第一节 西方哲学史中之先验知识问题
关于经验论理性论之争，我们前已多少论及。但那只是就知识起源问题，对之作一广泛的讨论。现在我们单就他们所争之牵涉到西方各派哲学之先验知识问题，对其发展作一进一步的讨论。
所谓先验知识之为先验知识，有各种意义。我们如说，不直接由经验观察而得之知识，即先验知识，则在西方哲学史中，柏拉图所重之理念知识，即第一种意义之先验知识。
此第一意义之先验知识或柏拉图之所谓理念知识，一为形上学的先验知识，一为几何学数学的先验知识。他论理念知识之特色，即在其不由感官经验来，而可纯由人之反省来。譬如我们以其《曼诺》Meno篇所举之例来说；在此对话中，苏格拉底问曼诺一奴，如何可造一方形，其面积等于八平方尺。此平方之边，应当大于二尺，小于三尺。因二尺边之平方，应为四平方尺。三尺边之平方，应为九平方尺。然小于三尺而大于二尺之边，其平方尺为八尺者，却非整数。即小数多少，亦不易定。此小孩初想此问题时，亦一时茫然不知所措。但当其换一思想，却终于想到八平方尺之一倍为十六平方尺。而十六平方尺之边为四尺。此十六平方尺之方形，是我们所能造的。然后再想到：将此十六平方尺之方形每边之中点，互相以直线连结，构成一内部之小平方，此小平方，正为大平方之一半，其量正为八平方尺。
我们试思此知识之由何而来，此明是纯由人之反省而逐渐发现，并非由向外观察经验而来。依此，柏拉图名此类知识为理念的知识。其来源可说是由于人之前生之灵魂，原曾住于理念世界中。由此而一切数学几何学之知识，同为理念之知识，不由后天之感觉经验来。
除此种知识外，柏拉图在《帕门尼德斯》篇，对各种形上学中之有无同异之范畴，可互相引申，而互相关联之论述，亦可算一种形上学之知识。此与其他形上学知识在柏拉图之系统中，同为纯理念之知识。
第二意义之先验知识，是西方中古神学家之先验知识。如安瑟姆（St.Anselm)之由上帝为最大之存在、以证上帝之存在，即以吾人可不待经验，唯由吾人之有上帝为最大存在之一观念，以推知客观之上帝之存在。此亦为一种先验知识。后来圣多玛，虽反对安瑟姆之论证上帝存在之方式，而主张本经验事物，以推证上帝之存在。但其由经验事物以推证上帝存在时，所本之原则，如“凡物必有因”、“动必有使之动者”、“有较完全者必有最完全者”等，则为彼所直接加以肯定而不疑者。而彼于人如何知此原则，则最后归于自然理性之能力。而此诸原则之知识，亦即非经验知识，而为先验知识。此外，在其神学之论述中，对于上帝之属性之种种知识，亦皆由上帝之为全有，以一一推演出来，而皆为必然者。则此亦可谓不由经验来，而唯由理性来之知识。此皆可谓为形上学或神学之知识。此外关于数学及逻辑之知识之真，皆可由人之自然理性而认识，亦为圣多玛一派之经院哲学所承认。
此种以自然理性能认识若干不由经验来的知识之理论，最后恒须归此诸知识之根源于上帝。因自然理性原由上帝赋给。而此自然理性所认识之必然性知识，何以如是如是，其最后根据，亦在上帝所立之法则之如是如是。由是而即可产生一问题，即如上帝所立之法则变了，此一切知识之必然性亦即不可说。故在经院哲学中之另一派如邓士各塔（Duns Scotus)一派，遂谓如上帝一朝真规定三角形三角不等于二直角，则此几何学之定律，亦即不复成立。然上帝之是否不改变其所立之法则与定律，非人所能知。由是而一切依上帝所立之法则与定律而有之此类知识，亦即无绝对之必然性。
在西方近代之另一种对先验之知识之理论，是自笛卡尔至来布尼兹斯宾诺萨之理性主义之理论。此种理论，虽多由中古经院哲学而来；但其根本精神，我们前已说其不同 [77] 。其不同处，就其对先验知识之问题来说，是他们之论数学、几何学及逻辑知识之为先验的，乃重在自此类知识系统之诸基本命题（或明白之公理)上说。因除此基本命题外之其他知识，皆只是由此基本命题演绎而来。故只须说明此基本命题，不依经验，而依理性之直觉以建立，亦即说明了这些知识系统，为不由经验而建立。其次，是他们论这些基本命题之不由经验而建立，即直接从其对人之理性为自明，或不容人不加以肯定处说。由是而使一切不由经验而来之基本的先验知识，成为被人所自觉的加以肯定者，而不只是不自觉的加以假设者。同时亦即无异于以其对人心之自明，为其绝对确定之保证，而非以此诸知识内容中之观念律则等，为自存于理念世界，或为上帝所如是规定者，以为其绝对确定之保证。笛卡尔后之西方哲学之讨论数学逻辑之知识是否不由经验而来，或只由理性而来者，亦即可专就其基本命题，是否不由经验只由理性而来，与是否对一切人心为自明处，加以讨论。
至于近代哲学之经验主义潮流，则是趋于否定一切先验知识之存在者。洛克即从一切所谓先验知识，并非对一切小孩子、大人、文明人、野蛮人同为自明，以论无先验知识。然彼同时承认，人之直觉，能得绝对确定之知识，如知三与一加二之一致之类。此乃不以后来之经验之变而变者。此仍可是一意义之先验知识。英国之经验主义之潮流，自巴克来否定概念之存在，与休谟否定因果律之必然性后，遂归于只承认人对于其内心之观念与观念之反省而成之知识，如数学知识等，为有必然性，可不为后来之经验所否定者。此亦为一意义之先验知识。
先验知识与经验知识之问题，成为西方哲学之一严重问题，乃由康德之分先验之分析命题，与经验之综合命题，及先验之综合命题三者，此在前章已论其意义。
实际上，无论在近代经验主义者与理性主义者，中古之唯名论者与唯实论者，对于康德所谓先验分析命题与经验综合命题之意见，大体上是相同的。因对于一切命题，其宾辞之意义包涵于主辞中的，人皆可承认其为逻辑上必然的。而于一切涉及经验事物性质之关联之知识，如砒霜是有毒的之类，亦无人认为全不由经验而认知。而康德所提出之三种命题所最成问题者，唯是康德所谓先验之综合命题。
在康德以后之后康德派哲学，大体上来说，乃是要扩大康德所谓先验之综合命题之范围的。在黑格尔以人对一切逻辑之知识，皆为先验的。即人对自然与精神之知识，其中亦有理性上之必然之成分，而有一意义之先验性。至综合与分析，则黑格尔以为乃相辅为用者。故于康德之依综合分析，以分命题为三种之说，亦不以为然。但大体说，则由后康德派、至后之英美及意之新唯心论及新康德派，都是在哲学上，兼重理性及经验的。而在英国之新唯心论者，如柏拉德来，与鲍桑奎之逻辑书，更着重讨论综合与分析在知识之历程中之相辅为用，而处处反对综合命题与分析命题严格划分之说。此亦即承黑格尔思想而来 [78] 。
照柏拉德来及鲍桑奎等之意，我们之一切认识皆始于异中见同，以同贯异。故一切知识皆不能只是由单纯之分析或综合而成。而一切表面是分析命题者，皆同时有综合之意义；反之亦然。譬如他们说，一切判断皆为以一宾辞加于一主辞，而主辞最后之所指则为实在。故无论吾人对一主辞说一什么，都是综合一宾辞于主辞之上。而宾辞之意义，亦不限于只应用于一主辞，而有通于其他之主辞及宾辞之意义者。因而我们以宾辞加于主辞之上时，同时亦即将其他意义，亦联系于主辞，而综合于主辞之上。譬如康德所谓物体是有广延的，在康德以为此纯是分析命题。但如照此派说，则所谓物体最后必指一实在之物体，如眼前之桌子、石头之类。但我们试想：我们在说其有广延时，我们岂非即将此广延之性质，联系综合于桌子石头之其他性质，如颜色、重量等之上？此广延，又为石头桌子以外之山川大地所共有。则我们说其有广延，岂非同时指出其与山川大地有相同之处，而说其为一类的东西?此外广延之为广延，亦连带有其他性质，如可量性。则我们说其为广袤，岂不同时将其与可量性连结?以此类推，则世间一切将一宾辞加于一主辞，所成之判断与命题，即无一是纯粹分析的。
其次：一切综合命题亦有分析之意义。如康德所谓物体是有重量的，或砒霜是有毒的，皆是综合命题。但如物体皆指实在的物体，则我们之知物体有重量，固然待经验。但我们之知物体有广延，初又何尝不是待于对物体之经验?然我们既由经验以知物体有重量后，我们岂不亦可说，物体本来有重量的性质，而说物体之意义中本涵有有重量之意义?如我们说物体之意义，本不涵有重量之意义，则我们如何可以有重量之宾辞施之于它，而说此有重量，对它为真?至少，我们在说此有重量对物体为真时，我们是从所了解之物体之意义中分析出其有重量之意义，而构成之分析命题。
此种理论，以一切判断命题皆兼为分析的与综合的，其根据在以一切概念皆为异中之同，又为统异者。由同言同，是为分析。同皆统异，则为综合。不用概念，则判断或知识不成。而一用概念，则一判断中宾辞之概念，要对主辞为真，即必须是与主辞之概念有所同一之处，而可从主辞中分析出的。然此亦不碍主宾辞概念之同外有异，而用一宾辞施于一主辞，亦即在一方面使一主辞增一新义，而为综合的。由此而一切判断知识之所以为判断知识，亦即不外于异中见同，以同贯异而已。
依此种理论，以看逻辑中之同一律，则此同一律皆指异中之同。纯粹为同语重复Tautology之同一律，乃无知识意义者。如说A是A，白是白，马是马，此不成知识。而凡成知识者，如白是色，马是动物，此主宾辞之概念之同一，皆为异中之同。即此表达同一律之A是A之符号，其中之前一A与后一A，亦非只是同而无异，因其前后之地位，即已有异。若欲使其无异，则只有视二A为一A，便只能说一A。则同一律之本身之意义，亦即无由表达。人欲表达同一律，必须用不同地位之A之是A，以为表达，即证同一律中之所指之同，不能为一离异之同，而只能为一异中之同。
第二节 现代科学哲学中之先验知识问题
然此种新唯心论者所立之论，虽甚圆融，然实未真正与科学知识本身之具体问题关联而论。即如数学知识与一般经验科学知识之不同，要为一事实。数学要非直接以所经验实在为直接对象之科学。则其知识之毕竟为分析与综合，仍必须另作讨论。而此派学者，皆未能深及。
然十九世纪至二十世纪之数学与符号逻辑之一大发展，则一方为非欧克里得几何学之出现，一方为形式论派Formalist主数学可由若干后数学Meta-mathematics中之基本公理演绎而出，一方为逻辑斯蒂克派Logistic之主数学可归约于逻辑。而现代逻辑，亦逐渐能形成严格之演绎的逻辑学之系统。此种演绎的逻辑学之系统，乃只依少数基本观念、基本命题而建立者。由此种种现代之逻辑学、数学、几何学之发展情形，以看传统之先验知识问题，则更显出种种之新问题，为传统哲学家所忽略者。
自柏拉图至近代之理性主义者以至康德，其心目中之先验知识之标准，恒为数学与几何学。而几何学中如雨点之间以直线为最短，直线外一点只能作一平行线之公理，更似为既不能证明，而又必真之真理。则其知识之来源，似只有归之于先验之理性之直觉。然李曼（Riemann)之假定“直线外一点，不能作任何平行线”之几何学系统，及罗伯求斯基（Lobachewsky)之假定“直线外一点能作无定数之平行线”之几何学系统建立后，其皆为无任何自相矛盾之命题之系统一点，旋即为人所共认。相对论之物理学，又表面为应用李曼之几何学者。于是二千年来，以几何学之公理为绝对必然而自明之先验真理之说，遂若从根动摇。而数学与逻辑之知识系统，既可由若干之基本定义与基本命题，演绎而出，此基本命题亦似不须再视为自明之公理或思想律，而可只视为人之所自由设定者。于是现代之数学、逻辑、几何学中，即皆似可无所谓传统意义之自明的先验知识。
而在另一面，中古传下之神学形上学之先验知识，在康德即已谓其为不可能。而现代人对形上学神学，更不加以重视。于是纵此类知识中，包涵有先验知识，亦无大助益于近代哲学家之欲证明先验知识之存在者。
又对因果原则，在理性主义者，夙视为一先验知识，在康德则视为先验范畴。然自休谟以后，若干西方哲学家，只视因果原则为一求知时之设定或规则，不以其本身为一知识 [79] 。由此而近代哲学中之一趋向，即为废弃一切传统意义之“如为前生所知”、“代表上帝之法则”、“对理性为自明”、“基于人心之先验范畴”等意义之先验知识，而只承认一种逻辑上之先验知识。至此外之人之知识，则皆为经验知识。而最代表此种倾向之哲学，则为逻辑经验论者。而此倾向之哲学，亦即只承认康德所谓先验分析命题，而否认其先验综合命题之哲学。
依此派之理论，纯逻辑之先验知识，为数学几何学及逻辑学之知识。此知识之所以为先验的，其根据为吾人对于语言文字之意义之约定。如物体之有广延之所以为先验，唯因吾人在物体之名词之意义中包涵有广延之义。几何学数学知识为先验的，因一切几何学数学知识，皆由其基本定义基本命题中推演而出，亦即由此基本定义命题中之符号所约定之意义中，推演而出。于是一切先验知识之来源，归根到底，皆为依语言符号之定义之约定，以演绎之所得。此演绎之所得者，亦未尝溢出于吾人初所赋予于语言符号中之意义之外者。故一切几何学数学之先验知识，在本性上，皆同于说A是A，而皆为同语重复。（Tautology)不过在演绎之所历之程序，过于繁复时，吾人可不知吾人所演绎出者，皆原为涵于前提之语言符号之意义中者耳。
然在现代哲学中亦有另一派，乃遥承笛卡尔之思路，以“自明”为各种先验知识之保证者。此即胡塞尔（E.Husserl)一派之说。现代数学家如普恩加来（H.Poincare)虽亦倡一种约定说，然又反对数学只为同语之重复之说 [80] 。亦有以直觉为数学公理之根据之直觉学派之数学理论，如布鲁维（L.E.G.Brouwer)之说。而英国亦有一派承其传统之直觉主义思潮，以说明先验知识之不限于狭义之逻辑性知识者，此如尤隐（A.C.Ewing)约德（C.E.M.Jaod)等之说。
由此而毕竟有无在康德所谓先验分析命题，及经验命题以外之知识命题，在现代西方哲学，今仍为一未决之问题。
此上所述为西方哲学中先验知识问题之发展之一简单历史，而吾人在以下则当对此问题，试作一些讨论。
第三节 “先验知识命题必为分析的”一命题如何建立之问题
关于先验知识是否只有一种（即先验的分析命题)或二种（即先验之分析命题与先验之综合命题)，所以成为不易解决之问题，首因此问题本身，不能由经验知识以决定，亦不能由分析先验知识之概念或名词，以作先验之决定。因经验知识只是经验知识，其不能对先验知识之只有一种或二种，有所决定甚明。而先验知识之只有一种或二种，亦明不能只由分析先验知识之概念以决定。因无论说其是一种或两种，似皆为对于先验知识之一名，加以进一步之规定，而为对先验知识一名，加一综合的宾辞。而吾人如欲使“先验知识只有一种”之一语成为分析的，则必须在先验知识之一名中，先加上只有一种之意义。如吾人在先验知识之一名中，已先加一只有一种之意义，则先验知识固可说只有一种。然人亦可于先验知识一名中，不加上只有一种之意义，或加上有二种之意义。由是而无论吾人之谓先验知识，只有一种二种，皆同为可由人任意规定，而无法加以讨论，以决定是非者。
故欲使问题，成为可讨论，吾人必须先对人类之知识，皆作一分析，看其中之先验之知识命题，是否只有一种。然此则实无异把人类所有之知识全体，当作一人所经验之事实看，而检讨其情形之为如何。然人类所有之知识之全体，又为人所不能一一加以检讨者，因其内容为无穷。故吾人即把人类所有之知识全体，当做一所经验之全体看，我们仍不决定其中之先验知识是否只有一种。因纵然我们就已检讨过之知识，而指明其中只有一种，仍不能保证在吾人未检讨之知识中，不有另外之一种。由此而见逻辑经验论者，谓人类之知识只有逻辑之分析命题之先验知识，与为经验综合命题之经验知识本身 [81] ，乃一既不能由先验决定，亦不能由经验决定之一问题。
我们如试看，逻辑经验论者之谓人类先验知识只有一种之理由，则其意盖是：一切纯粹之演绎知识，皆是纯由其预定之前提，以引申结论者。结论之由前提引出，必须前提足够引申出结论。而前提之足够引申出结论，即同于谓表达前提之语句中所涵之意义，可引申出结论之语句所涵之意义。而此所引申出者，便绝不能超溢于其所自引申出者之所涵外。因如此超溢为可能，则其超溢之部分，不在前提之所涵之中，即不当由前提引申，而前提亦即不足够引申出此一部分。由此而一切纯粹演绎知识，只能为分析的。然此中有一问题，即吾人可承认前提必需足够引申结论，但吾人可问：前提之引申出结论，毕竟为何义?结论之意义不能超溢于前提之外，又为何义?如所谓“结论之意义不能超溢于前提之外”之意义是说：吾人所了解之结论之意义，不超溢于吾人所了解之前提之意义之外。则此明为悖理者。因吾人虽承认数学几何知识为一演绎知识，然无人能承认吾人逐渐学习数学几何学后之所了解，从未超溢于吾人最初所了解之为前提之诸公理等之外。如所谓结论不能超溢于前提之意义，是说结论之所涵，不能超溢于前提之所涵之外，则此前提之所涵，又毕竟为何义？如谓其所涵者，即为其所能引申出之结论，则此无异于先定其所涵者之意义，为“其所能引申出之结论”之意义。则此结论自不超溢其所涵。但吾人若自一结论之实际引申出后，看吾人此时之“兼知前提与结论之情形”，即明与吾人初之“只知前提与前提有其所涵之情形”不同。而前一情形明对后一情形，在实际上有一增加。则吾人何以不可说，由前提实际引申出结论，乃由一知识，再增加一知识，而为一综合历程？
然此上之批评，尚未及问题根本处。此根本处，在一切演绎知识系统所由构成之基本定义，基本命题之有其所涵，是否唯以吾人对此：基本定义、基本命题中，所用之语言符号之意义之约定为基础？吾人亦可如是问：此基本定义与命题之有其所涵，其基础是在吾人之约定其中之语言符号，以如何如何之意义之一事上？或在其意义之本身有其所涵?如谓其基础唯在吾人之“约定语言符号以如是之意义”之一事上，故此基本定义与命题有其所涵；则其所涵者，应不能出乎吾人约定以如是之意义时，所自觉之意义之外。因而其所涵中即不能包括吾人初所不知，而后又引申出之结论。如谓其基础，在其意义本身有其所涵，则吾人顺其意义之所涵而思，固可引申出吾人初所不知之结论。然在此情形下，则吾人不能说：以此基本定义基本命题为前提，所以能引出结论，唯由于吾人之约定其中之语言符号，以如何如何之意义之事上，而当说在语言符号之意义之本身有其所涵之上。
第四节 常识与科学中之先验综合命题
吾人上文将约定某一语言文字以某一意义，与一意义本身之所涵之二者分开，则吾人可说，吾人在自觉的约定某一语言文字以某意义后，再说其有某意义，此固纯为分析之命题。如吾人自觉的约定以马指黄马白马等，则说白马为马，自为分析的命题。但吾人不能说，由一意义以知其所涵之意义，而造成之命题，皆为分析的。因一意义所涵之意义，尽可是在吾人了解一意义时所不了解，亦不能由之直接分析而出，而唯顺其所涵以措思时，乃能了解的。此所了解者，因对于原所了解者有所增加，而一意义，与其所涵之其他意义，即可是二，或是一而兼是二，而非只是一；则由一意义分析出所涵之意义之事，亦即同时是发现一意义与其所涵之意义之综合的联结之事。
对上文所论，我们可先从一浅近之例讨论起。如我们说任何有色的东西必有广延，请问此命题是否是一经验命题？如非一经验命题，是否即亦纯依语言之意义之约定而成之先验分析命题？
我们明很难说此只是一般之经验命题。因为一般之经验命题，我可假想否证之之经验；然而此命题，则似不能有任何经验加以否证。我们决不能假想一有色而无广延之对象。然此命题是否即纯依语言之意义之约定而成立的？此似乎可说，而实不可说。我们似乎可说：有色的东西之所以必有广延，是因我们在经验有色者与广延之相连后，于是在有色之一语之意义中，加上有广延之意义。故“有色者必有广延”一命题，即等于“有色而有广延者必有广延”。此即成一分析命题，其所以必真，纯由此中之主辞中已包涵宾辞之意义而来。而主辞之所以包涵宾辞之意义，则唯由吾人之约定有色一语言中包涵有广延之意义而来。
但是我们试想，我们之所以要在有色之一语言中，包涵有广延之意义，毕竟是因有色之一语言所指者之色之本身，涵有广延之意义呢?或是因我们可自由约定有色之语言，包涵广延之意义呢?在此，似乎我们可并不约定有色之语言，包涵广延之意义。如我们只以有色之语言专指色，则此语言中不包涵广袤之意义；因而有色者之必为有广延，即非必然的了。而有色者之必包涵广延之意义，即全由于人之自由约定。
然而此种答复，明不能完满，因为我们固可自由约定有色者之包涵广延与否，然我们却并不能自由约定说有色者必不包涵广延。我们不能说有色者莫有广延。此不能说之理由，便只能在有色者之一语言，所指之色本身兼涵有广延之意义，而不能在我们对于语言之自由约定上。由此例，我们可知一语言之意义之可自由约定，并不同于一语言所指之意义及其与其他意义之关联之可自由约定。在此例中，颜色与广延之关联，明非可由人自由约定的。
此外同类之例证，为西方现代之哲学家所举出的尚有：
一、凡有体积者必有形式。
二、声音必有高度。
三、颜色必有浓度。
此类之例，虽似乎琐屑；然其不同于一般经验命题之可为未来经验所否证，而皆是表明一种共相之与其他共相之同时呈现，而不能相离者。
除此类表示共相与共相之必然同时呈现之命题外，则有表示一共相与另一种共相之必不同时呈现之命题。如
一、一片颜色不能同时在一空间面，又不在一空间面。
二、两片不同的颜色，不能同占一空间面。
三、相异的声音，不能在同一时间内，如其相异的被一听官所感觉。
四、听官不能看见颜色，视官不能听声音。
此类之命题，一些逻辑经验论者，亦以为只是依于语言意义之约定而后成为必然的。如第一命题之成为必然，即可说由我们之先约定一片颜色之意义之一片，即涵不在二空间面之意义。如我们不如是约定，则一片颜色，并不必然涵不在二空间面之意义。如我们称在二空间面者亦为一片颜色，如称一花之颜色与镜中之花之颜色，为一片颜色，则一片颜色亦未尝不可同在二空间面。
但是这种说法，明包涵观念之混淆。诚然，我们亦可只想一片颜色而不想其不在于二空间，而称在不同空间面之颜色，为一片颜色。但是在我们以一片颜色，只指一空间面之颜色时，此颜色之不在其他空间面之意义，却并非以我们之不想而不在。我们于此，只可不想其此意义，而不将此意义包涵于一片颜色之意义中，然而我们却并不能想其莫有此意义。我们要了解此中一片颜色一名，所指者之全幅意义，我们只能承认其有此意义，而不能加以否认。是即此命题之为必然之理由。
此外听官不能看见颜色，似亦可说纯由我们对听官、听、颜色意义等字之约定。因如我们约定听官之一语言指视官，则听官即能看颜色。或约定看之意义同于听，颜色之意义同于声音，则听官亦能看颜色。但对这种辩论，只须有一答复即：我们必须约定听官之语言以指视官，然后听官能看颜色，岂不正证明我们之以听官之语言指听官时，听官本涵有一不能见颜色之意义？对其余问题之答复，读者可自求而得之。
除上述两类命题之外，对于时间空间与形量关系，我们通常还承认下列一些命题是必真的：
一、A事在B事之先，B事在C事之先，则A事在C事之先。
二、A事在B事之后，B事在C事之后，则A事在C事之后。
三、A与B同时，C与B同时，则A与B同时。
四、A在B之上，B在C之上，则A在C之上。
五、如上述之上之关系换为下之关系，或之东、之南、之北、之西之关系，亦然。换为之内、之外、之关系亦然。
六、如A色B形同在一空间，B形与C位同在一空间，则A与C亦同在一空间。
七、时间为一进向。
八、空间为三进向。
九、一直线不能成角。
十、二直线不能围绕成一平面圆形。
十一、三直线不能围绕成一立体。
十二、全体大于部分，而等于其部分之和。
十三、两点之间只有一直线。
十四、平行线不相交。
对于这些命题，在常识皆以不能由经验否证之命题。然是否皆为只由语言意义之约定而建立，则亦有问题。
对上述之命题，如关于同时之意义，及时间为一进向，空间为三进向，在相对论之物理学，皆似不能成立。而同时之意义变，则先后之意义亦变。如空间与时间合为四度空间，则宇宙可视为四度空间之球面，则第四点，第五点皆成问题。而同在一空间者，如时间不同，即亦非同在一空间。又如空间为球面形，则其上所绘之直线，皆可相交，亦即平行线可相交，而二直线即可围绕成一平面圆形，三直线可围绕成一立体，一直线即成一圆周角，两点之间之直线皆成曲线，则直线非最短。又在一无限数之系列中，抽取其中之一部分之数，亦可构成一无限数之系列，而其中之项与原来之一无限数系列中之项，皆可有一与一之对应，则部分可等于全体 [82] 。于是此上各点，皆成问题。然吾人是否即能因此而谓常识中之此类命题，皆无一意义之先验之必然性，或此一切命题之为真与否，纯由人对于时空形量之语言名词意义之如何约定而定?
依吾人之意，吾人之不能说常识中此类命题，无一意义之先验必然性者，即吾人无论如何不能否认此类命题，与一般经验命题之不同。至少对常识中所了解之时空及一般之形量言，此类之命题，为普遍而必然的真者。吾人可谓当吾人将时空合为一四度空间，或将同时之意义改变后，则常识中之此类命题，皆成非必真者。然此并不碍在此四度空间之观念下，及改变后之同时观念下，仍另有对之为必真或普遍必然真之命题，或必不真之命题。试想吾人之假定空间为球面，则其上之直线皆成曲线且相交，此岂不同于谓将一平面之纸，摺成球形，则其上之直线，皆成曲线且相交?然在平面成球形时，其上之直线，即成曲线，此本身岂亦非一普遍必然之真理？岂此等等真理，纯由人对直线曲线之意义自由约定而来，而不由于在平面上之直线与平面原有一定之关系，及平面成为球形时，与其上之直线所成之曲线亦有一定之关系而来？
第五节 非欧里得几何学之解释
由此以论非欧克里得几何学所引起之问题，则吾人以为对非欧克里得几何学之存在，至少有下列数种，加以解释之方式：
（一)为纯视每一种几何之基本观念皆为无意义之符号，其基本命题，唯是表示符号间之可彼此代替之关系者。依此种解释，则吾人可以任何符号，代替一种几何学中所谓直线与点等原始观念，而使一几何学之系统，不失其为真。则一几何学之系统之构造成为一纯逻辑之构造，而由各种几何学之原始观念之互相代替，我们亦不难将一几何学之语言翻译为另一几何学之语言。然在此情形下，则人不当对一种几何学中之直线曲线等，有任何具体想象，亦不能以之指任何想象中之空间或物理空间 [83] 。则吾人于此有何理由称之为几何学系统，而非如吾人前章所举唏唏哈哈呵呵一类之纯逻辑的构造之系统?至此种纯逻辑之系统之仍不能只依名词之约定而形成，吾人将另论之。
（二)为谓欧克里得几何与非欧克里得几何学之差异，乃由于所设定之空间关系、空间性质之有根本差异。如一设定线外一点上只有一平行线，一设定其无，另一设定其多。则人至少在设定此不同之空间关系、空间性质时，必须对于空间先有一不同想象。而于此不同空间中，分别直觉此设定之空间关系空间性质之意义。然在此情形下，则此不同几何学，乃各对所想象之不同之空间而真，因而亦受其所想象之空间中，所可能有之空间关系空间性质之决定。则一几何学之名词指何意义，虽可由人任定，然其所指意义如何相关联于一想象空间中，却非可由人任定者。此下为吾人想象三种不同空间之一方式。
吾人可想象：依常识中所谓直线，而向上下四方伸展之空间为欧克里得之空间。吾人亦可想象，此空间中之平行之直线与平面，皆覆于-球面上。于是在其伸展之途程中，一切平行线与平面，乃逐渐皆趋于相交。是即成无平行线之李曼几何学之空间。
吾人又可想象，一空间之二平行直线，其一为静止之直线，其二乃在另一平面上之旋转之直线，由其旋转而所成之直线无穷。然此无穷直线既皆为此直线所生，即皆可说与原一直线成平行；则吾人可想象过直线外之一点有无数平行线之罗伯求斯基之几何学。
此为吾人想象三种不同之空间之一种方式。此外尚可有其他方式，以想象各种不同之空间。然因吾人常识中，所想象之空间为欧克里得式，故吾人之想象其他之几何学，必须以欧克里得之几何之空间为根据，再改变其中之若干性质关系，乃能形成。因吾人所根据之欧克里得之空间，有其一定之空间性质、空间关系，则吾人改变其若干性质、若干关系，而想象出之不同空间，仍必有其一定之性质关系，因而亦即各有对之为真之几何命题，非可由人自由约定者。
（三)以几何学中之空间，为兼指有物理事物关联而成之物理空间者，如吾人实际生活于其中之地面上物理空间，或天体间之物理空间，或原子核中之物理空间等。依此说，则每一几何学中之名项，皆兼指一实际事物之空间性质，空间关系，如以直线兼指一刚体上之线，或光之进行之方向等。但在此情形下，则吾人初视为一直线者，如刚体之线或光之进行之方向，缘于物理空间中之物理关系，乃随时可变曲，亦可本为不直者。由此而吾人肯定有某种直线之几何学，如欧克里得之几何学，即可成为不能应用于物理空间者。而能应用于物理空间者，即可为不肯定有此某种直线之其他几何学。然如一物理空间，真有其一定之空间关系空间性质可说，使某种几何学，能应用或不能应用，则其中之空间关系空间性质之相涵，仍为一定，非可由人任意约定者。而几何学之空间，若必须能兼指物理空间者，方为真正几何学，则几何学中之名项所指者之意义，亦即非由人任意约定者。
第六节 数学与逻辑之基本命题为兼综合与分析的
吾人最后之问题，为一切数学逻辑之基本命题，是否只为依于语言意义之约定，而无一先验必然性之命题？
表面观之，一切严格的数学逻辑之知识系统，其基本定义与基本命题，乃皆明白的标出者。而此种系统之构造，唯赖吾人之依此基本命题中所陈之推断原则，进行实际的演绎。于是此演绎之历程，唯是引申出基本定义、基本命题之所涵之历程。如谓此演绎所得者为知识，则此只能为一纯由符号意义之分析而得之知识。但吾人前章已论到，由一前提之语言，所以能引申出结论之语言，其关键不在吾人之先约定某一语言以何意义，而在某一语言所指之意义之能涵其他意义。而此意义之相涵，乃不只为分析的，而兼为综合的。吾人今即将重说明此义。
譬如吾人在数学中承认联合原则、交换原则、分配原则，在逻辑中承认代替原则、推断原则，承认双重否定原则（即否定之否定同于肯定)等，吾人可问：在吾人从事数学逻辑系统构造之始，即将这些原则，明白以若干语言符号之定义加以表示，是否即可使这些原则之全幅意义，皆被纳入于定义之中，并使诸原则全无先验之性质？吾人将说此明为不然者。
其所以为不然，是因此诸原则本身，是由吾人分析吾人已有之数学知识、逻辑知识，并反溯吾人实际作逻辑思维、数学思维时，实际所经之历程、规则、及所必然先已肯定之预设等而形成。故亦必至数学逻辑进步至今日之阶段，乃有此诸原则之自觉的提出，而纳之于定义之中。初并非人类自始即依此定义而思想，以产生逻辑与数学。则此诸严格定义之出现，明为人依其对于逻辑知识、数学知识等之反省之所发现，而后纳之于语言文字中者。则吾人今日之只能有如是如是之定义等，乃为吾人实际上已成之数学逻辑之知识与思想历程等之所制约，而明非由吾人之任意先赋给以某一语言符号，以一定之意义而来者。
吾人在数学中承认联合律（A+B)+C=A+（B+C)，交换律A+B=B+A，吾人试问，吾人何以必须承认此联合律、交换律？此岂非吾人在实际作数学演算时，吾人之曾先依此而演算?故吾人亦唯在数学性之思维中，对上列之ABC等代以一数时，然后此联合律交换律等，乃有意义。如以ABC皆指实际之人，“+”指实际之人与人之联合关系，则AB联合后再与C联合，明可不同于B与C联合后，再与A联合。而先有A再联合B，与先有B再联合A，亦彼此不同。则此交换律联合律等，岂能离吾人之数学演算之实际历程与数学思维，而由吾人之任意加以建立?若吾人将此诸律则加以否认，则吾人一般之数学演算与数学思维又岂可能?
此外在逻辑思维中，吾人所运用之各原则，岂不亦同样为吾人之实际的已有能有的逻辑思维所制约，而非由吾人任意加以建立?
复次，吾人在已肯定诸数学逻辑原则时，吾人之直接加以运用而思维其意义，固可说其只为分析其意义之事。然此中仍须辨明：吾人所运用之原则之本身之构成，是否只赖一分析的思维活动，或兼赖一综合的思维活动？吾人之或依原则而进行思维时，此思维活动是否同时为综合的思维活动?
即如吾人在数学之联合律中，吾人试问（A+B)+C=A+（B+C)之毕竟只为分析的或兼为综合的?吾人固可言其为分析的，因左项中亦只此三项，在此“＝”号之左右二端，即为同义语。但左端中之括弧，在A与B外，右端中之括弧在BC外。二者之意义，亦可不同一。则其间之“=”之符号所代表之意义，岂不可说为综合的?因此“=”号，实并非表示其左右二端之数项之全同，而是表示左右二端之数项，在数学之演算中为可相代者。然左右二端之数项既不全同，如何又可相代?此不能说由于人之任意约定，因人之实际的数学思维皆依此交换律联合律而进行。若此中之理由，不在人之任意的约定，则此中之理由，便只能由吾人之思维之本身中之理性求之。即唯有谓此“律”，乃兼依于吾人之分析的思维之理性与综合的思维之理性而立。而此二种理性，本身之如何统一，亦只能由吾人之理性自身中求之。
如吾人求之于吾人思维中之理性，则吾人可了解此联合律，唯依于吾人之直觉：如有二数项AC于此，B为可特与A相联合（A+B)+C，亦可特与C相联合A+（B+C)，此二联合同为可能，而皆与B之为B、A之为A、C之为C不生影响者。亦即与A是A，B是B，C是C之自同中，所表现逻辑上之同一律不相害者。无论B特与A联合或特与C联合，皆为一综合。然此二综合，皆与ABC之自同不相害；则吾人可说此二联合、二综合之方式，对A、B、C之价值，为同一。依此同一，吾人即可以一联合代另一联合，而（A+B)+C=A+（B+C)。由此而有联合律，故此联合律所表示者，即B特联A及A特联C之二综合方式之同一。则此律乃兼由分析与综合之思维之所成。
依同理，我们可说明交换律亦为兼综合与分析者。此即由于吾人之直觉一数项在另一数项之后与先，对一数项与另一数项之自身，为不生影响者。故其在一数项之先，与在一数项之后，即有一同一。
其次，吾人亦可说明，合二数以成一数时，如1+1=2，此不只可说为分析的，亦可说为综合的。因1+1与2二者之符号不同，意义即不能全同。则说其相等，即为综合之联结之之事。吾人何以可综合此二者，而说1+1=2？此唯由吾人直觉以数观对象时，分为二个一以观之，与合之为一个二以观之，乃吾人之二种活动，然此二活动可互相代替，而皆与对象之自身，不生影响者。因而吾人可直觉此“分之为二个一”，与“合之为一个二”乃同一，吾人遂可说1+1=2，即二个一等于一个二，其数值相同。
吾人能知二个一与一个二之同值，则知凡二个数，皆可合视为一个数，一个数皆可分为二个数；而吾人如以一数与一数相乘，再与另一数相乘，即同于一数之与后二者合成之数相乘；而一数与后二数合成之数相乘，亦同于与此二数之分别相乘，由此即有数学中之分配律。即A×（B+C)=（A×B)+（A×C)。而此分配律中之=之两端，仍非全同，乃异而同，即兼为分析的与综合的。
由此而吾人再进一步看，逻辑本身之定义规律，亦当为兼分析与综合者。如吾人说P真，等于说～P假或P假假。P真与P假假之意义，是否彼此全同一？至少此二者语言符号不同，则吾人如何可谓其意义为全同一？如非全同一，何以说P真又可同时说P假假?此只能归于：吾人之知一切肯定同于否定之否定。然何以肯定同于否定之否定?此二名岂非亦不同？此最后仍只有求之于吾人之思维之理性。此首因吾人可直觉：当吾人想一命题如草是绿时，与吾人之想草非绿再否定之，吾人所思想者仍为同一。由是而吾人知：无论吾人直接想此是绿，与由想此非绿再非此非绿，吾人思想之对象与内容，仍为同一。此为P真与P假假之同一之一外在之讲法。
另一内在之讲法，则为吾人自觉吾人兼有肯定与否定之活动，此二者同为吾人之活动，然二者又相异。此知其相异而肯定其相异，即为一综合的活动。然吾人一面知其相异，又知吾人肯定什么于一事物时，即不复有否定什么于一事物之活动。于是吾人知肯定之活动存在，否定之活动即不存在。反之亦然。吾人复知使否定之活动不存在，即同于使肯定之活动存在，而直觉：有一否定否定之活动，即同于有一肯定之活动。此为由主观之活动之存在与否，讲P真与P假假之同一。
再一种更深之讲法，为吾人肯定时，在吾人所自觉之肯定活动之上之后，有一自知肯定之为肯定，并任持此肯定之为肯定，而继续生起此肯定，亦即肯定此肯定之心之性。此即心之理性。吾人依此理性，一面生起此肯定，一面即遮拨否定活动之生起，以成就此肯定活动之生起。而此遮拨否定之事，与成就肯定之事，实一事之二面，亦一理性之二面。而此一理性即反反以显正（即正正)，否定否定以肯定肯定之一理性。此中离否定之否定，则肯定之肯定不成；离肯定之肯定，则否定之否定亦不成。遂显出一否定之否定与肯定之肯定，互不相离所成之全体。此全体为一综合肯定之肯定与否定之否定二者所成。而肯定之肯定与否定之否定，亦同依于此全体，并依此全体而俱成。此即二者之同一之处。此一全体之理性之二面，互异而又同一。由是而吾人可说P真与P假假之同一。P真则P真是同一律，P真则P假假，是不矛盾律。如P真与P假假，依于一全体之理性而为同一，即同一律与不矛盾律之同一，依于一全体之理性而同一。至于所谓排中律，则当兼自此全体中之理性之“肯定之肯定”之排斥或否定“对肯定之否定”，及“否定之否定”之排斥或否定“对否定之肯定”上说。此为其与单纯之肯定之肯定，及否定之否定之不同者。而排中律与同一律不矛盾律之意义之同一，亦唯有自其同依于此全体之理性处说。由此而所谓思想三律之成立，皆兼依于思维中综合性与分析性。综合是合异证同，分析是由同证同。三律之异而不相离，显出一理性之全体，为合异证同；三律之同依于此理性之全体，而可互证，则为以同证同。是皆待学者之深思，而自得之。
至于除此以外，其他之逻辑原则，如一般之代替原则，推断原则，之是否只为以同代同之分析活动，或兼为综合活动，亦二者皆可说。因吾人之以符号代一符号，此二符号即毕竟非同。以一符号代他符号后所成之命题，明为一新命题。则谓由代而成之命题，与原来被代之命题，有同无异，即毕竟不可说。因吾人如连逻辑之命题于思维中之理性言，则命题不同，意义皆不全同。如知上所谓P与～～P之不全同，则知由肯定P再经～～P而肯定之P，二者亦不全同。然吾人不经～～P不能再肯定P。故肯定P与再肯定P亦不全同。由此而一切所谓同语重复Tautology，皆非绝对之同语重复，皆非只是以同证同，而皆是通过异以证同。而人之任何推理之再进行一步，任何推断原则，再运用一次，吾人只须自其皆须经其否定之遮拨（即否定之否定)，而后可能之一点上说，即可谓其皆是通过“异”或“否定”以进行，亦即与此“异”或“否定”发生一综合性的遮拨关系以进行。而任何之演绎思维，或引申一前题或基本定义命题所涵之意义，以成结论或新命题之思维历程，皆为一兼分析与综合之思维历程。而即一切将绝无意义之符号，依规则而加以播弄之逻辑演算，数学演算，只在其必须依规则一点，即须自求去其不依规则之思维并依自然理性以遮拨不依规则之思维。而此即已为一兼分析与综合之思维历程。除非人之逻辑数学演算，真全同于计算机器之活动，则无任何无综合活动而只有分析活动之演算为可能者。
如吾人知人之思维活动理性活动，皆包涵分析与综合之成分，则谓先验命题皆为分析的或皆只依于语言符号之意义之约定而成立，乃无当于理者。亦即吾人绝不能依逻辑数学之先验知识之皆为分析的，遂谓此外更无先验的知识。因逻辑数学之知识之成立，至少在其所依基本规律上看，此规律之如何形成，即非只原于人之分析性之思维。而对各种几何学，对时间空间，对事物之共相与共相之同异关系，吾人皆明可觉有：非可由以后经验所否证，而与一般经验知识不同之先验必然之知识之存在。至于此种知识之种类内容，毕竟如何?及其先验必然性之依何条件而建立?其先验必然性，是否能离人之一切可能经验与理性而成立?此皆尚待人之再进而求之。
先验知识问题 参考书目
此下所举之书目，为本章之前四节所涉及者，至于本章之后二节之所陈，则多为我个人之意见，尚待于发挥引申并加以讨论者。
Kant：Prolegomena to Future Mataphysic，4，The General Questions of the Prolegomen .
H.Feigl & W.Sellars：Readings in Philosophical Analysis.PT.IV.Is There Synthetic Apriori Knowledge?M.Schlick，C.I.Lewis.二皆有文，可资参考。
A.J.Ayer：Language Truth and Logic，Ch.IV.The Apriori.
A.C.Ewing：The Fundamental Questions of Philosophy.Ⅱ.The Apriori and the Empirical.
B.Blanshard：The Nature of Thought.第三十二章Concrete Necessity and Internal Relations.
J.Hospers：Introduction to Philosophical Analysis，Ch.2.Necessary Knowledge，especially Sec.Ⅶ
M.G.White：The Analytic and the Synthetic，An Untenable Dualism.见Semantics and Philosophy of Language.ed.Linsky.University of Illinois Press.