<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十二
面部二
勾股【定勾股无零数法 勾股?相求法附勾股求积 勾股形内求中垂线及容方圆等形 勾股?和较相求法】
勾股
周髀曰折矩以为勾广三股修四径隅五既方其外半其一矩环而共盘得成三四五两矩共长二十有五是为积矩此言勾股正数之所以立法也葢勾股得长方之半形故其一角必成矩【所谓直角也】而后可谓勾股如其一角不能成矩则为三角形而非勾股矣因勾股一角必直故立于圜界之正一半而自直角所作垂线遂成连比例三率是以直角相对界所作方形之积必与两傍二界所作两方形之积等【见几何原本九卷第四节】而勾股?彼此相求之法于此生焉其法所该有四一勾股?三者知其二而得其一或知其二而得其积一勾股形自其直角对?界求垂线一勾股形内容方圆等形一勾股?三者知其一复知其余二者之较或二者之和而得其二或知其两较或两和或一较一和而得其三【勾股?和较之法虽杂出多端然皆不出勾股?方积相求之理较有勾股较勾?较股?较和有勾股和勾?和股?和和较相疉则又有?与勾股和相和或名之曰?和和有?与勾股和相较或名之曰?和较有?与勾股较相和或名之曰?较和有?与勾股较相较或名之曰?较较又有勾与股?和相和者或名之曰勾和和股与勾?和相和者或名之曰股和和即?和和也勾与股?和相较者或名之曰勾和较股与勾?较相和者或名之曰股较和即?较和也股与勾?和相较者或名之曰股和较勾与股?较相和者或名之曰勾较和即?较较也勾与股?较相较者或名之曰勾较较股与勾?较相较者或名之曰股较较即?和较也】此四者皆勾股之正法理一定而数随之者也至若勾三股四?五之类倍之至于亿兆而总不越此一定之分者名曰正勾股槩以比例推之则三者止有其一即可得其二或有积而即得其三界此为数一定而法随之者也一一按类列题发明如左
定勾股?无零数法
设如用二四八连比例三率定勾股?无零数问各得几何
法以中率四命为四尺为股首率二尺与末率八尺相减余六尺折半得三尺为勾首率二尺与末率八尺相加得十尺折半得五尺为?也如图甲乙为首率二尺丙乙为中率四尺乙丁为末率八尺今以甲乙与乙丁相和共为甲丁十尺而以丙乙立于甲丁线相和之乙处乃以甲丁折半于戊以戊为心甲丙丁为界作半圜复以丙至甲至丁作丙甲丙丁二线遂成甲丙丁勾股形其丙角立于圜界之半必为直角【见几何原本四卷第十四节】而丙乙为垂线即将甲丙丁勾股形分为甲乙丙丙乙丁两勾股形而与原形为同式三勾股形矣【见几何原本九卷第一节】其甲乙与丙乙之比同于丙乙与乙丁之比为连比例三率故以中率丙乙为股而首率甲乙【与己丁等】与末率乙丁相减余乙己折半得乙戊为勾又首率甲乙与末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊戊丁二半径与丙戊等为?也此法原为定勾股?三者俱无零数之法所设之数必彼此可以度尽始可立为准则否则勾股?三者必有一不尽之数矣
设如有四六可以度尽之两数欲定勾股?无零数问各得几何
法以四尺为首率六尺为中率将中率六尺自乗得三十六尺用首率四尺除之得九尺为末率乃以中率六尺为股首率四尺与末率九尺相减余五尺折半得二尺五寸为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺折半得六尺五寸为?也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺今以中率六尺自乗用首率四尺除之乃得乙丁末率九尺爰以甲乙首率乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作半圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线故以中率丙乙为股而首率甲乙与末率乙丁相减余乙己折半得乙戊为勾而首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁折半得甲戊戊丁与丙戊等为?也
设如有四六九连比例三率以中率六倍之为股定勾?无零数问各得几何
法以首率四尺与末率九尺相减余五尺为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺为?也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺乙丁为末率九尺爰以甲乙首率与乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作一全圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线今将中率丙乙倍之即得丙庚为股故以首率甲乙【与己丁等】与末率乙丁相减余乙己与庚辛等为勾又首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁全径与丙辛等为?也葢前二法用中率为股故以首率末率相减折半为勾首率末率相加折半为?此法则倍中率为股故以首率末率相减即为勾首率末率相加即为?而皆不用折半也又图甲乙为首率四尺乙丙为末率九尺甲丙为首率与末率相加之十三尺丁丙为首率与末率相减所余之五尺如依甲丙线度作甲戊己丙正方形即为?自乗之方如依丁丙线度作丁庚辛丙正方形即为勾自乗之方今以乙丙末率亦作一正方形将两边线引长至甲戊己丙正方形界则成甲癸丑乙与丑壬己子二长方形仍余癸戊壬丑一小正方形又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引长至乙丑子丙正方形之丑子界则又成乙丑寅丁一长方形与前一长方形等仍余庚寅子辛一小长方形合前癸戊壬丑一小正方形则亦与前一长方形等是此四长方形皆为首率与末率相乗之长方而与中率自乗之正方形相等矣【见算法原本二卷第三节】如以此四长方形共计之则为甲戊己辛庚丁一磬折形今甲戊己丙既为?自乗之一正方而丁庚辛丙又为勾自乗之一正方则两方相减所余之甲戊己辛庚丁磬折形之积与股自乗之一正方等【见几何原本九卷第四节】甲戊己辛庚丁磬折形既为四长方之共积则四长方之共积亦必与股自乗之一正方等首率末率相乗之四长方既与股自乗之一正方等则中率自乗之四正方亦必与股自乗之一正方等是故中率自乗之四正方合之而为股自乗之一正方则其每边必比中率各大一倍【见几何原本七卷第五节】故倍中率而为股者必取首率末率之和而为?首率末率之较而为勾葢首率末率相和自乗之一正方内减去首率末率相较自乗之一正方甫能得中率加倍自乗之一正方积也
勾股?相求法【勾股求积附】
设如有股四尺勾三尺求?几何
法以股四尺自乗得十六尺勾三尺自乗得九尺相加得二十五尺开方得五尺即为?也如图甲乙丙勾股形其甲乙股所作丁戊乙甲正方形积乙丙勾所作乙己庚丙正方形积相并必与甲丙?所作甲丙壬辛正方形积等试自乙直角过甲丙?作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形而甲乙丙勾股形分为甲乙癸乙丙癸同式两勾股形矣其甲癸与甲乙之比同于甲乙与甲丙之比为连比例三率故甲乙中率所作丁戊乙甲正方形与甲癸首率甲丙末率相等之甲辛所作甲癸子辛长方形之积相等也又癸丙与乙丙之比同于乙丙与甲丙之比为连比例三率故乙丙中率所作乙己庚丙正方形与癸丙首率甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子长方形之积相等也一正方所分之二长方既与二正方之积相等则此二正方之积相合与彼一正方之积相等可知矣
设如有勾五尺?十三尺求股几何
法以勾五尺自乗得二十五尺?十三尺自乗得一百六十九尺相减余一百四十四尺开方得十二尺即为股也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙?作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等故甲丙?所作甲丙壬辛正方形内减去与乙己庚丙正方形相等之癸丙壬子长方形余甲癸子辛长方形即与丁戊乙甲正方形之积相等故开方而得甲乙为股也
设如有股二十一尺?二十九尺求勾几何
法以股二十一尺自乗得四百四十一尺?二十九尺自乗得八百四十一尺相减余四百尺开方得二十尺即为勾也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙?作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等故甲丙?所作甲丙壬辛正方形内减去与丁戊乙甲正方形相等之甲癸子辛长方形余癸丙壬子长方形即与乙己庚丙正方形之积相等故开方而得乙丙为勾也
设如有勾六尺股八尺求面积几何
法以勾六尺与股八尺相乗得四十八尺折半得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形其乙丙勾与甲乙股相乗则成甲乙丙丁长方形其积比甲乙丙勾股形正大一倍故折半得勾股积也若有勾?求面积则用勾?求股之法得股与勾相乗折半得面积或有股?求面积则用股?求勾之法得勾与股相乗折半得面积也
又法将勾六尺折半得三尺与股八尺相乗亦得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形将乙丙勾折半为乙丁与甲乙股相乗成甲乙丁戊长方形其甲戊己小勾股形与己丁丙小勾股形之积等如以甲戊己小勾股形移于己丁丙适合甲乙丙勾股形积故甲乙丁戊长方形积与甲乙丙勾股形积相等也
勾股形内求中垂线及容方圆等形
设如有勾六尺股八尺?十尺欲自直角对?界作垂线问得几何
法以?十尺为一率勾六尺为二率股八尺为三率推得四率四尺八寸即为自直角对?界所作垂线也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则将甲乙丙勾股形分为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙?与甲乙勾之比同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙?与甲丁勾之比而为相当比例四率也
设如有勾六尺股八尺?十尺欲自直角对?界作垂线分?为二?问所分二?大小各几何法以勾六尺自乗得三十六尺以?十尺除之得三尺六寸为垂线所分之小界以股八尺自乗得六十四尺以?十尺除之得六尺四寸为垂线所分之大界也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙?与甲乙勾之比同于今所分甲丁乙勾股形之甲乙?与乙丁勾之比为连比例三率而原甲乙丙勾股形之乙丙?与甲丙股之比又同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙?与丙丁股之比亦为连比例三率是以原甲乙丙勾股形之甲乙勾又为今所分甲丁乙勾股形之?者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙?为首率除之得末率乙丁为甲丁垂线所分之小界原甲乙丙勾股形之甲丙股又为今所分甲丁丙勾股形之?者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙?为首率除之得末率丁丙为甲丁垂线所分之大界也
设如有勾五尺股十二尺问内容方边几何
法以勾五尺与股十二尺相加得十七尺为一率勾五尺为二率股十二尺为三率推得四率三尺五寸二分九厘有余为内容方边也如图甲乙丙勾股形甲乙为股十二尺乙丙为勾五尺试依乙丙勾数将甲乙股引长作甲戊线为勾股和十七尺自戊与乙丙勾平行作戊丁线又将甲丙?引长作甲丁线则成甲戊丁同式勾股形复自丙角与甲戊线平行作丙壬线则成丙壬戊乙正方即为甲戊丁勾股形所容之方故甲戊丁勾股形之甲戊股与乙丙方边之比同于甲乙丙勾股形之甲乙股与己辛方边之比也
设如有方城一座四正有门自南门直行八里有一塔自西门直行至二里切城角亦望见塔问城每面几何
法以西门外二里与南门外八里相乗得十六里开方得四里倍之得八里即为城每一面之数也如图甲乙丙勾股形乙己为西门外二里甲丁为南门外八里戊己与戊丁皆为城之每边之一半而甲丁戊勾股形与戊己乙勾股形为同式故乙己与己戊之比同于戊丁与丁甲之比为相当比例四率且己戊与戊丁皆为一体故又为相连比例三率是以乙己首率与甲丁末率相乗开方而得戊丁或戊己皆为中率为城之每边之一半也
设如有甲乙丙勾股形内容丁己丙戊长方形但知丁戊寛为戊丙长四分之一从甲至戊为四尺从乙至己为九尺问长方及勾股各几何
法以甲戊四尺与乙己九尺相乗得三十六尺为内容长方之积用四归之得九尺开方得三尺为己丙即长方之阔以四因之得十二尺为戊丙即长方之长以戊丙十二尺加甲戊四尺得十六尺为股以己丙三尺加乙己九尺得十二尺为勾也葢丁己乙勾股形与甲戊丁勾股形皆与甲乙丙勾股形为同式故丁己乙勾股形之乙己勾与丁己股之比即同于甲戊丁勾股形之丁戊勾与甲戊股之比而乙己首率与甲戊四率相乗之数必与丁己二率与丁戊三率相乗之数相等是以乙己与甲戊相乗即为丁己丙戊长方形之积也丁戊既为戊丙之四分之一则以四归之即成丁戊线所作之正方形积故开方得丁戊之阔又四因之而得戊丙之长也既得丁戊而丁戊与己丙等故己丙与乙己相加得乙丙之勾而戊丙与甲戊相加得甲丙之股也
设如有勾八尺股十五尺?十七尺问内容圆径几
何
法以勾八尺与股十五尺相乗得一百二十尺乃以勾八尺股十五尺?十七尺三数相加共四十尺除之得三尺为容圆半径倍之得六尺为容圆全径也如图甲乙丙勾股形内容丁圜形试自圜中心至甲乙丙三角作丁甲丁乙丁丙三线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙乙丁丙三三角形勾股?三线皆为三角形之底边而丁戊半径皆为其垂线矣今勾股相乗所得之长方积原比甲乙丙勾股形积大一倍即如将所分三三角形各用垂线乗底边所得之三长方积合为一长方也三长方之长虽不同而阔则一故各以长除积而得阔者即如合勾股?三边除勾股相乗之积而得半径也
又法以勾八尺与股十五尺相加得二十三尺内减?十七尺余六尺即为内容圆之全径也如图甲乙丙勾股形自圜中心作丁甲丁乙丁丙三线又作丁戊丁己丁庚三垂线则丙戊与丙己等甲戊与甲庚等乙己与乙庚原等甲乙股与乙丙勾相并比甲丙?所多者惟乙己乙庚二?今于甲乙股乙丙勾相并度内减去甲丙?即如甲乙股内减去与甲戊等之甲庚乙丙勾内减去与丙戊等之丙己所余者止乙庚与乙己皆为圆之半径二半径相合非全径耶
勾股?和较相求法【上】
勾股?和较相求之法错综变换共有六十旧算书所有者八按旧法可以变通者三十有四旧法所无今创立者一十有八依题比类列目于前按法循序设问于后以备人之观览焉
有勾有股?较求股?【第一旧有】
有勾有股?和求股?【第二旧有】
有股有勾?较求勾?【第三旧有】
有股有勾?和求勾?【第四旧有】
有?有勾股较求勾股【第五旧有】
有?有勾股和求勾股【第六旧有】
有勾?和有股?和求勾股?【第七旧有】
有勾股和有股?和求勾股?【第八新立】
有勾股和有勾?和求勾股?【第九新立】
有勾?较有股?较求勾股?【第十旧有】
有勾股较有勾?较求勾股?【第十一按旧法变通】有勾股较有股?较求勾股?【第十二按旧法变通】有勾股和有勾?较求勾股?【第十四新立】
有勾股和有股?较求勾股?【第十五新立】
有勾?和有股?较求勾股?【并见第十五新立】有勾?和有勾股较求勾股?【第十三按旧法变通】有股?和有勾?较求勾股?【并见第十四新立】有股?和有勾股较求勾股?【并见第十三按旧法变通】有勾有勾股?总和求股?【第十八按旧法变通】
有勾有?与勾股和之较求股?【第十六按旧法变通】有勾有?与勾股较之和求股?【第十九按旧法变通】有勾有?与勾股较之较求股?【第十七按旧法变通】有股有勾股?总和求勾?【第二十二按旧法变通】有股有?与勾股和之较求勾?【第二十按旧法变通】有股有?与勾股较之和求勾?【第二十三按旧法变通】有股有?与勾股较之较求勾?【第二十一按旧法变通】有?有勾股?总和求勾股【第二十六按旧法变通】有?有?与勾股和之较求勾股【第二十四按旧法变通】有?有?与勾股较之和求勾股【第二十七按旧法变通】有?有?与勾股较之较求勾股【第二十五按旧法变通】有勾股和有勾股?总和求勾股?【并见第二十六按旧法变通】
有勾股和有?与勾股和之较求勾股?【并见第二十四按旧法变通】
有勾股和有?与勾股较之和求勾股?【第三十八新立】
有勾股和有?与勾股较之较求勾股?【第三十七新立】
有勾?和有勾股?总和求勾股?【并见第二十二按旧法变通】
有勾?和有?与勾股和之较求勾股?【第三十九新立】
有勾?和有?与勾股较之和求勾股?【第十四新立】
有勾?和有?与勾股较之较求勾股?【并见第二十一按旧法变通】
有股?和有勾股?总和求勾股?【并见第十八按旧法变通】
有股?和有?与勾股和之较求勾股?【第四十一新立】
有股?和有?与勾股较之和求勾股?【并见第十九按旧法变通】
有股?和有?与勾股较之较求勾股?【第四十二新立】
有勾股较有勾股?总和求勾股?【第三十四新立】有勾股较有?与勾股和之较求勾股?【第四十三新立】
有勾股较有?与勾股较之和求勾股?【并见第二十七按旧法变通】
有勾股较有?与勾股较之较求勾股?【并见第二十五按旧法变通】
有勾?较有勾股?总和求勾股?【第三十五新立】有勾?较有?与勾股和之较求勾股?【并见第二十按旧法变通】
有勾?较有?与勾股较之和求勾股?【并见第二十三按旧法变通】
有勾?较有?与勾股较之较求勾股?【第四十四新立】
有股?较有勾股?总和求勾股?【第三十六新立】有股?较有?与勾股和之较求勾股?【并见第十六按旧法变通】
有股?较有?与勾股较之和求勾股?【第四十五新立】
有股?较有?与勾股较之较求勾股?【并见第十七按旧法变通】
有勾股?总和有?与勾股和之较求勾股?【第三十三按旧法变通】
有勾股?总和有?与勾股较之和求勾股?【第三十按旧法变通】
有勾股?总和有?与勾股较之较求勾股?【第三十一按旧法变通】
有?与勾股和之较有?与勾股较之和求勾股?【第二十九按旧法变通】
有?与勾股和之较有?与勾股较之较求勾股?【第二十八按旧法变通】
有?与勾股较之和有?与勾股较之较求勾股?【第三十二按旧法变通】
设如有勾十五尺股?较五尺求股?各几何【第一】法以勾十五尺自乗得二百二十五尺以股?较五尺除之得四十五尺为股?和与股?较五尺相加得五十尺折半得二十五尺为?于?二十五尺内减股?较五尺余二十尺为股也如图甲乙为勾十五尺丁乙为股?较五尺试自甲至丁作甲丁线则成甲乙丁勾股形复以丁乙线引长而以甲为直角作甲丙线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则丁乙甲乙乙丙即为连比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率丁乙股?较除之得末率乙丙为股?和也乙丙与丁乙相加得丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为?于丁戊半径内减丁乙股?较余乙戊即为股也又图甲乙丙丁为?自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即股?和其庚乙阔即股?较故将勾自乗之数以股?较除之而得股?和也
又法以勾十五尺自乗得二百二十五尺又以股?较五尺自乗得二十五尺相减余二百尺折半得一百尺以股?较五尺除之得二十尺为股加股?较五尺得二十五尺为?也如图甲乙丙丁为?自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等而已壬丙辛即股?较自乗之正方积也于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛股?较自乗之正方积余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形折半即余戊己辛丁一长方形其戊己长即股其己辛阔即股?较故以股?较除折半之积而得股也
设如有勾二十八尺股?和九十八尺求股?各几何【第二】
法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺以股?和九十八尺除之得八尺为股?较与股?和九十八尺相加得一百零六尺折半得五十三尺为?于股?和九十八尺内减?五十三尺余四十五尺为股也如图甲乙为勾二十八尺乙丙为股?和九十八尺试自甲至丙作甲丙线则成甲乙丙勾股形复以乙丙线引长而以甲为直角作甲丁线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心作丙甲丁半圜则乙丙甲乙丁乙即为连比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率乙丙股?和除之得末率丁乙为股?较也丁乙与乙丙相加得丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为?于乙丙股?和内减戊丙半径或于丁戊半径内减丁乙股?较余乙戊即为股也又图甲乙丙丁为?自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即股?和其庚乙阔即股?较故勾自乗之数以股?和除之而得股?较也
又法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺又以股?和九十八尺自乗得九千六百零四尺两数相加得一万零三百八十八尺折半得五千一百九十四尺以股?和九十八尺除之得五十三尺为?于股?和九十八尺内减?五十三尺余四十五尺为股也如图甲乙丙丁为股?和自乗之正方积内戊己丙庚为?自乗之正方积甲辛戊壬为股自乗之正方积辛乙己戊与壬戊庚丁为股?相乗之二长方积勾自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑磬折形相等如加甲辛戊壬股自乗之正方积则成癸子戊丑正方形为一勾方一股方相和之积而与戊己丙庚一?方之积相等今以勾自乗之磬折形之积加于股?和自乗之正方积内即如将癸寅壬丑长方形移补于子夘乙辛遂成寅卯丙丁一大长方形折半则余壬己丙丁一长方形其阔即?其长即股?和故以股?和除折半之积而得?也
设如有股三十二尺勾?较十六尺求勾?各几何【第三】
法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺以勾?较十六尺除之得六十四尺为勾?和与勾?较十六尺相加得八十尺折半得四十尺为?于?四十尺内减勾?较十六尺余二十四尺为勾也如图甲乙为股三十二尺丁乙为勾?较十六尺试自甲至丁作甲丁线则成甲乙丁勾股形复以丁乙线引长而以甲为直角作甲丙线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则丁乙甲乙乙丙即为连比例三率故以中率甲乙股自乗以首率丁乙勾?较除之得末率乙丙为勾?和也丁乙与乙丙相加为丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为?于丁戊半径内减丁乙勾?较余乙戊即为勾也又图甲乙丙丁为?自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即勾?和其庚乙阔即勾?较故将股自乗之数以勾?较除之而得勾?和也又法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺又以勾?较十六尺自乗得二百五十六尺相减余七百六十八尺折半得三百八十四尺以勾?较十六尺除之得二十四尺为勾加勾?较十六尺得四十尺为?也如图甲乙丙丁为?自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等而以壬丙辛即勾?较自乗之正方积也于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛勾?较自乗之正方积余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形折半即余戊己辛丁一长方形其戊己长即勾其己辛阔即勾?较故以勾?较除折半之积而得勾也
设如有股八尺勾?和十六尺求勾?各几何【第四】法以股八尺自乗得六十四尺以勾?和十六尺除之得四尺为勾?较与勾?和十六尺相加得二十尺折半得十尺为?于勾?和十六尺内减?十尺余六尺为勾也如图甲乙为股八尺乙丙为勾?和十六尺试自甲至丙作甲丙线则成甲乙丙勾股形复以乙丙线引长而以甲为直角作甲丁线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则乙丙甲乙丁乙即为连比例三率故将中率甲乙股自乗以首率乙丙勾?和除之得末率丁乙为勾?较也丁乙与乙丙相加为丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为?于乙丙勾?和内减戊丙半径或丁戊半径内减丁乙勾?较余乙戊即为勾也又图甲乙丙丁为?自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即勾?和其庚乙阔即勾?较故股自乗之数以勾?和除之而得勾?较也
又以法股八尺自乗得六十四尺又以勾?和十六尺自乗得二百五十六尺相加得三百二十尺折半得一百六十尺以勾?和十六尺除之得十尺为?于勾?和十六尺内减?十尺余六尺为勾也如图甲乙丙丁为勾?和自乗之正方积内戊己丙庚为?自乗之正方积甲辛戊壬为勾自乗之正方积辛乙己戊与壬戊庚丁为勾?相乗之二长方积股自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑之磬折形相等如加甲辛戊壬勾自乗之正方积则成癸子戊丑正方形为一勾方一股方相和之积而与戊己丙庚一?方之积相等今以股自乗之磬折形之积加于勾?和自乗之正方积内即如将癸寅壬丑长方形移补于子卯乙辛遂成寅卯丙丁一大长方形折半则余壬己丙丁一长方形其阔即?其长即勾?和故以勾?和除折半之积而得?也
设如有?三十四尺勾股较十四尺求勾股各几何【第五】
法以?三十四尺自乗得一千一百五十六尺又以勾股较自乗得一百九十六尺相减余九百六十尺折半得四百八十尺为勾股相乗之一长方形积乃以勾股较十四尺为长阔较用带纵较数开方法算之得阔十六尺为勾得长三十尺为股也如图甲乙丙丁为?自乗之正方积戊己庚辛为勾股较自乗之正方积相减余甲戊乙类四勾股形为二长方形积折半余一长方形积其阔即勾其长即股其长阔较即勾股较故以带纵较数开方法算之而得阔为勾得长为股也
又法以?三十四尺自乗得一千一百五十六尺倍之得二千三百一十二尺又以勾股较十四尺自乗得一百九十六尺相减余二千一百一十六尺开方得四十六尺为勾股和于勾股和四十六尺内减勾股较十四尺余三十二尺折半得十六尺为勾于勾十六尺加勾股较十四尺得三十尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之正方内容甲戊己类八勾股积与壬癸子丑一勾股较积戊己庚辛为?自乗之正方内容戊癸己类四勾股积与壬癸子丑一勾股较积倍之则为八勾股积二勾股较积即如甲乙丙丁一大正方形仍余壬癸子丑一小正方形今减所余壬癸子丑一小正方形【即一勾股较积】仍余八勾股积一勾股较积为甲乙丙丁正方形即勾股和自乗之方故开方而得勾股和也
设如有?三十九尺勾股和五十一尺求勾股各几何【第六】
法以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺又以?三十九尺自乗得一千五百二十一尺相减余一千零八十尺折半得五百四十尺为勾股相乗之一长方形积乃以勾股和五十一尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十五尺为勾得长三十六尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之正方积戊己庚辛为?自乗之正方积相减余甲戊己类四勾股形为二长方形积折半余一长方形积其阔即勾其长即股其长阔和即勾股和故以带纵和数开方法算之而得阔为勾得长为股也又法以?三十九尺自乗得一千五百二十一尺倍之得三千零四十二尺又以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺相减余四百四十一尺开方得二十一尺为勾股较于勾股和五十一尺内减勾股较二十一尺余三十尺折半得十五尺为勾于勾十五尺加勾股较二十一尺得三十六尺为股也如图戊己庚辛为?自乗之正方内容戊癸己类四勾股积与壬癸子丑一勾股较积倍之则为八勾股积二勾股较积即如甲乙丙丁一大正方形仍余壬癸子丑一小正方形又甲乙丙丁为勾股和自乘之正方内容甲戊巳类八勾股积壬癸子丑一勾股较积今以所倍之一大正方形又余一小正方形内减甲乙丙丁正方形即余壬癸子丑一小正方形为勾股较积故开方而得勾股较也
设如有勾?和二十四尺股?和二十七尺求勾股?各几何【第七】
法以勾?和二十四尺与股?和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺开方得三十六尺为勾股?总和于总和三十六尺内减勾?和二十四尺余十二尺为股于总和三十六尺内减股?和二十七尺余九尺为勾于股?和二十七尺内减股十二尺或勾?和二十四尺内减勾九尺余十五尺为?也如图甲乙线为勾?和甲丁线为股?和相乗得甲乙丙丁长方形内戊己庚丁为?自乗之正方辛乙壬己为勾股相乗之长方甲辛巳戊为股?相乘之长方己壬丙庚为勾?相乗之长方倍之即为癸子丑寅一大正方其每一边即勾股?之总和其卯辰己寅为?自乗之正方即如前图之戊己庚丁然其午未申辰为股自乘之正方其酉子戌未为勾自乗之正方两方相合又与前图戊己庚丁?自乗之正方相等其艮酉未午与未戌干申为勾股相乗之二长方每一形即如前图之辛乙壬己然其亥午辰卯与辰申坎巳为股?相乗之二长方每一形即如前图之甲辛己戊然其癸艮午亥与申干丑坎为勾?相乗之二长方每一形即如前图之己壬丙庚然因癸子丑寅正方比甲乙丙丁长方每一形俱多一倍故甲乙勾?和甲丁股?和相乗所成之甲乙丙丁长方倍之而与癸子丑寅正方等开方得癸子类之每一边皆为勾股?之总和也
设如有勾股和二十一尺股?和二十七尺求勾股?各几何【第八】
法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以股?和二十七尺自乗得七百二十九尺两数相减余二百八十八尺乃以勾股和二十一尺与勾?和二十七尺相减余六尺为勾?较【葢股与勾和股与?和皆为一股所和故相减即勾?较也】自乗得三十六尺与两和自乗相减之余二百八十八尺相加得三百二十四尺开方得十八尺为股与勾?较之和内减勾?较六尺余十二尺为股于勾股和二十一尺内减股十二尺余九尺为勾加勾?较六尺得十五尺为?也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己为股自乘之一正方辛己壬丁为勾自乘之一正方甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为股?和自乗之一大正方内卯子巳辰为股自乗之一正方午辰未寅为?自乗之一正方癸卯辰午与辰巳丑未为股?相乗之二长方今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅股?和自乗之方相减则于癸子丑寅股?和自乗之方内去卯子己辰股自乗之一正方酉辰戌干勾自乗之一正方又去申卯辰酉与辰巳亥戌勾股相乗之二长方所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为勾?较与股相乗之二长方又午酉干戌未寅一磬折形为?自乗之一正方内减勾自乗之一正方所余之股自乗之一正方如以此磬折形积作一股自乗之一正方再加癸申酉午与戌亥丑未之勾?较与股相乗之二长方则惟缺午艮未震为勾?较自乗之一小正方今以勾?较自乗之数加于两和自乗相减之余甫成癸坎丑震一正方故开方而得癸坎类之每一边为股与勾?较相和之数也
设如有勾股和二十一尺勾?和二十四尺求勾股?各几何【第九】
法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以勾?和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余一百三十五尺乃以勾股和二十一尺与勾?和二十四尺相减余三尺为股?较【葢勾与股和勾与?和皆为一勾所和故相减即股?较也】自乗得九尺与两和自乗相减之余一百三十五尺相加得一百四十四尺开方得十二尺为勾与股?较之和内减股?较三尺余九尺为勾于勾股和二十一尺内减勾九尺余十二尺为股加股?较三尺得十五尺为?也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己为勾自乗之一正方辛已壬丁为股自乗之一正方甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乘之二长方又癸子丑寅为勾?和自乗之一大正方内卯子巳辰为勾自乗之一正方午辰未寅为?自乗之一正方癸卯辰午与辰己丑未为勾?相乗之二长方今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅勾?和自乗之方相减则于癸子丑寅勾?和自乗之方内去卯子己辰勾自乘之一正方酉辰戌干股自乘之一正方又去申卯辰酉与辰己亥戌勾股相乗之二长方所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为股?较与勾相乗之二长方又午酉干戌未寅一磬折形为?自乗之一正方内减股自乗之一正方所余之勾自乗之一正方如以此磬折形积作一勾自乗之一正方再加癸申酉午与戌亥丑未之股?较与勾相乗之二长方则惟缺午艮未震为股?较自乗之一小正方今以股?较自乗之数加于两和自乗相减之余甫成癸坎丑震一正方故开方而得癸坎类之每一边为勾与股?较相和之数也
设如有勾?较九尺股?较二尺求勾股?各几何【第十】
法以勾?较九尺与股?较二尺相乗得十八尺倍之得三十六尺开方得六尺为?比勾股和相差之较加股?较二尺得八尺为勾加勾?较九尺得十五尺为股于勾数加勾?较九尺得十七尺为?或于股数加股?较二尺亦得十七尺为?也如图甲乙丙丁为?自乗之一正方戊己丙庚为股自乗之一正方二方相减所余甲乙己戊庚丁磬折形即与勾自乗之一正方等而乙己与庚丁皆为股?较试作甲壬癸辛一正方为勾自乗之方则壬乙与辛丁皆为股?较其壬丑与乙己等辛子与丁庚等亦皆为股?较以壬乙之勾?较与壬丑之股?较相乗则成壬乙己丑之一长方形以辛丁之勾?较与辛子之股?较相乗则成辛子庚丁之一长方形此两长方形必与戊丑癸子一正方形相等何也葢甲乙己戊庚丁与勾自乗之一正方相等之磬折形内减甲壬丑戊子辛一小磬折形则余壬乙己丑与辛子庚丁二长方形若于甲壬癸辛勾自乗之一正方内减甲壬丑戊子辛磬折形则余戊丑癸子一小正方形夫甲乙己戊庚丁磬折形既与甲壬癸辛之勾自乗之一正方相等今同减去甲壬丑戊子辛磬折形则彼所余之二长方必与此所余之一正方相等可知矣故勾?较与股?较相乗倍之开方而得?比勾股和相差之较加股?较得勾加勾?较而得股也【葢图以乙丙为?己丙为股故乙己为股?较若以壬癸勾与己丙股相和则壬癸勾之壬丑一?即为股?较而勾股和比?所多者惟丑癸一?故丑癸为?比勾股和相差之较也】
设如有勾股较三十四尺勾?较三十六尺求勾股?各几何【第十一】
法以勾股较三十四尺与勾?较三十六尺相减余二尺为股?较即如前法以股?较二尺与勾?较三十六尺相乗得七十二尺倍之得一百四十四尺开方得十二尺为?比勾股和相差之较加股?较二尺得十四尺为勾加勾?较三十六尺得四十八尺为股于勾数加勾?较三十六尺得五十尺为?或于股数加股?较二尺亦得五十尺为?也如图甲乙为勾甲丙为股甲丁为?乙丙为勾股较乙丁为勾?较而丙丁为股?较今以乙丁勾?较减乙丙勾股较所余丙丁即为股?较既得股?较则如勾?较股?较求勾股?之法算之即得各数矣
设如有勾股较十四尺股?较二尺求勾股?各几何【第二十】
法以勾股较十四尺与股?较二尺相加得十六尺为勾?较即如前法以勾?较十六尺与股?较二尺相乗得三十二尺倍之得六十四尺开方得八尺为?比勾股和相差之较加股?较二尺得十尺为勾加勾?较十六尺得二十四尺为股于勾数加勾?较十六尺得二十六尺为?或于股数加股?较二尺亦得二十六尺为?也如图甲乙为勾甲丙为股甲丁为?乙丙为勾股较丙丁为股?较而乙丁为勾?较今以乙丙勾股较与丙丁股?较相加则得乙丁之勾?较既得勾?较则如勾?较股?较求勾股?之法算之即得各数矣
设如有勾?和二十四尺勾股较三尺求勾股?各几何【第十三】
法以勾?和二十四尺加勾股较三尺得二十七尺为股?和用勾?和股?和求勾股?之法算之以勾?和二十四尺与股?和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺开方得三十六尺为勾股?总和内减勾?和二十四尺余十二尺为股减勾股较三尺余九尺为勾于勾?和二十四尺内减勾九尺余十五尺为?也如图甲丙为股乙丙为勾丙丁为?乙丁为勾?和甲乙为勾股较而甲丁为股?和故甲乙勾股较与乙丁勾?和相加得甲丁为股?和也若夫股?和勾股较求勾股?者则于股?和内减勾股较即勾?和亦用勾?和股?和求勾股?之法算之如甲丙为股乙丙为勾丙丁为?则甲丁为股?和甲乙为勾股较而乙丁为勾?和故于甲丁股?和内减甲乙勾股较余乙丁为勾?和也
设如有勾股和二十三尺勾?较九尺求勾股?各几何【第十四】
法以勾股和二十三尺加勾?较九尺得三十二尺为股?和用勾股和股?和求勾股?之法算之以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以股?和三十二尺自乗得一千零二十四尺两数相减余四百五十九尺乃以勾?较九尺自乗得八十一尺与两和自乗相减之余四百九十五尺相加得五百七十六尺开方得二十四尺为股与勾?较之和内减勾?较九尺余十五尺为股于勾股和二十三尺内减股十五尺余八尺为勾加勾?较九尺得十七尺为?也如图甲丙为?乙丙为勾丙丁为股乙丁为勾股和甲乙为勾?较而甲丁为股?和故甲乙勾?较与乙丁勾股和相加得甲丁为股?和也若夫股?和勾?较求勾股?者则于股?和内减勾?较即勾股和亦用勾股和股?和求勾股?之法算之如甲丙为?乙丙为勾丙丁为股则甲丁为股?和甲乙为勾?较而乙丁为勾股和故于甲丁股?和内减甲乙勾?较余乙丁为勾股和也
设如有勾股和十七尺股?较一尺求勾股?各几何【第十五】
法以勾股和十七尺加股?较一尺得十八尺为勾?和用勾股和勾?和求勾股?之法算之以勾股和十七尺自乗得二百八十九尺又以勾?和十八尺自乗得三百二十四尺两数相减余三十五尺乃以股?较一尺自乗仍得一尺与两和自乗相减之余三十五尺相加得三十六尺开方得六尺为勾与股?较之和内减股?较一尺余五尺为勾于勾股和十七尺内减勾五尺余十二尺为股加股?较一尺得十三尺为?也如图甲乙为勾乙丙为股乙丁为?甲丙为勾股和丙丁为股?较而甲丁为勾?和故甲丙勾股和与丙丁股?较相加得甲丁为勾?和也若夫勾?和股?较求勾股?者则于勾?和内减股?较即勾股和亦用勾股和勾?和求勾股?之法算之如甲乙为勾乙丙为股乙丁为?则甲丁为勾?和丙丁为股?较而甲丙为勾股和故于甲丁勾?和内减丙丁股?较余甲丙为勾股和也
设如有勾八尺?与勾股和之较六尺求股?各几何【第十六】
法以勾八尺内减?与勾股和之较六尺余二尺为股?较用有勾有股?较求股?法算之如甲乙为勾乙丙为股甲丙为勾股和丁丙为?甲丁为?与勾股和之较丁乙为股?较故甲乙勾内减甲丁?与勾股和之较余丁乙为股?较也若有股?较与?与勾股和之较求勾股?者则以股?较与?与勾股和之较相加即勾亦用有勾有股?较求股?法算之
设如有勾八尺?与勾股较之较十尺求股?各几何【第十七】
法以勾八尺与?与勾股较之较十尺相减余二尺为股?较用有勾有股?较求股?法算之如甲乙为股丙乙为勾甲丁为?甲丙为勾股较乙丁为股?较丙丁为?与勾股较之较故丙丁?与勾股较之较内减丙丁勾余乙丁为股?较也若有股?较与?与勾股较之较求勾股?者则以股?较与?与勾股较之较相减余即勾亦用有勾有股?较求股?法算之
设如有勾八尺勾股?总和四十尺求股?各几何【第十八】
法以勾八尺与勾股?总和四十尺相减余三十二尺为股?和用有勾有股?和求股?法算之如甲乙为勾乙丙为股丙丁为?甲丁为勾股?总和故甲丁勾股?总和内减甲乙勾余乙丁为股?和也若有股?和与勾股?总和求勾股?者则以股?和与勾股?总和相减余即勾亦用有勾有股?和求股?法算之
设如有勾八尺?与勾股较之和二十四尺求股?各几何【第十九】
法以勾八尺与?与勾股较之和二十四尺相加得三十二尺为股?和用有勾有股?和求股?法算之如甲乙为勾甲丙为股乙丙为勾股较丙丁为?甲丁为股?和乙丁为?与勾股较之和故以甲乙勾与乙丁?与勾股较之和相加得甲丁为股?和也若有股?和与?与勾股较之和求勾股?者则于股?和内减?与勾股较之和余即勾亦用有勾有股?和求股?法算之
设如有股十五尺?与勾股和之较六尺求勾?各几何【第二十】
法以股十五尺内减?与勾股和之较六尺余九尺为勾?较用有股有勾?较求勾?法算之如甲乙为股乙丙为勾甲丙为勾股和丁丙为?甲丁为?与勾股和之较丁乙为勾?较故甲乙股内减甲丁?与勾股和之较余丁乙即勾?较也若有勾?较与?与勾股和之较求勾股?者则以勾?较与?与勾股和之较相加即股亦用有股有勾?较求勾?法算之
设如有股十五尺?与勾股较之较十尺求勾?各几何【第二十一】
法以股十五尺与?与勾股较之较十尺相加得二十五尺为勾?和用有股有勾?和求勾?法算之如甲乙为股甲丙为勾丙丁为?甲丁为勾?和丙乙为勾股较乙丁为?与勾股较之较故以甲乙股与乙丁?与勾股较之较相加得甲丁为勾?和也若有勾?和与?与勾股较之较求勾股?者则于勾?和内减?与勾股较之较余即股亦用有股有勾?和求勾?法算之
设如有股十五尺勾股?总和四十尺求勾?各几何【第二十二】
法以股十五尺与勾股?总和四十尺相减余二十五尺为勾?和用有股有勾?和求勾?法算之如甲乙为股乙丙为勾丙丁为?甲丁为勾股?总和故甲丁勾股?总和内减甲乙股余乙丁为勾?和也若有勾?和与勾股?总和求勾股?者则以勾股和与勾股?总和相减余即股亦用有股有勾?和求勾?法算之
设如有股十五尺?与勾股较之和二十四尺求勾?各几何【第二十三】
法以股十五尺与?与勾股较之和二十四尺相减余九尺为勾?较用有股有勾?较求勾?法算之如甲乙为股丙乙为勾丙丁为?甲丙为勾股较乙丁为勾?较甲丁为?与勾股较之和故甲丁?与勾股较之和内减甲乙股余乙丁为勾?较也若有勾?较与?与勾股较之和求勾股?者则以勾?较与?与勾股较之和相减余即股亦用有股有勾?较求勾?法算之
设如有?十七尺?与勾股和之较六尺求勾股各几何【第二十四】
法以?十七尺与?与勾股和之较六尺相加得二十三尺为勾股和用有?有勾股和求勾股法算之如甲乙为?甲丙为勾丙丁为股甲丁为勾股和乙丁为?与勾股和之较故甲乙?与乙丁?与勾股和之较相加得甲丁为勾股和也若有勾股和与?与勾股和之较求勾股?者则于勾股和内减?与勾股和之较余即?亦用有?有勾股和求勾股法算之
设如有?十七尺?与勾股较之较十尺求勾股各几何【第二十五】
法以?十七尺内减?与勾股较之较十尺余七尺为勾股较用有?有勾股较求勾股法算之如甲乙为?丙丁为股乙丁为勾丙乙为勾股较甲丙为?与勾股较之较故甲乙?内减甲丙?与勾股较之较余丙乙为勾股较也若有勾股较与?与勾股较之较求勾股?者则以勾股较与?与勾股较之较相加即?亦用有?有勾股较求勾股法算之
设如有?十七尺勾股?总和四十尺求勾股各几何【第二十六】
法以?十七尺与勾股?总和四十尺相减余二十三尺为勾股和用有?有勾股和求勾股法算之如甲乙为?乙丙为勾丙丁为股甲丁为勾股?总和故甲丁勾股?总和内减甲乙?余乙丁为勾股和也若有勾股和与勾股?总和求勾股?者则以勾股和与勾股?总和相减余即?亦用有?有勾股和求勾股法算之
设如有?十七尺?与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第二十七】
法以?十七尺与?与勾股较之和二十四尺相减余七尺为勾股较用有?有勾股较求勾股法算之如甲乙为?乙丙为股丁丙为勾乙丁为勾股较甲丁为?与勾股较之和故甲丁?与勾股较之和内减甲乙?余乙丁为勾股较也若有勾股较与?与勾股较之和求勾股?者则于?与勾股较之和内减勾股较余即?亦用有?有勾股较求勾股法算之
设如有?与勾股和之较六尺?与勾股较之较十尺求勾股?各几何【第二十八】
法以?与勾股和之较六尺与?与勾股较之较十尺相加得十六尺折半得八尺为勾于勾八尺内减?与勾股和之较六尺余二尺为股?较用有勾有股?较求股?法算之如甲乙为股戊乙乙丙皆为勾甲丙为勾股和甲戊为勾股较甲丁为?丁丙即?与勾股和之较戊丁即?与勾股较之较故丁丙?与勾股和之较与戊丁?与勾股较之较相加得戊丙为二勾之共数是以折半得勾也既得勾则于勾内减?与勾股和之较即股?较矣
设如有?与勾股和之较六尺?与勾股较之和二十四尺求勾股?各几何【第二十九】
法以?与勾股和之较六尺与?与勾股较之和二十四尺相加得三十尺折半得十五尺为股于股十五尺内减?与勾股和之较六尺余九尺为勾?较用有股有勾?较求勾?法算之如甲乙乙丙皆为股丁乙为勾丁丙为勾股和甲丁为勾股较丁戊为?戊丙即?与勾股和之较甲戊即?与勾股较之和故戊丙?与勾股和之较与甲戊?与勾股较之和相加得甲丙为二股之共数是以折半得股也既得股则于股内减?与勾股和之较即勾?较矣
设如有勾股?总和四十尺?与勾股较之和二十四尺求勾股?各几何【第三十】
法以勾股?总和四十尺内减?与勾股较之和二十四尺余十六尺折半得八尺为勾于勾股?总和四十尺内减勾八尺余三十二尺为股?和用有勾有股?和求股?法算之如甲乙为?乙丙为股丙丁为勾乙戊为勾股较甲丁为勾股?总和甲戊为?与勾股较之和故甲丁勾股?总和内减甲戊?与勾股较之和余戊丁即二勾之共数是以折半得勾也既得勾则于勾股?总和内减勾即股?和矣
设如有勾股?总和四十尺?与勾股较之较十尺求勾股?各几何【第三十一】
法以勾股?总和四十尺内减?与勾股较之较十尺余三十尺折半得十五尺为股于勾股?总和四十尺内减股十五尺余二十五尺为勾?和用有股有勾?和求勾?法算之如甲乙为?乙丙为勾丙丁为股戊乙为勾股较甲丁为勾股?总和甲戊为?与勾股较之较故甲丁勾股?总和内减甲戊?与勾股较之较余戊丁即二股之共数是以折半得股也既得股则于勾股?总和内减股即勾?和矣
设如有?与勾股较之和二十四尺?与勾股较之较十尺求勾股?各几何【第三十二】
法以?与勾股较之和二十四尺与?与勾股较之较十尺相加得三十四尺折半得十七尺为?于?与勾股较之和二十四尺内减?十七尺余七尺为勾股较用有?有勾股较求勾股法算之如甲乙乙丙皆为?乙丁为勾股较甲丁为?与勾股较之和丁丙为?与勾股较之较故甲丁?与勾股较之和与丁丙?与勾股较之较相加得甲丙为二?之共数是以折半得?也既得?则于?与勾股较之和内减?即勾股较矣
设如有勾股?总和四十尺?与勾股和之较六尺求勾股?各几何【第三十三】
法以勾股?总和四十尺内减?与勾股和之较六尺余三十四尺折半得十七尺为?于勾股?总和四十尺内减?十七尺余二十三尺为勾股和用有?有勾股和求勾股法算之如甲乙为勾股和乙丙为?甲丙为勾股?总和甲丁为?与勾股和之较故甲丙勾股?总和内减甲丁?与勾股和之较余丁丙即二?之共数是以折半得?也既得?则于勾股?总和内减?即勾股和矣
御制数理精蕴下编卷十二