第五十六卷

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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第五十六卷目錄

　曆法總部彙考五十六

　　新法曆書六〈月離曆指二〉

曆法典第五十六卷

曆法總部彙考五十六

新法曆書六

月離曆指二

推太陰之實經度第十三：

前論「因本輪之自行度加減，立第一均數，以得定朔、定朢朔周轉周。」又因兩弦之自行差與朔朢異，用次輪之自行加減，立第二均數，於理為盡，從是可得太陰之視行實經度。今論次如左。

查《平行表》，簡得太陰、太陽之相距度分，及月距本輪最高度分。用平面三角形法，可得其實經度。〈用古法解之〉第一法「西古史依巴谷」，在羅德島。

「地中海島」，北極出地三十六度；

於總積之四千五百八十七年，為「漢武帝元朔二年甲寅三月。」〈建寅之月〉初七日子正後八十四刻一十四分。〈順天睿時刻〉用渾儀測得月距太陽為四十八度○六分，於時日視行，躔鶉首一十○度四十○分，即月視行度必在鶉火二十八度三十七分。此時此地為午正後一十二刻。依正升斜升表算，得月準在黃平象限，無東西差。

今用《月離表》試之，依表是時太陽之平行為鶉首一十二度○三分，均數為一度二十三分。當時太陽最高在實沈宮初，以減四十八度○六分，得四十六度四十三分，為太陰距太陽之平行度。

此於實距內減均數，而得平行。蓋太陽在最高後，平大視小，用減法。若在最高衝，平小視大，用加法。

查表，於時太陰自行為三百三十三度，又平行距太

圖

陽為四十五度　五分視平兩行之較為一度三十八分更用兩小輪圖試之從自行之最高甲左旋過己至乙得三百三十三度乙為心作次輪圈作乙丙聯兩心線割次輪於壬從壬至戊為日月相距之倍

圖

數九十○度一十○分次作乙戊戊丁戊丙三線成戊乙丙三角形形有丙乙一一○三有乙戊二三一有乙角

壬戊弧九十度一十分

求丙戊邊及戊丙乙角

乙為鈍角宜引長丙乙邊作戊子垂線成戊乙子直角形有乙戊邊二

圖

三一有戊乙子角一十分戊乙子角者戊乙丙過九十之餘也先求戊子得二五七弱次求乙子得○○一以並丙乙得一一○四戊子子丙各自之並而開方得一一二五不盡為戊丙又子丙與全數若戊子與

圖

丙角之切線得一十二度一十○分為乙辛弧

次以甲己乙弧並乙辛得三百四十五度一十一分其餘弧一十四度四十九分為甲辛或甲丙辛角次戊丙丁形有戊丙一一二五有戊丙丁角〈戊丙甲角之餘〉一百六十五度一十一分。

圖

丙丁為全數求戊丁丙角

引長丁丙邊從戊作戊子垂線戊子丙直角形有角有邊求戊子為二八七子丙為一○八五子戊丁直角形有兩邊求第三丁戊得一○一八五為月距地心次求丁角為子丁邊數與全

圖

若戊子邊數與丁角之切線二八四查表

得一度三十八分如上所測數為確合

第二法太陽經二百六十九度○四分太陰經二百五十七度四十三分太陰自行為一百二十二度四十九分日月相距為一十

圖

一度二十一分倍之為二十二度四十二分如圖甲乙為太陰自行度壬戊為倍數丙乙戊形有丙乙乙戊兩邊有乙角壬戊弧之角求丙角得五度五十二分為辛乙弧求丙戊邊得五十六分以乙辛減乙甲

自行不過半周故應減

餘一百一十六度五十三分，為甲辛弧。其餘六十三度○七分，即辛丙丁角。次丙戊丁形，有丙戊，丙丁兩邊有丙角。求丁角得四度四十二分，為白道。上之庚癸弧因在自行前半周。以減平行，得二百五十三度五十七分，是太陰本時之實經度。〈從春分起算〉篇中屢言「黃平象限」者，是黃道在地平以上之九十度限也。兩道在地平上下皆半周，赤道恒定不易。其半周上九十度限，恒在午正線，黃道斜迤，時時不一。其九十度限，時東時西，又隨地多寡。若極出地四十度，則差多者至距午二十五度，惟南北二至，乃與午線同度分耳。其法其表詳載《交食曆》。今略舉如左法，欲求本地本時之黃平象限，於本月日時，簡本地本宮之黃平限表，其第一直行，本日之月離宮度也。第二、第三、四行，為其時分秒；第五、第六為其月離象限度分。先約得月離經度若干極，四十度，表有時之秒，他極減之而少一行，查表取其橫相對時分。〈子正起算〉得某時月在黃平象限。更以本時《簡月表》求月離經度，得某宮某度分。又對取其時分，為月在象限之正時。假如崇禎四年八月十四日求本日何時月在黃平象限，先約月在娵訾宮六度，本表求時，得二十一時 ○一分五十三秒。以此時查《月表》求月經度，查本宮七度一十分查時，得二十一時三分五十三秒，為月「在黃平限之時」，可測其高。欲密合，更以此時求經度，更求時。

系凡月生明或生魄，作直線聯兩角，此線若過天頂，為地平上之垂線，即太陰必在黃平限點上。而此直線亦與白道為直角，引長之必過黃道之極。

圖

「黃白二道，在《太陰曆》中每作一道，論其所差甚微」故。

此線直過天頂及黃道極，必分地平上之黃道弧，為兩平分。

此兩圈相交有細解，其本論見《球圈》原本。

月朢時無從得角，從月駁定月體之南北兩極，如前直線用之，知其過黃道極及在黃平象限之上。

《二十八宿距度》第十四。

中西古今曆法，理同數異，大同小異。理大同者，共戴一天，同資七政也。數小異者，如周天有平度日度，度法有用六用十之類，會而通之，罔或弗合，亦無害其大同也。獨恆星宮次中曆依赤道為二十八宿，北為三垣；南方無垣，則附見於諸宿。《西曆》依黃道為十二象，通計南北為五十二象，此即大不相侔矣。以故《回回曆》翻譯並存。今《恒星曆》各註黃赤經緯度分、星名、位次，皆按中曆更定，免致凌雜。而間考西古《太陰曆》，則亦有二十八舍。譯謂月所宿留之處，即又與宿次同義。且二十八距星亦皆脗合。其不合者，獨觜宿距星不用觜，用天關耳，竟不知其何繇而同？若疑上古相通，則此法之外，又何以畢無一合？亦一奇也。其諸法義圖表，俱見《恒星曆指》。今欲推太陰宮宿度，仍用本表先定黃道所離經度，依表求得本時刻，太陰所離某宿某度。法曰：表中求月所離之宮度數，內減去近小宿數，所餘者為本宿之度分。

假如月離鶉火二十八度三十七分，本宮近小數為星宿二十二度○九分，相減之，得六度二十八分，乃月在星宿六度有奇宿距星在宮次　　度　分。

《斗　　　星紀　○》五○三。

牛：　　　　　　「二八五四。」

女：　　　元枵　○《八○○》。

虛，　　　　　　《一八一四》。

危：　　　　　　二八一三

室　　　娵訾　《一八二○》

壁：　　　「降婁　○」，四○一

奎：　　　　　　《一七一七》

婁：　　　　　　二八四六

胃　　　大梁　一一四六

昴：　　　　　　二四四七

《畢　　　實沈　○》三《一六》。

觜，　　　　　　一八三五。

參：　　　　　　《一七一四》

井，　　　《鶉首　○○○》七。

鬼：　　　鶉火　○○，三三

柳　　　　　　○六○三。

宿距星在宮次　　度　分。

星：　　　　　　二二○九

張：　　　鶉尾　○○，三二

《翼》：　　　　　　一八三六

軫：　　　壽星　○，五三六

角：　　　　　　一八三九

亢：　　　　　　二九一四

氏　　　大火　○，九五四。

房：　　　　　　二七四八。

心　　　析木　○，二三四。

尾：　　　　　　《一○○七》

箕：　　　　　　二五四三

此表崇禎元年定測，以後每年加五十二秒，七十年一度。

見《恆星曆》，指有細行之表用之。

《擇月食以定交周》第十五。

如上論定朔朢轉周實經度訖，次當定交周度分，其法亦用兩月食。兩食者，須太陽之距最高等，須太陰自行度等，須食分等，須食在陽曆或在陰曆亦等，乃可推月行交道滿若干周而復還於故處。第《舊史》不載食分，亦不載陰陽曆，無憑推步，即西古多祿某。〈漢順帝時〉「亦未覺太陽之最高」，隨天運行。

「《順》七政」右旋，每百年約行一度。

故所擇兩月食見黃道上之經度等，即謂太陽之距最高亦等，而實則不等，其法亦不可用。至近世歌《白泥》〈正德間〉「擇用兩食」，於法為合。但所用兩食，一在陽曆，一在陰曆，雖內外不等，而度分之對待相等，如日《月》

圖

之在朔朢皆名交會不害為可用也

第一食總積之四千五百四十年為漢文帝六年日躔大梁宮六度四分五月

酉月也實建申之月

初二日子正後三十一刻

順天府時刻不見食甚

月食十二分之七在陽曆

圖

中交即月在南初虧東北於時月自行為一百六十三度三十三分

多祿某歌白泥兩算同

均數為一度二十三分

未滿半周一百八十度故用減法

第二食〈歌白泥所記〉六千二百二十二年，為「正德四年己

巳」，日躔實沈宮二十一度。六月。〈實建酉之月〉初二日子正後二十四刻一分。

順天府「時刻不見。」食甚。

月食十二分之八，在陰曆正交，即月在北，初虧東南。於時月自行為一百五十九度五十五分。

兩食時月自行差止三度半，可勿論。其日躔前後相距不等。然多祿某所測，太陽最高為實沈六度，所用食時，日躔在最高前三十度；弱歌《白泥》時最高在鶉首五度，所用食時，日躔在最高前十四度。兩距之較雖十六度，以最高旁近度距地心之數為差微，即地景大小無二，亦可勿論。

今論兩「食時之月，自行略等，太陰距地心之度分略等，則所差者在食分也，為十二分之一。」

計兩食之中積為平年。〈三百六十五日〉一千六百八十三年八十八日九十刻○五分。或六十一萬四千三百八十三日九十刻○五分，得交會。〈即朔朢〉二萬○八百○ 五會，《交終》則二萬二千五百七十七周外，餘一百七十九度二十四分

後食大於前食，為十二分之一。月體之徑於天度略為三十分，則食差為二分三十秒。交前後之緯距二分三十秒，其經度為三十分。次食既大於前食即近交，其較半度則未滿半周之較為三十分。查表求兩食之兩均數，一加一減，其較二十一分。以減三十分，得九分，為不及半周之數。實餘一百七十九度五十一分。

上文推定。

「依巴谷」及多祿某先後推定，見本篇第四。

月交會五千四百五十八，則交終五千九百二十三。依此。用三率法，以「交會率。」〈二千九百有奇〉為法中積日為實而一，得二萬○八百○五會。再用三率法，以交終為法而一，得二萬二千五百七十七交半。

置交數。〈二二五七七半〉以三百六十乘之以會數。〈二○八○五〉而一得一會時。〈二十九日有奇〉交行之度分。

又以會數。〈五四五八〉為一率交數。〈五九二三〉為二率一日之太陰平行。

一十二度，一十一分，二十七秒。

為三率，求得一十三度一十三分四十六秒，為一日交行之度。以日求月求年，準此法。

論交行第十六

「交行有二：一順經度行，一逆經度行。」順行者，月平行一日一十三度一十三分四十六秒，是為月行距交之度，則以交為界。又如前定，月平行一日一十三度一十分三十五秒○五微，是為月行距宮次或節氣之度，則以宮次或節氣為界，兩數之較，得三分一十一秒，是則兩交一日逆行之數，所謂羅計行度也。順行者，如《七政》右旋，自西而東。逆行者，如《宗動》左旋，自東而西。右旋者，先降婁，次大梁；左旋者，先《元枵》，次星紀。故月行兩界，一為定界，一為不定界。定者，宮次如娵訾等，節氣如冬至等。不定者，謂正中二交也。兩界則兩數，其較則為不定界之行。分不定界之數，大於定界之數。故累積其較，則與月行相背矣。

交有平行，又有自行，與日月相似。自行有遲有疾。黃白二道之相距，亦時多時少，古來未覺有此《苐谷》。累年密測，得交行，惟朔朢時無加減。

圖

與日在最高最高衝同理

恒得五度弱過此漸加至兩弦而極而此自行恒半月滿一周

與太陰次輪行度同理

如圖甲為月天球上之黃道一極人目在他極外斜看黃道面戊庚己為黃道

圖

圈去甲五度○八分得乙乙為心作戊癸己球上大圈為平白道兩圈相遇各平分於己於戊為兩交庚癸相距之限五度○八分是為兩交相距之中數

兩相距之小數為四度五十八分三十秒大數為五度一十七分三十

秒相減，得較，半之，以並小數，得五度○八分相距之中數也。

而己戊為兩交平行之度。

次乙為心，作丁丙小圈，其徑為大小兩數之較一十九分。小圈之周，恒負正白道之心。

如黃極遶赤極作一圈，名「極圈。」又白極遶黃極作一圈，名「白極圈。」此小圈與之同理，正白道之心，如丙丑丁寅皆是也。

《半月》。

圖

十四日有奇半朔策也

行一周

若正白道之心在丑

最近黃道極惟朔朢則然

以丑為心作球上大圈如辰辛子辛為正白道

若球上作大圈過白黃兩極宜為乙丑庚弧今

圖

依視法作直線

其距黃道為辛庚〈本大圈之一弧〉辛癸為「中白道」，正白道之差，而正白道兩交黃道於辰於子，則辰子為兩道。〈朔朢〉〈時〉之「正交」，是交食所用之兩交也。

若正白道之心在寅〈兩弦時〉以寅為心，作卯壬未大圈

圖

定癸壬為中白道正白道之差而庚壬得五度一十七分三十○秒是為黃白二道相距之極遠

寅心距甲心為極遠故

則卯未為兩遠交距戊己兩平交為戊卯未己距卯未兩近交為卯辰未子

遠交者兩弦之交近交

者，朔朢之交；《平交》者，半弦策之交。

凡正白道心，在寅之上。〈兩弦前後〉丑之下：〈朔朢前後〉若干度分，則「中正兩白道」之大距：〈相距之最遠〉在壬之上，辛之下，亦若干度分；而兩交在卯未之上，辰子之下，亦若干度分。

若正白道心，或在丙或在丁，則正中兩道之大距，相合於癸弧之上，而丁甲癸或丙甲癸為兩象限，兩交則在辰卯子未之間，戊己之左右。

本曆表中有「正交」之加減，有正白道與黃道相距之度分，其原葢出於此。如圖正白道為辰辛子，即有辛辰、庚角，可推正白道之各度分，距黃道若干。〈與黃赤二道距〉〈度同法〉「若在癸」、「在壬」，俱倣此。

「若正白道」，在辛癸壬之外。

在辛壬限內，而不在三點之上。

則先求丁之上下距甲若干，以得癸之上下距庚若干。蓋丁甲、癸為一象限，甲癸庚亦一象限，甲丁大，癸庚亦大，若小亦小。其加減率及用法，見本《曆表》。

《定交行之曆，元》第十七。

上文言「擇兩月食以定交周，因其經時若干而滿周，以知交終及歲月日時交行之數。」然止用兩食相對，較勘多寡，不知其距交幾何度分。今欲審某時距交若干以定交應，亦須兩月食。其距太陽之遠近等，兩食分等。兩食之在陰曆、陽曆，正交、中交等，既諸率各等，則距交必等，因而折取中數，則得本時正交所躔度分。〈此歌白泥法〉

第一《食》。

《多祿》某所記。即前第六章定本輪所用第二食。

總積之四千八百四十七年，為「漢順帝陽嘉三年甲戌十月。」〈建戊之月〉二十四日子正後一十七刻。〈順天府時刻〉一十分月食十二分之十，在黃道南，初虧東北。於時太陽躔壽星宮二十五度一十分，月自行為六十四度三十○分，用減法得均數為四度二十○分。

第二食。〈歌白泥所測〉總期之六千二百一十三年，為「弘治十三年庚申，十一月某日子正後三十一刻正。」〈順天府時〉〈刻〉月食十二分之十，在黃道南，初虧東北，日躔大火宮二十三度一十一分。

「兩食之中，積時為一千三百六十六年。其間太陽行最高一十六度有奇，以減日躔兩度，差二十八度，得一十二度，為前後日距最高之差。」日在最高旁近，其距地之差甚微，地景無二，與《無差》同。

月自行為二百九十一度三十五分，用加法得均數，為四度二十八分。

兩食時月本輪最高前後等距。

前過最高六十四度，後未至最高六十九度，其較五度距地之差甚微，與無差同。

食分大小等，初虧方位等，則兩食之月距交等度。

中積為一千三百六十六，平年，三百五十八日一十七刻九分。

此時自行滿交周外，其距交為一百五十九度五十五分。

如圖甲乙丙丁為白道，乙丁為正中二交。甲為北為內為上，為陰曆；丙為南為外為下，為陽曆。乙戊己丁為距交。等之兩弧，是兩食時。月體一過交一不及交之度。戊在乙交之前，己在丁交之後。前食用減法得。

圖

均數四度二十○分

減者月在自行之前半周依表平交行為甲乙庚減庚戊得甲乙戊戊為月所至之實處

取戊庚後食用加法得均數四度二十八分

加者月在自行之後半周依表平交行為甲丙

圖

辛加辛己得甲丙己己為月所至之實處

取己辛庚辛為兩食中積月距交之平行一百五十九度並戊庚辛己得戊丙己兩距之實行一百六十八度四十三分其餘一十一度一十七分為乙戊丁己兩弧並半之得五度三

十九分為兩食時月距交之度，乙庚得九度五十九

分。若半交甲為界，則甲乙庚得九十九度五十九分，是第一食時之交行根，所謂「交應」也。若他時他處求交，應依此加減之。

「今擬崇禎元年戊辰天正冬至為曆元」，順天府為曆元本所。如《日躔表》《推算本》《曜恒年表》〈如後卷〉

交行兩界任用，但月體行度多端，差數繁曲，既成加減均齊，則或用定界從宮次節氣起算，或用不定界從羅計起算，所得正等。

《測黃道白道相距度分》第十八。

《西史》「多祿某。」〈漢光武時〉其地為「北極，高」三十○度五十八分，用三直儀。〈測高儀皆可用〉測得月軌極北距天頂二度○ 七分，以減北極出地度，得二十八度五十一分，為月距赤道度分。於時黃赤距度為二十三度五十一分。

「黃赤距古遠今近」，說見《日躔曆指》。

以減太陰距赤度，餘五度正，為黃白相距之度。此測因月近天頂地半徑差極微，可以勿論。又軌度最高，在清蒙限外，亦無差分。若在近濁，測月軌高，不先定地半徑差、清蒙差以為加減，即所得者非實度分。西古史多言黃白距五度正，上古則云四度五十八分，《回回曆》則五度○二分，皆不遠。近世苐谷〈萬曆間〉密測詳推，功倍古人。其言曰：「朔朢時，古測僅少一分半，若上下兩弦，則五度一十七分。」本書有測法，有算數，今略舉如左：

總積四千八百○○年，為漢章帝章和元年丁亥八月。〈建未之月〉十八日。〈本地〉午正後二十九刻一十分，月在正午時為上弦，依本表算，得距交八十六度一十七分，于時測得月距黃道。

地半徑蒙氣二差，俱加減訖，外

為五度一十三分。

右二則所言度分，通為日度，則五度一分半者，當為五度九分八十二秒；五度一十七分者，當為五度三十六分；五度一十三分者，當為五度二十九分。

「《大統》以前諸曆，黃白相距，俱六度正，通為平度。」則是五度五十五分距度恒大於西術。以推算月食，往往小于天驗，殆緣於此。

西術定黃白距度，求月軌極高，得距赤度分，去減黃赤距度，餘為黃白距度，此古今通法。但多祿某當漢光武時，去今一千四百餘年，於時黃赤距二十三度五十一分，所減大，所餘必小；今時則二十三度三十一分半，所減小，所餘必大。故今之黃白距較古為大。

是「黃赤漸近」，而「黃白不移。」其所以然，難可窺度。

又《恆星曆》言，近至之恆星，古今緯度不一，在冬至則南緯度小，北緯度大，夏至反是，亦黃赤漸近之徵也。今推黃白距度，列表略同黃赤距度法。〈見日躔曆指及測量八卷〉其用法見《月離表》。

論月視差第十九

《日躔曆》指論地球半徑與月天半徑為比例。若本天視地為遠為高，則比例為小；若為近為庳，則比例為大。

兩數相近，其比例名為「大」，相遠名為「小。」

凡視差有三：〈清蒙不與〉「一曰地平緯差，二曰黃道經差，三曰去極緯差」，其根則一，地球之半徑是也。蓋推算之地平緯，恆與地心為對，人目所見之地平緯，恒與地面為對，故因地之半徑而生視差。若日月星在天頂，即實行與視行為一線，即測驗與推算為一率。自此而外，七政皆有視差，但以去地遠近、出地高庳，分別大小耳。今所論者，《地平緯差》也。〈餘二差詳見交食曆指〉《前史》謂之《南北差》，因曜實在北，所見在南，故立此名，今通稱之。

《求月視差法》：依表算，得月在極南。

即冬至。但此論經度非時也。故稱「南至」以別之。

近冬至十度以內，又在兩交之中。

正半交、中半交，黃白相距極遠之際。

又在黃平象限之上，測其地平以上之高，是為視高。次用赤道出地度南至距赤緯度、太陰距黃緯度，推得月在地平以上之高，是為實高。次以視高減實高，其較為地半徑之視差。若不用南至，任以恒日。依表推月過子午線或黃平象限上，求其黃道上經度及其距交經度。距黃緯度，得地平以上之實高。亦測其視高兩數之較，為地半徑之視差。此法古今累測所得數無異，略舉如左：

總積四千八百四十八年，為「漢順帝陽嘉四年乙亥十月。」〈建酉之月〉初三日，西史多祿某，在本地極高三十度五十八分，太陽躔壽星宮五度二十八分，月在子午線，亦為黃平象限。

凡兩至，在黃平象限，與子午線同度。

推其經度，為星紀宮三度○九分，月距交為七十四度四十○分，其距黃緯度為四度五十九分。計本地赤道高五十九度○二分，《星紀》三度九分之距赤緯

圖

於時為二十三度四十八分以減赤道高得緯度高為三十五度一十四分〈黃道某度地平上高〉加月距黃緯度。〈在黃道北故加〉得四十○度一十三分，為太陰之實高。次測得三十九度○五分為視高。一推一測，其較，一度八分為地半徑視差。

又總積六千二百三十五年為「嘉靖元年壬午九月。」〈建申之月〉二十七日午正後二十二刻一十分，《西史》《歌白泥》測得月軌視高七度一十分，於時日躔壽星一十三度二十九分，月自行得三百五十八度，為本輪之最高。推黃道經為在星紀一十二度三十三分，距交七十二度五十二分，距黃緯為四度四十七分，因推得月距赤道二十七度四十一分，本地赤道高三十五度三十八分，去減月距赤道度餘七度五十七分，為月在地平上之實高；一測一推之，較為四十四分，即月在最高地半徑視差。

右兩術所推太陰之地半徑差，各依本法論定。太陰出入地平時，若在本輪之最高，則《多祿》某為○度五十三分，《歌白泥》為五十分；若在最高衝，則《多祿》某為一度一十九分，《歌白泥》為六十六分。異同若此，將何適從？所以然者，緣兩史測月時，未悟月近地平，有清蒙一差故也。〈說見日躔曆指〉「清蒙」映物，能升卑為高。凡測月之地，平高所得數，乃所見之視高。〈與人目平行〉非月行之實高。〈與地心平行〉以地半徑差減實高則為視高。又以清蒙差加視高，則為真視高。近世苐谷依此法，推得太陰出入地平時，在最高為五十六分二十一秒，在最庳為六十六分○六秒，其各遠近之差，在多祿某為二十六分，歌白泥為一十六分，苐谷為一十分。三家皆有地半徑差表，今以《苐谷新術》為正。

「以地半徑大差求月距地心」第二十。

如左圖甲為地心，乙丙為視地平，乙甲為地半徑，丙角為視差。〈用苐谷之大數〉六十六分○六秒乙為直角，乙甲半徑為度。

圖

為度者恒呼為一以上累加之

求月距地心之甲丙法為全數〈內〉與乙甲。〈外〉若丙角之餘割線：〈內〉與《甲》《丙》，得五十二，又十萬之二萬一千○二十五，是月極近地為五十二，地半徑有奇。若用小數五十六分二十一秒，

推得六十一，又十萬之二千七百八十二。

系既定甲乙乙丙之比例，若有月距天頂之戊丁弧，或稱戊乙丁角，或稱丁乙甲之餘角，任高任下，皆用甲乙丁形。有乙甲甲丁，有丁乙甲角，求乙丁甲角恆為地半徑之角。

如前論月本、天本輪、次輪各半徑之比例，為十萬為一，一○二為二，二一并之，得地心至太陰極遠。〈最高〉之線。一一三三三。次用變率法一一三三三，得六十一地半徑。又十萬之二千七百八十二，則本輪之半徑。

圖

一一○二得若干次輪之半徑二三一得若干依此推之

系如圖得丁戊

月距地心十萬分之幾

若干數亦可得月距地心若干地半徑數有表〈圖說見前〉二系地半徑差、月距地心恒互推

《三系》若定地半徑若干里，亦可得月近遠若干里。〈有本解〉

論《太陰清蒙氣》第二十一，

《日躔曆指》有論有法，以測清蒙差度分因之。列表，凡測太陰，得其視高，則求地半徑差加之，得數又以清蒙氣差減之，為其實高。凡推太陰，得其實高，則以地半徑差減之，得數又以清蒙氣差加之，為其視高。但清蒙之差，因地因時，所在各異，今表其折衷通用之率也。必求本地本時之確數，宜隨處所積，歲月累測以定之。

《測月徑地景徑》第二十二。

測日月徑度，西古史有，本用儀器，今以月食立法，則曆家之正術也。

總積四千○九十三年，為周襄王三十一年庚子月日子正後。〈順天府時刻下同〉四十一刻○五分，月食十二分之三，約為四之一。於時，日躔降婁宮二十七度○五分，月離壽星二十七度○五分，月自行為三百四十 ○度○五分，月距交九度二十分，距黃道北四十八分半。〈依表算〉

又總積四千一百九十一年，為周景王二十二年戊寅，月日子正後一十四刻五分，月食十二分之六，約為半徑於時，日躔星紀一十八度一十二分，月離鶉首一十八度一十二分，月自行二十八度五十四分。

前食月距本輪最高二十度弱。兩食之較，八度有奇，俱在本輪上，弧不能變遠近之數。

月距交七度四十八分，距黃道南四十分四十秒，如圖。日光照地面，即地背生景，形如角體，漸小以趨。

圖

盡月過交入地景〈一名圖虛〉有高庳食分為之大小。今兩食時同在最高之左右，其距地等，食分一為半徑，一為四之一，其較為四之一。距黃道，一為四十分四十秒，一為四十八分三十秒，其較七分五十秒。依法算月徑四之一，得七分五十

秒；依法四之，得三十一分二十秒，是月距最高二十度之似徑也。

測月徑度法：詳見《三圓比例說》。

系凡食分，為月之半徑，即月距黃道為景之半徑。因上數當食時地影半徑為四十分四十秒。

《二系》若食時，能測定食分，又推算得躔離自行距交距黃等諸率，可得月徑及景徑，不必用古兩食法。

「《日月距地率》·《日月實徑率》」 ·《地景長率總論》第二十三

圖乙

如右圖乙甲丙為日，己丁戊為地，日光照地，以兩光線從乙過己，從丙過戊，而遇於丑，是生己戊丑角體之景。次從乙從丙至地心，作乙丁丙丁二線，又作甲丁丑線過日地兩心。次從地心丁上下取月距地心之數。

地半徑為度，如上文所定。

為丁庚，為丁寅，兩距等，作庚辛、壬己、戊寅子線，皆平行。其太陽似徑之度為三十一分二十○秒。

欲解土義，先定太陽之似徑，此在三圖，說有各種。

圖

法今用者，古《多祿》某所定也。又太陽行最高最庳不等，似徑亦不等。本章所用者，日在最高之似徑也。論月亦在小輪之最高如下文。

庚辛丁：直角形，有庚丁。〈月距地〉六十四又六之一，「有丁角。」〈甲丙度〉一十五分四十　秒。求庚辛法為全。〈內〉與丁庚六十四又六之一。〈外〉若丁角之切線四五五。〈內〉與某數。〈外〉得地半徑十萬分之二萬九千一百九十六。次求寅子。

庚壬丑三角形，內有庚壬丁戊寅子三線相距等。

圖

用逓加法三率之第一、第三，並為第二率之倍數。

「庚辛為月最高半徑度」，依《多祿》某說，約與日半徑度等。又寅子為地景之半徑，四十分四十秒，即兩數之比例。

庚辛十五分四十秒。寅子四十分四十秒。

為若五與十三，先得庚辛二九一九六。用三率法，得寅子，為地半徑十萬分之七萬五千九百○九，以并庚辛得一十○萬五千一百○五，以滿丁戊之倍數二十萬，為不足地半徑十萬分之九萬四千八百九

圖

十五為《辛壬》，

丁戊倍之，為二十萬，與庚壬寅子并等。於倍數內，減庚辛寅子並，所餘為辛壬。

次丙戊戊丁兩線所作戊角，擬為直角。

實非直角，其差極微，非算所及。

丙戊甲丁兩線，亦擬為平行。

「實非平行」，以差微故。

用幾何法？〈第六卷第二題〉為戊丙與壬丙，若丁丙與辛丙，又丁甲與庚甲，若戊丁。〈地半徑十萬〉與壬辛。〈九四八九五〉既《丁甲》。

圖

與庚甲，若戊丁與壬辛，則甲丁為十萬，〈若戊丁〉庚甲為九四八九五。〈若壬辛〉所餘之庚丁，必為○○五千一百 ○五。先定庚丁為六十四地半徑，又六之一，依變率法求甲丁，得一二一○，是日距地心如地之半徑者一千二百一十也。

以上係古法，後世累代密推。有亞《巴德》於總積五千六百○四年，為唐昭宗大順二年辛亥，推得一千一百四十六倍。歌白泥於正德間推得一千一百七十九倍。《苐谷》於萬曆間推得一千一百八十二倍。此差列數至微，推算極難。或月徑、月徑加減以分計，則其差以數百倍計，故名。曆家於此殫思竭慮焉。今時所用，大都歌《白泥》之率也。

一、系依上論，丁戊地半徑為一萬分，庚辛月半徑為一萬分之二千九百二十六，是為「地月之兩實徑。」用此比例，可推兩體之比例。

二，系甲丙丁，庚辛丁，兩形相似，則庚丁與庚辛，若丁甲與甲丙，推得「日實徑」與月實徑之比例。

《三系》可得甲丙與丁戊日地兩《實徑》之比例。

以上三系，詳見《三圖說》。

四系置日距地度及日與地之比例。又距月行本輪距地度。〈於上圖為丁寅〉可得月所過地景之徑列表，其引數為月本輪自行之數。然《圖說》所設者，日在最高，若去最高，即復異此，故表有本行，名「地景差。」其引數為太陽之引數，以所得之分與引數相減，即得。〈無加法〉蓋日在高，景大，「在庳」景小故也。

《月距地視差視徑三家異率》第二十四。

漢章帝時，《西史》多祿某術。

月距諸率為「地半徑、　　地半徑視差、　　　月視差。」

十單又十分　度十分。〈《天度》，〉十分、十秒

極遠〈二輪並遠〉六四　○九　○五、四　二九，「本輪最高」，五三　五○　一五、八　　　　　三、二○八本輪心，　四八　五、一、　一○、一　　　　　三、八四二，本輪最庳，四三　五一、　一○四　　　　　三八○、八極近。〈二輪並近〉三三　三三　一二四　五五，遠近限差三○　三七　○。三○　　　　　二六。正德間，西史歌「白泥術。」

月距諸率為「地半徑，　　地半徑視差，　　　月視徑。」

「十單。」又十分　，十分十秒　　　　，十分十秒。

極遠　　六八　二一　五○一九　　　　二七四○，本輪最高六五　三○　五二二四　　　　三○一○，本輪心　六○　一九　五八二五　　　　三二四四，本輪最庳五五　○八　六二二一　　　　五五四○ 極近　　五二　一七　六五四四　　　　三六○八，遠近限差一六　　　　一五二五　　　　○八三○ 《萬曆間西史苐谷術》

「十單。」又十分　，十分十秒　　　　，十分十秒。

極遠　　六○　三六　五《七四四》。

本輪最高：五八　○八　五九○九　　　　三○三○；本輪心：　五六　五○　六○五，一　　　　三二三四；本輪最庳，五四　五○　六二，三九　　　　三四四○；極近：　　五二　一，四　六五三六。

《遠近限差》：　八　　　　八五三。

苐谷及其門人《刻爾白》改之法，今所用。又測太陽視徑，為冬至三十一分半，夏至三十分。〈以上原本《曆指》卷六。