我已经东拉西扯地向读者们简要介绍了许多平面国的事情。现在，是时候换一个话题，开始讲我怎样接触到空间的奥秘。毕竟，那才是本书的主题，目前为止的所有内容都只不过是一个引子而已。
为了尽快切入主题，许多细节我就没有时间向读者们解释了。恕我自夸，被我省略的那些细节事实上也是挺有意思的：比如，在没有脚的前提下，我们平面国的居民如何开始运动，又如何让自己停下来？我们既没有手，也没有泥土的侧压力，更不能像你们那样打地基，那么我们是怎样固定各种木结构、石结构和砖块结构的呢？我们的雨水如何通过不同区域间的缝隙落下，而不让北部地区挡住南部地区的降雨？我们的山丘、煤矿、树木、蔬菜、季节和农业收获分别具有怎样的性质？我们的字母表长什么样，书写方法如何？如何在线形的书写板上写字？除了这些问题，关于平面国居民的物理存在方式我还能想出100个有趣的细节，但是在前面的篇幅中，我根本没有时间谈论这些事情，现在我也不打算向读者介绍这些内容。我只想向各位读者强调，省略这些内容并非因为我健忘，而是为了节约各位读者的宝贵时间。
但是，在我开始讲述我在空间国的冒险故事之前，读者一定希望我用最后一点时间来介绍一下平面国的上层阶级。这些人是平面国宪法的支柱和骨干。他们控制我们的行为，决定我们的命运。我们不仅效忠于他们，甚至还崇拜和爱慕他们。不用说，我指的是我国的圆形阶级或僧侣阶级。
我把这群人称作“僧侣阶级”，但我们的“僧侣阶级”和你们空间国的“僧侣阶级”可大不一样。在平面国中，僧侣负责管理一切商业、艺术和科学；贸易、商务、军事、建筑、工程、教育、政治、立法、道德、神学统统都归僧侣阶级管。僧侣阶级本身什么都不做，所有事情都由其他人完成，但一切值得做的事情都是为僧侣阶级服务的。
只要一个人被称作圆形，人们通常就认为他确实是一个圆形。但是，在受过良好教育的阶层中，每个人都知道其实任何圆都不是真正的圆形，他们只是一些边数非常多、每条边非常短的多边形而已。当一个多边形的边数越来越多，他就越来越接近于一个圆形。对于边数极多——比如有三四百条边——的多边形而言，即使是触觉非常敏锐的人也很难摸到他们的角。事实上，我应该用虚拟语气来说这句话：假使有人触摸这种多边形的话，他们想必很难摸到这种多边形的角，因为在上流社会中，人们根本不会通过触觉来分辨他人，触摸圆形更被视为胆大包天的冒犯行为。
从十分年幼的时候开始，圆形就习惯于用一层神秘的面纱来遮挡自己的真实形状。由于上流社会中存在绝不触摸他人的礼节，所以圆形往往能够一直维持神秘感，不让别人知道自己的确切边数。由于多边形的平均周长是3英尺，所以一个有300条边的多边形每条边的长度不会超过1/100英尺，也就是1/10英寸多一点。如果一个多边形有600条或者700条边，那么他的每条边长就和空间国中针尖的直径差不多。出于礼貌，我们总是假设当前的圆形首领有1万条边。
在低层的等边阶级中，自然法则规定每一代人只能比前一代人多一条边。但圆形阶级却不受这种限制。假如圆形阶级也受这种限制的话，那么圆形的边数就会变成一个纯粹的血统问题或算术问题——等边三角形的第497代后裔必须是一个有500条边的多边形。但是事实显然不是这样的。圆形的血脉延续问题受两条相反的自然规律影响：第一条规律是，当圆形的社会地位越来越高，每一代人的发展速度也会不断加快；第二条规律是，随着社会地位的提高，圆形的生育能力会等比下降。
因此，在一个有400条边或500条边的多边形家庭里，生育男孩是十分罕见的事情，生超过一个儿子的例子更是从来没有。当然，如果这种家庭能够生育男孩，那么儿子可以比父亲多出许多条边：一个有500条边的多边形可以生出有550条边，甚至有600条边的儿子。
在高层阶级中，有时可以通过一些艺术手段来提高进化的速度。高层阶级的多边形婴儿有着短而柔软的边，我们的医生发现，通过医学手段可以将婴儿的边折断，从而重塑婴儿的整个骨架。只要能精确地实施这种手术，一个有200或300条边的多边形有时——只是有时，因为这种手术伴随着很高的风险——可以跳过200甚至300代人，把边数一下子翻上一倍，这样他们的子孙的社会地位也就一下子提高了许多。
但是，这种手术的存活率还不到十分之一。许多原本很有前途的孩子就这样夭折了。然而，这些就要跻身圆形阶级的父母总是在后代身上寄托了强大的野心，几乎所有那个阶层的贵人都会在头生子满月之前把孩子送进“圆形新疗法健身房”去接受这类手术。
这种新式疗法一年见成败。在大部分情况下，一年以后“圆形新疗法健身房”的墓地中便会多出一块墓碑来。在极少数情况下，一支欢天喜地的队伍会在一年以后把婴儿交还给兴高采烈的父母，回到父母手中的孩子已经不再是一个多边形，而成了一个圆形——至少人们会出于礼貌而将他们看作圆形。只要有一个成功的例子，大量多边形父母就会前仆后继地送孩子去接受这种危险的手术。
每个多边形家庭的牺牲都是相似的，但每次手术的结果却各不相同。