明 倪复 撰
黄钟本原定法章
西山蔡氏以汉志斛铭文定
蔡氏新书曰黄钟长九寸空围九分积八伯壹拾分注曰天地之数姑于一终于十其一三五七九为阳九者阳之成也二四六八十为隂十者隂之成也黄钟阳声之始阳气之动也故其数九分寸之数具于声气之元不可得而见及断竹为管吹之而声和候之而气应而后数始形焉均其长得九寸审其围得九分【此章凡言分者皆十分寸之一】积其寔得八伯壹拾分长九寸围九分积八伯壹拾分【围九分即空围九分也】是为律本度量权衡于是而受法十一律由是而损益焉 算法置八百一十分分作九重毎重得九分圆田术三分益一得一十二以开方法除之得三分四厘六毫强为实径之数不尽贰毫八终四忽今求圆积之数以径叁分肆厘陆毫自相乘得十一分九厘七毫一丝六忽加以开方不尽之数二毫八丝四忽得一十二分以管长九十分乘之得一千八十分为方积之数四分取三为圆积得八百一十分【愚按律中九方分之法为难筭惟以圆田术开方法筭之则易晓矣盖四分取三筭之是也惟朱子壶説易晓故录之】
愚按九分者九方分也四方上下皆一分也至于厘毫之数皆然其有不足者不足以忽筭毫不足以丝筭厘不足以毫筭分不足以厘筭故谓之小分
朱子壶説曰壶之所容止于斗有五升而注乃以二斗释之经之所言圆壶之实而注之所言乃借以方体明之而筭法所谓虚加之数也盖圆形繁曲难计故筭家必借方形虚加厘数以定其法然后四分去一以为圆形之实今以筭法求之凡此定二斗之量者计其积实当为三百七【或作二字】拾四寸而以其髙伍寸者分之则毎髙一寸为广六十四寸八分此六十四寸者自为正方又取其八分者割裂而加于正方之外则四面各得二厘五毫之数乃复合此六十四寸八分者立为一方壶则其髙五寸其广八寸五厘而外方三尺二寸二分中受二斗如注之初説矣然此方形者筭术所借以为虚加之数耳若欲得圆壶之实数则当就此方形规而圆之去其四角虚加之数四分之一使六十四寸八分者但为四十八寸六分三百二十四寸者但为二百四十三寸则壶腹之髙虽不减于五寸其广虽不减于八寸五厘而其外围则仅为二尺四寸一分五厘其中所受仅为斗有五升如经之云无不谐合矣
愚按朱子壶説虚加实积之数与此黄钟空积之数正同而蔡季通所借圆田开方之法冥相符防以其法而求之则黄钟之围九分积八百一十分者可得而推矣故録其説如右
黄钟定法辨证章第二
汉蔡邕铜龠铭曰龠黄钟之宫长九寸空围九分容秬黍一千二百粒称重十二铢两之为一合三分损益转生十一律
宋胡安定律吕议曰按厯代律吕之制黄钟之管长九十黍之广积九寸度之所由起也容千二百黍积八百一十分量之所由起也重十有二铢权衡之所由起也围中容九方分而世儒不能贯知权量之法因谓围九分者取空围长九分尔以是围九分之误遂有径三分之説若从径三分围九之法则黄钟之管止容九百黍积止六百七分半如此则黄钟之声无从而正权量之法无从而生周之嘉量汉之铜斛皆不合其数矣西山蔡氏曰按十二律围径自先汉以前传记并无明文唯班志云黄钟八百一十分繇此之义起十二律之周径然其説乃是以律之长自乘而因之以十盖配合为説耳未可以为防也惟审度章一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章则以千二百黍实其龠谨权衡章则以千二百黍为十二铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广可见也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃是围十分三厘八毫径三分四厘六毫也毎一分容十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也【愚按三分黍之一者盖一分容十三黍不尽又以黍三折之杀其一累至九十则十三黍至九寸得一千一伯七十又以三分黍九十者合之得三十故千二百黍也】又汉斛铭文云律嘉量方尺圆其外庣旁九厘五毫羃百六十二寸深尺积一千六百二十寸容十斗嘉量之法合龠为合十合为升十升为斗十斗为石一石积一千六百二十寸为分者一百六十二万一斗积一百六十二寸为分者十六万二千一升积十六寸二分为分者一万六千二百一合积一寸六分二厘为分者一千六百二十则黄钟之龠为八百一十分明矣空围八百一十分则长累九十黍广容一千二百黍矣盖十其广之分以为长十一其长之分以为广自然之数也自孟康以律之长十之一为围之谬其后韦昭之徒遂皆有径三分之説而隋志始着以为定论然累九十黍径三黍止容黍八百有竒终与一千二百黍之法两不相通而律竟不成唐因声制乐虽近于古而律亦非是本朝承袭皆不能觉独胡安定以为九分者方分也以破径三分之法然所定之律不本于声气之元一取之秬黍故其度量权衡皆与古不合又不知变律之法但见仲吕反生不及黄钟之数乃迁就林钟已下诸律围径以就黄钟清声以夷则南吕为径三分围九分无射为径二分八厘围八分四厘应钟为径二分六厘五毫围七分九厘五毫夫律以空围之同故其长短之异可以定声之髙下而其所以为广狭长短者又莫不有自然之数非人之所能为也今其律之空围不同如此则亦不成律矣遂使十二律之声皆不当位反不如和岘旧乐之为条理亦可惜也房庶以径三分周围九分累黍容受不能相通遂废一黍为一分之法而増益班志八字以就其説范蜀公乃从而信之过矣
愚按蔡邕胡安定论黄钟长九寸围九分之法可谓明矣而安定证辨径三分之误深得其实盖径一围三乃取围之要法而非所以定黄钟也黄钟之广围十分二厘八毫径三分四厘六毫管长九寸累九十黍以为长中有九方分一分容十三黍又以十三黍所容犹有三厘三毫有竒之空故析黍为三毎十三黍之中揷一三十黍为九十瓣实千二百黍也若黄钟之管止径三分则其容者减去六分之四而管细矣黄钟之声乌得而和哉
刘恕通鉴外纪载黄帝命伶伦自大夏之西取竹于解谿之谷断两节间长三寸九分而吹之以为黄钟之宫长孙无忌曰黄帝命伶伦断竹长三寸九分而吹之
以为黄钟之宫曰含少吕氏春秋亦载三寸九分之数愚按黄钟九寸之数盖天地声气自然之妙非人所得而增减者也而刘恕长孙无忌不能考其非遂以吕氏所载三寸九分之管不详其故而信之而今莆田李氏文利又以瞽师之见遂着为説以为黄钟之尊在于气清上行不在数多清者数少浊者数多故少者贵多者贱宫声极清黄钟实在正宫其数少故为君声极清且上行故为三寸九分而以九寸为防賔之律呜呼此岂律之本然哉彼徒知至尊无与并之为贵而不知黄钟同心一统之义也盖天子者兼总条贯统理民物者也使黄钟而可三寸九分也则埋之既浅而冬至初阳之气不应其中分厘毫丝之数法何由而分十一律之数何由而生而度量权衡之制又何由而定乎则法由是废矣先王制作之妙夫岂若是踈哉盖三寸者三三九寸也九分者九方分也若黄钟之长诚止三寸九分也则声必亢急而难吹而余律之长陵及其主臣民事物颠倒错乱将欲作乐以宣其和而不免为乖戾之气以奸之乐何由而可谐耶且黄钟冩其元声而元气之起虽为甚防必全体具足及其流行则遍布四逹易曰大哉乾元万物资始乃统天则元非数之短者也不识其妙而刚果自用遂断以为三寸九分之数其何能议千载之律而复先王之旧哉或者乃从而信之特以为天授之独见岂不误之益甚哉
黄钟寸分数法之实章第三
按此乃蔡季通以淮南子汉前志律书生钟分定盖三厯十二辰而得寸分厘毫丝之数法三分损益亦由于此此黄钟一管之实也
太极元气凾三为一故子一为黄钟之律
参之于丑得三个一故丑三为黄钟之丝法
参之于寅得三个三故寅九为黄钟之寸数
参之于夘得三个九故夘二十七为黄钟之毫法参之于辰得三个二十七故辰八十一为黄钟之分数
参之于已得三个八十一故已二百四十三为黄钟之厘法
参之于午得三个二百四十七故午七百二十九为黄钟之厘数
参之于未得三个七百二十九故未二千一百八十七为黄之分法
参之于申得三个二千一百八十七故申六千五百六十一为黄钟之毫数
参之于酉得三个六千五百六十七故酉一万九千六百八十三为黄钟之寸法
参之于戌得三个一万九千六百八十三故戌五万九千
参之于亥得三个五万九千四十九故亥一十七万七千一百四十七为黄钟之实
西山蔡氏曰按黄钟九寸以三分为损益故以三厯十二辰得一十七万七千一百四十七为黄钟之实其十二辰所得之数在子寅辰午申戌六阳辰为黄钟寸分厘毫丝之数【子为黄钟之律寅为九寸辰为八十一分午为七百二十九厘申为六千五百六十一毫戌为五万九千四十九丝】在亥酉未巳夘丑六隂辰为黄钟寸分厘毫丝之法【亥为黄钟之实酉之一万九千六百八十三为寸未之二千一百八十七为分已之二百四十三为厘夘之二十七为毫丑之三为丝】其寸分厘毫丝之法皆用九数故九丝为毫九毫为厘九厘为分九分为寸为黄钟盖黄钟之实一十七万七千一百四十七之数以三约之为丝者五万九千四十九以二十七约之为毫者六千五百六十一以二百四十三约之为厘者七百二十九以二千一百八十七约之为分者八十一以一万九千六百八十三约之为寸者九由是三分损益以生十一律焉 或曰径围之分以十为法而相生之分厘毫丝以九为法何也曰以十为法者天地之全数也以九为法者因三分损益而立也全数者即十而敢九相生者约十而为九即十而取九者体之所以立约十而为九者用之所以行体者所以定中声用者所以生十一律也愚按围径之分以十为法而即十取九者盖于一尺之内取其九十分以为黄钟则寸固十分分固十厘厘固十毫毫固十丝也相生之分厘毫丝以九为法者盖律管之长九寸围十分二厘八毫中容九方分故以九为用然上下相生以三为法若以十为数则其数中损益乃有余分不可尽筭唯以九者约而取之则其寸有九方分分有九方厘厘有九方毫毫有九方丝所谓约十而为九也以之损益则三分之数整直易记不差矣此围径之分与相生之分虽为法不同而其实则一也黄钟之实十七万七千一百四十七者以九加二十七以二十七而加八十一以八十一而加二千一百八十七又加六千五百六十一又加一万九千六百八十三又加五万九千□□四十九合而数之则为十七万七千一百四十七之数而黄钟之实在是矣 或问筭到十七万七千一百四十七之数当何用朱子曰以定管之长短而出是声大抵考防其法是如此
淮南子曰规始于一一不生故分而为隂阳隂阳合和而万物生故曰一生二二生三三生万物天地三月而为一时故祭祀三饭以为礼防纪三踊以为节兵重三军以为制三参物三三如九故曰黄钟之九寸而宫音调因而九之九九八十一故黄钟之数立焉黄者土徳之色钟者气所种也日冬至徳气为土土色黄故曰黄钟律之数六分为雌雄故曰十二钟以副十二月十二各以三成故置一而十一三之为积分十七万七千一百四十七黄钟大数立焉 前汉志曰太极元气函三为一极中也元始也行于十二辰始动于子参之于丑得三又参之于寅得九又参之于夘得二十七又参之于辰得八十一又参之于已得二百四十三又参之于午得七百二十九又参之于未得二千一百八十七又参之于申得六十五百六十一又参之于酉得万九千六百八十三又参之于戌得五万九千□□四十九又参之于亥得十七万七千一百四十七此隂阳合徳气钟于子化生万物者也 律书曰置一而九三之以为法实如法得长一寸凡得九寸命曰黄钟之律
愚按此寸以九分为法而蔡氏皆定三书者也
西山蔡氏曰按淮南子谓置一而十一三之以为黄钟之大数即此置一而九三之既为寸法则七三之为分法五三之为厘法三三之为毫法一三之为丝法从可知矣律书独举寸法者盖已于生钟分内黙具律寸分厘毫丝之法而又于此律数之下指其大者以明凡例也一三之而得三三三之而得二十七五三之而得二百四十三七三之而得二千一百八十七九三之而得一万九千六百八十三故一万九千六百八十三以九分之则为二千一百八十七二千一百八十七以九分之为二百四十三二百四十三以九分之则为二十七二十七以九分之则为三三者丝法也九其三得二十七则毫法也九其二十七得二百四十三则厘法也九其二百四十三得二千一百八十七则分法也九其二千一百八十七得一万九千六百八十三则寸法也一寸九分一分九厘一厘九毫一毫九丝以之生十一律以之生五声二变上下秉除参同契合无所不通盖数之自然也顾自淮南太史公之后即无识其意者如京房之六十律虽亦用此十七万七千一百四十七之数然乃谓不盈寸者十之所得为分又不盈分者十之所得为小分以其余为强弱不知黄钟九寸以三损益数不出九苟不盈分者十之则其竒零无时而能尽虽泛以强弱该之而卒无以见强弱之为几何则其数之精防固有不可得而纪者矣至于杜佑胡瑗范蜀公等则又不复知有此数而以意强为之法故通典则自南吕而下各自为法固不可以见分厘毫丝之实胡范则止用八百一十分乃是以积实生量之数为律之长而其因乘之法亦用十数故其余筭亦皆弃而不録盖非有意于弃之实其重分累析至于无数之可纪故有所不得而录耳夫自丝以下虽非目力之所能分然既有其数而或一筭之差则法于此而遂变不以约十为九之法分之则有终不可得而齐者故淮南太史公之书其论此也已详特房庶等有不察耳【司马贞史记索隠注黄钟八寸十分一云律九九八十一故云八寸十分一汉书云长九寸者九分之寸也此则古人论律以九分为寸之明验也】
黄钟生十一律寸分厘毫丝数章第四【此以隔八相生之法以定诸律之次】
子一分【一为九寸】
太极元气函三为一子数一故一为黄钟之律其曰一为九寸则一之数九寸也具十一律分厘毫丝之数法由是取之律书曰置一而九三之以为法实如法得长一寸凡得九寸命曰黄钟之律孟康曰元气始起于子未分之时天地人混合为一故子数独一也
丑三分二【一为三寸】
子数一以三因之得三为黄钟之丝法下生者倍其实得二故二九一十八也以三分之则为六者三一为三寸二则为六寸也而林钟之数具于此矣
寅九分八【一为一寸】
丑上数三以三因之得九为黄钟之寸数上生者四其实故四其二得八八九七十二也以三分之则为二十四得三者八一为一寸则八寸也太簇之数具于此矣
夘二十七分十六【三为一寸一为三分】
寅上数九以三因之得二十七为黄钟之毫法下生者倍其实故二其下数八而得十六十六而以三分之则为五者三而余一三为一寸则三五十五而得五寸一为三分共五寸三分也而南吕之数具于此矣
辰八十一分六十四【九为一寸一为一分】
夘上数二十七以三因之得八十一为黄钟之分数上生者四其实故四其下数十六而得六十四以九分之则为九者七九为一寸故七寸余一筭一为一分共七寸一分而姑洗之数具于此矣
已二百四十三分一百二十八【二十七为一寸 三为一分 一为三厘】辰上数八十一以三因之得二百四十三为黄钟之厘法下生者倍其实故其下二数六十四而得一百二十八以二十七分之则为二十七者四以二十七为一寸则得寸者四而成一百单八余二十以三分之则为三者六故三为一分而成六分又余二分以一分之则为一者二故一为三厘而成六厘矣共四寸六分六厘而应钟之数具于此矣
午七百二十九分五百一十二【八十一为一寸 九为一分 一为一厘】已上数二百四十三以三因之得七百二十九为黄钟之厘数上生者四其实故其下四数一百二十八而得五百一十二以五百一十二而以八十一分之则为八十一者六以八十一为一寸则得寸者六而成四百八十六余二十六以九分之则为九者二故九为一分而成二分又余八以一算之则为八者一而成八厘矣共六寸二分八厘而防賔之数具于此矣
未二千一百八十七分一千二十四【二百四十三为一寸 二十七为一分 三为一厘一为三毫】
午上数七百二十九以三因之得二千一百八十七为黄钟之分法下生者倍其实故二其午下数五百一十二而得一千二十四大吕未律在丑以隂居阳又倍其实得二千四十八以二百四十三分之则为二百四十三者八故以二百四十三为一寸则得寸者八而成一千九百四十四余一百四以二十七分之则为二十七者三故二十七为一分则得分者三而成八十一又余二十三以三分之则为三者七而成二十一故三为一厘则得厘者七又余二以一算之则一为一毫而得二毫矣共八寸三分七厘二毫而大吕之数具于此矣【新书作六毫恐误】
申六千五百六十一分四千九十六【七百二十九为一寸 八十一为一分 九为一厘一为一毫】
未上数二千一百八十七以三因之得六千五百六十一为黄钟之毫数上生者四其实故四其未下数一千二十四而得四千九十六以七百二十九分之则为七百二十九者五故以七百二十九为一寸则得寸者五而成三千六百四十五余四百五十一以八十一分之则为八十一者五故以八十一为一分则得分者五而成四百单五余四十六以九分之则为九者五九为一厘则得厘者五而成四十五余一则为毫者一而无余矣共五寸五分五厘一毫而夷则之数具于此矣
酉一万九千六百八十三分八千一百九十二【二千一百八十七为一寸 二百四十三为一分 二十七为一厘 三为一毫 一为三丝】
申上数六千五百六十一以三因之得一万九千六百八十三为黄钟之寸法下生者倍其实故二其申下数四千九十六得八千一百九十二夹钟酉律在夘以隂居阳倍其实为一万六千三百八十四以二千一百八十七分之则为二千一百八十七者七故以二千一百八十七为一寸则得寸者七而成一万五千二百六十余一千一百六十四以二百四十三分之则为二百四十三者四故以二百四十三为一分则得分者四而成九百七十二矣余七十一以三分之则为九者七故以为一毫则得毫者七而成六十三矣余九以三分之则为三者三故以一为三丝则得丝者三而成九矣共七寸四分三厘七毫三丝而夹钟之数具于此矣
戌五万九千四十九分三万二千七百六十八【六千五百六十一为一寸 七百二十九为一分 八十一为一厘 九为一毫 一为一丝】
酉上数一万九千七百八十三以三因之得五万九千四十九为黄钟之丝数上生者四其实故四其酉下数八千一百九十二得三万二千七百六十八以六千五百六十一分之则为六千五百六十一者四故以六千五百六十一为一寸则得寸者四而成二万六千二百四十四余六千五百二十四以七百二十九分之则得七百二十九者八故以七百二十九为一分则得分者八而成五千八百三十二矣余六百九十二以八十一分之则得八十一者八而成六百四十八余四十四以九分之则得九者四故以九为一毫则得毫者四而三十六矣余八以八筭之无以一为一丝则八丝也共四寸八分八厘四毫八丝而无射之数具于此矣
亥十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六【一万九千六百八十三为一寸 二千一百八十七为一分 二百四十三为一厘 二十七为一毫三为一丝一为三忽】
戌上数五万九千四十九以三因之得十七万七千一百四十七为黄钟之实下生者倍其实故二其戌下数三万二千七百六十八得六万五千五百三十仲吕亥律在已以隂居阳倍其实得十三万一千零七十二以一万九千六百八十三分之则为一万九千六百八十三者六故以一万九千六百八十三为一寸则得寸者六而成十一万八千零九十六余一万二千九百七十四以二千一百八十七分之则为二千一百八十七者五故以二千一百八十七为一分则得分者五而成一万九百三十五余二千三十九以二百四十三分之则为二百四十三者八故以二百四十三为一厘则得厘者八而成一千九百四十四矣余九十六以二十七分之则为二十七者三故以二十七为一毫则得毫者三而成八十一矣余十五以三分之则为三者四故以三为一丝则得丝者四而成十二矣余二以一分之则得二故以一为三忽则得忽者六而成二矣共六寸五分八厘三毫四丝六忽而仲吕之数具于此矣
西山蔡氏曰按此即三分损益上下相生之数其分字以上者皆黄钟之全数其分字以下者皆诸律所取于黄钟长短之数也其上下相生之序则晋志所谓在六律为阳则当位自得而下生于隂六吕为隂则得其所冲而上生于阳者是也大吕夹钟仲吕止得半声必用倍数乃与天地之气相应其寸分厘毫丝皆积九以为法 又曰黄钟生十一律子寅辰午申戌六阳辰皆下生丑夘巳未酉亥六隂辰皆上生其上以三厯十二辰者皆黄钟之全数其下隂数以倍者【即筭法倍其实】三分本律而损其一也阳数以四者【即筭法四其实】三分本律而增其一也六阳辰当位自得六隂辰则居其冲其林钟南吕应钟三吕在隂无所増损其大吕夹钟仲吕三吕在阳则用倍数方与十二月之气相应盖隂之从阳自然之理也 朱子曰自黄钟至仲吕皆属阳自防賔至应钟皆属隂此是一个大隂阳黄钟为阳大吕为隂太簇为阳夹钟为隂一隂间一阳此是一个小隂阳
愚按六阳辰当位自得如子律居子寅律居寅辰律居辰午律居午申戌律居申戌是也六隂辰则居其冲如丑律居未夘律居酉巳律居亥是也蔡氏谓大吕夹钟仲吕居阳者三吕本在未酉亥之地而在十二月二月四月之辰故曰在阳余三吕本在隂月用倍数惟大吕居阳月故必变以从阳而倍其数也与三吕不同