明 李之藻 撰
测量三率法第十一
凡测山岳楼台城郭之髙川谷之深土田道里之逺旧名勾股法立表或立重表参望相直乃以开方求之今立器以代表名曰矩度而以三率代开方之算勾股者植立地上为股其影横地上为勾今半矩木尺其制也矩度之形平方而取横直二边各刻为度互为勾股立为直影倒影二算义同勾股而法稍捷
制矩度法以坚木或铜版其制平方上画甲乙丙丁四直角方形【务取极方详具几何原本】用甲乙边立两耳平对各通一窍名曰通光以便窥望以甲角为矩极系线任其垂下以权镇之次自甲至丙斜界一线分矩面为两平分乃并乙至丙及并丙至丁各依原边线又平行二线俱匀分十二度其度各自其边界望矩极分之近极为虚线外用为实线或每度更分三分五分六或分至十二皆
随版体大小为分愈细则法愈
密矣用时甲昻乙低以目射两
窍与所望之物参相直视其绳
之所值何度何分以算推之或
不设两窍只立相等两小表亦
可凡测望必以所求物与立矩度处为直角形取平【解在防何】有不平者须先准平然后测量次论直倒二景直影者绳在乙丙界内即勾影也如立表地中影落地面者是倒影者绳在丁丙界内即股影也如立表墙上影射墙面者是凡有所窥测而望者前却其步使其绳适在甲丙是为勾股平等知勾即得股知股即得勾其不然者须将倒直互变推求且如求髙求深所求在股即权绳宜在直度而却在倒度则当变倒为直若求逺求近所求在勾其权绳宜在倒度而却在直度则当变直为倒各以通二度之穷其互变之术皆以矩全度为准【少者用十二多者用一百四十四】假如绳在倒影三度今欲变为直影度者法以矩度为实三度为法除之得四十八为直影度假如绳在倒影五度三分度之二欲变直度者因有三之二每度以三通之得一十七为法亦以三通其矩度得四百三十四为实以法除之得二十五度余十七分度之七为直度也其绳在直度而欲变为倒度者亦如之【详见徐太史测量法义】
量影测髙
已知影长若干欲测其髙者如测日影即以矩度向日目切于乙甲耳在前日光透于耳之两窍权线与矩度相切任其垂下审值何度何分若在十二度之中正对角线丙际则影与物必正相等知影防何长即得物防何髙矣
若权线在直影边则影小于物而直影上所值度分为第一率以矩度十二为第二率以物影度为第三率二三相乘一除之得第四率为其物髙
假如欲测己庚之髙线在直影乙戊得八度正其庚辛影长三十步即以矩度十二乘庚辛之三十得三百六十为实以乙戊八度为法除之得四十五即己庚髙四十五步
若权线在倒影边则影大于物以矩度为第一率以倒影上所值度分为二率以物影度为三率算之得物之髙
假如欲测己庚之髙线在倒影丁戊得七度五分度之一庚辛影六十步即以丁戊七度五之一乘庚辛之六十得二千一百六十为实以矩度六十分为法除之得己庚之髙三十六步【因权值有零分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一从之为三十六分其表】
【度十二亦通作六十分】
从髙测影
若已知物髙若干欲测其影者以矩度承曰审值度分若权线在丙则影与物等若权线在直影边即物大于影以矩度十二为第一率直影度分为第二率物髙度为第三率算之得数为影度
若权线在倒影边即物小于影以倒影度分为第一率矩度为第二率物髙度为第三率算之得数为影度
以目测髙
已知庚辛之逺欲测己庚之髙人目在辛先量自目至足其髙防何乃以矩度向所测物顶甲耳在前目切乙后目与矩耳及髙相参直细审权线值何度分假如权线在直影乙戊以乙戊度为第一率矩度为第二率次量庚距辛之逺防何为第三率二三相乘以一除之得物
之髙
假如权线在倒影丁戊即以矩度为第一率丁戊倒影为第二率庚辛为第三率照前算之
若权线不在丙而有平地可前可却即任意前却至权线值丙而止不必推算既知辛庚即知己庚
若人目在辛求己庚之髙而为山水林木屋舍所隔或地非平面不欲至庚或不能至者则用两直影之较起算其法依前以矩窍向物顶审权线在直影否如在倒影即以所值度分依法变作直影次从所立之辛依地平取直线或前或却任意逺近至癸仍以矩窍向物顶审权线在直影否如在倒影亦以所值度分变作直影乃以两直影度分相减之较为首率以矩度为二率辛癸大小两矩之较为三率依法算之得己壬之髙又加自目至足乙癸之数得己庚之髙假如欲测己庚之髙如前图先从辛立望得直影小乙戊为五度次却立于癸得直影大乙戊为十度丙影之较五度为首率矩度为次率次量足距之较从癸至辛十步为三率依法算得二十四步加目至足之乙辛或乙癸试作一步即知己庚之髙二十五步 如后图先于辛得直影小乙戊为十一度次退立于癸得倒影九度当如前变法作大乙
戊直影十六度得景较五度以为首率矩度为次率次量距之较癸辛二十步为三率依法算得四十八步加自目至足或一步即知己庚之髙四十九步
地平测逺
欲于已测己庚之逺先除自目至足之髙为甲己若量极逺则立楼台或山岳之上以目下至地平为甲己【测髙法见前】次以矩极甲角切于目以乙向逺际之庚如前法稍移就之俾甲乙庚相参直细审权线值何度分
如权线在丙则髙与逺等
若权在乙丙直影边即逺数不及髙数以矩度十二为首率直景乙丙为二率甲己为第三率算之得己庚逺
若权在丁丙倒影边即逺过于髙以倒影丁丙为首率以矩度十二为次率甲己为三率算之此所置一率二率视前测髙之法互换云
测深
凡从井上测深者井口或径为己庚井面为辛壬欲测
己壬之深用矩极甲角切目以乙
从己向对面水际之辛如前法稍移
就之令目与窍与辛相参直垂下权
线假如线在直影乙戊三度为首
率矩度为次率次量己庚井口十
二尺为三率算得四十八尺为己
壬之深
若权线在倒影三度则依法变为
直影得四十八度而以矩度十二为首率变得直影度为次率井口乘之归除数同
以上用矩度者如无矩度另有用镜用表用尺诸法【具后】
平镜测髙【用盂水亦同】
欲知甲乙之髙置平镜于丙人立于丁其丙丁取平人目在戊向物顶之甲稍移就之令目见甲在镜中心而甲影从
镜心射目乃量自丁至丙之度为首率丁戊为次率乙丙为三率算之得甲乙髙
以表测髙【凡立表必三面垂线以取端直】
已知乙戊之逺而欲测甲乙之髙立表于丙为丁丙退立于戊置乙丙戊为极平线人目在己视表末丁至物顶甲相参直次量目至足数移置表上为辛以截取丁辛之数其辛己线与乙丙戊为平行若其表仅
与身等或小于身另立一小表为己戊而以目切之为己亦可乃以丙戊为首率丁辛为次率乙戊为三率算之得甲庚之髙加目至足之数己戊即得甲乙之髙若戊不欲至乙或不能至则用两表之较为算如前图立于戊目在己望丁至甲移己置辛得丁辛数乃或前或却又立一表【或即用前表或两表等】为癸壬目在丑王癸至甲亦移丑至寅得癸寅数此癸寅与丁辛之度相同而丑寅度必小于己辛度以相减截己辛于卯得卯辛较为首率以表目相减之较癸寅或丁辛为二率以两目相距之较己丑或戊子为三率算之得甲庚加自目至足之数得甲乙之髙【前图为进步立重表者后图为退步立重表者】
以表测地平逺
欲于甲测甲乙之逺依地平立丙甲表此表稍矬于身以便窥望次却立于戊目在丁视表末丙与逺际乙相参直次移丙度于己截取丁己之度为首率以丙己或甲戊为次率丙甲表度为三率算之得甲乙
之逺
以矩尺测逺
欲于甲测地平逺者先立一表为甲丁与地平为直角次以矩尺之内直角置表末丁上以丁戊尺向所望逺际之乙稍移就之使丁戊与乙相参直次回身从丁丙尺上亦望地平之己使丁丙与己相参直乃量己至表下甲为首率表身丁甲为次率又为第三率依法算之得甲乙逺
以重矩兼测无广之深无深之广
有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之广欲测乙丙之深则用重矩法先于甲岸上依垂下直线立戊甲己勾股矩尺其甲己勾长六尺人从股尺上视勾末己与谷底
丙相参直以目截取戊甲股上之庚
庚甲之髙得五尺次又于甲上依垂
下直线取壬壬去甲一丈五尺于壬
上亦依垂直线更立一辛壬癸勾股
矩尺壬癸勾亦长六尺从股尺上视
勾末癸与谷底丙相参直而以目截
取辛壬股上之辛辛壬之髙八尺如
欲求深者以前股所得庚甲五尺与
两勾间壬甲十五尺相乘得七十五尺为实以两股所得庚甲辛壬相减之较辛子三尺为法除之即得乙丙深二十五尺如欲求广者以勾六尺与两勾间十五尺相乘得九十尺为实以辛子三尺为法除之即得甲乙之广三十尺【测深法与重表测逺同测逺法与重表测髙同】
移测地平逺及水广
凡测江河谿壑之广逺身不能至而其傍近有平地与彼相当者立表于乙际为甲乙与地平为直角次用一小尺或竹木等为丙丁斜加表上稍移就所望之戊使丙丁戊相参直次以表带尺旋转向平地以目视丙丁尺端所直得己次自乙量至己即得乙戊之数 如不用
表即以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁亦便
以四表测逺【前测逺诸法不依极髙不得极逺此法能于平地测极逺】逺望一山或城或台为甲欲测其逺择平旷处立表【前云
依地平线必依直线取平此不必拘】为乙次
任却后若干步更立一表
为丁望两表与甲一直线
次从乙丁各横行若干步
取平方为四角形其二角为丙为己就丙上更立一表又从丁己直行若干尺望丙与甲一直线此际立表为戊乃以乙丙减丁戊之较为首率乙丁为次率乙丙为三率算之得乙逺
假如丁戊三十六乙丙三十相减余六乙丁四十以六为首率四十为次率三十为三率算之得二百四十为甲乙逺
测髙深逺近不谐布算而得其度
凡测量必先得三率而推第四率三率者其一直影度或倒影度其二所立处距所测物之底若不能至者则其影较度或两测较度也其三表度或距较度也设如测一髙其影较八而距较十步其影较八【一率】与表十二【二率】
之比例若距较十步【三率】与其所求之
髙【四率】如不谙算法则于平面画作甲
乙甲丙两直线任和交于甲从甲向
乙用规作八平分为影较甲丁次用
元度从丁向乙规取十二平分为矩
度丁乙次从甲向丙规取十平分为
矩较甲戊【此用度与前两率度任等不等】乃从戊至
丁画一直线次从乙亦画一直线与
戊丁平行而截甲丙线于丙次取甲戊元规度从丙向戊画得若干分即所求之髙
又法若景较七度有半距较八度三
分度之一即物髙度十三步三分步
之二如后图加目至足髙即得全髙
附勾股畧
测量之法専用半矩则勾股所必借也故补入勾股以显测望原本旧法勾三股四五葢勾自乘股自乘并之即自乘数故得勾股可以求得勾可以求股得股可以求勾而引伸其义可以求勾股中容方容圆可以各较求勾求股求可以各和求勾求股求其变无穷今撮其要者十五则着于篇
句股求
甲乙股四乙丙勾三求以股自乘得十六勾自乘得九并得二十五为实开
方得甲丙五【开方法见后编】
勾求股
如前图乙丙勾三自乘得九甲丙五自乘得二十五相减得较十六开方得甲乙股四
股求勾
如前图甲乙股四自乘得十六甲丙五自乘得二十五相减得较九开方得乙丙勾三
勾股求容方
甲乙股三十六乙丙勾二十七求容方以勾股相乘得甲乙丙丁方形为实并勾股得甲戊长线六十三为法
除之得庚戊长方其辛乙乙癸各
边俱一十五零六十三之二十七
约之为七之三为勾股内所容方形
余勾余股求容方求勾求股
甲丁余股七百五十戊丙余勾三十
求丁乙戊己容方边以丙戊勾甲丁
股相乘为辛壬己庚方形得二万二
千五百为实开方得容方乙丁丁己
各边俱一百五十加余股得股九百加余勾得勾一百八十【辛壬己庚形与丁乙己戊方形等説见防何原本六卷其羃相同故开方即容方】
容方与余勾求余股与余股求余勾
容方丁乙己丁各边俱一百五十戊丙余勾三十求甲
丁余股以容方边自乘为实以余勾
为法除之得甲丁余股七百五十以
容方与余股求余勾法同【辛己方之羃既等丁
戊方之羃矣开方即容方矣加余股非全股乎加余勾非全勾乎】
勾股求容圜
甲乙股六百乙丙勾三百二十求容圜以勾股相乘得一十九万二千为甲乙丙丁方形倍之得三十八万四千为丙丁戊己方形以为实别以勾股求得甲丙边
六百八十并
勾股得甲
辛长线一千
六百为法除
实得辛壬癸
甲长方形其辛壬边相等之乙子二百四十即容圜径半径为圜心【于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与等得甲辛为和和为法除实即成辛壬癸甲长方形与丙丁戊己方形之羃等而壬癸边截乙丙勾于子次作子丑寅乙小角方形此各边名和较皆容圜径亦皆切圜线也详着徐太史勾股义】
又法甲乙股六百乙丙勾三百二十并得九百二十与甲丙六百八十相减亦得乙子二百四十
勾股较求股求勾
甲丙四十五甲乙股甲丙勾之
较为甲丁九求股求勾以自乘
得二千○二十五为甲戊方形倍
之得四千○五十为己丙方形较
自乘得八十一为甲庚小方形以减己丙之两羃存三千九百六十九为实开方得勾股和六十三即丑辰大方形四边之一也以之加较九得七十二半之得三十六为甲乙股即以减较得二十七为乙丙勾【丑辰方形内之丑寅方及卯辰方两股羃也丙壬方癸子方两勾羃也以比甲己方形只中心多一个较羃耳故减此开方即得勾股和矣再加较得两股故折半得股以减较得勾】
勾较求勾求【附较和求勾求和较求勾求】
甲乙股三十六乙丙勾甲丙之较为甲丁十八求勾
求以股自乘得一千二百九十六
为甲戊方形较自乘得三百二十四
为庚丁小方形两方形相减【于甲戊方内去
其等庚丁 方之辛癸 方即得甲壬戊之磬折形】存九百七
十二为实倍较乙寅为法除之得乙
子长方形其丙乙之边二十七为勾以加较得四十五为甲丙【乙子方何以等于甲壬戊形之实也葢加一同较羃之乙丑形以成子卯癸之磬折形即与股羃甲戊方形等也又甲辰方形羃也内兼勾股二羃试照庚丁较羃分作庚未未午午丁三形其申未及酉戌较也庚申及未戌及未辰及午酉及丁丙股也庚未形未午形相并勾羃也庚丁形丁午形相并股羃
也各加较羃则甲戊午之磬折形与子卯癸之磬折形 等亦与甲戊股羃等内各减较羃则乙子方形即甲壬戌磬折形矣】
又法股自乘得甲己方形一千二百
九十六为实以勾较甲丁十八【即同
乙癸】为法除之得甲壬之勾和七十二
加较得九十半之得四十五减较
得勾二十七【甲壬何以知为勾和葢羃甲丑形内既兼】
【勾股羃矣试以甲丁之度移于子卯又移于丑辰于卯寅分为三方形其丙丁寅辰形勾羃也则甲卯卯辰两形并即股羃也亦即甲辛长方形也子卯也卯寅也甲庚也皆较也甲子也卯丑勾也故甲辛形内之甲壬线为勾和】
若以股与较和求勾求者股自乘为实次以股减较和余即勾较除实得勾和乃以加减同前若以股与和较求勾求者股自乘为实以股减和较余即勾较除实加减同前
股较求股求【附和较求股求较较求股求】
乙丙勾二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九求股求以勾自乘得乙己方形七百二十九较自乘得丙丑
方形八十一【丙庚同】相减存乙庚己磬
折形得六百四十八为实乃倍丙丁
较为辛乙线以为法除实得辛壬方
形其乙辛边三十六即甲乙股数以加较得甲丙四十五【羃甲癸方形内兼勾股二羃试依丙丑较羃线分作甲丑形丑癸形丑子形即丑子为股羃而余为勾羃之实也甲丑与丑癸并固与乙庚己磬折之形等亦与辛壬长方之形等而辛乙兼丁丑丑寅之两较甲丁及寅癸均为两股合并成乙壬之股】
又法勾自乘得丙戊方形七百二十九为实以丙丁较九为法除之得丙己方形其丙庚边八十一为股和
加较得九十半之得四十五减
较得股三十六【丙庚线何以为股和也甲丙羃
内兼有勾股二羃试依丙丁较截作丁辛形丁癸形癸壬形即壬癸】
【方形为股羃而余为勾羃亦即丙己长方形之实也夫甲癸也壬辛也庚己也均较也而甲丁之股丙辛之并之非丙庚乎故云股和】
若勾与和较求股求者勾自乘为实次以勾减和较余即股较除实得股和乃以加减同前又勾与较较求股求者勾自乘为实以勾减较较余即股较除实加减同前
勾股和求股求勾
甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三求勾求股以自乗倍之得四千○五十勾股和作甲丁线自乘得甲己方形三千九百六十九相减得八十一开方得勾股较甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六减较得乙丙勾二十七【勾股和自乘为甲己方形此形内函甲辛及癸己之两股羃乙寅及庚壬之两勾羃而中间重借一癸辛小方形正其较羃若以自乘只得一勾一股羃倍之当得两勾两股羃今以减甲】
【己方形少一较羃之癸辛形故以癸辛开方得较也】
勾和求勾求【附和和求勾求较较求勾求】
甲乙股三十六乙丙甲丙勾和七十二求勾求以股自乘得一千二百九十六又以勾和作乙己线自乘得五千一百八十四为乙戊方形次用股羃减之【就乙戊大方内减去庚壬长方】余三千八百八十八【即丁辛及丙己两长方形】半之得
一千九百四十四为实以勾和
乙己为法除之得乙丙勾二十七
以减和得甲丙四十五【何以知庚壬长
方为股羃也试于乙戊方之乙己线以勾度截之取子寅二防作子】
【癸线寅丑线又照取丙庚二防作丙壬庚辛二线则一形内四隅有勾羃四中央有较羃一而四正又有庚未辰壬未寅癸辰为勾较相乗之羃亦四也夫一勾一较相并为则卯己之方形为幂而幂之内存一午己之勾幂而此外子午辛之磬折形即为所减之股羃兹以庚未形代子午形则庚壬固所减之股羃矣此丁辛丙己两形所以为减余形也半之即丙已形次以乙己线除之】
又法股自乗得一千二百九十六
以勾和七十二为法除之得十
八为勾较加勾和得九十半
之得四十五为减较得二十七
为勾【此与前勾较求勾求又法同理】
若以股与和和求勾求者既得股自乗之数乃以股减和和余即勾和除之得勾较加减如前因多一股故用一减
又股与较较求勾求者股自乘为实以股并较较即得勾和除实加减同前
股和求股求【附和和求股求较和求股求】
乙丙勾二十七甲乙乙丙股和八十一求股求以勾自乗得七百二十九股和自乘为乙丁方形得六千五百六十一乃以勾羃相减去戊己长方形
存乙戊方及丁己方得五千八百三十二半之得二千九百一十六为实以和为法除之得甲乙股三十六以减和得甲丙四十五【大方形内之戊乙句羃也余论同前】
又法勾自乘得七百二十九以股和八十一为法除
之得九为股较加股和得
九十半之得四十五为减较
得三十六为股【此与勾较求勾求又法同理】
若以勾与和和求股求者勾自乘为实以勾减和和仍得股和除之余如前亦因多一勾故用一减若以勾与较和求股求者勾自乗为实勾和相并即股和除之
股较勾较求勾求股求
甲乙股甲丙较二乙丙勾甲丙较九求勾求股求以二较相乘得十八倍之得三十六为实平方开之得六为和较加勾较九得甲乙股十五加股较二得乙丙勾八以勾较加勾或股较加股得十七为甲丙【此最要者在求与勾股和之较法以二九互乘是乘两次也故倍之戊癸及子丑长方
形是也倍之而开方得六即和较矣然所以三十六开方为和
较者何也葢一之羃常兼有勾股两羃今试于甲乙股线引之加
甲辰之亦于丙乙勾线引之加乙午之于甲丙引之加丙艮
之股艮申之勾此三线者各以自乘为三大羃则兼勾股之羃比
诸股与勾相并之羃共欠四十九数而此四十九为合减之数就
于多羃中心减之所余三十六即开方之和较何者试取三大羃
而各以元设之勾股分之为诸小羃相当相抵其甲酉羃内多勾
股矩之形凡二其丙戌或乙亥羃内多羃一以此两多之形又相
当抵所差者有四十九数而原设股较二勾较九相减余七自
乗之数亦相符焉至于中心减之而余三十六葢又有説试以股
较二自乘得四为己庚方形以勾较九自乘得八十一为辛壬方
形并得八十五而以四十九减之减去干兑形其余形之干离离壬
及己庚形合三十六即前二九互乘戊癸子丑之数也用此开方得
六以作寅卯方形令于甲酉方减此寅卯而丙戊方亦减辛壬而乙
亥方亦减己庚则其兼勾股之羃不等于股勾之二羃乎葢
甲酉四隅四羃也乙亥四隅四股羃也丙戊四隅四勾羃也所谓
羃兼勾股羃者既相当抵而甲寅辛坎两形并亦与寅防方形相
当中心除出干兑之四十九而干离离壬及己庚又与寅卯相当故
以寅卯开方求之而和较得焉夫丙巽即寅卯边也在甲丙巽申
两之间者也丙距申为勾股和则丙截巽为和较明矣已得
和较即以元设两较相加而勾股皆可得矣加九者巽距艮也艮
申为勾而艮丙为股也加二者丙距坤也坤甲为股而巽坤为勾也】
【以巽艮益艮申以丙坤益坤申皆也】
勾和股和求勾求股求
甲丙乙丙勾和七十二甲乙甲丙股和八十一求勾求股求以两和相乘得五千八百三十二为乙己
长方形倍之得一万一千
六百六十四为丁戊大方
形以为实平方开之得己
庚形其边一百○八为
和和求乙丙勾者以股
和减之得勾二十七求甲乙股者以勾和减之得股三十六欲求者以勾股和减之得四十五【己庚形与丁戊形等其开方边为和和者葢丁戊全形内有羃二股矩形及勾矩形各二与己庚方形内诸形比各等其丁戊形内余一羃己庚形内亦余一句羃一股羃又相等故己庚形之各边皆和和】
论曰勾股三合成形错综立义勾股相减其差曰较勾股相并其名曰和股之差曰股较勾之差曰勾较并勾股与较其差曰和较勾股之差与相减其差曰较较股相并曰股和勾相并曰勾和勾股之差并曰较和勾股并曰和和勾股各自乘并之为实故开之得勾各自乘减余为股实故开之得股股各自乘减余为勾实故开之得勾勾股和自乘倍实相减开其余即勾股较也勾股较自乘以减倍实开其余即勾股和也并勾以除股实得勾较若以勾较除股实即得勾和矣并股以除勾实得股较若以股较除勾实即得股和矣勾股和自乗减实除以较较得较和矣除以较和非即较较乎勾股较自乘减实除以和和则得和较矣除以和较非即和和乎勾乘股为实并勾股为法除得容方径勾乘股倍之勾股求并之除得容圜径容圜之径即和较也又错综论之勾为主以加股较即较较以减股较即和较若加较和又即股和也股为主以加勾较即较和以减勾较即和较若加较较又即勾和也勾股较为主以加股较即勾较若减股和亦即勾和也勾股和为主以加股较复得勾和若减股和亦得勾较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取勾股较以加勾股和半之得股以减勾股和半之得勾若取股较以加股和半之得以减股和半之得股取勾较者以加勾和半之得以减勾和半之得勾取和较者以加和和半之得和以减和和半之得取较较者以加较和半之得以减较和半之得较加减乘除圜变不滞神而明之存乎其人逺近髙深方圜弧矢准此而推亦在乎熟之而已
开平方法第十二
凡平方开者依除法列位先审当以几位除尽列实自末位下防记之每隔位一防每一防即定开下一位乃从左位起用自乘开除凡防在左首位下者以一字取数自乘【如系九数则用三除三三见九除尽之类】若防在左次位下者以二字共取一数自乘各除之【如系一六则用四除四四一十六除尽之类】是为初商以纪格右亦注首防之下两相呼除不尽者作余数再商【如系二十者用五则廿五矣是不可也须用四自乘得十六外剩四作余数以再商除之】倍初商为亷法注初防初商之次位若干以除上位视其可得防转以定次商若干注次防之下为隅法亦纪于格右先与亷呼除若干再与隅呼除若干有不尽者再倍亷法商除如前若剩数仅及开数一倍以下以法命之【开者一面数也加倍又加一数乃得二面是于小平方外添一勾股为大平方若不及加倍増一总是不满方面即以加倍増一为母余数为子命曰几分之防】
列式
列实二千一百一十七万八千四百○四凡八位従末位防起每隔一位用一防共四防知用四字开尽
此首位无防而防在次位者以二一相连且作二十一数只一字开之
初商用四除注防下亦纪格右四四乘之除一十六尚剩五 四上一变五完首段
既用四自乘除剩五矣第二段所防従五至七凡三位且只作五百八十四而商以从简便先立亷法须倍前商数前系四则此倍作八注八于次位之下如以八而除五十一者然也乃商五十一有防个八该得六纪六于格右四字之次亦注次防下为隅法如八十六者然乃与次商相呼先呼六八除四十八剩三数八上一变三尚剩三十七又以六六相呼要见六于三十七内恰好否若可除则用六如总数不足则宁减一数以就之如前除法相似所谓商也此呼六六三十六尚剩一六上七变一完次段除实二千一百一十六万余实一万八千
次于所剩之一除起因此第三防管
到四字止则自一到四作一百八十
四除之其格右四六乃四十六倍作
九十二列次下为亷法列式且让四下
之防不填以待所商之隅法而列二
于八下列九于一下凡亷法商法冩
式皆仿此九不可除一作○于格右
四六之次以存虚位余皆抺之另商
第四防所用仍剩一万八千四百四
竟以一数开毕
前所用四六○是四百六十仍再倍为
亷法当作九百二十数让空四下所防
一位不填以待隅法而列九于八下列二于四下列○于○下乃先以九除一八看得若干乃二九一十八也当用二为再商右纪二亦注于所防四下为隅法如九百二十二者然乃以相呼首以二乘九除十八次以二乘二减四次○不必除次又以二乘二除四恰尽凡开方每面四千六百零二若欲还原用自
又有开方不尽者
具式于后假如列
实四亿五千六百
七十八万九千○ 首防左第一位下只以本
一十二数凡九位 一位开之首位系四当用
从小数间防至大 二盖二之自乘四也系二
数共五防该以五 于四下右纪二为初商相
位开尽 呼二二除四完初段除实
四亿余实五千六百七十
八万九千一十二俟再商
次除五六且作五十六以从简
便倍初商二作四为亷法让防
下一位系四于五下所商以四
除五得防转四除五只一转右
纪一亦注一于防下先呼一四
如四五除四剩一四上五变一
次呼一一如一六除一剰五也
一上六变五完二段除实四亿
四千一百万余实一千五百七
十八万有竒另商
次除一五七八之一段且作一千五百七十八而商因前商二一是为二十一今倍作四十二为亷法空有防之八以待隅法而系二于七下系四于五下要商四除一十五凡几转计得三转即用三数为再商纪格右亦系三于有防八字之下先呼三四一十二于十五内除十二则抺五改三进抺一又呼三二是六于七内除六尚剰一则抺七改一又呼三三是九于八内除九依借法抺八改九进位一变○完三段余实三百九万九千有竒次除三○九九
○之一段因前用二一三是为二百一十三今又倍其
数作四二六为亷法空有防之○
而于九下系六于进位九下系二
于○下系四先以四商上三○看
四除三十凡防转该七转则用七
纪七于格右亦系于有防○下以
相呼先呼四七二十八于三十内
除二十八尚剩二数四上○变二
进抺三次呼二七一十四于廿九
内除十四二上九变五进位二变
一次呼六七四十二六上九变七进
位五变一次呼七七四十九依借法
七上○变一进位七变二完四段余
实一十一万二千一百一十二另开
次除一一二一一二总作一段前已用二一三七是为二千一百三十七今倍之当作四二七四为亷法空有防之二而于进位一下系四于又进之一下系七于进二下系二于进一下系四先以四商上一十一看除该二转则用二纪格右亦系二于末位防下而先呼二四为八以除一十一余数三乃抺一改三进抺一
次呼二二为四依借法二上二
变八进位三变二又呼二七一
十四依借法七上一变七进位
八变六再呼二四为八依借法
四上一变三进位七变六又呼
二二为四依借法二上二变八
进位三变二完第五段除实四
亿五千六百七十六万二千三
百八十四余二万六千六百二
十八为不尽数
右开方二万一千三百七十二以自乘得四亿五千六百七十六万二千三百八十四并入余数二万六千六百二十八得原数
开平竒零法第十三
凡开方法有可尽者如十六用四除尽如二十五用五除尽是也亦有必不可尽者假如列实二十者用四除去十六尚余四此所余之四将何术以开之其法依除法立子母数倍用数为亷法外加一为隅法并为母而以余数为子乃以原所用开之数依母数化之而并子数俱以为子乃以母自乘子亦自乘以取开方而以小数除其大数视其所得之数若干即开尽数若原数内
更有未尽者再法开之 倍用数得八加一为
母共九而以余数四
为子次以用数乘母
共三十六并子四共四十
以八十一而
除一千六百
得一十九零
八十一之
六十一为
开方之数
尚有未尽
另法具后
右法于二十数内开过一十九零八十一之六十一比前但开除一十六者所得多矣然尚余八十一之二十未尽另立一法开焉用盈不足对稽如前用四自乘盈四也又如用五自乘乃得二十五是又不足五也以不
足五对前四又九 五内除四余一依前
之四而以少除多 法化一为九内又除
【以五为实以四又九之四为法除之】 四余五是九之五也
乃以前四零九之四者而 五八并得十三倍之为八零九之八并入今 除一九是一整余九之五共得九零九之四 数尚剰九之四【其倍之为亷法也并入今余又用盈不足相并】
次取九零九之四以除前所余未尽八十一之二十依化法整九与母九相乘得八十一并入子四共八十五
是为九之八 两母乘得六
十五又倒位 千八百八十
对相母乘母 五两子乘得
子乘子 一百八十
又以母子乘 两母数以九乘
出之数与原 六千八百八十五
存九之四十 得六万一千九百
对列而以两 六十五为共母其
母相乘为母 子数以六千八百
次以子母互 八十五乘四十得
乘各为子而 二十七万五千四
并之【原存盈数也今】 百以九乘一百八
【乘出数不足也亦相并】 十得一千六百二
九百六十五之二万九千一百六十约
之即十七分之八也为开方零数
若欲知其已于二十数内除过防许即将四零十七分之八自乘之依法先以四各化为十七加八俱为子数而仍以十七为母母子各自乘以见开方【母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六】而以母数除子数即见
依除法已开净一十九零二百八十九之二百八十五较前十九零八十一之六十一逺矣尚余二百八十九
之四未尽欲尽
之再依前法开
除
又法以四开二十因用四开之不尽乃用四零二之一
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六><子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六>数加一倍如四零三十六之一十七倍作八零三十六之三十四依法化之【八化三十六得二百八十八并入三十四得三百二十二】为三十六之三百二十二若用约法则为八零十八之十七亦依法化之【八化十八得一百四十四并入十七共得一百六十一】为一十八之一百六十一此倍出亷数也以之倒位而对前所余数母子俱自乘仍对前所化
亷数求之
次以所约之母子与原亷母子相对而依法以乘母者并母次以两子各乗总母得数对减余为实乃取所并
此为开方不足之数比前则所剩微矣欲开尽依法再推同文算指通编卷六
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编>钦定四库全书