钦定四库全书
新法算书卷十 明 徐光启等 撰大测卷二
表法篇第四
既得前六宗率更用三要法作表
要法一 前后两?其能等于半径【图説系法俱见本篇总论第十二条】要法二 有各弧之前后两?求倍本弧之正?如上甲戊弧三十五度其正?为戊己得五七三五七六四其余?即乙己得八一九一五二○今以此二?求倍甲戊而为甲丁弧之正?其法以乙戊半径千万为第一率以戊己正?为第二率以乙壬余?为第三率即得壬庚第
四率与辛癸等为四六九八四六二倍之得丁癸为九三九六九二四其弧甲丁七十度
论曰乙戊己与乙壬甲两三角形比例等则乙己与乙壬等而戊己与甲壬亦等乙己与乙壬等故乙壬为余?也而乙壬庚乙戊己两形之比例等故第四率为壬庚壬庚与辛癸同为直角形之邉故等又丁壬戊戊壬甲同为直角则甲戊戊丁两弧等甲壬壬丁两?亦等而丁辛与壬庚亦等故倍辛癸得丁癸也又丁辛壬壬庚甲两形之三邉俱等依句股法得甲庚邉倍之为甲癸以减半径得癸乙为余?
要法三各弧之全?上方与其正半?上偕其矢上两方幷等
句股术也
如上甲丁弧之正?为丁辛其矢为甲辛此两线上方幷与甲丁上方等
系法有一弧之正?及其余?而求其半弧之正弦如上甲丁弧其正?为丁辛余?为乙辛而求甲戊弧之甲己半?其法于甲乙半径减乙辛余?得甲辛矢其上方偕丁辛半?上方并与甲丁通?上方等开方得甲丁线半之
得甲己为甲戊弧之正?其数如上甲丁弧三十度其半?丁辛为五○○○○○○乙辛余?为八六六○二五四以减全半径得甲辛矢一三三九七四六丁辛上方为二五○○○○○○○○○○○○甲辛上方为一七九四九一九三四四五一六并之得二六七九四九一九三四四五一六开方得甲丁线五一七六三六○即甲丁弧三十度之?也半之为甲己半?得二五八八一九○其弧十五度
用前三要法即大测表大畧可作又有简法二题其用甚便但非恒有
简法一 两正?之较与六十度左右距等弧之正?等【见本卷第二篇】
解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧为六十度而戊己戊丁两弧等其前两正?一为己辛一为丁庚其
较丁癸题言丁癸较与己壬壬丁两正?各等论曰试作一己子线则丁己子成三邉等角形何也此形中有子丁壬壬己子两三角形此两角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己两腰等则丁壬己壬两直角亦等而丁子子己
两底亦等子丁己子己丁两角亦等又丙戊弧既六十度其余戊乙弧必三十度而乙甲戊角为三十度角甲乙庚丁既平行甲戊线截二线于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己为六十度角也丁与全己全子三角既等两直角【一之三十二】则共为一百八十度于中减全子角六十度则丁己两全角百二十度而此两角既等即各得六十度则此形之三角三边俱等夫丁己己子两线等则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等而己癸同腰则丁癸与癸子必等丁癸为丁子之半丁壬为丁己之半全线等则所分必等是丁癸与丁壬等与壬己亦等
系题两弧各有其正半?两半?至弧之防在六十度之左右而距度防等则前两正半?之较即后两半?如图丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半?己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半?为丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半?其法以己辛丁庚两半?相减得丁癸较一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半?【此数半径设一万】
次系有六十度左右相离弧之正?一率又有其原正?一率而求其相对之彼正?其法有二一以大求小一以小求大以大求小者用大弧之正?与相离弧之正?相减其较为小弧之正?【余则称余倒则称倒】以小求大者用相离弧之半?加小弧之半?即大弧之半?如上丁壬离弧之正?即己壬与丁癸较等为一千七百三十六丁庚大?为九千三百九十六相减得癸庚七千六六○即
己丙弧之己辛小?反之丁癸较为一千七百三十六【即丁壬离?】以加于癸庚【即辛己小?】七千六百六十得丁庚大?九千三百九十六
用此法于象限内先得半?六十率用加减法即得其余三十率
简法二 有两弧不等之各正?又有其各余?而求两弧相加相减弧之各正?其法有二一相加一相减相加者以前弧之正?乘后弧之余弦以后弧之正?乘前弧之余?各得数并之为实以半径为法而一得两弧相加为总弧之正?相减者亦如前法互乘得各
数相减余为实以半径为法而一为
两弧相减弧之正?
如上甲乙前弧二十度乙丙后弧十
五度总三十五度其差五度甲乙弧之半?为三四二○二○一其余弧甲丁之半?为九三九六九二六乙丙弧之半?为二五八八一九○其余弧乙丁之半?为九六五九二五八以甲乙半?与丙丁余?之半乘得三三○三六六○三八七○八五八以乙丙半?与甲丁余?乘得二四三三二一○二九九○五七四○以相加得五七三五七六三【以下满半收为一不满去之】三七七六五九八以半径为法而一得五七三五七六三即三十五度弧之半?若以相减则余八七一五五七三九六五一一八以半径为法而一得八七一五五七即○五度弧之半?此题多罗某所用全?故説中云半?而图与数皆全?然全与全半与半比例等则亦未有异也
有前六宗率为资有后三要法为具【资为材料具如器械】即可作大测全表
如用前法求得十二度弧之正半?率而求其相通之他率
弧 度 分 用法得半?数
正弧 一二 二○七九一一七
【半之】 ○六 一○四五二八五
【又半之】 ○三 五二三三六○
【又半之】 ○一三○ 二六一七六九
【又半之】 ○○四五 一三○八九六其余弧 八四 【六度之余】第一九九四五二一九八七 【三度之余】 九九八六二九五八八三○【一度半之余】 九九九六五七三八九一五【○度四十五分之余】 九九九九一四三
弧 度 分 用法得正?数
【半其余八十四度】四二 六六九一三○六
【半之】 二一 三五八三六七九
【又半之】 十○三○ 一八二二三五五
【又半之】 ○五一五 九一五○一六
【半其余八十七度】四三三○ 六八八三五四六
【又半之】 二一四五 三七○五五七四
【半其余八八三○】四十四 十五 六九七七九○五又用前七率之余弧而求其正?
四八 【四十二之余】第一七四三一四四八六九 【二十一之余】 九三三五八○四七九三○【十度半之余】 九八二二五四九八四四五【五度十五分之余】 九九五八○四九四六三○【四十三度半之余】 七二五三七四四六八一五【二十一四十五分余】 九二八八○九六四五四五【四十四十五分之余】 七一六三○一九
又半前七率而求其正?
二四 【四十八之半】 四○六七三六六
弧 度 分 用法得正?数
三四三○【六十九之半】 五六六四○六二一七一五【三十四三十分之半】 二九六五四一六三九四五【七十九三十分之半】 六三九四三九○二三一五【四十六三十分之半】 三九四七四三九
又用前五率之余弧而求其半?
六六 【二十四之余】第一九一三五四五五五五三○【三十四三十分之余】 八二四一二六二七二四五【十七度十五分之余】 九五五○一九九五○一五【三十九四十五分余】 七六八八四一八六六四五【二十三度十五分余】 九一八七九一二
又半前五率而求其正?
三三 【六十六之半】 五四四六三九○一六三○【三十三之半】 二八四○一五三○八一五【一十六三十分之半】 一四三四九二六二七四五【五十五三十分之半】 四六五六一四五
又用前四率之余弧而求其正?
五七 【三十三之余】第一八三八六七○六
弧 度 分 用法得正?数
七三三○【十六度三十分之余】第一九五八八一九七八一四五【八度十五分之余】 九八九六五一四六二一五【二十七四十五分余】 八八四九八七六
又半前四率而求其正?
二八三○【五十七度之半】 四七七一五八八一四一五【二十八三十分之半】 二四六一五三三三六四五【七十三三十分之半】 五九八三二四六
又用前三率之余而求其正?
六一三○【二十八度三十分余】第一八七八八一一一七五四五【十四度十五分之余】 九六九二三○九五三一五【三十六四十五分余】 八○一二五三八
又半前六十一度三十分而求其正?
三○四五 五一一二九三一
又用前三十○度四十五分之余而求其正?
五九一五 第一八五九四○六四
已上皆十二度所生之率再用其余弧七十八度推之亦如前法又十二度之弧为前六宗率之十五邉形也其余五形如三边四邉五邉六边十邉形亦如前法作此既毕即大测表之大段全具矣何者首得者四十五分其次为一度三十分又次为二度一十五分如此常越四十五分而得一率乃至九十度皆然所少者其中之各第一以至四十四分也今欲求初度一分以至四十五分如何其法以四十五分弧之半?一三○八九六用第二第三法半之得二十二分三十秒之弧其半?为六五四四九又半前弧得一十一分一十五秒之弧其半?为三二七二四半夫二十二分三十秒之前弧倍于一十一分十五秒之后弧而前半?亦倍于后半?盖繇初度之?与弧切近畧似相合为一线故也则用同比例法【即三率法】以二十二分三十秒之弧为第一率以其半?六五四四九为第二率设十分之弧为第三率而得第四率为二九○八八再用此法得一分之弧为二九○九弱既得一分即用前法推之可至一十五分此外更用前三要法推之以至九十度
其求切线皆用三率法
以余半?为第一率以半?为第二率以半径为第三率而得第四切线
如三十度之弧其余半?八六六○二五四为第一率其半?五○○○○○○为第二率半径一○○○○○○○为第三
率则得第四率五七七三五○二
其求割线亦用三率法
以余半?为第一率半径为第二率又为第三率而得割线第四率
如前戊乙为三十度之弧其余半?甲丙八六六○二五四为一率半径甲戊一○○○○○○○为二率又以半径甲乙为第三率而得甲丁一一五四七○○五为三十度弧之割线
其求割线之约法不用三率而用加减法
如上乙己弧二十度其切线为乙戊余
弧为己丙七十度半之得己丁三十五
度即截乙庚弧与己丁等次作乙辛切
线得数以加乙戊切线即两切线并为戊乙辛切线与甲戊割线等
其求矢法以余半?减半径得小矢
如丙丁弧五十度余弧甲丁四十度其余半?丁戊即己乙为六四二七八七六以减乙丙千万得己丙矢
已上所述皆逺西法也彼自度以下逓析为六十今中厯递用百析为便故须会通前表为百分之表其会通法如西六十分即中之百分半之三十分即五十分又半之十五分即二十五分以五为法西三分即中五分次用倍法六分即十分九分即十五分十二分即二十分如是以至六十
【三 六 九 十二 十五 十八 二十一 二十四 二十七 三十五 十 十五 二十 二十五 三十 三十五 四十 四十五 五十】【三三 三六 三九 四二 四五 四八 五一 五四 五七 六十五五 六十 六五 七十 七五 八十 八五 九十 九五 百】通表法书各度之四种割圆线中西法皆同所不同者分也其分数书五分用其三分之率书十分用其六分之率如是逓至于百所阙者每二率相距少其间四率耳则用加减法求之
如二十四度○三分即中五分也其小?数【小?者十万为半径也】四○七五三又二十四度○六分即中十分也其小半?四○八三三其差八十五分之得十六为一差以加于前小半?即得四○七六九为中厯二十四度六分之半?再加一差得四○七八五为七分之半?三加得四○八○一为八分之半?四加得四○八一七为九分之半?五加得四○八三三为十分之半?合前率矣如是逓加之得六十与百分相通之全表西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差数有畸零不尽者如西表二十四度二十七分之半?为四一三九○又二十四度三十分之半?为四一四六九其差得七十九五分之得十五又五分之四为一差通之则从中表二十四度四十五分首加一差
二十四度四十五分 四一三九○
【差法】一五 五之四
四十六分 【加一差】 四一四○五 五之四四十七分 【加二差】 四一四二一 五之三四十八分 【加三差】 四一四三七 五之二四十九分 【加四差】 四一四五三 五之一五十○分 【加五差】 四一四六九
如上有畸零者满半收为一不满去之
考表法 作表未必无误其考之之法
如表书七十七度一十八分其切线为四四三七三四九九此率如属可疑则以前后各二率考之
表用篇第五
表用一 有弧数求其正?
如三十七度五十四分之弧求其正?查本度本分表得六一四二八五三
又如三十七度五十四分四十六秒求其半?查本度本分之半?为六一四二八五三又取次率五十五分之半?为六一四五一四八相减得差二二九五【若表上有差率即取本差】此差以当六十秒用三率法以六十秒为第一率以二二九五差为二率以四十六秒为三率而求四率得一七五九以加所取之前半?六一四二八五三共得六一四四六一二即所求
系凡求切线割线同上法
次系有正弧求余?视本弧同位之余度分向正弧表上取其正?
如求三十度之余?视正弧表上与同位者为余?六十度即向正弧六十度取其?八六六○二五四即三十度之余?【表上逆列同位者为五十九度六十分而此言六十度盖并其六十分为六十度其逆列六十度者则是六十一度何者凡所书弧分皆所书弧度之算外分故也】
又如求五十度○分之余?本表逆列同位者为三十九度六十分即于正?表上简三十九度六十分之?
得六四二七八七六即所求
三系测三角形欲得见弧【见弧者有己得之弧而求其?也隠弧者有己得之?而求其弧也凡己得者称见未得称隠诸线诸角之属皆仿此】之各线查表之本度分直取之则各线咸在也如弧三十度求其割圆各线即查表之三十度初分又查其同位之六十度所得如左三十度【初分】正? 五○○○○○○
切线 五七七三五○三
割线 一一五四七○○五
余【五十九度六十分】? 八六六○三五四
切线 一七三二○五○八
割线 二○○○○○○○
四系有钝角求其各线如钝角一百四十二度六分其正?则以一百四十二度六分减半周余三十七度五十四分查表求其正?得六一四三八五三
如上丙丁正?当丙乙小弧亦当丙戊大弧故当丙甲丁鋭角亦当丙甲戊钝角何者甲上鋭钝二角原当两直角而表上无钝角之弧与其正?故减钝角于百八十度得鋭角三十七度五十四分其半?丙丁以当丙戊大弧即以当大弧之
钝角也
表用二 有正?求其弧
与前题相反如有正?八八八八八三九欲求其弧查表上正?格得此数即得本度为六十二本分为四十四也
又如正?五七六五八三四求弧查表无此数即取其近而畧小者得三十五度十二分之?为五七六四三二三与见?相减余一五一一又取其近而畧大者得五七六六七○○与前小?相减余二三七七以此大差当六十秒用三率法以二三七七大差为第一率以六十秒为第二率以一五一一小差为第三率而得第四率为三十五度十二分三十秒即所求他各线求?俱仿此
表用三 有弧求其通?
如七十五度四十八分之弧求通?其法半之得三十七度五十四分求其正?得六一四二八五二倍之得一二二八五七○四即所求
如甲乙弧七十五度四十八分半之为乙戊弧求得乙丁正?倍之即乙丁甲通?也因通?无表故用半弧正?倍之即是他准此
表用四 有弧求其大小矢
如乙丁弧三十七度五十四分求两矢查表截矢数得乙丙小矢为二一○九一五九以减全径二○○○○○○○得大矢一七八
九○八四一如表无小矢即求见弧之余?得七八九○八四一以减半径得小矢
测平篇第六
测平者测平面上三角形也凡此形皆有六率曰三边曰三角角无测法必以割圆线测之其比例甚多今用四法以为根本依此四根法可用大测表测一切平面三角形亦执简御繁之术也凡测三角形皆用三率法【即同比例】三率法又以相似两三角形【几何六卷四】为宗下文详之
根法一 各三角形之两边与其各对角两正?比例等一云右边与左边若左角之?与右角之?
如上甲乙丙平面三角形其甲丙两为鋭角即以甲为心甲乙为半径作乙戊弧次作乙己垂线即乙戊弧之正?亦即甲角之正?也又以甲乙为度从丙截取丙庚从丙心庚界作庚辛弧又作垂线庚丁即庚辛弧与丙角之正?
也题言乙角之甲乙右边与乙丙左邉若左角丙之庚丁正?与右角甲之乙己正?
论曰乙丙己三角形有乙己庚丁两平行线即乙丙与乙己若庚丙与庚丁而丙庚原与甲乙等即乙丙与乙己若甲乙与庚丁更之即甲乙与乙丙若庚丁与乙己如上甲乙丙形乙为直角有丙乙丁戊两平行线即甲丙与丙乙若甲丁与丁戊而乙丙与甲丁等即甲丙与丙乙若丙乙与丁戊反之则丙角之丙乙右边与丙甲左边若左角
甲之丁戊?与右角乙之丙乙?
如上甲乙丙形乙为钝角其正?丙壬而甲戊线与乙丙等甲角之正?为戊己题言丙角之甲丙右边与丙乙左边若左角乙之丙壬?与右角甲之戊己?何也试于形外引
甲乙至丁作丙丁线与丙乙等即丁角与乙鋭角等依首条甲丙与丙丁若丙壬与戊己即甲丙与丙乙亦若丙壬与戊己
总论之各三角形各两边之比例与两对角之两正?比例等者何也试于形外作切圏则三边为三?而本形之各边皆为
各对角之通?即乙丙邉与甲乙邉若甲角之?与丙角之?也当已即是岂止同比例而已乎夫全与全半与半比例等则各半?与各通?之比例亦等此题为用对角根本
根法二 各三角形以大角为心小边为半径作圏而截两边各为圏内外两线即底线与两腰并若腰之外分与底之外分
如上甲乙丙形其小邉甲丙其底乙丙以甲为心甲丙为半径作圏截底于戊截大腰于庚题言乙丙底与乙甲甲丙两腰并若腰外分乙庚与底外分乙戊
论曰试作乙己引出线即甲己与甲丙等而乙己与两腰并等乙己乙庚矩内形与乙丙乙戊矩内形两容等【几何三卷三五】即两形邉为互相视之边而乙己与乙丙若乙戊与乙庚既得乙戊底外分以减全底得戊丙半之得垂线所至为丁丙
此题为用垂线根本
根法三 有两角并之数又有其各正?之比例求两分角之数
如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之数其两分之大角为乙甲壬小角为壬甲丙未得数但知大角正?乙丁小角正?丙戊之比例亦未得数而求两分角之数其法以乙辛丙弧两平分于辛作甲辛线乙甲辛辛甲丙两角等而辛甲壬
角为半弧与小弧之差又为大弧与小弧之半差次截辛庚弧与辛戊等作甲庚线即庚甲壬角为大小两弧之差夫乙丙者总角之?乙丑平分弧之正?而己辛为乙辛半弧之切线辛癸为辛丙半弧之切线此二线等而辛壬辛庚各为半差弧之切线亦等又乙丁子子丙戊两形为两正?上三角形此两形之丁与戊皆直角又同底即两正?之对角为子上两交角亦等【几何一卷十题】而丁乙子子丙戊两角亦等【几何一卷三二】则两形为相似形而乙丁正?
与丙戊正?若乙子与子丙【几何六卷四】先既有乙丁丙戊两正?之比例即得乙子与子丙之比例而又得乙子与子丙之较为子寅夫乙丙己癸两线同为甲辛半径上之垂线即平行甲乙丙甲己癸两形之各角等即为相似之形【六卷四】而两形内所分之各两三角形如甲庚癸甲寅丙之类俱相似即以两线之并数乙丙为第一率以两线之差数子寅为第二率以两半弧之两切线己癸为第三率则得两差弧之切线庚壬为第四率矣而此比例稍繁别有简者则半之曰丙丑与子丑若癸辛与壬辛也有更简者则曰乙丙与子寅若辛癸与辛壬也今用第三法云乙丙为两邉之并数子寅其较数辛癸为两角总数内半弧之切线而辛壬为大小两角较弧之切线既得辛壬切线即得辛甲壬角以加乙甲辛半角即得乙甲壬大角以减辛甲丙半角即得壬甲丙小角
以数明之乙甲丙角为四十度所包大小两隠角为乙甲壬壬甲丙其两正?乙丁丙戊之比例为七与四即乙子子丙之比
例亦七与四而乙丙之总数如十一平分之于丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙两弧各二十度又以大线七与半线相减余一有半以半线五有半与小线四相减亦余一有半又甲辛为半径即辛丙二十度弧之切线辛癸为三六三九七○二即以丑丙五有半为第一率以辛癸切线三六三九七○二为第二率以子丑一有半为第三率而得辛壬切线九九二六四六为第四率既得第四率即得辛壬所当辛甲壬角为五度四十○分八秒以减辛丙二十度余壬甲小角一十四度一十九分五十二秒以加半弧乙辛得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒
此题为用切线根本
根法四 凡直角三边形之各邉皆能为半径
其一以?线为半径作弧即余两腰包直角者各为其对角之正?
如上甲乙丙形其乙丙为对直角之?线以为半径作丁丙弧即甲丙小腰为对角乙之正?甲乙大腰为对角丙之正?
其二以大腰为半径即小腰为小角之切线而?线为
小角之割线
如上甲乙大腰为半径即甲丙小腰为乙小角之切线而乙丙为乙角之割线
其三以小腰为半径即大腰为大角之切线而?线为大角之割线
如上甲丙小腰为半径即甲乙大腰为丙大角之切线而乙丙?线为其割线
此题为用割圆各线根本
新法算书卷十
测天约説叙目
测天者脩厯之首务约説者议厯之初言也不从测无縁推筭故测量亟矣即测推筭亦非甚难不可几及之事所难者其数曲而繁其情密而隠耳欲御其繁曲宜自简者始欲穷其密隠宜自显者始约説之义则总厯家之大指先为简显之説大指既明即后来所作易言易知渐次加详如车向康庄此为发轫已又古之造厯者不欲求明抑将晦之诸凡名义故为隠语诸凡作法多未及究论其所从来与其所以然之故墙宇既峻经途斯狭后来学者多不得其门而入矣此篇虽云率略皆从根源起义向后因象立法因法论义亦复称之务期人人可明人人可能人人可改而止是其与古昔异也或云诸天之説无从考证以为疑义不知厯家立此诸名皆为度数言之也一切逺近内外迟速合离皆测所得舍此即推步之法无从可用非能妄作安所置其疑信乎若夫位置形模实然实不然则天载幽?人灵浅尠谁能定之姑论而不议可矣都为二卷共八篇如左