第八节 数学与逻辑合一之理论
以上各种数学逻辑之理论，皆为欲于数学与逻辑之知识本身外，求其中观念之来源；并说明其所以能对经验世界有效应用之故。但今吾人试问：若数学逻辑之知识本身全不应用，或将其与一切客观存在、主观心理、及时空等之关联，完全截断，是否其本身即不能为真，或不能成立?我们又试假定，我们所经验之世界，表面全变为不合逻辑数学者，是否逻辑数学中之规律，即可被否定?
譬如吾人今试假想：我们将二苹果加二苹果，由经验得者乃为五苹果或三苹果，又试假想一苹果方是绿，又忽是红，或方是苹果，再看即成一条金蛇，又看则成一美女。吾人于此是否即必怀疑数学逻辑之知识之真，而谓二加二不等于四，或A不是A?
但我们一细想，便知吾人即在此情形下，仍不能怀疑数学逻辑知识之真。因如吾人将二苹果加二苹果而得五苹果或三苹果时，我们通常可不怀疑二加二等于四，而可想此由于另一苹果自他处出来，或一苹果被人偷去，亦可想此乃我们之视觉看错，亦可想我们计数时，少计了一个，或多计了一个 [72] 。此外，我们还可以想，苹果是如人之能生殖，由二人可生出第三人者；或苹果是能合并的，如一体积水之透入另一体积之物，仍成一体积。总之我们不愿怀疑二加二之等于四。而此数学中之二加二等于四之意义，亦实并不全等于我们通常所谓把二个物与另二个物置于一处之意义。因将二个物与另二个物置于一处，依其相互之因果关系，其最后之结果，可等于任何数。如二狼与二羊，置于一处，则最后只有二狼。一国之二战士与敌国之二战士，置于一处，可互相斗杀，最后无一战士。二阿米巴与二阿米巴置于一处，最后之结果为无数之阿米巴。吾人如知“二加二等于四”之意义，并不等于“二物与二物置于一处必有四物”之意义，则任何经验界之二物与二物置于一处所生之结果，其数如何，即无一能否证二加二等于四者。而无论此结果是什么，我们都可以经验界之物与物之因果关系等，加以解释；并在此解释中应用到数学。如二狼与二羊置于一处成二狼。则吾人说二加二再减二等于二。如二战士与二战士相斗而皆死，则我们说：二减二等于零。如二阿米巴与二阿米巴自己分裂成无限，则我们说二乘二乘二……成无限。由是而无论二事物与二事物置于一处其所生之结果变如何数，永有其他数学知识可应用。
其次，在几何学中，其知识之不能由经验世界事物之存在状态之变化加以否证，其情形亦相同。如在欧克里得几何学中，吾人说三角形之三角，等于百八十度。今试设有三角板，才量是百八十度，再量似只有百七十九度。吾人亦必不说三角形之三角之和，可少于百八十度，而只说此三角板上之三角形，非几何学上之三角形；或说因其他物理原因，使原为三角板之三边之直线，由直成曲，成非三角形。因而不再将此三角板之形，当作三角形看，而当作非三角形看。于是对之不应用三角形之几何知识，而应用其他形之几何学知识。由是而几何学之知识，亦永不能为所经验事物之几何形状之变化所否定，而吾人亦永可有其他几何知识，可应用于变化后经验事物之上。
此外在逻辑上，吾人说A是A，A非非A，亦不能为经验事物所否定。即如一物才红又绿，才是苹果，又成一条金蛇，再成美人，此固可能。但只要变化后之物有其所是者可说，吾人仍可说红是红，而非非红。苹果是苹果，而非非苹果。说A是A，只是说是A者是A，或如是A则是A，并非说，是A者必须永远是A。则是A者之由是A而不是A，并不能否证是A者之是A。而若一是A者，由是A而是非A之B，则我们可转而对于B说“是B者是B”。而此即同于“是A者是A”，之为表示逻辑上之同一律者。由是而此逻辑上之同一律，亦永不能为经验事物之所否证。而无论事物之由是什么之变为什么，此同一律皆为对之可应用者。对矛盾律，排中律者，皆同可如此加以解释。
吾人如了解上述之数学与逻辑之知识应用于经验事物，乃永不能被否证，且无论经验事物之如何变化，皆可有可应用之数学逻辑知识；便知我们讨论数学逻辑之知识，所以有必然性及其根据，可全不从其与经验事物之关系上着想，而可纯从数学逻辑之知识本身，如何形成上着想。
如自数学本身着想，我们如要问为什么二加二等于四，则我们尽可不问一二三四是什么，“加”是什么。但是我们可说一加一叫做二，二加一叫做三，三加一叫做四。或说二之定义即一加一，三之定义即二加一，四之定义即三加一。则我们可以纯从此定义推演，以证明二加二等于四。
2=（1+1)A
3=（2+1)B
4=（3+1)C
依B以（2+1)代3
4=（（2+1)+1))D
移动括弧
4=（2+（1+1))E
依A以2代（1+1)
4=（2+2)F
移项
（2+2=4)G
此即来布尼兹对于2+2=4之一证法。
依此种说法，我们可不问一二三四是什么，而只须知我们对一二三四之定义，即可证明二加二等于四。此亦如我们可不知道唏唏，呵呵，哈哈是什么，但我们如说呵呵之定义是“唏唏加唏唏”（A)，哈哈之定义是呵呵加唏唏（B)，则我们即可说：哈哈是“唏唏加唏唏”加唏唏（C)，哈哈是唏唏加“唏唏加唏唏”（D)，哈哈是唏唏加呵呵（E)，唏唏加呵呵是哈哈（F)。由此而数学之推理之原则，即可与逻辑之原则若完全相同。
我们上述之依定义而作之数学推理，其中亦实假定某种律则。如ABCD纯依定义而立，可无问题。但E中之=2+（1+1)与D中之=（2+1)+1，二者之形式，仍然不同。E乃由将D之括弧拆开，而将其中之“1”与其外之“1”，联合在一括弧中而成。此种将一数学公式中括弧拆开，而将其中之数之项，另与其他数之项联合之规则，此称为数学中之联合律。联合律之形式，可以（A+B)+C=A+（B+C)表之。又F与G之形式亦不同，而吾人之可将一数学公式之=号两旁之数项，加以移项，则为数学中之交换律。交换律之形式可以A+B=B+A表之。
此二律则在逻辑中亦同样有之，如上所举之唏唏哈哈之例中由C至D，即依于联合律，由E至F即依于交换律。
但是我们可以不知一二三四是什么，而纯依诸数之定义以推论；与我们不知唏唏哈哈等是什么，而可依对之之定义以推论，在逻辑形式上之相同，仍只是一方面的说法。因我们在常识中，仍觉我们是知道一二三四是什么的，至少我们知其是数。我们又知由数一二三四，可数至五六七八九十……以造一无穷尽的数之系列，我们知其中后之一数，皆可由不断的加一于以前之数而成，又知由不断加一，我们即不断有一新数。然在唏唏哈哈之例中，我们并不能由唏唏加唏唏，以生出哈哈。我们必须先有“唏唏”“哈哈”等名词，并对之先加以定义，乃能有上述之推论。但我们却可不必先有一一之数之名，先有一一数之名之定义；而可由加一于以前之数以生一数后，再与以一名；并可即以一数之所由生，为一数之名之定义。而我们之由加一于以前之数以生数时，我们必须有一起点之数。比起点之数即为零之数，故“零为一数”。而对零加一所成之数，即可称为，继零之数而起之继数，继数亦为一数。如0+1成1。此1即0之继数，而亦为一数。而此1之定义亦即0+1。继数复有其继数，如1+1成2，2即为一之继数。此2之定义，即1+1，亦即0+1+1。此处吾人如假定：吾人之不断加一以产生数，乃一直前进之历程，或假定“无两数有同一继数”，即一数只有一继数，一继数亦只为一数之继数，又“零不能成任何数之继数”，又假定“由零而次第产生之一切继数，有其共同之性质”；则吾人即可造成一自然数（Natural number)之系列。而此数之系列中之一切数，因皆具有共同之性质，以属于一系列，吾人遂可以同一之方式，加以运算 [73] 。依上述之思路以说明数之产生，吾人可只须有若干之基本观念如○、数、继数等，若干基本命题，如上述之“零为一数”“无两数有同一之继数”等，即可构造出自然数之系列，而此数之系列中之一切数，又皆为具有共同之性质，并可依一定方式加以运算者。然吾人于此却可不须先知此基本观念之意义，及诸基本命题之其他根据，而只说有此诸基本观念及诸基本命题，便可构成自然数之系列，其中一一之数，皆为可依一定方式加以运算者。此即为将求数学之基础，建立于吾人所自觉的设定之基本观念、基本命题上；而求化数学为纯粹的逻辑的演绎系统之一种现代数理哲学之路向，而可由符芮格（Frege)之说以代表者。
但是在知识论上，我们总不能完全满足于任何未加以说明观念及基本命题。故人总想知道○是什么，数是什么，继数是什么，并由此以确知运用此诸基本观念，所成之基本命题之根据何在。此在现代哲学中一条道路，即罗素之以类说明数之理论。此可配合以前他家之数学理论，略加介绍。
罗素这种理论，其目标在欲自符芮格（Frege)进一步，以求连系数学与逻辑。因“类”乃是逻辑中之概念。我们要定一类，只须某一性质，具有某性质之一切个体，即合成一类。如具有人性之一切个体成人类。依罗素说，性质与类之概念，皆初可不假定数之概念。一类中有许多个体，每一个体皆可各予以单独之名字，亦可不用到数。但一类中之各个体，与另一类之各个体，可有一与一之相当One to one correspondence。如一类中有三个体者，其三个体，即可与其他类有三个体者，有一与一之相当。而诸有三个体之类，又可合为一类。此类所合成之类，即名为类之类Class of Classes。而此处之三，即所以标别此类之类之异于其他之类之类（如有四个体之类之类)者。此三即数。此三之为数，在其为诸有三个体之各类，被视为一类之共同根据。依常识，吾人似可直就某一类中有三个体，以说其为三。但实则吾人在说其为三时，并非只在此一类中有三个体之事实上说其为三，而是从其与有一切有三个体之类，有相类似处，而可合为一类之类处，说其为三。依此，每一数可定一类之类，而数之概念乃可指一切数者，则“数”为一切“类之类”合成之类。
依以类言数之思路，每一基数皆为一类之类。一类之类中，其分子为类；而一类中之分子，则为个体。吾人以某性质规定一类，一类中可有多个体或一个体为分子。（如圣人之类可只有孔子)或无个体为其分子。无个体为分子之类，如龟毛兔角，即为空类。由此可导出零为一数之说。
以类言数，则所谓数之相乘，亦以类之观念界定。即吾人可以一性质定一类，又可合并二性质以上以定类，或合二类以上以一成类，如人而神之类。今设有二类AB于此，吾人可设定一类中之一项，各能与另一类中一项，分别配列成对，则吾人即定一类，即“二类之各项相互配列成对”所成之类。而此类中分子之数，即为二类中之分子数之相乘所成之数。而此即可成为乘法之基础。
此种以类言数之理论，其归根在一类中个体之存在。如一切类中皆无个体，则类皆为空类而除零外无数。因有一个体之类，故有一，又有二个体之类，故有二，以至有千个体之类，故有千。然吾人在数学中，明可于任何数皆加一以成另一数，而异于前之数。由此而“数”之数，应为无穷而各各不同者。欲使此一切之数，皆能各定一类，则世间应有无穷之个体事物。因若世间之个体事物为有穷，如止于千，则千零一及千零二以上之数，皆为空类，而所定之类遂无分别可言。今欲使其分别成可能，使一切之数，皆能各定一类，则必待于世间之有无穷个体。然此为不可证者，吾人只能如此设定。此在罗素称之为无穷公理之设定Axiom of Infinity。
此外一类之所涵，为其中个体之全部；类之类之所涵，为诸类之全部。类之数可多于个体之数，因一个体可属于多类，而类与类集合成之类之数，又可多于类之数。如设色有五类，形有三类，五色与三形分别集合成之类之数，即有十五类。类本身不能视为一个体，类之类本身亦非类中之一，此中有层次之不同。然类之所指，只为其中之各个体。而类之类之所指，初为各类，最后仍为各类之各个体。依各个体而有类，依类而有类所集合成之类之类。而集合成之类之类还指类，再还指个体，即为数有意义之必须条件。而设定此事之可能之公理，为还原公理Axiom of Reducibility。
此外又有相乘公理Axiom of Multiplication，为上文所谓“二数中之分子配列成对之事为可能”之设定。如无此设定，则乘法无根据。此与前二公理，皆为所以使数学之基础，得建立于逻辑中之类与个体之概念之上者。
第九节 依类言数之理论在知识论中之价值
罗素这种数学理论之全部系统，自非我们之所能详论。但即上之所述，我们已可说其以类论数之说之价值，在指出一般之认识历程中，数之观念并非最先生起，而为后起。同时确定数为普遍的概念；而并非直接依于外在之存在事物，或主观观念或直觉以起者。
在常识之见，恒以为吾人一看世界，即能直觉数之存在。如一见而知这里有二个人，那里有三个马。然又奇怪何以有当前一二十人以上时，吾人可一眼望尽此一二十人，而不能直下即知其数?实则吾人之认识世界，最初只有一片感觉、感相、或现象呈于目前。此感觉、感相或现象呈于目前，我们可并不觉其数。对于三个马，我们可一次看尽，或分二次看，三次看，然亦尽可不注意其类，亦不知其数。而我们在对世界有所感觉后，我们如要对世界有知识，我们首先一步，乃以我们之所感觉之内容，而对外物作一判断。如见马形，则谓这是马；见人形，则谓这是人。此判断在日常经验中，亦常有误。如判断草人为人，判断牛为马之类。而我们之说我们直见一人、一马、一花、一草，乃唯因我们自信所判断者之无误，而在日常经验中亦大皆不误之故。于是忘此中之判断与感觉之俱起。实则，凡我们有所感觉而知其是什么，或谓之为什么时，无不有判断俱起。而在此判断中，我们最少是以一普遍之性质，论谓对象，而施于对象。如谓其是人，即谓其有人之性质，谓其是马，即谓有马之性质。故我们在日常经验中，实持种种性质之概念之套子，以施于对象之上。此时因对象本身是什么，尚未决定，我们可称凡能合此性质概念之对象为x。于是吾人可说，在我们之认识事物之历程中，吾人乃先想种种之“x是有马性”，“x是有人性”之套子，套于种种对象之上，而俟以后之决定。在决定时，吾人乃可说，彼物是有马性，此物有人性，以成真正之命题。依此命题，乃知彼属于马类，此属于人类，而谓彼是马，此是人。在此命题未形成之先，“x是有马性”，“x是有人性”之套子，则只可称为一命题函值Propositional function。对此命题函值之x之变项，以常项加以决定后，乃有种种之命题。而吾人在日常经验中，所谓直接经验之这是花，这是草，对山上者是树，在池中者是影，实则皆依吾人之判断而有，亦即依吾人之将种种命题函值，加以初步之决定后，以成之种种命题。
依此以看，吾人之常识中所谓这里有三个马，便不当说之为吾人一次之直觉之认识所成。而当说吾人对这些对象，一一将“x是有马性”之命题函值之套子套上去，而一一皆发现其真而成：甲是马，乙是马，丙是马之诸命题。此即吾人对这些对象之第一步的知识。在此知识中，吾人发现有甲乙丙之个体对象，皆能满足“是有马性”之条件，而为“x是有马性”之命题函值中x之值。至吾人之说这些个体对象之数为“三”，则不只是就这些个体对象本身上说。因“三”亦可指三人（亦即指能满足“x是有人性”命题函值中之条件之个体对象之数目)三牛等，故三之数为一普遍者，而可成一类名者。即指“三个体对象之类之类”之名。
依此，便知吾人在常识中之直说三个马，三个人，此数字排列之次序，乃并不与吾人之认识次序相应者。如要使之相应，我们可试说，马个个个三，人个个个三，此三乃又可通于三人、三牛、三光等者。如再以图形表之，则三在诸三马，三人，三牛之地位，可如图：
上述之三为一概念一类名之说，可应用于一切数，而视一切数皆为一概念、一类名。依上文所述，在认识之次序中，吾人乃先依种种之性质之概念，以判断对象，成种种命题后，乃有数之出现。故数又为后于上述之命题之形成，乃形成而被认识者。此种将数确定为概念为类名，并确定其在认识次序中后命题之形成而形成，乃罗素之理论之根本价值之存在。
第十节 数之产生与理性活动及依类言数之理论之改造
罗素之理论，除将数视为概念类名外，又将数之成立依附于个体之存在。于是有个体非无穷则数不能无穷之无穷公理之设定；又以数之概念依附于类，以类与类之分子配列成对之可能，为相乘数之根据，而有相乘公理之设定；再以类依附于个体，而有还原公理之设定。其说遂使数学之基础，建基于本身不能证实，亦无必然之理性基础之设定上。此中之根本问题，则唯在：数之在日常经验中，乃指个体之数者，是否即必然归于“数必依个体之存在而后能说”之论。
吾人在日常经验中，数诚大皆为指个体之数者。如三指三马等。但吾人可试问三马之三，毕竟是初由外面之三个体，能满足为马之条件而来，或由吾人之三次发现有对象，能满足为马之条件而来？于此吾人固可说，唯因外有三马，故吾人有此三次发现。然吾人何以不说，唯依吾人有此三次发现，乃说有三马?吾人如取后一说法，则三马之三，即可不依外面之马而成立，而唯依吾人之认识马，判断马之认识判断之三次相继而成立。而吾人若欲说三之为类名，何不说之为：吾人对有三项之类，皆可同样有之“三次之认识判断之活动”之类名？若如此说，则吾人说有三马时，所说之三，虽似在马上与一切涵三项之物上，而其根源正在吾人之认识判断活动之为三次之上也。
吾人若能于此转念，求数之根源于吾人之认识判断之本身，则吾人可说，当吾人以任一概念，判断一对象时（即求一对象以决定“x有某性质”之命题函值中x之变项时)，因一概念为理，吾人即有“肯定对象为如何”之一理性之活动。此判断为真，则此肯定之活动，即完成其自身，而对对象之为如何，有一置定。此吾人对对象之为如何，有一置定，即可于对象说“一”。而此“一”之根源，则唯在吾人之有此判断，有此理性之活动。而对另一对象，如吾人又可以同一概念判断之，则吾人又可说一。而吾人由前一至后一，乃有一判断之更迭者。从客观方面说，即可说此由于前对象与后对象间，有一距离。此距离可为空间之距离，亦可为二对象之性质之除相同之处外，又有不同之处，所造成之距离。然如从吾人之理性活动之本身方面说，则此更迭，乃原于理性活动之生起，而消逝后，又再生起。由是而吾人之能说有一一之对象，其根源便唯在此理性活动之继续不断之生起，又再生起。而吾人之依自觉心，以综摄此生起至再生起，亦即同时综摄前一与后一，此岂不可即为二之所自来?更综摄此生起之一，再生起之后一，与再再生起之再后一，此岂不可即为三之所自来?此一二三等，即常言之基数。又吾人如于觉“后一”时，再回头望“前一”；觉“再后一”时，再回头望“后一”；则吾人即觉此诸一之相继而起之次序。而吾人既已于“前一”生起时说一，“后一”生起时，可回头望前一，而综摄之以说二，再后之“一”生起时，又可回头望前一与后一而综摄之以说三；则吾人为实表此诸“一”之相继而起之次序，岂不可即有第一第二第三之序数之名?
如依上文之说，则吾人仍可保留罗素之数为后起，及数为概念及类名之说。吾人不仅可承认，吾人之能说物之数，乃后于吾人之认识判断之理性活动之相继而起者；吾人亦可承认，在此理性活动正相继而起时，吾人亦初无其相继而起之自觉。此自觉，乃由吾人之心灵，升高一层，以反省吾人之认识判断之理性活动而来。则吾人此时应有一去置定吾人之认识判断之理性活动之存在之高一层的理性活动。吾人去置定一认识判断之活动之存在，则吾人可说有一认识判断之活动。再置定一认识判断之活动之存在，又可说有一认识判断之活动。而合此二者，则吾人亦即可说，吾人有二次之认识判断活动。缘是而吾人在认识判断外面某类物有三个体时，吾人亦应同时自觉吾人之有三次之认识判断之活动之存在。唯在常人因恒缺此反省，故在说外面某类物有三个体时，不能同时自觉吾人之有三次之认识判断活动，与之相应。因而亦即不能自觉的了解“此某类物有三个体”之“三”之根源，在吾人之三次之认识判断之理性活动也。
吾人方才说吾人有三次认识判断之理性活动时，吾人可不自觉其有三次。此自觉，必待于更高一层之理性活动。人如问：此高一层之理性活动本身，是否有数?则吾人之答案为：此数，仍必须待再高层之理性活动，以对之加以自觉的反省，即对此理性活动再加以置定，乃能说者。若无此再高一层之理性活动，对之加以自觉的反省，则此理性活动未被置定，其数乃仍不能说者。而即在其被反省置定而有数可说时，此反省置定之再高层之理性活动，仍无“数”而在“数”之上。如此逐渐翻上去看，则最高之理性活动，亦毕竟在数之上，而为数之根源之所在。故吾人说“一”与“一”之理性活动，与综合“一”与“一”成“二”，综合“一”与“一”与“一”成“三”之理性活动，同在此诸“一”及“二”“三”等之上，而亦初无所谓数者。（至吾人在形上学上之说，理性活动为一，乃自其为一切“一”之根源，或能综合诸“一”以成他数，而倒说之之名也。此当作别论。)
吾人能循此思路以论数，则数可不必待外在对象之存在而成立。其所以在日常经验中，似必待外在之对象而成立，亦唯由一外在之对象，可引发吾人之一理性活动，而使吾人得置定一如何如何之存在而言。然吾人之任何主观之观念，及任何认识判断之活动，在被反省自觉时，吾人亦皆可置定此观念之存在及此认识判断之活动之存在。此乃与吾人之置定一如何如何之外物存在，同为完成吾人之一理性活动，亦同可使吾人有“一”之数之概念，及综合诸“一”所成之其他数之概念者。故吾人在常识中，亦承认吾人于有三对象如三马在前时，吾人如一次数之，则谓之为一堆马。二次数之则为二堆。而再重复数之，则马之堆数可为三四五六……以至无尽。而此事之所以可能，其理由正在吾人之可直接由吾人之“观念及认识判断活动之存在”之分别置定上，建立数之观念也。
由是而吾人可改造罗素之数学理论，以谓吾人无论对外界之一如何如何之存在加以置定，或对吾人之任何观念之存在，任何认识判断之活动之存在，加以置定，同所以完成吾人之一理性活动，吾人皆可依之而有“一”之概念，及由其综合而成之二三四五之基数，及第一第二第三……之序数。由此而数之可成无尽，其根源即可在吾人之理性活动之生起，可相续无尽上说。而吾人亦即无须假定无穷个体事物之存在，以说明数之数之可无穷；而又不必谓实有无穷之数，独立于吾人之认识活动理性活动，而悬空外在的存在也。
吾人如自理性活动上言数之根源，则所谓数之可分为诸分数，及数之可相乘为乘数，皆不必如上章第五节之从量上说，亦不必如罗素之自二类之分子之配列成对上说。因吾人之理性活动原能综合诸“一”以成数，如二、三。综合之事毕后，吾人亦知此综合活动之为一，如二为“一”个二，三为“一”个三，而此二又原为二个“一”，三原为三个“一”；此处即见分者之可合，与合者之可分。而此即已可作为分数乘数及其串系之根源。
譬如吾人在说有一个三，而此中之三即三个一时；则吾人认识一个三之理性活动，与认识三个一之理性活动，即有一贯通或同一之处。今吾人假定“一”个三中之“一”为大一，则三个“一”中之“一”为小一，此三个“一”中之每“一”，为三个“一”中之一，亦即所谓“一”个三中之“一”之三分之一，此即为分数。而“一”个三中之“一”为三个“一”之综合，亦即所谓“一”之三倍，而此所谓三个“一”，其本身即为倍数乘数。又此中每“一”既为“一”之三分之一，则“一”即三个“三分之一”之综合，亦即为“三分之一”之三倍，或三乘“三分之一”，而此“一”个三，亦为倍数乘数。此上之“一”之可分为三，三之可视为三个“一”，三个“一”之可综合为“一”个三之关键，唯在认识“一”个三之理性活动，与认识三个“一”之理性活动之贯通与同一而已。
至于所谓分数乘数之串系，如由三分之一，再三分之，为九分之一，更三分之，为廿七分之一……由三乘一为三，至再乘以三为九，九再乘以三为廿七……则其根源不外由于吾人依理性以继续其分合之事之所成。因吾人既可于“一”分之为三个“一”，则吾人自可普遍化“此分为三之事”于“一”之中，而将此“一”再分为三……以成三个更小之“小一”。又吾人既可综合三个“一”，三倍“一”，以为“一”个三，则吾人亦可普遍化此综合三个“一”而三倍“一”之事，而将“一”亦三倍之，综合此三个“一”以成更大之“一”个“三”……。而吾人由此以产生之九分之一或九，廿七分之一或廿七……之串系中之项目，因其可无尽的增加，于是，总觉其前另有数，而此数之串系亦若为自行伸展而可视一如外在客观之存在之串系。然自其本源而观之，此串系之继续，其根据唯在吾人之继续依理性之运用，以普遍化此“分一为三个一”，或“合三为一个三”之活动。唯吾人有依理性之运用，以普遍化此分合之活动之趋向在后、在内，乃有此似向前伸展而似为外在之数之串系也。
吾人于此，可不将吾人之如何依理性之运用以构成一切分数乘数之串系之全部次第，以严格之形式，加以说出，亦不能于此穷尽“以理性之运用所产生之活动，说数”之说之涵义，以说明一切数之所以产生，与数学知识之形成。吾人之意，唯在指出数之可分为分数，与可合为乘数，及分数乘数之串系，皆不须直接依物之量之可分可合而成立，亦不须依一类之分子与他类之分子可配列成对而成立；而可直接如上述之由吾人之理性活动之相续施于其自身之成果之数，而贯彻于其成果之数之中以成立，另无待于外，至于其他之问题，则可不多及。
第十一节 逻辑中所谓思想律之问题与各可能之答案
至于对逻辑中所谓思想律之问题，则现代哲学之趋向，亦皆不自所经验之事物观念之同异上，或事物之有某性质或无性质上，说所谓思想律之根据。而多喜由判断、命题、句子之真妄之值或符号意义之约定上，说所谓思想律之所由生。或则迳将所谓思想律，视作一种逻辑命题。亦有欲取消思想律中之不矛盾律、排中律；并有以吾人可对逻辑名词之意义，另作约定，以任意造成不同逻辑系统者 [74] 。
关于以思想律之根据，在吾人对事物之观念之同异，或存在事物之有无某性质之说，其不当之处，在不知思想律中之是非，或肯定否定之概念，与有无同异之概念，似可相对应，而涵义又不同。诚然，我们可以说因甲与乙相同，故说甲是乙。甲与乙相异，故甲非乙。亦可因甲有某性质，如白，故甲是白。甲无某性质，如无白，故说甲非白。然事物之同异，是自二事物之关系上说，性质之有无，是自一一事物与某性质之关系上说。此皆是就对象方面说。而是非或肯定否定，则唯是吾人之判断活动之形态。一为对象之事物，与其他为对象之事物，可由同而异，由异而同。一事物可由有某性质而无某性质，亦可由无某性质而有某性质。事物自身并不能保证其同不能异，有不能无，因而亦不永自有其所有，或永同其所同。然吾人之思想事物与陈述事物，而说其是如何或肯定其如何时，吾人同时即自求确定吾人之是如何说，是如何肯定。故吾人于一定之事物对象，肯定其是如何，即确定的肯定其是如何，同时否定其不是如何，或否定否定其是如何。唯依此而后有思想律。故思想律只可说为吾人思想时所自定之是是而非非之律，不可说其直接依事物对象之同异有无之关系而建立者。
我们说或肯定：一事物是如何或是什么，即成一命题。谓一事物是什么，亦即表示吾人肯定什么于一事物。吾人肯定什么于一事物，是肯定什么于一事物，此即同一律。吾人肯定什么于一事物，非否定什么于一事物，即不矛盾律。吾人“肯定甚么于一事物，或否定什么于一事物”，而非“既不肯定什么于一事物，又不否定什么于一事物”亦非“既肯定什么于一事物，又否定什么于一事物”，为排中律。但吾人之肯定什么于一事物，即说所肯定之什么，对一事物为真；亦即说，一事物成为：是什么之“x”中之一项，或可代入“x是什么”之命题函值中，以造成一真命题者。由是而吾人可说，肯定什么于一事物，即同于说一命题为真。而否定什么于一事物，即同于说一命题为假。于是所谓同一律，即等于“说一命题为真，即说一命题为真”。不矛盾律等于“说一命题为真，即说“说一命题为假”。排中律等于“说一命题为真，或说一命题为假”。故“若P则P”为同一律之表示。“若P则非～P”为不矛盾律之表示。而“P或～P”，则为排中律之表示。此可为现代逻辑家所共认。然现代逻辑中所发生之问题，则为如所谓思想律必须联系于命题之真假而说，则一命题如无真假，或吾人不知其真假，又当如何?如吾人肯定什么于一事物时，吾人有时固确知吾人之能如是肯定者，有时确知吾人之不能如是肯定，然有时亦可不确知吾人之能与不能。如吾人肯定前面之一对象是人时，有时吾人确知能如是肯定，而“彼为人”之命题为真。有时确知不能如是肯定，则“彼为人”之命题为假。然如吾人在夜间遥望一物，不能决定其为人与否，即似既不能有所肯定，亦不能否定吾人试作之肯定。又吾人通常对未来之事物作一肯定时，亦恒不能决定吾人之肯定之是与否，为真或为假。于是吾人即可说于肯定或否定一命题之外，或以一命题之为真或为假之外，另有第三种态度。即既不确定的肯定，亦不确定的否定，或只抱一疑问之态度。此疑问之态度，亦为一认识态度。在此认识态度中，似无排中律之存在。而于此，肯定否定之活动，既皆不能确定，则自吾人主观思想方面言，此中亦似根本无思想律之存在。
然就另一方面言，则无论吾人之是否能知一命题之真假，吾人总可说，对一事实言，一命题之非真即假。如吾说前面之物为人，此命题之真假，吾固可不知；然要必有真假，而不能同时皆真或皆假。此乃因前面之物是否为人，乃一客观之事实。此事实或是如此，或不如此，应为一定者。故吾人可知此命题之非真即假。而此即现代之逻辑家之或只就对一定事实而言，一命题之真假之不相容，以论排中律同一律之根据，而忽去其与思想中之肯定否定之关系之论所由生。
然吾人如以一命题不真则假之根据，唯自其与客观事实之关系说，则此是先假定客观事实本身之已存在而后能说。而未来事实之为如何，则不能谓为已存在者。吾人如何能谓一涉及未来之命题，其真或假，为已确定者？涉及未来之命题，似只能说其大概为真或假，而此大概为真或假，可有各种不同之程度。此即于一命题之真假二值外，再立一不定值，或无数之不定值之三值逻辑或多值逻辑之理论之所由生 [75] 。
涉及未来之命题之真假值，以未来事实之未存在，固可说为吾人所不能确定。然吾人仍可说未来之事物，总有所是。即不是如此，即如彼，或是如此，则非不如此，而终不能又是如此又是非如此。则吾人仍可对一命题有一确定，即确定其或真或假，不能既真且假。由此以知其不真即假，不假即真，而仍保持排中律，谓一命题之只有真假二值，无第三可能。
然吾人若欲建立排中律于事物之总有一定之所是上，此本身乃立逻辑之基础，于一本体论或形上学之上。因吾人如何能纯自吾人现有之经验与知识之立场，以断定未来事物之必有一定之所是。仍为难决之问题。未来事物岂即不可为一团混沌，而一无所是?吾人如建逻辑之基础，于事物之有一定之“所是”上，则于其“所是”之常在变化迁流中者，如辩证法逻辑之所重者，又将如何说？如吾人纯自事物有一定之所是处立逻辑，则事物之在变化迁流中，不断扬弃其一定之是，岂非即为逻辑之否定？
由此而另一更为正宗之逻辑家之说法，则谓逻辑既不以思想为基础，亦不以事物之有无其所是为基础，而唯以吾人所用之语言必有一定之意义为基础。
依此说则所谓同一律、不矛盾律、排中律，唯是所以规定，吾人用语言时，每一语言之有其一定之意义，而不能前后矛盾。故吾人以水是柔之语言，指某物之有某性质，而有何意义，水是柔之一语即有某意义。吾人在继续用水是柔之一语言时，亦当使其所指之意义，前后同一而一致。于是吾人之规定一语言之意义而谓：一语言之意义如是，则此语言之意义如是，如“说P即说P”，此便是同一律。谓一语言意义如是，则非不如是，如“说P即非说～P”，则为不矛盾律。谓一语言意义如是或不如是，“说P或说～P”，则为排中律。由是而传统之逻辑中之三律，仍可保存。
然吾人可问语言之意义，何由而定?此当只是由人而定。人何以必须规定某一语言意义为如何?此则无客观上之必然之理由可说。人亦未尝不可任定一语言之意义。唯吾人可说：如人已定一语言之意义，则人当自遵守其所定。然何以必当遵守?依此说，则最后归至：如语言之意义才定即改，则人对其所继续运用之语言之意义，永不能有一确定之了解。而人即不能达其运用语言之目标，使人了解其语言。故人若欲达其运用语言之目标，则必须确定语言之意义，并肯定逻辑上之同一律，不矛盾律及一切逻辑规律。由是而逻辑之学即成：为达吾人运用语言之目标，使语言之意义能一贯，而为语言之运用，语言之构造，语言之转变，指出种种规则，并将此规则，以逻辑命题表之者。
依现代逻辑家之以语言之意义为约定之说，逻辑学中之逻辑语言之意义，亦或被视为由人约定者。如吾人之以～表否定，以·表“与”，以 表“如果—则”，以P表“命题”，以S表语句，即现代逻辑家共同约定者。而此诸符号之如何加以定义，则可由一逻辑家在其逻辑系统中自己规定，以符号之连结表之。如P Q=～Pvq.df.，再将若干符号，结成若干逻辑之基本命题。此基本命题与定义，恒亦为麦示吾人运用符号，或以符号代符号之规则者。依此规则，而吾人即可以基本命题为前题，而将其中所包涵之项代以其他，而施行逻辑上之演绎，以构成逻辑系统，其中可包括传统逻辑中之若干命题，及其他。于是在现代西方有种种新逻辑系统之出现。
第十二节 逻辑之约定主义与逻辑之理性主义
然吾人不论各种新逻辑系统之如何构造，其中同有一属于知识论上之根本问题。即：毕竟吾人之将若干逻辑上之符号，连结形成定义与若干基本命题，并定下运用符号之规则，是否其本身全为任意者?如其非任意，则其根据应求之于何处?此任意约定之是否可能，同可由同一律，不矛盾律，排中律之意，能否加以任意约定之问题，以论之。
譬如在一般逻辑系统中，皆承认同一律之表示，为如P则P，不矛盾律之表示，为若P则非非P。吾人试问：此是否只为一约定?如为一约定，则吾人可否另作约定，而谓若P则非P，以造成一逻辑系统而免于自相矛盾?吾人首当说，据若P则非P之约定，以另造之逻辑系统，而免于自相矛盾乃不可能者。因吾人若约定“若P则非P”，则吾人可以“非P”代入其中之P，而成“若‘非P’则非‘非P’”。而此非“非P”即同于P，则还证“若P则P”之同一律，遂与原约定相矛盾。如吾人说“若P则非P”之义，同于“若P是真则P是假”，则以“P是假”代入P即成：“若‘P是假’是真，则‘P是假’是假”，而“P是假”是假，同于P是真，则还证“若P是真则P是真”之同一律，仍与原约定相矛盾。
然人或以为此唯由吾人将真与假之意义，先依同一律而加以规定之故，乃有此矛盾 [76] 。若吾人自始不假定同一律，则真假之意义即无事先之一定之规定。而吾人之第一次用假字时之意义，与第二次用假字，即可为全然相反之另一意义。此假如以～表之，则吾人第一次用～之符号，与吾人第二次用此符号时，可有全然相反之义。真字亦然。吾人于是如以“P是假”代入“若P是真则P是假”之命题中之P时，固可成“若‘P是假’是真，则‘P是假’是假”之一新命题。然此中真假之意义，皆已改变至其反面。则新命题中之“P是假”是真，同于：“P是真”是假。“P是假”是假，同于：“P是真”是真，而新命题同于：“若‘P是真’是假，则‘P是真’是真”。在此中，如以“P是真”为P，则“P是真”是假，可以～P表示。“P是真”是真，仍以P表示，则整个之命题，应以～P P表示。再以～P代入此中之P，则成～～P ～P。如～～P即P，则成P ～P。是仍返证成原命题，而未尝自相矛盾。
依此上之说，则吾人如对于一逻辑名词之意义，如一一皆另作相反之约定，则吾人纵假定P ～P，而取消同一律不矛盾律等，仍可构成一不自相矛盾之逻辑系统。于是吾人所以以违背同一律不矛盾律之逻辑系统为不可能，其根据唯在吾人已依同一律等以规定诸逻辑名词之意义。如吾人自始未尝依同一律等以规定诸逻辑名词之意义，吾人未尝不可造成一违背同一律等之逻辑系统。由此而见吾人之造成何种逻辑系统，纯可由吾人之自由决定，唯视吾人之如何规定一逻辑上之符号语言之意义而定。而在吾人未依同一律等以一一规定逻辑语言之意义之先，吾人乃可使一符号语言之意义，同于其反面之意义，亦未尝不可使一符号语言之意义，在每次上之符号语言之运用时皆不同者。在此情形下，则吾人依同一律等而建立之逻辑系统，亦即整个无效。而其有效，乃吾人之逻辑语言已规定后之事，而非其以前之事。由此而逻辑上之同一律等，唯依符号语言意义之约定而成立之说遂立。
然吾人今日之问题，则为谁为约定或规定语言之意义者?吾人既可随意规定一语言之意义，并规定一语言涵其相反之意义，或使一语言之意义，每次用之皆不同；则吾人何以又不愿随意规定一语言意义，且必求一语言之意义之定而有常?此除为利便于人之相互了解之外，是否即别无理由或理性根据之可说?
由是而吾人之问题，即还至语言之意义如何被规定之问题。譬如吾人规定“方”之语言，指某一种形，规定人之语言，指某一种动物，吾人在如是规定一语言之意义时，吾人心中岂能无所思之对象?此对象岂能不表示一共相？此共相岂能无普遍呈现于不同时空之同类事物之性质?则吾人之认识此共相，岂非即本于吾人之理性?岂非以吾人之理性有对此共相之认识，而后有语言意义之规定?则语言之意义之规定，又岂能不本于吾人之理性?
又吾人规定一语言之意义，岂非同时规定吾人以后亦将以此语言，指同一之意义?而此规定，岂非即一超越吾人当下之用此语言之事，而对人之将来之如何用此语言，施以一规定?岂非规定吾人任何时用此语言，皆有共同而普遍呈现于吾人之不同时思想中的意义?此中又岂能不依于一理性之活动?
然吾人如承认吾人之能规定语言之意义，乃依于吾人之理性之活动，则吾人纵谓同一律不矛盾律等，唯在语言之意义之规定上表现，同一律不矛盾律之根源，仍不在已规定之语言之意义中，而在能规定语言之意义之理性活动上。
吾人规定语言之意义，如必以白之语言指白，是吾人理性活动之一种表现，吾人之对白物而自规定：必思之为白，亦是依于吾人之理性活动之一种规定。在吾人规定语言之意义，谓此语言之意义，是如此即是如此等处，可表现同一律，则吾人对白物思之为白，岂不亦表现同一律?吾人在自思此用语言之活动，或白物为白之判断活动时，而自谓“此用一语言之活动是用一语言之活动”，或“一判断之活动，是一判断之活动”，此中岂不亦表现一同一律?吾人在此诸活动中，自动规定语言之意义如此如此，即自肯定“语言意义如此如此”；自规定对白物思之为白，即自肯定“于白物思之为白”。自谓用一语言之活动是用一语言之活动，或一判断活动是一判断活动，即自肯定“用语言之活动，是用语言之活动”，“判断之活动是判断之活动”。此中皆同有同一律之表现。则吾人岂不可说：凡人有肯定其所肯定者处，皆同一律之表现？而吾人之肯定其所肯定者时，同时否定“吾人之否定其所肯定”，此岂非即不矛盾律之意义?至吾人“肯定吾人所肯定”，或“否定吾人之所肯定”，而否定“对此二者之皆加以否定”与“对此二者皆加以肯定”，则为排中律之意义。由此而吾人乃不复只是由吾人肯定或否定什么于一对象处，求同一律不矛盾律排中律之意义与根据；而可纯由吾人之理性活动之自肯定其所肯定，而否定对此肯定之否定等上，求同一律不矛盾律排中律之意义与根据。由是而传统逻辑中之思想三律，即重由理性之保证而建立。而吾人之所以不随意规定语言之意义，而必求语言意义定而有常，亦即有其理性上之必然理由；而不只是为利便他人之了解，以实现语言之目标者矣。
由此而吾人之论逻辑之基础即归于理性主义，而不止于约定主义。
至于现代哲学中之论几何学之基础之问题，则自非欧克里得几何学产生后，人大皆怀疑几何学中之基本命题，为先验知识之说。而欲将几何学化为一与数学及逻辑类似，而只依若干基本定义与基本命题而演绎所成之系统。然其中涉及先验综合命题之是否可能之基本问题，故只于下章中论先验综合命题中附及之。
数学与逻辑知识之性质 参考书目
牟宗三 《认识心之批判》第二部。
H. Feigl & Sellars: Readings in Philosophical Analysis. PT. III, The Nature of Logic and Mathematics.中 E.Nagel, F. Waismann, C. G. Hempel, W. V. Quine等之文。
Locke: An Essay Concerning Human Understanding. Pt ⅡChap. 16. 17.
Kant: Critique of Pure Reason. First Division BK. I. Chap. I.
M. Black: The Nature of Mathematics. London, 1933.
B. Russell: Introduction to Mathematical Philosophy. Macmillan, 1919.
R. Carnap: The Foundations of Logic and Mathematics. 见International Encyclopedia of Unlied Science. Vol. I. Uni. of Chicago press. 1938.
C. G. Hempel: Geometryand Empirical Science.见Reading in Philosophy of Science.
D. Gasking: Mathematics and the World. 见A. G. W. Flew所编: Logic and Language.Philoso phical Library, New York, 153.
E. Nagel: Logic without Ontology,见 Fiegl & Sellars.所编Readings in Analytic Philosophy中。