1. “拓扑学”和连续统
几何学家通常在两类几何学之间作出区分，他们把第一类称为度量几何学，把第二类称为射影几何学。度量几何学以距离概念为基础；在度量几何学中，当两个图形“全等”（在数学家赋予这个词的意义上）时，则它们被认为是等价的。射影几何学以直线概念为基础。因为在射影几何学中，认为两个图形等价并不一定要它们相等，只要它们通过射影变换彼此对应（即一个是另一个的射影）就足够了。第二类几何学往往被称为定性几何学；若与第一类几何学相比较，它的确是这样。显然，在射影几何学中，度量和量并不起什么重要的作用。然而，也不完全如此。直线不是纯粹定性的；在没有作出某种度量或者在没有使所谓的直尺（一种度量工具）沿一条线移动的情况下，就不能断言这条线是直线。
但是，还有第三类几何学，在这类几何学中，量被完全排除了，它纯粹是定性的，这就是拓扑学。在这个学科中，可以通过连续变形使一个图形与另一个图形对应，从而两个图形在任何时候都是等价的，不管支配这种变形的规律是什么，只要保持连续性就行。于是，圆等价于椭圆，甚至等价于任何类型的闭曲线，但它与线段不等价，因为线段不是闭合图形。球面等价于任何曲面，但是它不等价于圆环面，因为在圆环面上有一个洞，而球面上却没有。让我们设想任何一类图样，一个笨拙的制图员描画这个图样的复制品。比例被歪曲了，用颤抖的手画出的直线歪歪扭扭，结果成了不成比例的曲线。从度量几何学的观点来看，甚至从射影几何学的观点来看，这两个图形都不是等价的；但是，与之相反，从拓扑学的观点来看，它们是等价的。
对于几何学家来说，拓扑学是很重要的科学。拓扑学导致了一系列定理，这些定理像欧几里得的定理一样密切相关；正是从这组命题出发，黎曼（Riemann）构造了一种最著名的、最抽象的纯粹分析理论。为了说明它们的本性，我将引用其中的两个定理：（1）平面上的两个闭曲线相交于偶数个点；（2）如果一个多面体是凸多面体（这就是说，如果不把它一切为二就不可能在它表面上描绘一个闭合线），那么它的棱数等于顶点数加面数减去二；当多面体的面和棱是曲面和曲线时，这依然是正确的。
这就是拓扑学使我们如此由感兴趣的东西，正是在这门学科中，几何学直觉确实起着作用。在度量几何学的定理中，当运用能力是由这种直觉组成时，那正是因为在无视一个图形的定性性质时，也就是说，在忽视研究那些严格地属于拓扑学的性质时，便不可能研究它的度量性质。人们常说，几何学是一门关于粗制滥造的图形的正确推理的艺术。这不是冷嘲热讽，而是值得思考的真理。但是，什么是粗制滥造的图形呢？刚才提到的那位笨拙的制图员所能画出的图形就是这类图形。他或多或少公然地歪曲了比例；他把直线乱画为锯齿形；他的圆好像土堆一样难看。但是，所有这一切无关紧要；它无论如何不会使几何学家烦恼；这并不妨碍他正确地推理。
但是，缺乏经验的画图者必然不用开曲线描绘闭曲线，或者不用没有公共点的三条直线描绘相交于一点的三条直线，或者不用完整的曲面描绘有洞的曲面。在那种情况下，这位画图者的图画毫无用处，推理也变得不可能了。直觉不会受到图画中仅对度量几何学和射影几何学有意义的缺陷的妨碍。然而，只要这些缺陷涉及到拓扑学，直觉将变得不可能。
这种十分简单的观察指出几何学直觉的真实作用；几何学家需要画图形，至少需要形成它们的思想图像，从而便利了这种直觉。现在，如果他尽量减小这些图形的度量性质和射影性质的重要性，如果他仅仅专注于它们的纯粹定性的性质，那么唯有几何学直觉在这里真正起作用。我并不是说度量几何学是建立在纯粹逻辑的基础上，或者其中没有直觉真理的地位。但是，它们是另一类直觉观念，类似于在算术和代数中起主要作用的直觉观念。
拓扑学的基本命题是：空间是三维连续统。我已经在其他著作中讨论了这个命题的起源，但却是以极为简略的方式讨论的，为了阐明某些观点：再次更详细地考察一下它，在我看来并非是毫无意义的。
空间是相对的；所谓相对空间，我不仅意指在我们没有注意到的情况下，我们可以转移到空间的另一个区域（这是我们真正遇到的事情，因为我们并不觉察到地球的平动）；我不仅意指，一切物体的所有维数在我们不能知道其变化的情况下能够成比例地增加，倘若我们的测量仪器经受到同样的变化的话；而且我也意指，空间能够按照某个任意的规律变形，假使我们的测量仪器也按照这个同样的规律变形的话。
这可以是任何变形，但变形必须是连续的；也就是说，它必须是使一个图形变换为从拓扑学观点来看是等价的另一个图形的那些变形之一。当空间被认为是独立于我们的测量仪器时，空间从而既不具有度量的性质，也不具有射影的性质；它只有拓扑的性质（也就是说，仅具有在拓扑学中所研究的性质）。它是无定形的，也就是说，它并非不同于人们通过无论什么连续性的形变能够从它得出的任何空间。我将用数学语言加以解释。在这里有两个空间E和E′；E中的点M对应于E′中的M′；点M有直角坐标x，y，z；点M′具有x，y，z的三个任何连续函数作为直角坐标。从我们所谈到的观点看来，这两个空间并没有什么不同。
我们测量仪器的功能，尤其是固体的作用如何给人的智力提供更完满地决定和组织这种无定形空间的机会，它怎样容许射影几何学画直线网络，怎样容许度量几何学测量这些点之间的距离群的基本概念在这个过程中起什么根本性的作用，我在其他著作已经对此作了详细的解释。我认为所有这些论点都已得到确认，我不需要再重复这些了。
在这里，我们只关心在拓扑学中所考虑的无定形的空间，即独立于我们测量仪器的唯一的空间；它的基本性质——我是要说它的唯一的性质——是三维连续统的性质。
2. 连续统和截量
可是，什么是n维连续统呢，它与维数较大或较小的连续统怎样区别呢？让我们首先回顾一下康托尔（Cantor）的学生最近得到的一些结果吧。在直线上的点和平面上的点之间，或者更一般地说，在n维连续统上的点和p维连续统上的点之间有可能建立一一对应关系。倘若我们不受平面上两个无限邻近的点对应于直线上两个无限邻近的点这个条件（即连续性条件）的约束，那么这就是可能的。
因此，有可能用这样的方式使平面发生变形而得到直线，只要这种变形不是连续的。另一方面，用连续的变形则不可能这样。于是，维数的问题与连续性概念密切相关，而对于任何想要排除这一概念的人来说，那是没有什么意义的。
为了定义n维连续统，我们首先有解析定义：n维连续统是n个坐标的集合，也就是说，是能够各自独立变化的、而且假定所有的实值满足某些不等式的n个量的一个集合。这个定义从数学的观点来看尽管没有缺点，但是无论如何不能使我们完全满意。在连续统中，各种坐标可以说并非相互毗连；它们在它们自身之中联系起来，以致形成一个整体的各个方面。在空间研究的每时每刻，我们实现的就是所谓的坐标变换。例如，我们实现直角坐标系变换，要不然我们变换到曲线坐标。在研究另一个连续统时，我们也实现坐标变换；也就是说，我们用n个坐标的无论什么样的n个连续函数代替n个坐标。对于我们之中不是从刚才提到的解析定义出发，而是从某个更深奥的来源出发而导出n维连续统概念的人来说，这一操作是很自然的；我们感到，那些在连续统中是本质的东西并没有变化。另一方面，对于那些仅仅从解析定义了解连续统的人来说，这一操作无疑是合理的，但却是奇异的，未经证明的。
最后，这个定义尽量减小了连续统概念的直觉起源和这一概念所包含的一切丰富思想的重要性。它像那些从数学“算术化”以来在这门科学中变得如此频繁的定义那样反复出现。从数学的观点来看，我们所说的这些定义是没有缺点的，但是它们却不能使哲学家满意。它们用由比较简单的材料组成的结构代替被定义的对象和这个对象的直觉概念。因此，很容易看到，用这些材料可以有效地形成这个结构，但我们同时看到，要作出更多的东西同样是可能的。未被揭示出来的是：为什么用这种方式而不用另外的方式来组合这些材料，其中有什么深刻的原因？我的意思并不是说，数学的这种“算术化”是不受欢迎的；我说它并非包罗万象。
我将把维数的确定建立在截量概念的基础上。首先，让我们考虑一条闭曲线，即一维连续统。如果我们在这条曲线上取任意两个我们将不容许我们自己通过的点，那么该曲线将被截为两部分，不可能从一部分到另一部分，因为我们虽然还在这条曲线上，但是却不能通过被排除的点。另一方面，让我们考虑一个闭曲面，它形成一个两维连续统。在这个曲面上，可以取一两个或任意数目的被排除的点。该曲面并不因为这样就被分为两部分；在这个曲面上，可以从一点到另一点，而不会遇见任何障碍，因为总可以绕过被排除的点。
可是，如果我们在曲面上画出一条或多条闭曲线，如果我们把它们看作是不可逾越的截量，那么该曲面就能够被分为几个部分。
现在，让我们考虑空间的情形。我们既不能禁止通过某些点，也不能禁止越过某些线来把空间分为几个部分，这些障碍总可以绕过去。必须禁止越过某些面，即某些两维截量。这就是我们说空间具有三维的原因。
我们现在知道，n维连续统是什么。当一个连续统能够借助于一个或多个本身是n-1维的截量被分为许多区域，则该连续统具有n维。这样，n维连续统用n-1维连续统来定义。这就是递归定义。
在这个定义中，什么东西给我以信心呢？什么东西向我表明观念实际上如何自然而然地在人们的头脑中产生呢？它首先就是，许多基本读物的作者并无意于恶作剧，但在他们著作的开头部分却作出了类似的事情。他们把体积定义为空间的部分，把面定义为体积的边界，把线定义为面的边界，把点定义为线的边界；此后他们停顿下来，其类似性是明显的。遵循这种定义，我们在拓扑学的其他部分重新发现截量的重要作用。例如，根据黎曼的观点。是什么东西把圆环面与球面区别开来呢？正是这样的事实：我们不能在球面上画一条闭曲线而又不把球面分为两部分，可是却存在着不把圆环面分为两部分的闭曲线，为了保证人们分开圆环面，必须作出没有公共点的两个闭截量（闭曲线）。
还留下另一个值得考察之点。我们刚才考察的连续统是数学连续统；它们的每一个点都是独特的东西，绝对不同于其他点，而且绝对不可分。由我们的感觉所直接揭示的连续统，我称之为物理连续统，它们都是有差别的。支配这些连续统的规律是费希纳（Fechner）定律，我将剥去通常套在它身上的华丽的数学外衣，以便把它还原到作为它的基础的实验数据的简单项。根据估计，有可能分辨出一个10克重的砝码和一个12克重的砝码的差别，但恐怕不可能分辨出一个11克重的砝码和一个10克重的砝码或12克重的砝码的差别。更一般地，可以有这样两个感觉集合：我们在没有分辨出一个集合或另一个集合与第三个集合的差别的情况下就可以分辨出它们二者的差别。根据这一假定，我们能够设想这样一个感觉集合的连续链，它们中的每一个都无法与相接的一个区别开来，尽管链的两端却能够很容易地加以分辨。这将是一维的物理连续统。我们也可以设想较复杂的物理连续统。这些物理连续统的元素将又是感觉的集合（但是我更喜欢用比较简单的词——元素）。另外，什么时候我才能说，相似元素的系统S是物理连续统呢？无论任何时候，我都能够把它的任意两个元素看作是一个连续链的两个末端，该链类似于我刚刚叙述过的链，它的所有元素都属于S。因此，如果可以用不离开曲面的一条连续的线联结该曲面的任何两个点，那么该曲面就是连续的。
我们能够把截量的概念推广到物理连续统，从而决定它们的维数吗？我们显然能够这样做。让我们排除S中的某些元素以及所有不能与它们区分的元素。这些受到限制的元素完全可以是有限的数目，要不然就能够通过它们的结合形成一个或多个连续统。这些有限的元素的集合将组成一个截量；在形成这一截量后，所发生的情况是，我们可以把连续统S分为几个别的连续统，这时再也不能通过连续链从S中的任何元素到任何其他元素中去，这个链的元素无法与该截量的任何其他元素相区别。
因此，通过把我们自己限制到有限数目的元素之内，从而能够被截的物理连续统将具有一维；如果一个物理连续统能够借助于本身是n-1维的物理连续统的截量来分割，那么它将具有n维。
3. 空间和感觉
问题似乎被解决了；我们也许只需要把这个法则应用于作为空间的粗糙图像的物理连续统，或者应用于对应的数学连续统——它是物理连续统的精制的图像，是几何学家的空间。但是，那是一种假象；如果我们由以推知空间的物理连续统是直接通过感觉揭示给我们的，那么一切也许是幸运的；然而，事实却远非如此。
让我们看看，从我们的大量感觉中实际上是怎么有可能推导出物理连续统的呢。物理连续统的每一个元素都是感觉集合；首先考虑一下同时的感觉的集合，即意识的状态，这是最简单的集合。然而，我们的每一个意识状态是一种极其复杂的东西，以至于我们从来也不能指望看到两个意识状态变得不可区分。可是，为了构造物理连续统，从以前已说过的情况来看，基本的问题是，它们的两个元素在某些情况下能够被看作是不可区分的。可是，我们永远也不能说：我不能把我目前的思想状态与我前天同一时刻的思想状态区分开来。
因此，我们有必要通过积极的思想操作，通过忽略两个意识状态的差别，从而一致认为二者是等价的。例如，我们可以忽略某些感官的感觉，这将是最为简单的。我已经说过，我无法分辨一个10克重的砝码和一个11克重的砝码的差别。可是，情况也许是，如果我不断地实验，那么一个10克重的砝码所引起的压力感觉被各种不同的嗅觉和听觉伴随着，当用一个11克重的砝码代替一个10克重的砝码时，这些各种各样不同的感觉变化了。正因为我忽略了这些特异的感觉，我才能够说，两个意识状态是不可区分的。
有可能规定更复杂的条件；也有可能以不仅把同时的感觉的集合，而且把相继的感觉的集合即感觉系列看作是我们的连续统的元素。接着，有必要规定基本的条件，而且为了认为连续统两个元素是等价的，有必要指明二者必须具有的共同特性（不管它们是同时的感觉的集合还是相继的感觉的集合）。
于是，在定义物理连续统的场合，有必要作出双重选择：第一，选择作为这个连续统的元素的同时的或相继的感觉集合；第二，选择定义两个元素必须被认为是等同的情况的基本条件。
为了得到空间，必须怎样进行这种双重选择呢？我们能够满足于考虑同时的感觉的集合或者有必要考虑感觉系列吗？特别是，我们能够以由于忽略某些感官的知觉而形成的最简单的和最自然的基本条件为满足吗？否！
这样的否定是不可能的；我们不能从我们的感觉中选择出那些将向我们传达空间概念并且只传达空间概念的感觉。没有一种感觉不借助于其他感觉就能够向我们传达空间概念；也没有一种感觉不传达大量与空间毫无关系的东西。
例如，我们分析一下所谓接触的知觉，这是我们觉察到的知觉。经验告诉我们，如果我们用两个大头针接触我们的皮肤，倘使它们相距足够远，那么我们的意识就能够分辨出这两个大头针，如果使它们相互靠得很近，我们就无法在二者之间作出区分了。而且，区分它们的最小距离依据身体部位而变化。我们通常说，皮肤被分为各个部位，每一个部位都是同一感觉神经的管辖范围；如果两个大头针扎入同一部位，那么只有单根神经受到刺激，我们只意识到一个大头针；但是，换一种情况，如果它们扎入两个部位，结果影响到两根神经，我们便觉察到两个大头针。这并不完全令人满意；我们无法用这种方式发现物理连续统的特性。让我们设想一下，我们改变两个大头针的位置，而使它们已经很小的距离保持恒定。由于这个距离很小，可以发生下述情况：两个大头针将扎入同一部位，结果只产生一个知觉。但是，如果我们一点一点地改变它们的位置，而不改变它们的距离，在某一瞬间，将出现这样的情况：它们中的一个将扎入该部位之外，而另一个还处于该部位之内。在此瞬间，我们应当感觉到两个大头针，但我们所观察到的情况并非如此。我们不可能用这种方式推断出物理连续统的概念，但是却可以推断出由像有那么多部位那么多的独特情况所形成的离散集的概念。最好是姑且承认，大头针的接触不仅影响最近的神经，而且也影响相邻的神经，而当距离增大时，其强度亦随之减小。因此，让我们设想，我们正在把两个大头针接触的作用进行比较。如果两个大头针的距离很小，那么同一神经受到作用；某一个大头针对于同一神经的刺激强度将无疑是不同的，但是这种差别太小了，以至于按照费希纳的一般法则也难以分辨出来。如果一根神经受到大头针A的刺激而没有受到B的刺激，那么它仅仅是受到大头针A 的轻微刺激，这个刺激将低于“意识阈限”。因此，两个大头针的影响将是不可区分的。
这样，我们有了我们为构造物理连续统所需要的一切；我们只要使两个大头针沿着我们皮肤的表面移动，我们只要注意在哪一种情况下我们的意识能分清它们。我们已略去了（那是我上面所提到的作为我们基本的条件的东西）大量的事实：每一个感觉网络的刺激强度、大头针在皮肤上所施加的或大或小的压力、接触的性质。触觉揭示出了所有这些事实，但是我们排除了它们，以便只保持其特性是几何学的那些事实。这样一来，我们推断出空间概念了吗？没有；首先，这样构造出的连续统像皮肤本身的表面一样只有两维。其次，我们十分清楚地知道，我们的皮肤是可动的，皮肤上的特定点并不总是对应于空间的特定点；当我们的身体变形时，皮肤上两点之间的距离就要发生变化。毫无疑问，软体动物正是用这种方式想象空间的，但是这与我们的空间概念无关。
3435 同样的情形对视觉也是真的；照射到视网膜两点上的两束光，根据这两点的距离是大还是小，要么给我们以两个光斑的印象，要么只给我们一个光斑的印象。这相当于上述的两个大头针；我们能够忽略光的颜色和强度，利用它们构造物理连续统；这个物理连续统正像视网膜的表面一样，将具有两维。第三维是通过眼睛的双目视觉的会聚作用引入的，这就是所谓的视觉空间（visual space）。它高于触觉空间（tactile space），首先是因为我们怀着一点善意给它以三维，其次是因为视网膜无疑是可动的，而从固体的意义上讲，皮肤却在所有方向上都是柔韧的。于是，我们被诱使说，真实的空间存在于我们企图确定我们所有的感觉起源的地方。这还不能使人满意。不仅眼睛是可动的，以至于空间的特定点并不总是对应于视网膜的特定点和眼睛的特定会聚度；而且这也无法解释，为什么第三维如此明显地与已经引入的其他两维不一致，也无法解释为什么盲人的几何学和我们的相同。
如果我们希望把视觉空间和触觉空间结合起来，那么将有五维而不是三维或两维；将依然存在着用什么过程解释五维能够简化为三维的任务；如果我们希望把其他感觉引入这种结合之中，那么维数将进一步增加。
还要用几句话来解释，为什么触觉空间和视觉空间是同一个空间。
4. 空间和运动
因此，情况似乎是，我们不能通过考察同时的感觉的集合来构造空间，我们必须考虑感觉系列。总是有必要再次提到我前面已经说过的东西。某些变化表现为位置的变化，另一些变化表现为没有几何学性质的状态的变化，这究竟是为什么？为此，我们必须首先区分外部变化和内部变化；外部变化是非随意的，它们并不被肌肉感觉所伴随；内部变化是我们身体的运动，我们可以把它们与其他变化区别开来，因为它们是随意的，并被肌肉的感觉所伴随。内部变化能够矫正外部变化，例如我们以这样的方式用我们的眼睛跟踪运动着的物体，使它的映像总是返回到视网膜的同一点上。可以被这种矫正感受的外部变化是位置变化；如果它不能被这种矫正感受，它就是状态变化。
从定性的观点来看是完全不同的两种外部变化，如果能够用相同的内部变化来矫正它们，那么它们就被认为是对应于同一位置变化。也可以这样说，如果两个内部变化能够矫正相同的外部变化、那么它们就能由毫无共同之处、但是却对应于同一位置变化的肌肉感觉系列组成。这就是当我们说，有许多路线能够从一点引到另一点时，我们用通常的用语所表达的意思。
因此，重要的是，为了到达特定的物体，必须做的就是动作。对于我们来说，这些动作的意识无非是伴随它们的肌肉的感觉集合。
由此推断，某一物体与我的一个手指接触；比方说，与我右手的食指接触。从这一事实我经验到触觉T；同时，我从这个物体经验到视觉V。当把该物体移开时，感觉T逐渐消失，视觉V被新的视觉V′代替；这是一种外部变化。假定我希望通过复原感觉T，即使我的食指再次接触该物体，来部分地矫正这一外部变化。为了做到这一点，我必须完成某些动作，对我来说，这些动作通过肌肉感觉系列S表示出来。我知道，这是因为我或我的祖先的大量经验告诉我，当感觉T消失而视觉从V变到V′时，可以通过对应于该系列S的运动来复原感觉T。我同样清楚地知道，对我来说，我通过不用系列S，而用另外的系列S′或S″描述它们自身的其他动作而能够得到相同的结果。
所有这些肌肉感觉系列S，S′，S″……或许没有共同的元素；我之所以比较它们，是因为我知道，它们中的任何一个在视觉V变为V′的每一时刻都能够复原感觉T。用我们通常的语言，已经通晓几何学的我们将说，对应于肌肉感觉系列S，S′，S″的各种动作系列有这样的共同之处：在它们任何一个中，我们食指的初始位置和最终位置依然相同。其他每一情况可能不同。
这样，我未被引导去区分这些不同的系列S，S′，S″……，也没有把它们视为单一的感觉。我不想去区分与这些系列差别过小的肌肉感觉系列。届时，我将有构造物理连续统的方法。事实上，我已选出这个连续统的元素，它们是肌肉感觉系列，而且我有了“基本的条件”，这些条件告诉我，在哪一种情况下，这些元素中的两个必须被视为是等同的，正是这种连续统有三维。
可是，这并非一切。我们刚刚定义了一个是真实空间的连续统；正是这个空间，被看作是用我的一个手指描述的。但是，我有几个手指（而且从与我有关的观点来看，所有我的皮肤上的点都可以视为手指）。我的不同的手指将描述相同的空间吗？是的，毫无疑问，可是这意味着什么呢？这意指的是性质的集合，用通常语言不容易描述它，如果容许我用某些符号，我可以尝试解释它。我将考虑两个手指，并称之为α和β；手指α比如说是右手的食指，我们为定义系列S，S′，S″……曾使用过它。然后我将写出
S≡S′（modα）
这意味着，如果对应于S的动作恢复用手指α所经验到的触觉，那么同样的情况对于对应于S′的动作也是真的，反之亦然。类似地，我将写出
S1≡S1′(modβ)
来描述下述事实：如果对应于S1的动作恢复用手指β所经验到的触觉，那么同样的情况对于对应于S1′的动作也是真的。
在作这种推断之后，我将假定存在着两个特定的肌肉感觉系列s和s1，它们是以下述方式被定义的，我将设想，手指β由于与一个物体接触而经验到触觉。通过完成对应于s的动作，这一感觉将消失。可是，最终将是手指α经验到触觉。我通过经验知道，在这些动作之前，在手指β感觉到接触的每一时刻（或者，至少几乎在每一时刻），都会发生这种情况。（我之所以说几乎，是因为要相继发生，便要求该物体在这一时间间隔内不运动。）用我们通常的语言（这种语言对我们来说比较清楚，但是我不敢使用它，因为我讲的是还不具有任何几何学知识的人），我可以说，对应于s的动作把手指α引到手指β原先占据的位置。对于s1来说，相反的情形将是真的；对应的动作将把手指β引向手指α原先占据的位置。
如果这两个系列s和s1存在关系
S≡S′（modα）
将导致作为结果的下述关系：
s+S+s1≡s+S′+s1(modβ)
如果我们回想一下符号的意义，我们便会立即相信上述关系，我们还可以从它毫无困难地推出，由α和β产生的两个空间是同构的，特别是，它们有相同的维数。
如果系列s和s1不存在，那么同样的情况便不可能为真。事实上，让我们设想，不可能找到一个动作系列，这个系列将在手指β与物体接触的感觉上引起手指α与同一物体接触的感觉——肯定地或者至少是几乎肯定地——这时我们应当如何推理呢？我们可以说，手指β感觉到物体没有位于空间同一点，它感觉到物体隔着一段距离；另一方面，每次手指β之所以感觉到该物体，那可能是因为物体处于空间中的同一点A。因而必须存在着把手指α引向A点的动作系列。由于物体处于A点，手指a应该能够感觉到物体，这件事总是应该发生。因此，如果我们假定不存在具有这一性质的动作系列，那么我们就必须承认，手指β感觉到在一段距离之外的接触；换句话说，为了确定物体在空间的位置，对于该物体来说，被手指感觉到并不充分；最后，这也就是说，空间必定比用手指按照我们描述过的方式产生的物理连续统有更多的维数。
例如，我将假定，空间具有四维，我将用x，y，z ，t来表示四个坐标。我将假定，手指β每时都感觉到与物体接触，此时三个坐标x，y，z 对于手指和物体都是相同的，而不管第四个坐标可能是什么；而且，手指α每时都感到与物体接触，此时三个坐标x，y，t对于物体和这个手指都是相同的，而不管坐标z 可能是什么。在这些条件下，让我们把我们的法则用来构造由β产生的物理连续统；我们将发现，它只有三维，这三维对应于三个坐标x，y，z，坐标t不起任何作用。按同样的方法，由α产生的物理连续统有三维，它们对应于x，y，t。但是，我们不能够找到对应于这样的肌肉感觉系列s的动作系列，以至于对α的接触感觉肯定地随着对β的接触感觉。
事实上，设x1，y1，z1，t1是物体的坐标；手指β在动作之前的坐标是x0，y0，z0，t0；手指α在动作之后的坐标是x0′，y0′，z0′，t0′。我们将用下述写法表示手指β在动作之前感觉到接触这一事实：
x0=x1，y0=y1，z0=z1 (1)
我们将用写法
x0′=x1，y0′=y1，z0′=z1 (2)
表示α在动作之后感觉到接触的事实。
因为s存在，我们必然能够以这样的方法来选择x0，y0，z0，t0和x0′，y0′，z0′，t0′使得关系式（1）能够导致关系式（2），而不管x1，y1，z1，t1可能是什么。很清楚，这是不可能的。恰恰是不可能形成s的这一点在这种情况下向我们揭示出，空间应当有四维，而不像β产生的物理连续统那样只有三维。
再者，如果我们引入视觉，那么我们实际上会观察到某种类似的事情。让我们考虑视网膜上的一点；我们能够赋予它像我们的手指α和β一样的作用。我们能够设想必然使物体的映像反映到视网膜的点γ上的动作系列或肌肉感觉S的对应系列。我们能够利用这个系列，以便定义类似于由α或β所产生的物理连续统。这个连续统将只有两维。但是，我们不能构造类似于s的系列，也就是说，不能构造这样一个动作系列：作为在点γ感觉到的视觉结果，该动作系列肯定引起手指α感觉到的触觉。换句话说，因为我们观察到物体的映像在γ发生，就是说我们能够确定该动作必然引导我们的手指与这个物体相接触，这没有充足的理由。我们缺乏一项关于物体的距离的资料。这就是为什么我们说，视力在一段距离之外起作用，空间有三维——比γ产生的连续统多一维。
从这个简短的叙述中，我们看到，导致我们把三维赋予空间的实验事实是什么。考虑到这些事实，在我们看来，赋予空间以三维，而不是四维或两维，更为方便一些。但是，“方便”这个词不可能有足够强的说服力。把两维或四维赋予空间的人会发现他自己在像我们这样一个世界的生活斗争中是很不利的。这实际意味着什么呢？让我再次提到我的符号，例如全等
S≡S′(modα)，
它的意义我在上面已经解释过了。把两维赋予空间就得要承认我们自己并不承认的类似的全等。这时，我们便被导致用做不到的动作S′来代替能顺利进行的动作。相反地，把四维赋予空间，就会排斥我们自己承认的全等。因此，我们就会剥夺我们自己用其他动作S′代替动作S的可能性，尽管S′这些动作同样有效，并且在某些情况下，它也许还会带来特殊的好处。
5. 空间和自然界
可是，问题能够从完全不同的观点提出来。直到现在，我们采取的观点纯粹是主观的，纯粹是心理学的，或者如果我们希望的话，也可以说是生理学的。我们只考虑了空间与我们的感觉的关系。另一方面，我们能够采取物理学的观点，我们可以问我们自己，是否能把自然现象定域在其他空间内，而不是定域在我们自己的空间内，例如定域在两维或四维空间内。物理学向我们揭示的规律是用微分方程描述的，在这些方程中包含着某些质点的三个坐标。用其他方程，例如包含具有四个坐标的一些质点的方程，描述同一规律是不可能的吗？或者，这也许是可能的，但是由此得到的方程却较不简单？最后，或者它们却是如此简单，而我们却要完全抛弃它们，只是因为它们扰乱了我们的思想习惯？
当我们说用其他方程描述同一规律时，我们意味着什么呢？让我们考虑两个世界M 和M′。我们能够在这两个世界中发生的或可能发生的现象之间建立这样一种对应关系，使得对于第一个世界的每一个现象φ对应于另一个世界完全确定的现象φ′也可以说是φ的映像。从而，如果我假定，在遵循支配世界M的规律的情况下，现象φ的必然结果是某个现象φ1′，作为φ的映像的现象φ′的必然结果，在遵循支配世界M′的规律的情况下恰恰是现象φ1的映像中φ1′，那么我们就能够说，这两个世界服从同一规律。现象φ和φ′的质的本性对我们来说并不怎么重要；“平行关系”是可能的这一点就有充分的理由了。
而且，事实上，现象的质的本性只是我们的感官关心的东西，我们已经同意采取超心理学的观点，因此可以忽略我们感官的感觉，而只把注意力放在现象的相互关系上。事实上，例如当物理学家用仅看到运动质点的分子运动论的气体来代替我们通过经验所熟知的产生压力和热感觉的气体时，或者用以太振动来代替我们经验到的光和光产生的色感时，他就是这样做的。
只要考虑一个简单的例子，即天文学现象和牛顿定律的例子就足够了。我们观察到的东西不是天体的坐标，而仅仅是它们的距离。因此它们的运动规律的通常表达式是这些距离和时间的微分方程。现在，空间两点之间的距离是一个已知的这两点的坐标的单叶函数。让我们通过在微分方程中用这种函数代替每个距离，来变换我们的微分方程。这时我们便有它们的通常形式的方程，天体的坐标本身包含在这种形式中。
但是，我们可以用其他函数来代替这些距离，从而能够得到这些方程的其他形式。从与我们有关的观点来看，所有这些形式是同等合理的，因为它们服从现象中的“平行关系”。让我们设想天体以这样的方式处于四维空间中，它们每一个的位置不再由三个坐标、而是由四个坐标来确定。接着，让我们在方程中用两个天体的八个坐标的无论什么函数来代替迄今我们视为描述这两个天体之间距离的量。在通常的四维空间中，根本没有必要使这个函数是描述两点之间的距离的函数；它可以是无论什么函数，因为这不会违反“平行关系”。
从而，我们将得到我们方程的一种形式，在这种形式中，涉及天体在四维空间的坐标。这将是以四维空间假说为基础的天文学定律的新表述，这一表述不会与该定律背道而驰，因为它服从“平行关系”条件。不管怎样，这样得到的方程不用说远没有我们通常的方程简单，这一点是很清楚的。
毋庸置疑，同样的情况对于物理学规律来说也是真的。存在着一般的理由，使得它应当如此吗？即在所有的物理学分支中，是有关三维性的假说给这些方程以其最简单的形式吗？这个理由与我在这篇文章的第一部分所提到的东西，与绝对地迫使一切人相信三维性的东西，或者在人们处于生活斗争不利地位的困境下迫使人们好像相信三维性似的那样行动的东西有任何关系吗？
在这里，有必要简短地说一点题外话。例如，让我们再次把我们通常的空间归于我们的创造者。我们说空间是相对的，这意味着物理学定律在这个空间的所有部分是相同的；或者，用数学语言来说，就是描述这些规律的微分方程不依赖于坐标轴的选择。
如果我们考虑一个完全孤立的系统，那么这没有什么意义；不可能观察这个系统的点的坐标，而只能观察它们的各自距离。观察将不会告诉我们，这个系统的性质是否取决于该系统在空间的绝对位置，因为这个位置是不可观察的。
如果系统不是孤立的，事情也不可能是这样（如果我们希望以严格的精确性进行论证的话），因为在没有考虑到外部物体作用的情况下，不可能描述支配这个系统的规律。可是，却存在着几乎孤立的、被其他物体包围的系统，这些物体要近到足以被看得见，然而又远到难以感觉到它们的作用力。对于与恒星有关的我们的地上世界来说，所发生的情况就是这样。因此，我们可以阐明这个地上世界的规律，就好像恒星不存在一样，但我们仍可以把这个世界与完全确定的并与这些恒星不变地联系在一起的坐标系关联起来。所以，经验告诉我们，坐标系的选择无关紧要，当进行坐标变换时，方程不会不成立。正如我们知道的，坐标轴的可能变换的集合形成一个六维群。
让我们撇开我们通常的空间不谈，让我们用在服从现象“平行关系”的意义上是等价的其他方程未代替我们的方程。每当我们涉及到近似孤立的系统时，将存在极其普遍的事实和将保持不变的不变性特性；将存在不会使方程不成立的变换群。这些变换将不再具有坐标轴变换的含义，它们的含义能够是无论什么东西，可是这些变换所形成的群必须始终与我们刚刚提到的六维群保持同构。没有这一点，就不会有任何平行关系。
因为这个群在所有的情况下起着重要的作用，因为它与坐标轴在通常空间中变换的群同构，还因为它如此密切地和我们的三维空间联系在一起，由于这些理由，当这个群以最自然的方式，即通过引入三维空间被提出时，我们的方程将取它们最简单的形式。
并且由于这个群本身与被认为固体的每一单元的位置变化的群同构，由于服从这个群的规律的运动固体的这一性质通过最终分析只不过是我刚刚注意到的不变性这一特征的特例，所以我们看到，在导致我们把三维赋予空间的物理学的根据和在本章第一节提出的心理学的根据之间，并不存在基本的差别。
6. “拓扑学”和直觉
我想附加一点评论，它仅仅与我已经说过的东西间接有关。我们在上面看到了拓扑学的重要性，我解释道，在这里有几何学直觉的合法领域。这种直觉存在吗？我将回想起，存在着不要直觉也想取得进展的企图，而且希尔伯特（Hilbert）先生试图建立一种所谓的理性几何学，因为这种几何学一点也不诉诸直觉。它以一定数目的公理或公设为基础，这些公理或公设被认为不是直觉的真理，而认为是伪装的定义。这些公理被分为五组。关于其中的四组，我已在某些场合提到了，在某种程度上把它们视为只包含伪装的定义是合理的。
在这里，我想着重强调一下其中的一组；即第二组，“次序公理”组。为了充分解释这个组涉及什么内容，我将引用它们中的一个。如果在任一线上的A和B之间有任意一点C在A和C之间有任一点D，那么点D将处在A和B之间。按照希尔伯特先生的观点，其中没有直觉的真理；我们同意说，在某些情况下，C在A和B之间，可是除了我们知道点或线是什么之外，我们不知道这意味着什么更多的东西。按照我们的法则，为了在任意三个点之间指定任何关系，我们能够使用“在……之间”这个表述，只要这个关系满足次序公理即可。于是，这些公理在我们看来好像是“在……之间”这个词的定义。
因此，有可能利用这些公理，只要满足这个条件，即证明它们不相互矛盾；而且，几何学也有可能建立在它们的基础上，在这种几何学中，将不需要图形，它能够被既没有视觉、触觉，也没有肌肉感觉以及任何感觉的人所理解，它可以归结为纯粹的知性。
是的，这种人也许会在下述意义上来理解：他十分清楚地认识到，这些命题在逻辑上可以使一个从另一个中推导出来；但是，这些命题的集合对他来说似乎是人为的和奇异的，他不理解为什么是这种命题集合，而不是许多其他可能的集合更受欢迎。
如果我们没有经历同样的惊奇，那正是因为对于我们来说，公理实际上不是简单的定义和任意的约定，而是真正证明为正确的约定。至于其他各组公理，我依然认为，它们之所以被证明是正确的，是因为它们是与我们熟悉的某些经验事实最近似符合的东西，因而对于我们来说，它们是最方便的。谈到次序公理，在我看来，似乎存在着某种更多的东西；它们是与拓扑学有关的真实的直觉命题。我们看到，点C在一条线上其他两点之间的事实与借助于由不可逾越的点形成的截量去截取一维连续统的方法有关。
可是，接着便产生了一个问题：像次序公理这样一些真理是通过直觉向我们揭示出来的；但是，这是有关空间直觉本身的事情呢，还是有关一般的数学连续统或物理连续统直觉的事情呢？倘若赞成第一种解决办法，我们可以容易地论证空间，但是要论证更复杂的连续统、要论证不能在空间中来描述的大于三维的连续统就困难得多了。
而且，如果第一种解决办法被采纳，这里的全部讨论会变得毫无用处；我们之所以将三维性直率地赋予空间，是因为三维连续统是我们能够具有清晰直觉的唯一连续统。
但是，还存在着大于三维的拓扑学。我没有说它是一门容易的科学，我为此付出了巨大的努力，没有考虑到会在其中遇到这么多困难。但是，无论如何，这门科学是可能的，它并未全部停留在分析学上。要是不持续在诉诸直觉，就无法成功地把它探究下去。因此，确实存在着大于三维的连续统的直觉；与通常的几何学直觉相比，如果它要求比较持久的注意力，那么这无疑是一个习惯问题，也无疑是当维数增加时，连续统复杂性急剧增加的结果。我们难道在我们的中等学校没有看到平面几何学得很好的学生“无法想象空间”吗？那不是他们缺乏三维空间的直觉，而是他们不习惯于运用它，他们需要作出努力才能如此。而且，为了想象空间图形，我们难道不去相继地想象这个图形的各种可能的远景吗？
我将得出结论，我们大家都有任意维数的连续统的直觉概念，因为我们具有构造物理连续统和数学连续统的能力；而且，这种能力之所以在任何经验之前就在我们身上存在着，是因为没有它，经验严格说来是不可能的，会沦为不适合任何有机体的没有理性的感觉；是因为这种直觉只不过是我们具有这种本能的意识。然而，这种本能可以以不同的方式来运用；它能够使我们像构造三维空间那样来构造四维空间。正是外部世界，正是经验，引导我们在一种意义、而不是在另一种意义上运用它。