接下来我要说些似乎与前文十分矛盾的话。
在之前的章节中我曾说过，在平面国中所有形状看起来都是一条线段。我还说过，或者暗示过，平面国的居民因此不可能靠视觉器官区分不同阶级的人。然而，在这一章里我却打算向空间国的读者们解释我们如何通过视觉分辨他人。
不怕麻烦的读者可以稍微往前翻几页，看看我在上一章中究竟是怎么说的。在谈及“如何用触觉区分他人”时，我确实说过靠触摸识人是平面国的通用做法，但是这句话是有限定语的——用触觉分辨他人只是“低层阶级中”的通用做法。只有气候温和地区的高层阶级才能通过视觉来区分他人。
假如平面国没有雾，那么任何区域中的任何阶级都不可能用眼睛区分他人。幸好，除了气候特别炎热的地区以外，平面国的大部分地区几乎终年有雾。在你们空间国中，雾简直是一种彻头彻尾的邪恶之物：它遮挡美丽的风景，令人情绪低落，还会损害人们的健康。但在我们平面国中，雾却是上天的恩赐，其重要性几乎不亚于空气。在平面国中，雾是艺术的助手，雾是科学的源泉。若是让我尽情地歌颂雾，我还能滔滔不绝地说上很久。然而为了不偏离主题，我还是向读者们解释一下雾在平面国中的具体作用吧。
在平面国里，假如没有雾的话，所有线条都会同样清晰可辨。在某些不幸的国家中，大气完全干燥透明，那里的居民的确会一眼看清所有的线条。
但是，在雾气浓重的地方，远处的物体看起来会比近处的物体模糊一些。比如，3英尺 [13] 以外的物体就比2英尺11英寸以外的物体更加暗淡。因此，在有雾的地方，只要仔细观察眼前的物体，并不断通过经验来比较不同线条的明暗程度和清晰程度，我们就能够准确地推断物体的形状。
就算我说上一车这样的空话，读者也未必能明白我的意思。但是只要我举一个具体的例子，你们就会明白了。
假设我看到两个人向我走来，并且希望判断这两位是什么阶级的人；再假设，这两个人分别是一位商人和一位医生，换句话说，他们分别是等边三角形和五边形，我怎样才能靠视觉区分这两个人呢？
假设我能让自己的眼睛正对着陌生人的一个角（角A），并让我的视线把这个角平分为两等份，那么此人正对我的两条边（CA和AB）就会与我的视点等距。此时，我能够不偏不倚地同时看到这两条边，并且这两条边在我眼中长度相等。对空间国的居民而言，这个情景应该很容易理解。只要学过一点几何，就算是小孩也能听懂我的意思。
那么，在例子1，也就是商人的例子中，我会看到怎样的情形呢？我会看到一条线段DAE，线段的中点（A）亮度很高，因为这一点离我最近。由于雾气的存在，远处的线条会逐渐隐入雾中，所以商人的两条边会沿AC和AB方向迅速变暗。除了A点以外，我看到的另外两个点，即点D和点E，是非常暗淡的。
而在例子2，也就是医生的例子中，我会看到另一种情形。此时，虽然我仍然能够看到一条中点（A'）明亮的线段（D'A'E'），但A'C'和A'B'两边变暗的速度较慢，因为这两条边隐入雾中的速度较慢。医生的另外两个顶点——点D'和点E'——虽然也比点A'暗，但没有商人的另外两个顶点——点D和点E——那么暗。
读完这两个例子，读者也许已经理解，通过上述方法，平面国中受过良好教育的阶层能靠视觉精确区分中产阶级和下层阶级。当然，人们必须经过长期的训练并在日常生活中不断练习，才能掌握这种靠眼识人的能力。我衷心地希望空间国的读者们能相信我的说法，而不是觉得我完全在胡说八道。要是你们能够理解上述例子中的基本概念，我的目的就完全达到了。
我不打算进一步介绍视觉识人的细节，因为那样反而会把读者绕糊涂。总之，靠视觉来区分他人是可能的，我就通过上述方法来分辨我的父亲和我的儿子。
然而，读完我举的这两个简单的例子，一些年轻而缺乏经验的读者可能会想：视觉识人是件很简单的事情呀！为了纠正这种误解，我认为有必要指出以下的事实：在现实生活中，视觉识人的大部分问题远比以上的例子更为复杂和微妙。
比如，当我的父亲（一个三角形）向我走来时，他未必会用他的顶点正对着我。假设他用一条边对着我，那么我就无法区分他究竟是一个三角形还是一条线段（即一个女人）。此时，我必须移动自己的位置或者要求父亲转身，才能判断他的形状。
但假如我和我的孙子在一起（我的两个孙子都是六边形），那么即使他恰好用一条边（AB）正对着我，我也可以准确判断他的形状。从下图中不难看出，此时我会看到一条亮度均匀的线段（AB）和另外两条较短的线段（CA和BD）。CA和BD是两条亮度渐变的线段，越接近点C和点D的地方看起来越暗。
虽然我很想继续讨论这类问题，但我真的不能再放任自己深入下去了。在平面国中，受过良好教育的居民在日常生活中会碰到许多复杂的问题：比如，在舞会上或座谈会上，他们必须一边移动（比如旋转、前进和后退），一边靠视觉判断若干沿不同方向移动的多边形究竟来自哪个显贵的阶级。我相信，空间国最爱争辩的数学家也会同意我的看法：用眼识人是一项极度复杂的任务，即使是对最聪明的平面国居民而言，这项任务也会考验他们的角度分辨能力。在我们的名牌大学——健桥大学中，教授们会定期向精英阶级的子弟们教授视觉识人的科学和艺术。修读这门课的学员一直很多。健桥大学中有一些博学的教授专门研究动态和静态几何学，鉴于这些问题的复杂程度，让名牌学府掌握大笔资金是非常合理的。
视觉识人是一项极有价值的高贵艺术。充分学习这项艺术需要耗费大量时间和金钱。只有最高贵、最富裕的家庭的子弟才有条件这么做。我是一名水平不低的数学家，并且我还育有两名各边绝对等长、前途十分光明的六边形孙辈，但在面对一群旋转中的高贵多边形时，即便是我也会偶尔分不清他们的形状。可想而知，若是一位普通商人或一位农奴面对这样的情况，他们一定会完全摸不着头脑。如果你——来自空间国的读者——突然闯进平面国中，你一定会感到晕头转向，下层阶级面对这种场面时的感受就跟你差不多。
假设你突然被一群旋转的多边形包围，你会看到怎样的景象呢？你会发现四面八方都是线段，但这些线段的各部分亮度各不相同，并且会不断变化。就算你刚刚修完大学三年级的五边形和六边形课程，并将课程中的理论记得滚瓜烂熟，也未必能应对这样的场面。只有经过多年的练习，你才可能在这种场合中游刃有余地行走，不撞到任何地位高于你的人。在平面国中，要求触摸一位地位高于自己的人是违反礼节的事情。那些贵人的文化和教育水平都比你高出许多，他们完全理解你的所有行动，而你却几乎不了解，甚至完全不了解他们的行动。简而言之，要想在多边形的圈子里展现出完美的礼仪，你自己必须也是一个多边形。这个道理虽然令人痛苦，却是我从自己的人生经验中总结出来的真知灼见。
高层阶级习惯于靠视觉辨别他人，他们会尽量避免触摸别人。在这样的家教下，高层阶级的子弟能把视觉识人的艺术发展到惊人的高度，我几乎可以说视觉识人的能力成了他们的一种本能。在空间国中，唇语和读唇术是比手语和手语字母表更高级的艺术，可是聋哑人一旦接触后者，就再也无法学会前者了。在空间国中，视觉是比触觉更高级的艺术。可是如果一个孩子在幼年时接触了触觉识人的做法，他就再也无法完美地掌握视觉识人的艺术了。
因此，在上层阶级中，家长很不鼓励孩子触摸他人，甚至会完全禁止这种行为。从孩子还在摇篮里的时候开始，上层家庭就开始对子女进行精英教育。这类家庭的孩子绝不会去读教授触觉艺术的公立小学，他们的父母一定会把他们送进只对精英阶级开放的高级学校。在平面国的名牌大学里，触摸他人是一项严重的过失。初犯此罪的学生会受到休学处分，如有再犯，则会被学校开除。
而在下层阶级中，视觉识人的艺术被视为一种不可企及的奢侈品。一位普通商人的儿子不可能花三分之一的生命去学习这种抽象的知识，因为他的父亲绝对负担不起高昂的学费。因此，穷人的孩子从年龄很小的时候就开始学习触摸的艺术。在少年时代，穷人的孩子往往看起来早熟而活泼，多边形家庭的子弟反而个个迟钝呆板、无精打采——其实后者并不是智力发展不足，他们只是还没有完全掌握视觉识人的艺术。一旦完成大学课程，多边形子弟便具备了充分的理论知识，并且随时可以把这些理论投入实践。此时，这些青年会发生脱胎换骨的变化。从此以后，不管是在艺术、科学，还是社会参与度方面，这些富裕家庭的子弟都会快速赶上三角形家庭的孩子，并且把后者远远地甩在身后。
在多边形家庭的子弟中，只有极少数人无法通过大学的结业考试或离校考试。这一小群失败者将面对极为悲惨的命运：上流社会不接纳他们，下层阶级也鄙视他们。获得艺术学士或艺术硕士学位的多边形通过训练掌握了成熟而系统的能力；年轻的商人也早早地学到了墨丘利式 [14] 的本领，因而具有灵活的适应能力；而无法通过大学结业考试的多边形两种能力都不具备，因此他们既不能成为专业人士，也当不上公务员。虽然大多数州的法律并不禁止这类人结婚，但是这些拿不到大学文凭的多边形很难找到合适的配偶，因为过去的经验显示，这类能力不足、运气也不好的父亲有时会生出形状不规则的孩子——就算他们能生出形状规则的孩子，这些孩子也容易遭遇各种厄运。
在平面国的历史上，大革命和大暴乱的叛军领袖往往都是这种被贵族阶级放逐的不肖子弟。这些暴乱给国家带来了巨大的灾难，因此一些进步派的政治家认为，只有完全消灭这类人才是真正仁慈的做法。这些政治家提议，所有大学结业考试不合格的人都应被依法处以终身监禁或者安乐死。虽然持这种看法的政客目前仍是少数派，但他们的队伍正在不断壮大。
说到这里，我发现自己已偏离了本章的主题，开始讨论起不规则图形的话题了。在平面国中，不规则图形是一个至关重要的问题，因此我有必要单独用一个章节来讨论这个问题。
[13] 英尺：长度单位，1英尺约合0.3048米
[14] 墨丘利：罗马神话中商人的保护神。墨丘利式的本领指能说会道、聪明伶俐、善于经商的本领。