明 李之藻 撰
定位第一
古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍累纪于一协于十长于百大于千衍于万算之原也后世乃为珠算而其法较便然率以定位为难差毫厘失千里矣兹以书代珠始于一究于九随其所得而书识之满一十则不书十而书一于左进位乃作○于本位【○一】曰一十由十进百由百进千由千进万皆仿此
假如四万三千二百一十作何排列
自左方写起平行大数列左小数列右若从小数起积者每满十则进位一十者书一二十者书二余仿此若大数积多则于左方渐进加字如后图万亿兆京是也若小数积余则于右方渐退加字如两下有钱钱下有分分下有厘又有毫有丝有忽之类是也
大衍式
几度十丈曰引五丈曰端四丈曰疋十尺曰丈十寸曰尺十分曰寸而计田则横一丈纵六十丈为亩【即濶一步长二百四十步】四分其亩为一角角得方丈者十五十分其亩为一分分得方丈者六得方尺者六百分以下厘毫析之而以百亩为顷五项四十亩为丘凡量六粟为圭十圭为撮十撮为抄十抄为勺满十而进之为合为升为斗为石亦曰斛凡衡以两为君两有十钱钱有十分自分以下十而析之曰厘曰毫曰丝曰忽曰微曰纎曰沙曰尘曰埃曰曰漠至细之倪惟所立名而十六两为斤二百斤为引今公私通用之则也古法之衡则十黍为累十累为铢八铢为锱六铢为分二十四铢为两两即四分也两又四之自乘一十六以象四时是命曰斤计铢三百八十有四当朞之月又以十五斤为称二称为钧四钧为石度则古尺长短不一丈尺而外别以七尺为施八尺为仞亦为寻倍寻为常量则六十四黍为圭又有四升之豆四豆之区四区之釡十釡之钟十六斗之庾十六斛之秉今皆不用 凡钱千文为缗五缗为绽凡钞五贯为锭锭当钱千里法三百六十步步法今用五尺
厯法每度百分每分百秒西厯则积六十秒为分积六十分为度秒以下俱以六十析之
右式三位而成百五位而成万九位而成亿十七位而成兆二十五位而成京自京至垓自垓至秭以极于正于载皆以万万递加是谓中数昔者黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也从亿至载终于大衍下数浅短计事不尽上数宏廓世不可用故其业惟以中数举一中数而天地鬼神人物之纪思议之所不及者皆尽之矣况更有上数在乎由旬刹那吾无取焉尔
加法第二
凡数惟加法最易加之不已至于无算故算首论加加也并也积也一也少曰并多曰积皆加也列散数于上各横置以类相比【如十从十百从百及两从两斗从斗之类】先从小数并之而以所得数纪本位下遇十则进一位遇百则进二位第一图 系进一位式
【倂四七九得二十下纪○ 二进位并五八八又并前二得二十三下纪三二进位并六九七八又倂前二得三十二下纪二三进位并八六又并前三得一十七下纪七一进位并一五又并前一得七下纪七】
【只七下纪七】
右式散数四项列格上并总得数七十七万七千二百三十列格下
第二图 系进二位式
【初并一百零二下纪二以一百进二位
次并五下纪五
再并一十六前一得一十七下纪七一进位
终并连前共得二十三下纪三二进位】
右式散数一十二项并总得数二万三千七百五十二
以上二图尽加法矣另有试法具后
一法先自上数下得若干复自下数上得若干然后纪总一法以减法试加随意减一行得若干再加所减仍得若干
又有将散数总数错综覈之者有九减七减二法先减散数余若干次减总数余若干以其所余两数对列相较同则无差异则有差
第一图用九减
此法不论进位只以见数为
准累用九减去○不用先以
散数九减之余置于左次以
总数九减之余置于右俱得
八故知不差
又用七减
此法与九减者稍异乃以实数七七减之从左起连○算者如首行首七竞减净 次【○一】减七余三 次即作【六三】减七余一 次作【五一】减七余一 次作【四一】七减无余乃于首行之左格外纪○ 又以次行之首【九八】七减余五 次即作【○五】七减余一 次作【七一】七减余三乃于次行之左格外纪三 其第三行依法减之余得五第四行依法减之亦余得五各以纪于其左 次将总数七减如前法余得六 乃合四项散数所七减而余者据见数更七减之三五五余得六纪于□左以总数所余之六纪于右六六相合固知不差
第二图用九减
【先减散去九不用六个八
共四十八余三加次行五
得八又加次行得二十四
又加末行得四十六九减
余一纪左次阅总数共一
十九九减亦余一纪右】
又用七减
照前七减法先将散
数逐减纪左累
而减之余一次
将总数亦以七
减余一相合无差
右九减七减法繁碎难用然出巧思具至理录之备翫
减法第三
减与加反用稽所余其法先较数之多寡多中减寡亦自右方小数减起以渐进位其辨多寡之法于左方首位辨之首位相等乃视次位次复相等逐位退求则多寡分焉
【此数首位视之
相等然退至三
位上系一千下
系九百九十九】
既审多寡乃以原数列上减数列下依法右起所余逐纪于下如就多中减少者不须别立借法如后第一图若少内减多须立借法以通其变如后第二图云
此上下相减俱系以少减多
不须更立借法
第二图【亦系以少减多但中有上数小下数反大者须立借法】
右借法乃借大数兼小数以便总减者又法直于借数一十用减却加入本数尤为便捷假如二不能减九当借作一十二内减九得三今却不作一十二只就所借一十之内先减九余一次乃加二仍得三也先减后加比前较易
以上二图减法尽矣其间有差与否何以覈之
一法用加法验之以减数合减余数得原数【如三加六合原九之类】又法以减余数减其原数应与所减数合【如原数七减二余五今却减五合余二为不差】
亦有用九减七减二法者俱以第一行原数为一项第二行减数第三行余数共为一项而较零之同否同即不差
九减 七减
【减数首作六十七余四次作四十八余
六又作六十二余六又作六十三无
零其余数首作三十九余四次作四
十三余一次作一十二余五次作五
十三余四次作四十一余六次作六
十一余五纪右五五相合无差】
乘法第四
既知加减当论因乘单位曰因位多曰乘通谓之乘凡乘之数妙于九九作九九图
九九相乘图
首横一行自上读下右直
一行自右读左其相值处
即是乘得数指掌可尽也
附九九相乘歌
一一如一 一二如二 二二如四 一三如三二三如六 三三如九 一四如四 二四如八三四一十二 四四一十六 一五如五 二五得一十三五一十五 四五得二十 五五二十五 一六如六二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六得三十六六三十六 一七如七 二七一十四 三七二十一四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三十二五八得四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三十六五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二九九八十一
又法就小乘得大乘不用九而用十假如二数并列因其数大难乘未知乘得若干且连注二数而取十数与较看所不足若干因连注不足数于本数右平衡相对其所不足数必其小于原数者也小者易乘乃以不足数上下相乘注乘得数于下为单数又以不足数与原数上下互减注减余数于其下为进位数即得所求大乘数
右法专为未熟大乘者设也若小数相乘不必用此盖以小数减十则不足之数反多而乘出亦多但多出十数外者以十外之数寄于进位就于互除还之其数未尝不合
【左七俱得三合 三三如九所寄进位一共得四是为六七四十二】
既知乘数乃列乘位凡乘亦从右小数乘起次第进位徧乘有以一位乘一位者有以一位乘二位【十数】三位【百数】及数十位者有以二位乘一位或二位三位以至数十百位者其变无穷其法一定
若以几位乘几位者无拘上下随意互乘
上图位数相近随意互乘如第一图者先以八乘上四次九次三次○○六四俱徧各以其乘得数置本位下次乃以七乘四乘九乘三乘○而以乘四所得置于七本位下以乘九所得置于七进一位下以乘三所得置于七进二位下其余徧乘仿此毕乘诸位仍以加法通并详具于后
二位乘【此以三十八乘三百九十四者是为二位乘】先以八徧乘上三位如前法次亦以三徧乘上三位但以尾位所得置于三本位下而其进位及进乘所得皆以次递进一位不可紊乱 如三乘四者得【二一】纪二于三下一进位 如三乘九者得【七二】加前一共【八二】纪八于三之次位二又进位 如三乘三者得九加前二得【一一】纪一于又次位一又进位 两位所乘鱼鳞相比毕则总并其数
以上二图乘法之大略也覈其差否须以除法还原列乘出总数为实如以第一行为法除之必得第二行数【如前一万四千九百七十二为实以三百九十四为法除之必得三十八】如以第二行为法除之必得第一行数【如前实以三十八为法除之各得三百九十四数】合即不差又有九除七除法列原数所余于左列乘数所余于右左右相乘列乘出数于上乃以乘积总数依法除之余数列下上下相比同即不差中间逐位乘出散数俱不用
【首行余七列左次行余二列右
二七乘得一十四以九除余五
列上其积出总数亦余五列下
依法实除原数首三十九
余四次作四十四余二纪
左乘数三十八余三纪右
二三乘得六纪上次除总
数一十四除尽次九十七
余六次六十二余六纪下】
六位乗
挨身下次以九乘上诸位尾
位亦挨本身下余以渐进位
排列 次以三乘上诸位挨
身进位如前 次以○徧乘
上位无乘各挨身照位作○
纪之或空其本位亦可 次
以六徧乘上位尾位所得就
挨六之本身其余以渐而进
云
七位乘
此即前数上下易位为乘故散
数不同而总数同
○无所乘姑空本位
试上图用九除
用七除
【依法按实七除首行余四列左次行
余四列右四四一十六仍除余二列
上总数余二列下】
亦有原数乘数并除而一有零一无零照无乘例只作○
用九除首行原数无余列左
次行乗数余五列右以五遇
○无乗只作○列上次除总
数无余亦只作○列下比同
亦有左右上下俱无零数者
用九除原数乗数俱无余左
右上俱○其总数又无余亦
作○比同
凡乗法或上行原数首尾俱系实数而次行乘数之尾却系几○或次行乘数首尾俱实数而首行原数之尾却几○者不必多作诸○第从简便将各实数如法相乘讫却照其尾余几○逐加于后即见全数盖凡以○乘数者只是作○缘其无可乘出但存其位而已此原数首尾皆实而乘数尾却多○者○无可乘且置不用只以四乘六挨身下数乘徧而止乃将三○系之于尾但不可遗其○位所差不小
若原数及乘数之尾俱各有○若干即须一一相乘以存其位嗣以实数所乘出者挨次进位不得仅如前图照位加○而已
乘得一十
六也
右图上下尾位皆○须留其位故数尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘【共得七○为尾】上有○○○亦进三位乃下四四一十六若但就身下数乘毕补○如下图然则尾少三○其失非小
若以一数为首而尾带多○其数虽多总只是一以此相乘无复可乘但照首行原数挨身进位录之乃视尾有几○照加于后即成全数
除法第五
凡数以少剖多曰除亦名归除归者各分所入除者分分除减其义一也法列原数于上层列除数于次层【旧以原数为实除数为法】从左大数除起上下挨身列位然必以小数系大数下若上层原数小下层除数大者须退一位系之详具左
列位图
凡除法原数列上除数列下于原数尾右界格如半规然而于格外注所得数其归除率以下字除上字要见几除而尽如九除而尽者格外注九字八除而尽者格外注八字余仿此所除不尽之数就原数变之抹原数而书其上凡欲知除出之数得几位者视除数之末位去原数之尾位得若干字即是归除所得位数
一位除【假如七万六千○四十八数以八除之】
格右为除得数第一除得九第二除得五未毕
先看八除【六七】得几转以乘法除之八九七十二是九也注九于格右尚余四变六作四【冩四于六上】削去首七亦削去次行除数之八
挨身另下八以八除【○四】依乘法五八四十格右再纪五其上层【○四】俱削亦削八
同前
第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是为每得九千五百○六恰尽
第一次除得九削去【六七】及八以六变四 第二次除得五削去【○四】及八尽 另挨身下八八虽不除四而当存其位乃于格右纪○而存四削八 另挨身下八以八除【八四】得六八四十八恰尽纪六于格右削去【八四】及下八毕
若除数至二位三位者除讫一位挨身布退一位如鱼鳞然其格右所注数每次所除不论几位总之只得一数但其除数首位必须兼顾次位如以首位除之已得某数即取除余变数为实以所得某数呼次位乗之看是恰尽或有余否方可纪于格右若有不足则将首位所除量减数以为次位之地【如九乗不足则减而用八如八乗不足则减而用七用六之类】务取通融恰当其三位除四位除者亦如之三位除【此有一百八十三万二千四百八十七之数而以四百六十九除之先以首四除一十八尽乘得四四一十六用四而余二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不减数从三只用三以除一十八除得三四一十二尚余六四上八变六进位削一而格右纪三为用数并削首位之四 嗣以三因次位之六三六一十八六上三变五进位四上六变四乃削三削六下又削次位六 嗣以三因九三九二十七九上二变五进位六上五变二乃削二削五亦削九是以三除之余四十二万五千四百八十七数故当用三余再除如后图】右图下层次位以三因六三六一十八其六上三变五者三小八大照减法借进位一数于一十之内除八余得二再加三是变五也
若除法未熟不妨小注于下假上层【三六】下层用三因六三六一十八即于三下且注八于六下且注一三除八如前借法六除一乃还借除二为六变四余仿此
【另退一位挨下四六九先以四除四十二看得几个四凡数极于九用九乘
四九三十六尚余六四上二变六进位四削尽亦削下首位之四格右纪九
嗣以次位六因九六九五十四余一十一六上五变一进位六变一亦削
下位六嗣以次位九因九九九八十一尚余
三十三九上四变三进位一变三系借除进位一削尽亦削九其不尽三
千三百八十七数再除如后图】
【复列四六九而四不能除三姑存其位作○于格右其下层四六九
皆削去 又列四六九以四除三十三看除得几转四八三十二余
一矣然六乘一十八则不足故减而用七除得四七二十八四上三
变五进位削三嗣以六因七六七四十二六上八变六进位五变一
亦削下位六 嗣以九因七七九六十三九上七变四进位削六缘
尚有进位之数仍作○以纪其位而削九存一百○四为不尽之数
不复可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九
为母数以一百○四为子数法别详】
右尾第二位变六作○缘进位尚有一数须作○以存其位此法切记
若上层除余之数反多于下层除数者或上数与下数相等者定是除法有差【只就除过本位上下相较】亦不必另创第将差者抹去而另注所除数于上层之上另注除数于下层之下又另注除得之数于格右以从简便
【先以二除一十六当用五却误用四是宜多反
少者且如二因四得八六变八削一与六亦削
下首位二嗣以四因八四八三十二八上二变
○进位八变五下削八嗣以四因九四九三十
六九上三变七进位○变六系借除进位五变
四下位削九谛视之则余数反多于分数其数
可知悉抹之而另注原数于上另注除数于下
而用五以除之二五除首位一十五八得四十
进位六变二五九四十五九上三变八进位二
变七又进位二变一再列二八九用六除二六
一十二二上七变五进位削一六八四十八八
上八变○进位五变一六九五十四九上一变
七进位○变四进位削一 再列二八九用一】
右误除乃宜多反少者亦 【除二上四变二八上七变九进位二变一九上】有宜少反多者具后 【四变五进位九变八又列二八九用六除二六
一十二二上八变六进位削一八上五变七进
位六变一六九五十四九上九变五进位七变
二外余一百二十五数以法命之】
六有竒
【此不当用六却误以六除二六一十二二上六
变四进削一次位六八四十八却不足抹削另
起另列二八九于下一六于上而以五分之二
五除一十五八得四十进位六变二余如前式
不差 再列不当用七而误用七二七一十四
二上七变三进削一七八五十六即不足削三
另列一七于上又列用六二六一十二二上七
变五进削一六八四十八八上八变○进位五
变一六九五十四九上一变七进位○变四进
削一不差次用一次用六俱不差】
右式第二次误用七除者首位二七一十四可除次位七八五十六却只得三十八既已误矣傥不知还原如何其法只以下位见除二字与所用七字相乘而加上见乘之三即是还原二七一十四加三得一十七也举此一端以例其余
凡三位四位误分改正俱用此法该进位者照前法进位乘后加之式具后
【先用一除之二上四变二三上○变七进位二变一 次该用七却
误用六二六一十二二上七变五进削一三六一十八三上四变六
进位五变三谛视之余数反多于除数误也欲还原者先以下层三
乗所用六三六一十八加上余数六得二十四知本位还四而以二
寄于进位次以进位下面二乗六二六一十二加上余数三再加原
寄二共得一十七知本位还七进位再还一合正数】
既已还其正数另以七
除之二七一十四二上七变三
进削一三七二十一二上
四变三进位三变一
另列二三用六除之二六
一十二三上三变一进削
一三六一十八削尽
若原数既已除尽或未尽有零而欲试其误否亦用九除七除二法
用九除者只据见积将下层除数除余列左以格右用数除余列右以左右互乘九除余数列上又以原总数除余列下如有未尽零数者于左右乘后并入总除列上与原数除余者相比
除毕 六
无零 七 用数一七六余五列
右除数二三共五列
左乘得五五二十五
九除余七列上原数
四四八以九除亦余
七列下无差
【用数余四列右除数余二列左相乘
得八加上零数一三共得一十二以
九除之余三列上总数九除亦余三
列下相比无差】
用七除者实积细除同前乘法其除数列左用数列右相乘除余列上有零者亦并入乘数列上总数余列下
【用数一百七十六以七除余一列右
除数二十三以七除余二列左左右
相乘一二如二列上又将原数四千
○四十八以七除余二列下正同】
【用数一百九十三以七除余四列右除数二百三十六以
七除余五列左相乘得二十以七除余六若无竒零则纪
六于上是己今有零数一百三十再七除余四并六得一
十以七除余三列三于上又将原数四万五千六百七十
八亦以七除余三列下正合】
又法将除数用数相乘以合原数如竒零不尽者乘后并入假如前式原数四万五千六百七十八者以除数之二百三十六乘用数之一百十三共四万五千五百四十八并入零数之一百三十合原数若归除至半欲订其误照前以除数之减余列左以用数减余列右相乘又取本位以上除賸位【只至已抹本位而止其未除到者不用】亦减之以并所乘列上以抹过原数减余列下相比其九法减见数七法减实积数俱同前【此是用二除过一徧者截至左第四位止试之
用数二列右除数二八九八无余左列○以○乘二无乘
却有零九一三除九余四上列四原数除过四位以九除
亦余四相合】
【用数二列二于右除数二千
八百九十八以七除无余列○于左以二乘○无乘却有
零数九百一十三以七除余三列上其原数已除四位六
千七百○九以七除亦余三相合】
凡除数随上原数逦迤右退至于除数尾位撞遇原数尾位而止此外虽有未除零数总系余分但可以法命之为几分之几以其除数多零数少故也【多者为母少者为子】
若除数尾带 此以三千八
多○而原数 百万而除一
首尾系数中 百三十九亿
叚系○者但 四千六百万
看尾隔几位 零七千八百
用数该几位 九十三数其絫
只须撞尾而 甚多而谛视
止就截去余 尾位相值只
○且尽实数 该以三位除
除讫嗣以余 尽乃姑截去
○加之以法 余○只以三
命之式具下 八而除一三九
四六每各得
三百六十七
其数已穷其
余皆竒零不
尽之数乃于
三八之尾照
位填○为母
以零数为子
命之云
若除数首位数中位○次又有数次又有○者不可便以中○为止务须尽其实数而止惟尾后之○如前法
用四除之 三四一十二
三上三变一 进削一 次
○○皆无可除者故置不论
径除第四位之八 四八
三十二 八上六变四进位
四变一 更列三○○八用
六除之 三六一十八 三
上九变一进削一置○○不
分 六八四十八 八上○
变二 进位四变九 又进
一变○尚余一○九二为不
尽零数乃以除数余○缀除
数之尾为母以原数○七六
九三附零数一○九二之尾
为子是为三亿八十万之一
亿九百二十万七千六百九
十三云
凡除数首位只一其余俱○者不必另寻用数即以原数为用至撞除数尾位而止此外皆系竒零不尽之数
以除数尾寻至原数尾该得
五位除尽亦只自原数首尾
起照取五位为用数其余皆
系小数不能除矣故作零数
首列一除四得四 又列一
除七得七 一除八得八
一除○还○ 一除九得九
若原数余○虽多而实数归除已尽则其数外之○无复可除虽不撞到尾位亦只据未抹○位逐加用数之后如左图
假如有数一亿八千六百三十万而以三百四十五除之每各得五十四万
首用五除 三五一十五 三上八变
五 三进削一 五四得二十 进位三○ 变一 五五二十五 五上三变八○ 进位六变三 又列用四除 三四一○ 十二 三上三变一 进削一 四四○ 一十六 四上八变二 进削一 五
四得二十 五上削○ 进削二毕既已除完其余不复可除照○位加于格外用数之右
右加减乘除四法共一卷算学纲
领习熟自精变化之妙详载别卷
同文算指前编卷上
钦定四库全书