第一节 数学与逻辑知识及经验事物之知识
吾人在上章已提及，实事间之因果关系，与抽象之形数之理及逻辑之理之关系之不同。而数学与逻辑之知识，在一般观念中，亦明不同于一般之经验事物之知识。此种不同，最显著处有三：
（一)吾人对一般经验事物之知识，皆由扩大吾人经验性之观察实验之范围而增加。而数学逻辑之知识，则似惟待吾人之理性之推演与反省而求得。
（二)吾人对一般经验事物之知识，皆原于吾人对经验事物之为如何如何，预先作某种猜想或假设，此猜想或假设，乃可用后来之经验加以证实或否证者。然此一切证实，又皆不能为绝对完全之证实。因而此一切猜想或假设，亦皆可修正，或为其他假设所代替而被放弃者。然在数学或逻辑之知识之本身中，则可无关于经验事物之为如何如何之猜想或假设之成分。而数学逻辑之知识，亦似无待于经验之证实，同时亦不能为经验所否证者。
（三)由一般经验事物之知识，待于经验之证实而后真，故其真，非本身自明而必然的，亦非只由演绎推理可证明其为必然者。而数学逻辑之知识之若干，则似为本身自明而必然的，而其余者，则皆可由演绎以证明其为必然者。
数学及逻辑之知识，与一般经验事物之知识之性质固不同，然二者亦同为人之知识。且人由数学逻辑所得之知识，亦实可应用于吾人对一般经验事物之求知历程中。唯其如此应用，又并不能使吾人一般经验之知识，同于数学逻辑知识之不待经验与假设而成就者，更不能使前者同于后者之必然而确定。由是而数学逻辑之知识之根据毕竟何在，即成一严重之哲学问题。
第二节 数学逻辑知识之根据于客观存在事物性质之说
第一种数学逻辑之知识根据之理论，是从数学逻辑知识与其他经验事物之知识，皆同对客观之存在事物有效着眼，而以数学逻辑之知识中之根本观念，皆为客观事物之存在的性质之反映，或代表某种客观之存在者。而数学逻辑知识之根据，亦即在客观存在之自身。依此理论，人之所以有数学之知识，唯因客观事物本身有二三四等数。人之所以有几何学，唯因客观事物本身有方圆等形。如西方最早之数学家辟萨各拉斯对于形数之观念，即以每一形数，皆代表一客观存在事物之某种性质。如一代表事物之统一性，二代表事物之对偶性，四、九、方、表示正义等。而中国《易》学中对于数学之观念，亦以奇数代表宇宙之阳性，偶数代表宇宙之阴性。后来人之以河图洛书之数，代表宇宙之一种构造之图像，亦为类似之主张。
至于在逻辑中，则西方逻辑上之思想三律，照亚里士多德所说，亦为代表客观事物之普遍的共同性质者。如在亚里士多德之逻辑思想中，三律之意义如下：
同一律之意义为：对于同一之主辞，以一宾辞表之，即以一宾辞表之。
矛盾律之意义为：同一宾辞，不能同时在同一意义下，表一主辞，而又不表一主辞。
排中律之意义为：对于一主辞，或以一宾辞表之，或不以一宾辞表之，此外无其他可能 [67] 。
然亚氏论此三律之根据，则归于任一主辞所指之任一存在事物之性质，是为如何即如何，而非非如何等。
同一律矛盾律，在西方哲学史中最早之提出者，乃巴门尼德斯。彼以有是有，不是非有，即一同一律之提出。然此同一律即为一方在思想中，亦一方为宇宙之真实存在之律者。
此外西方之讲辩证逻辑者，远溯至赫雷克利泰，近至黑格尔与马克思恩格斯等，皆以思想之律，即存在事物之律，乃兼反映客观事物之存在之律者。
第三节 数学之观念知识根据于客观存在事物性质之说之疑难
上述此种理论，为一种数学逻辑之形上学理论。如从数学思想逻辑思想，为一种存在于人之思想看，则此思想既存在，即亦应有其存在之根据，而可在形上学中加以讨论。然在知识论中，则吾人之问题唯在问：吾人之如何有此数学逻辑之思想与知识。吾人似不能先设定，此思想与知识内容本身，皆为在思想知识外之存在事物之内容。而若其果兼为存在事物之内容，吾人尚须问：吾人如何知之？
于此，吾人若说数学逻辑之思想中之内容，皆存在事物之内容，吾人当先证明吾人之数学逻辑观念，皆由吾人对存在事物之观念而来，或数学逻辑中之语言，皆所以指示存在事物之性质或状态者。然事实上似明不如此。如方圆之观念，固可说由方圆之物而来，然柏拉图已指出：世间并无绝对方与绝对圆之物。而数学中则可有此绝对方与绝对圆之概念，可由其他之数学概念，加以规定者。又如世间之物固有数，吾人亦可将一物与一物之数，相加成一总数。如一加一成二。吾人固可说，一物有一之数，二物有二之数，此皆为属客观存在之外物者。吾人可说一为奇数，二为偶数，亦可说：凡能以二除尽之数，皆偶数，反之皆奇数。然吾人可否说奇数偶数之观念，亦为由客观存在之外物来?如有一物在此，则其中有一奇数；再一物在此，其中亦有一奇数。然将二物相加为二，则其中即有一偶数，而无奇数。然则最初之奇数何往?偶数又由何而来?如说物之自身中之奇数忽不在，则存在者如何能忽不在?如其在，则偶数岂能来于二奇数之中？是知奇偶之数之观念，不能说直由客观存在外物来。此亦为柏拉图所已提出之论点 [68] 。而柏拉图所归至之说，则以数之自身，乃在理念世界中自己存在者，而非依于通常所谓客观外物之存在而存在者。
此外吾人今可复试思，在几何学中有无厚薄之面，无宽窄之线，无长短之点，此类之物又岂能实际存在?
又吾人有可任意增大之数。如由十百千万至亿兆京垓以至无限，此岂皆有实际事物之数与之相应？实际事物之数，岂必为无限?又无论事物之数为有限或无限，吾人岂不可总事物之数而思之之后再加一数，以成一数?则谓数之观念皆由实际事物之数来，即不应理。
又吾人之数中有负数，是否负数乃负性之存在之数?世间能否有负性之存在?负性之存在岂能是存在?
此外吾人有分数，小数。此分数小数是否即与一物所能剖分成之分子原子电子之数相当者?一分数一小数，可再分以成更小之分数小数，以至无穷。岂每一小数分数，皆可同时分别各指一具定量之存在之物之量?存在之物，是否真成一由大至小至无穷小之串系?吾人又何由知其有此串系？则吾人岂能说每一小数分数，皆同时分别指一定量之存在事物?
又吾人以数指一存在事物时，恒是用以规定存在事物之量之多少。此量本身是否亦为一存在?而吾人以数规定量时，明可以不同之数，对同一之量作规定。如以十寸与一尺或十分之一丈，规定同一之量。此中之存在事物之量为一，而数为多。如数原于存在事物之量，则何以有多种数皆同可规定一量?
此外数中又有无理数。无理数之为数，乃不能实求得其数值之数。吾人如何有无理数之观念?此岂能是先由用无理数所表存在事物之量之计算而来?然一存在事物之量，可以无理数表之者，亦可以有理数表之；反之亦然。如一直角之二等边三角形，其二边各为二尺，则弦之量为八尺之平方根，而为无理数。然吾人如试将此三角形之弦之二分之一，定之为一尺，另造一种尺，则此弦为二尺，勾股之量皆成二尺之平方根，遂皆成一无理数所表之量。如无理数之观念，由存在之物之量来，则何以同一之量，可以无理数表之，又可不以无理数表之?
此外吾人尚有序数。如第一第二第三之数。对若干存在之物，吾人明可以不同之标准，以定其序数。吾人可说某甲之智慧第一，某乙之智慧第二。亦可说某乙之德性第一，某甲之德性第二。此序数岂皆由存在事物本身之性质所决定?吾人岂不亦可任意思想事物，而以先思想者为第一，次者为第二?此第一第二之分，与存在事物之性质又何关?
此外数学中尚有种种抽象复杂之数之观念，皆难说其直接由存在事物之量与性质抽撰而成，而亦无待于数学家对存在事物之新经验方能构成此种种之数之观念者。则谓此种种观念，皆由存在之事物之性质反映而来，更决难应理。
第四节 逻辑之观念知识根据于客观存在事物之性质之说之疑难
其次关于逻辑上之观念，说其为存在事物之普遍性质而来，亦难应理。
譬如依亚里士多德之说，同一律及矛盾律之根据应为一物之是什么者即是什么，而不能不是什么。
吾人试设此为逻辑上之同一律矛盾律之根据，则吾人当问：此中所谓“不能”与“是”“不是”，果何所指?是否存在事物中有“不能”或“是”“不是”，为一存在事物之性质?吾人说人不是犬，不是马，不是神，是否在人之存在中，同时有此无穷之“不是什么”亦存在于其中?吾人今可谓，人不是机器人。但在未造机器人之先，是否已有一人之“不是机器人”，已存在于人中：此岂不同于谓机器人未存在，而人之“不是机器人”已先存在。然此“机器人”既未存在，人之不是机器人如何能先已存在？则谓一物之“不是什么”本身，直接为一吾人所知之存在事物内部之性质，终为难于成立者。而是之为是，是否即直接为存在事物之性质亦难说。如吾人说此花是红，此红为花之性质。但吾人是否可说此“是红”本身亦为花之性质？若然，则花应先有“是红”之性质，然后乃有红之性质。然吾人如何说花有“是红”之性质?是否吾人当先说花是“是红”。若然，则在吾人未说花是“是红”之先，花又应先有“是是红”之性质。如有，则吾人又如何说其有“是是红”之性质?岂非又须说花是“是是红”……?如吾人之所说皆本于存在事物之性质，吾人势必谓花在有红之性质时，已有是红、是是红……等无限之性质之串系，同时客观存在着。然若非因吾人之原有可能说其是红、是是红……之思想语言之串系，吾人又岂能说其有无限之性质之串系之客观存在着?则吾人岂能说吾人之思想语言之串系，乃依于先已客观存在的无限之性质之串系?而谓吾人之思想语言之串系中之能说“是”，其根据唯在存在事物之性质?
复次，吾人在逻辑中之说“凡”all，说“有些”some，说“如果——则”if-then，说“或”or，说“与”and等，此一一之观念，岂皆有存在事物与之相对应?岂吾人一接触存在事物，即必能有此诸观念?若然，何以禽兽与人接触同一存在事物，而彼等皆不能说，“凡”与“有些”，“如果-则”等?
至吾人之可决定的证明此诸观念不能由所知之存在事物本身之存在状态而来，则在：吾人对同一堆之存在事物，可自由应用此诸观念及是或不是之观念于其上，而说出不同之命题。如当前之事物，为风吹皱一池春水，吾人明可依吾人以不同方式思维之，而说“凡风来水上，皆有波澜”或“有些池水，有风吹起波澜”，或“若果风静，则水将平静无波”，或“任凭风来或风去，同是一池春水”，或“风来又风去，波动再波平”，或“风来非风去，波动即非平”……种种命题，及由之推演出之种种命题。而此可能推演出之命题，即依一单纯之换质换位法，亦为一无穷之串系。如风来非风去，风去非风来。风来非非风来，风来是非非风来。风来非非非非风来……然在吾人当前存在之事物，实亦不过风吹皱一池春水之一事而已。此一事毕竟干卿底事，而可引出人之种种思想，在此思想中，应用种种逻辑之观念，以形成种种逻辑命题，此要非由此一事之存在本身决定，实为彰明较著之事。则吾人如何能说逻辑中之观念，皆直接反映存在事物之存在性，或直接代表客观存在事物之自身与其状态者。
第五节 数学逻辑之观念知识根据于经验之说
第二种数学逻辑之理论，为承认数学逻辑中种种复杂之观念与知识，并不直接表示客观存在事物之性质或状态，亦可无存在事物之性质或状态，直接与之相对应。但此说以一切知识观念，皆始于经验，一切具体之观念，皆由经验而来。至一切抽象之观念或概念，亦必根据由经验而来之具体观念，经层层之抽象而成。及其既成，虽若与原初之经验，渺不相涉，然探其最初之本源，仍在于经验，然后方可再应用于经验。此亦如万丈高楼，最初之必由地起，其最底层，乃直接于地上者。由是而此派论逻辑数学，遂从其最原始之观念与经验之关系处着眼。此即洛克、巴克莱、休谟、穆勒之经验主义之数学理论。
此理论并不以数学逻辑中之观念，皆反映客观存在事物。因吾人由对所谓客观存在事物之接触而得者，唯是种种具体之印象或观念。此中可并无数学与逻辑之观念。然则此类之观念何自来?答，由于对具体事物之印象观念之反省与抽象而来。
依洛克说，人初由反省所成之观念有“统一”与“继续”。如吾人直对某观念自身，加以反省，觉其为统一的，则产生“统一”之观念。如对若干观念之相续生起，加以反省，则有“继续”之观念。如吾人直对红之观念，加以反省，可有一统一之观念。对黄亦然；对任一声亦然。以及对复合之观念，如红而美丽之花，亦然。换言之，即吾人对任何观念加以反省，皆可生“统一”之观念。而此“统一”之观念，遂可自任何观念之内容中抽象而出，而为具普遍性之统一之观念，此统一之观念，即数之始之“一”之观念。吾人于是可以“一”之观念，指任何观念与任何引生观念之事物，或观念所指之事物。而一饮一啄，一颦一笑，一花一草，一家一国，皆是一。吾人对世界随意任划出一范围，皆是一。然此一之观念，则实唯在吾人之反省中，而初不在所反省之观念之自身，更不必在其所指之客观对象中也。
吾人有“一”之观念，再依于吾人之知何谓继续，便能将此一之观念，继续的加以重复。则由一，又一，对此“一又一”再加以反省，而视之若一，则成二。由此递展则成三，成四，成五。然无论由此以成何数后，吾人皆若可再加一，以再成一更大之数。而吾人于此“数皆有其更大数”再加反省，则知一切数之数为无限，而任一数亦可由不断加一，以大至无穷。于是有无限数无穷数之观念 [69] 。
顺上文之思路，吾人可引申洛克之意谓甲数大于乙数，则乙数小于甲数。其所小之数，则为负数。吾人又可由反省而知，任一物之形，皆有其部分，而各部分又皆可分。由此而吾人知任一物之为一，皆可分为多。可以一表之者，亦可分为二，而以二个二分之一表之。分者可再分，而有可无穷分下去之分数。由分数亦可以解释小数之所以成。如“○、一”即一之十分之一之数，“○、○一”即百分之一之数。又设一物之量可分为三部分，每部分又可分为三；则一物之量，可分为九部分。即三乘三，或三之三倍，而一物之量，可以倍数表之。
对于一量，我们可视为他量之几分之几，而以他量之分数，为此量之数，亦可以他量之倍数，为此量之数。故吾人可称一量为十倍一寸之十寸，或十分之一丈，或只称之为一尺。而此事之所以可能，唯因每一量皆为一定量。此定量可视为他量之一部分，亦可视为他量之诸部分所合成。至于一物之全体之量之可分成各部分，及所分成之各部分之和之等于全体之量，则为吾人可由反省“全体之量”与“分成之各部分”二者之契合而可知者。
依此对经验之反省，吾人知经验事物之有数量，而亦有形。吾人将物之形体，自其色抽离，便成一几何形体。将体上之面，自体抽离，则成几何之面。将面上之线，自面抽离则成线。将线上之点，自线抽离，则成点。而几何学之基本观念以成。
至于几何学上之公理，如等量加等量其和相等，等量减等量其差相等……，则皆可诉诸对于形量之部分全体之关系之经验之直觉。
由是而数学几何学之观念，即皆可依经验之反省与抽象而说明。
至于逻辑上之思想律，则依此派所说，其根据乃在观念与观念间之同异关系之直觉。如同一律A是A，即谓一观念与其自身之同一，及与其相同者之同一。矛盾律即谓一观念与其相异者之不同一。排中律即谓一观念与另一观念非同即异，另无第三可能。而此诸律之所以为真，唯因吾人确可由经验直觉，以知红之同于红，而异于非红之黄绿。亦可由经验以知，一物之色，如不异于红，即同于红，不同于红即异于红。此中无一例外。又对一切经验事物，吾人亦皆可发现其相互之同异关系，而思想律即成一普遍必然之律则。而穆勒之论数学、几何学真理之为普遍必然，亦从其对一切经验而皆真上立论。此亦前所提及 [70] 。
第六节 经验主义之数学逻辑理论之批评及康德之数学逻辑理论
对于上述一派之数学逻辑之理论，如纯自数学逻辑之心理之起源上看，亦大体上，未始不可说，并有亲切易解之长。但此中有数大问题。一者吾人纵承认数学之观念，皆由反省抽象而成，吾人仍可问：如人最初之感觉经验中，原无数学之观念存在，又人之反省抽象之能力之本身，亦原为一空无所有之一反省抽象之能力；何以一接触经验事物，则有数学观念之生出？人之反省抽象能力，要必有其运用之方式，此方式，岂能不存在于此反省抽象之能力之内部?如吾人说，由反省吾人之观念，而生出统一与继续之观念，则吾人可问：此统一与继续之观念，毕竟是由反省而出，或为吾人反省进行之方式?假若吾人之反省活动本身非统一的，吾人是否能反省出统一之观念?如吾人不继续反省，吾人是否能反省出继续之观念?则此统一继续之观念，初应为吾人反省之方式，而非反省一般由感觉经验来之观念所产生。而如其为反省之方式，则应为随反省而俱现，初亦内在于吾人之反省之“能”之中者。
此外，吾人即假定由此统一之观念，所成之“一”之递加，即可构成数之串系之说为真；吾人之如是如是以由一再至一，而综合之以成二等，之思想活动中，又岂能不依一定之思想方式进行?由此以推，则吾人之每一数学观念之出现，数学知识之形成，皆应由吾人之依一定思想方式，以思想以前所成之观念，而后可能。而此诸思想方式，方为诸数学观念，得以出现之真正根据，真正起源，而不必以一初无内容之反省抽象之活动与感觉经验来之观念接触，为各种数学观念之起源也。
其次，吾人如以一切数学几何学之观念，皆由经验之反省抽象而来，则其所以还可应用于经验之理由，似易得一说明。因吾人所谓经验，可只指已成经验。吾人所谓反省抽象，乃对已成经验而反省抽象。由对已成经验之反省抽象而来者，对已成经验必真，即不成问题。而在已成之一切经验中，已证其为普遍之真者，对已成之一切经验必然为真，亦不成问题。则穆勒之谓数学知识，因其从未为经验所否定，故为对已成经验已证为普遍的真，必然的真者，亦不成问题。然吾人于此可问：由已成经验所反省抽象而出者，如何能应用至一切尚未有之经验，或一切可能经验，而对之亦普遍必然的真？此便仍成为一问题。然吾人却似明可先绝对的确定：数学逻辑之知识，对一切未来之可能经验皆为普遍必然的真，而与一般由经验而得之知识，吾人之不能绝对的确定其对未来可能经验为真者不同。
吾人之此二种批评，即导出康德哲学中之数学逻辑理论者。
依康德之哲学，吾人论任何种抽象之观念知识之产生，吾人皆须溯源于吾人之思想活动，认识活动之方式。而一切知识论之最大问题，则在说明可应用于一切可能经验之先验知识如何可能。而数学几何学知识，实即各为先验知识之一种。
依康德说，吾人之知识命题 [71] 有三种。一为先验之分析命题，如物体是有广延的。此种命题中之宾辞之意义，可直接由主辞中分析而出。而吾人肯定主辞，即不能否定宾辞。如否定之，则陷于自相矛盾。故此命题为必真，亦非待经验而真，并非经验可加以否证以使之成不真者。此之谓先验之分析命题。二为经验之综合命题，如物体有重量。此种命题之宾辞之意义，不能直接自主辞中分析而出。而吾人如肯定主辞而否定宾辞，并不陷于自相矛盾。如一梦中之物体，即可无重量。经验的综合命题之所以为真，唯因吾人所经验者之如是如是。如经验中之所见之物体，在被提举时，吾人确感一重量。故此命题、待经验而真。而一朝经验中之物体变为无重量，此命题亦即成为不真者。而此成为不真之可能，乃吾人所可在事先，加以承认者。第三者为先验的综合命题。此种命题之真，非可只由分析此命题中之主辞之意义而得者。在此种命题中，宾辞之加于主辞，乃对主辞之意义，有所增益。但其真又不待经验而真，而为一切经验所不能加以否证，并对一切已成经验可能经验皆真者。此如各种数学几何学之命题，及其他之先验综合命题。
数学中之命题如“‘七加五’等于十二”，“‘三角形三角之和’等于二直角”之二命题中之宾辞，皆不能自主辞中分析而出。吾人之说七加五等于十二时，此“等于十二”之宾辞，对“七加五”之主辞之意义，有一增益，使吾人对“七加五”有一新了解，故为一综合命题。然此命题之真，非只对已成已有之经验为真，而是对一切可能经验皆真，故为先验命题。三角形三角之和等于二直角亦然。
康德知识论之中心问题，则为问：此种先验的综合命题，如何可能?即其成立依于何处?至其对数学与几何学之先验综合命题之所以可能之讨论，则在其时空与数学几何学之关系之理论。
依康德说，一切可能经验事物，皆在时空之格局（即范畴)下被经验。而时空即为感觉认识之方式，乃内在而非外在，为感觉经验可能之先验条件，而非感觉之所对。几何学之知识，乃关于依空间而起之形相之知识。数学中之知识，乃关于依时间而起之数之知识。数学几何学之知识，所以能普遍有效于一切经验事物，即因一切经验事物，皆在先验之时空之格局下，而数学几何学知识，则正为依此格局而成立之知识。
康德何以说时间空间为经验事物之先验条件，而不说时空之观念，由经验而来?此简单言之，即为吾人对事物之经验，皆必须被安排于一整个之时空之格局中，而在时空有一地位；然时空之本身，则非被经验之事物，而只为吾人之超越之统觉之所摄。吾人之统觉，能统摄一切无定限之向东西南北上下伸展之空间，亦能统摄无定限的由过去伸展至现在，以达未来之时间，以形成一囊括经验世界事物之时空大格局。然吾人不能视此格局为一已成之所对，或外在之对象。亦不能离此格局，而对事物有经验。吾人乃必须凭此大格局中之不同时间不同空间，以分别安排所经验之事物，故此格局，为经验之先验条件，而只为吾人之超越之统觉所摄。
依康德此说，则所谓几何学所研究之形相与关系无他，即此整个之空间中各种界划所成之图形与其关系。而吾人亦不难依吾人之想象，以想象此面前之虚空中，此处有一三角形，彼处有一圆形，并或想象一方形在圆形中，而对之求有种种之知识。吾人此圆形三角形之知识，亦即对表现圆与方形之事物之几何学的知识。在表现圆与方形之事未出现之先，吾人对此圆与方之知识，明可先有。此先有之知识，亦必将对一切表现圆或方之事物皆有效。因此知识，乃只涉及事物所表现之圆或方，而不涉及事物之其他方面者，则事物之其他方面，无论为何，皆与此知识为不相干，对之亦无加以证实或否证之效。而此事物所表现之圆与方，亦只是此知识中之圆与方。故此知识，可成为对方圆之物之方圆之先验知识也。
至于对数学之知识，则康德以为吾人之所以有数之观念，不能只源于经验事物。因经验事物之现象，乃各各差异者。而数之为数，乃由同质之单位构成者。而吾人在用数以规定一事物之量时，吾人所着重者即不在事物之性质。如三尺布，三尺草，三尺木中之布、草、木之经验性质之不同，吾人对之之印象观念之不同，皆与此中之三尺之三之观念，所由产生不相干。依此，洛克之由对印象观念自身之反省，以成就数之单位之“一”之说，遂可不用。而数之观念所由生，则要在相继之计数之活动。此相继之计数活动，不只是将一与一加以堆积，以成一本身为客观对象之二三之数，如洛克之说；而要在依于次第之综合的前进之思维历程，以成一属于主观之心，而可应用于经验事物之数。此思维历程之所凭，既非经验事物或其印象观念之统一性之一，则其所凭为何?康德则谓之一般性的齐同的直觉Homogeneous Intuition。再由此思维历程，将此齐同的直觉，次第加以综合所成之诸统一，即为一一之数。
康德之此种理论之重要点，在将人之一一印象观念，纳之于时间之系列中。吾人在每一时间，直觉一印象观念，（康德名表象)实即通过对时间之直觉，以直觉一印象观念。然今吾人试将一时间中所直觉之印象之内容，置之不顾，则唯留下时间之直觉。吾人在不同时间，固有不同之印象。然吾人皆可将其内容，一一弃置。则吾人此时便只有诸齐同的时间之直觉，每一直觉可为一单位。而吾将此诸单位，次第加以综合，而再统一之，则成数矣。
康德依时间之直觉以言数之理论，其特殊价值，一方在时间之直觉本为可分为齐同之单位者，一方在时间具前进不回之性质。吾人依时间以计数，亦即一方求为将其所分成之单位，皆加以把握，一方亦自具前进不回之性质。吾人之计数之思维，若非前进不回，并将其所计过之各单位，皆加以把握；则吾人可旋计旋忘，永止于一；亦尽可前进后又折回，重复计已计之数，而永不能止于一定之数。然吾人依于时间之可分为单位，及其具前进不回之性质，以次第计数，则可无此问题。而依洛克之理论，只就各单位之综合以言数，则盖难保证其综合之事，不来往重复，而物之数，如何能加以确定，即可成一问题。
康德依时间之直觉言数，而吾人对事物之一切可能之经验，又皆在时间历程中，在时间之直觉中，同时被直觉；故依时间之直觉而生之数，与对此数之知识，亦皆可应用于可能经验之事物。由此而可说明数学之所以能对一切可能经验事物皆为真之故。而吾人所以于未来之可能经验之事物，皆知其必有数，且知吾人今之数学，亦必对之应用而有效者；亦唯以吾人今已知：任何可能经验之事物，当其在次第之时间单位中被经验时，此一一时间单位之直觉，乃吾人所必能加以综合以成数者。而此数，亦即此可能经验事物必能有之数也。
第七节 康德理论之批评
康德之数学理论，其中心问题，在数学之何以能应用于可能经验之感觉事物，其说自有一匠心。但以时间之直觉释数之起源，至多只能及于常识中用以计事物之数。因在常识中，吾人对事物是在时间单位中加以直觉，故可以此时间单位之直觉之综合，以说明数之产生。然此能综合时间之单位，而计之之活动，其本身必不只为直觉；亦必为在诸时间单位之上，施行其综合之事者。于此吾人即可问：此计数之活动，即此在时间单位之上，逐步施行综合之事之活动，是否亦在时间中?如亦在时间中，则对其所经时间之单位，应再可计其数。而此计其数之综合的活动，仍应又在此诸时间之单位之上。然无论如何，在计数时，吾人自身之综合活动之步骤之数，要不能在此综合活动之一一步骤未存在之先，已先存在，而当是依此综合活动之一一步骤已存在之后而有者。则此数，便应为由此综合之活动自己所诞生，而初不依于对经验事物之直觉以起者。此为纯依康德之思路设想所应有之一问题。
复次，康德所谓由次第综合所成之数，实唯由加一所成之加数。加数既成，再去其所加，则成减数，此皆可说。然依此说，如何讲乘除之数?如今有二数相乘，吾人若欲对其乘积之数，依直觉一一加以印证，并与一系列之时间单位相配合，便只能在乘积之数既得之后。今吾人可问：在乘积未得之前，二数相乘毕竟是数非数?如说非数，则与一般之数学观念相违；如说是数，则此时并无直觉加以印证，亦未与时间单位相配合，则依康德义，如何可说是数?此中势须于数之定义，另换说法。于乘数之反面之除数亦然。此外对于可无定限的分解整数所成之分数小数，及无定限的以数相乘所成之倍数积数，平方数，及其他，如无理数、无限数、级数等，皆同难一一以康德所谓直觉，加以印证，并难与时间之系列中之单位相对应配合而论者。
其次，康德之几何学理论，乃以欧克里得之几何为唯一之几何；然康德以后，事实上已有二类非欧克里得之几何学。此三种几何学，对于直线平行线之基本假设，彼此相异，如三者皆同为对实际空间中之形相关系之理论，势必其中只有一为真。然依纯几何学观点，吾人并不以其任一之本身为假，而可各为一种几何学。则其所以皆可成为几何学之故，即不可说在其为研究实际空间中之形相之关系，而当别有所在。
再其次，康德说数学与几何学之命题，是先验必然的综合命题。所谓数学几何学知识为必然，可有二种意义。一是数学几何学知识之本身之必真而不能为假，有如对一主辞以一宾辞表之者，则不能不以一宾辞表之。例如对七加五只能说是十二，不能说是非十二，此是一义。二数学几何学之知识，必能应用于一切可能经验。例如七加五等于十二，不仅可应用于当前之事物，且必可应用于未经验而可能经验之事物。康德心中之主要问题，乃后者，故以时间空间为数学几何学知识之应用于可能经验之事物之媒介。而对此问题之解答，亦在其关于时空之理论。然吾人将应用于经验之问题撇开，而惟着眼于一一数学几何学知识本身之必然性由何而来，则其时空之理论，即可对数学几何学为多余。而彼纵能以此理论，保证数学几何学知识，必可应用于一切经验事物，数学几何学知识本身之必然性，仍有待说明。如七加五何以必等于十二，而不等于十一，此毕竟如何说明?仍为一未决之问题。
至于对逻辑之理论，则康德之说是于一般形式逻辑之外，另立超越逻辑之名，以为形式逻辑之概念之知识论基础，并说明人之先验范畴所以可应用于经验事物之认识之故。依其超越逻辑论，形式逻辑中之概念与命题，皆依于吾人之认识理解经验事物之有不同的先验方式或先验范畴而有。如依“统一”之范畴，以看事物，则构成“凡”之概念，全称之命题。依“杂多”之范畴，以看事物，则将事物分为各部，而构成“有些”之概念，特称之命题。依“实有性”之范畴以看事物，则有说事物“是”什么之肯定命题……。依“虚无性”之范畴，以看事物，则有说事物“非”什么之否定命题等。缘此而成其十二范畴之论，以为十二种形式逻辑命题之知识论上的超越根据。而此十二范畴，则一方与时间之图型Schema可相应，以便吾人之透过时间以看经验事物，形成经验知识之原则者，一方又统于人之超越统觉者。故康德此说，与洛克之以逻辑之基本规律，依于观念间之同异关系，及亚氏之以逻辑规律兼为普遍的存在事物之规律之说，皆截然不同。而为将逻辑之基础，纯建立于吾人之认识事物之主体之说。
然吾人如只遵循康德之将形式逻辑之概念，由超越逻辑加以说明，以形式逻辑之概念命题，皆由吾人之理解经验事物之先验的方式中，导引而出之说；吾人却不易说明，无知识论意义之纯粹逻辑命题，如当代逻辑家所论者，所以产生。又吾人在讨论超越逻辑时，吾人思维此超越逻辑之思维之本身，亦明须运用到或展示出种种形式逻辑之概念，如吾人说“统一之范畴‘非’杂多之范畴”，“先验范畴皆‘是’可应用于经验世界”等语句之本身，即直接连用到或展示出种种逻辑概念，如肯定之“是”否定之“非”等。然吾人于此却可不说此诸概念，亦只是由吾人认识经验世界时之实有性虚无性之先验范畴等导引而出。因此处之逻辑概念，乃可用以论谓所谓先验范畴之本身者，亦即可超越于康德所谓知识论意义之先验范畴之本身之上者。由是而康德之以超越逻辑为形式逻辑之根据之说，亦不必能成立。