形等又如壬癸长圆体与甲乙戊己类体同底同髙则壬癸长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所合之数等又或子丑尖圆体与丙丁庚辛类尖体同底同髙则子丑尖圆体三倍之乃与甲乙一体戊己一体等也夫同底同髙上下面平行体既俱爲尖体之三倍则尖体为上下面平行体三分之一可知矣【葢甲乙戊己壬癸各体其式虽不同苟底积高度相等其积必等而丙丁庚辛子丑各体式虽不同苟底积高度相等其积亦必等故知丙丁庚辛子丑平底尖体互爲甲乙戊己壬癸上下面平行各体三分之一也如将上下面平行各体以木石为之分作同底同髙之各平底尖体用权衡以较其分量则各体之积分自昭然可见矣】
第二十四
凡长圆体外周面积与长方体底面积相等而长圆体半径又与长方体高度相等则长圆体积必得长方体积之半也如甲乙丙丁长圆体其周围外面积与戊己长方体之庚己底面积等而长圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚髙度等则此甲乙丙丁长圆体积必得戊己长方体积之一半也试将甲乙丙丁长圆体从壬癸中线至周围外面分爲千万分则成子丑己类千万长尖体此千万长尖体之髙与长圆体之壬子半径等而千万长尖体之共底即长圆体之周围外面积则此千万长尖体必爲戊己长方体之一半矣葢寅己辛三角面爲午己长方面之一半【见三卷第三节】而此子丑己类众三角面与寅己辛三角面等【见四卷第二十节】子丑己类众三角面既与寅己辛三角面等则子丑己类众长尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等此卯辰庚辛己寅三角体固爲戊己长方体之一半今长圆体所分之众长尖体既与卯辰庚辛己寅三角体等则亦必爲戊己长方体之一半故甲乙丙丁长圆体爲戊己长方体之一半也第二十五
凡球体外面积与尖圆体之底积等而球体之半径与尖圆体之高度等则此球体之积与尖圆体之积等也如甲乙丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体之庚子辛癸底积等球体之甲戊半径与尖圆体之己壬高度等则此球体之积爲与尖圆体之积等也试将球体从中心分爲千万尖体复将尖圆体亦分爲千万尖体则球体所分尖体毎一分必皆与尖圆体所分尖体一分等何也葢球体所分尖体皆以球体之外面爲底而以球体之甲戊半径爲高其尖圆体所分尖体皆以尖圆体之底爲底而以尖圆体之己壬高爲高夫尖圆体之底积原与球体之外面积等而尖圆体之高度又与球体甲戊半径等故此两种千万尖体皆爲同底同高其积相等无疑矣【见本卷第十八节】然此两种千万尖体即球体尖圆体之所分其所分之体既等则原体亦必相等可知故曰球体与尖圆体俱相等也
第二十六
凡各形外皮面积相等之体惟圆体所函之积数大于他种各体所函之积如甲乙丙丁外皮面积相等各形内甲圆体所函之积必大于乙丙丁直界体所函之积也何也大凡圆形其半圆周一旋转间即成圆体此戊己庚半圆周一次旋转即成甲圆体【见本卷第十四节】又凡平面圆界所函之积必大于等邉各形所函之积【见四卷第二十三节】平面圆界所函犹大于各等邉所函之积则圆体所函必大于各直界体所函之积可知矣
第二十七
厚角所成等面体形有五种各以面数而名之其一爲四面体每面有三角各三角之各三界度俱等如甲图是也二爲六面体毎面俱爲正方其方面之四角俱爲直角而各界互等故又爲正方体如乙图是也三爲八面体毎面有三角各三角之各三界度俱等如丙图是也四爲十二面体每面有五角各五角之五界度俱等如丁图是也五爲二十面体每面有三角各三角之各三界度俱等如戊图是也
第二十八
前节发明五种厚角所成等面体形之外不能复生他形葢此五种厚角体俱是等边三角四角五角之平面相合所成也凡平面自三界以下不能成面【见二卷首节】而厚角自三面以下亦不能成角故厚角自三面始如甲四面体其四厚角皆三平面三角形所合而成也乙八面体其六厚角皆四平面三角形所合而成也丙二十面体其十二厚角皆五平面三角形所合而成也然平面三角形所合过于五形则不能成厚角故平面六三角形合于一处即成庚形其甲乙丙丁戊己六角相合与四直角等【见首卷第十五节】既与四直角等则爲平面不成厚角矣【如本卷第五节】六形相合尚不能成厚角况多形乎是故平面三角形所生厚角体仅得四面八面二十面三种而已若夫平面正方四角形所成厚角如丁六面正方体其八厚角皆三平面四角形所合而成此外更无他形若将四平面四角形合于一处即成辛形其甲乙丙丁四角既俱爲直角必不能成厚角矣故四角形所生厚角仅有一六面正方体而已至于平面五角形所成厚角如戊十二面体其二十厚角皆三平面五角形所合而成此外更无他形也或将四平面五角形如癸子丑寅之四角合于壬此四角俱爲钝角必大于四直角既大于四直角在平面尚不能相合厚角岂能成耶是以平面五角形所成之厚角仅有一十二面体而已或将平
面六角形之三形合于一处爲癸其甲
乙丙三角度与四直角等故不成厚角
六角平面相合既不成厚角其七角八
角等形愈不能成厚角矣故曰四面六
面八面十二面二十面五种体只在三
角四角五角三种平面形所生此外不
能复成他形也
御制数理精蕴上编卷二